I. Mở đầu
Luận văn thạc sĩ này trình bày một phương pháp lặp song song nhằm tìm xấp xỉ nghiệm cho một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu từ lâu và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như kinh tế, tài chính, và lý thuyết trò chơi. Theo tài liệu của Hartman và Stampacchia (1966), bài toán này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Mục tiêu của luận văn là giới thiệu phương pháp giải mới và các ứng dụng của nó trong việc tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Đặc biệt, phương pháp lặp song song được áp dụng cho các dãy ánh xạ gần không giãn, mang lại những kết quả đáng chú ý trong việc giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân.
II. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này cung cấp những kiến thức cần thiết về không gian Hilbert, các bài toán tìm điểm bất động và bất đẳng thức biến phân. Không gian Hilbert H được định nghĩa với các tính chất đặc trưng như tích vô hướng và chuẩn. Các mệnh đề liên quan đến tính chất Kadec-Klee và điều kiện Opial cũng được nhắc đến. Điều này rất quan trọng trong việc xây dựng các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Các bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn được trình bày chi tiết, nhấn mạnh vào tính chất lồi và đóng của tập điểm bất động. Từ đó, các phương pháp lặp như Mann và Halpern được giới thiệu, cho thấy sự quan trọng của việc tìm hiểu sâu về các phương pháp này trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân.
2.1. Không gian Hilbert
Không gian Hilbert H là không gian vô hạn chiều với nhiều đặc điểm quan trọng. Tính chất cơ bản như tính liên tục của tích vô hướng và chuẩn được sử dụng để chứng minh các mệnh đề liên quan. Từ đó, các điều kiện cần thiết cho việc tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức được phát triển. Những mệnh đề này không chỉ giúp giải quyết bài toán trong không gian Hilbert mà còn mở rộng cho các không gian khác.
2.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu một cách tổng quát như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C. Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc tối ưu hóa các bài toán lồi có ràng buộc. Các phương pháp giải bài toán này đã được nghiên cứu và phát triển, với nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau. Đặc biệt, phương pháp lặp song song cho phép tìm nghiệm hiệu quả hơn, đặc biệt là trong trường hợp nhiều ánh xạ gần không giãn.
III. Phương pháp lặp song song
Phương pháp lặp song song được trình bày trong chương này nhằm giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn dãy ánh xạ gần không giãn. Phương pháp này có khả năng hội tụ mạnh về nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Các ứng dụng của phương pháp lặp song song được phân tích chi tiết, cho thấy tính hiệu quả và khả năng áp dụng trong các bài toán thực tế. Đặc biệt, phương pháp này có thể được mở rộng cho các bài toán phức tạp hơn trong không gian Hilbert, góp phần vào việc phát triển lý thuyết về bất đẳng thức biến phân.
3.1. Phát biểu bài toán
Bài toán được phát biểu như sau: Tìm một phần tử x∗ ∈ C sao cho hF(x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C. Đây là bài toán cơ bản trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân. Các kết quả từ các nghiên cứu trước đó được sử dụng làm nền tảng cho việc phát triển phương pháp lặp song song, nhằm đạt được nghiệm tối ưu cho bài toán này.
3.2. Các ứng dụng
Phương pháp lặp song song không chỉ áp dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân mà còn có thể mở rộng cho các bài toán khác như tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn. Các ứng dụng này cho thấy tính linh hoạt và hiệu quả của phương pháp trong việc giải quyết các bài toán trong không gian Hilbert. Sự kết hợp giữa lý thuyết và thực tiễn tạo ra những giá trị thiết thực cho nghiên cứu và ứng dụng toán học.
IV. Kết luận
Luận văn đã trình bày một phương pháp lặp song song để tìm xấp xỉ nghiệm cho lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Các kết quả đạt được không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có khả năng ứng dụng cao trong thực tiễn. Việc nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp giải bài toán này sẽ mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực toán học ứng dụng. Phương pháp lặp song song được kỳ vọng sẽ trở thành công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.
