MỞ ĐẦU Kết quả của luận án này được tổng hợp từ các bài báo [A1, A2, A3, A4, A5] đã được công bồ trên các tạp chí uy tín : ® Bài báo [A1]: Khảo sát bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán bậc không nguyên với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển, theo nghĩa Riemann-Liouville. s Bài báo [A2]: Khảo sát bài toán giá trị cuối cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển, theo nghĩa Riemann-Liouville. ® Bài báo [A3]: Khảo sát bài toán tìm lại hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển trong miễn hai chiều. e Bài báo [A4]: Khảo sát bài toán tìm lại hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển và dữ liệu phi địa phương tại thời điểm cuối.
Luận án này chứa đựng một số kết quả mới, mạnh hơn những kết quả đã có, và được công bồ trên các tạp chí khoa học uy tín trên thé giới. 11 Lý do chọn đề tài Các van dé liên quan đến lĩnh vực bài toán ngược và bài toán không chỉnh là một hướng nghiên cứu từ lâu, đã có rất nhiều nghiên cứu cho lĩnh vực này. Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Lê Trọng Thanh và TS.
Nguyễn Anh Triết, năm 2020 tôi bắt đầu gặt hái được những kết quả bước đầu khả quan về hướng nghiên cứu này, và dự kiến sẽ tiếp tục hướng nghiên cứu này trong tương lai. Bản thân tôi chọn hướng nghiên cứu này chủ yêu từ sự định hướng của quý Thầy hướng dẫn. Bên cạnh đó, sự đam mê nghiên cứu cũng như những kết quả khả quan bước đầu đã thúc đẩy tôi đi theo hướng nghiên cứu này, và lựa chọn dé tài “Xác định điều kiện đầu và ham nguồn cho một số phương trình khuếch tán”.2 Đối tượng nghiên cứu Luận án này tập trung xem xét các bài toán sau : * Bài toán tìm lại hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển. se Bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển.
* Bài toán khôi phục hàm nguồn cho phương trình khuếch tán bậc không nguyên với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển, theo nghĩa Riemann-Liouville trong miễn hai chiều. * Bài toán khảo sát hàm nguồn cho phương trình khuếch tán bậc không nguyên với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển, theo nghĩa Caputo và dữ liệu thời gian phi địa phương. ¢ Chỉnh hóa bài toán cho phương trình biharmonic với dữ liệu đo đạc trong không gian L7(Q).3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của dé tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân - đạo hàm riêng, tập trung chính vào các phương trình đạo hàm riêng với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển như dao hàm Caputo, đạo ham Riemann Liouville, phép nhúng trong không gian Sobolev và một số mô hình cấp không nguyên khác.4 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài Trước hết, dé tài góp phan nâng cao phong trào nghiên cứu, thứ hạng và uy tín khoa học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG: - TP. HCM ở trong nước cũng như trên trường quốc tế.
Các kết quả của đề tài công bố trên tạp chí khoa học quốc tế có uy tín sẽ tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm Seminar để các thành viên trong nhóm đóng góp ý kiến hoàn thiện. Từ đó, dé tài sẽ gợi mở và làm nảy sinh một số van dé cần tiép tục nghiên cứu. Mat khác, dé tài cũng ứng dụng trực tiếp trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề tài hướng dẫn cho học viên cao học. Chương 2 TỔNG QUAN Đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực bài toán ngược và không chỉnh cho phương trình đạo hàm riêng mà đối tượng khảo sát là các bài toán xác định điều kiện đầu và bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo ham khác đạo hàm cổ điển.
Bài toán xác định điều kiện đầu và bài toán xác định hàm nguồn cho các phương trình khuếch tán với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển có rất nhiều ứng dụng khác nhau trong các lĩnh vực khoa học công nghệ, vật lý, cơ học, y học, xử lý ảnh, kinh tế. Đó là các bài toán mà dữ liệu được thu thập bằng phương pháp vật lý thông qua các thiết bị đo đạc chuyên dụng. Trong thực tế, khi ta đo đạc dữ liệu đầu vào thì luôn có sai số. Vì vậy nếu tính ổn định nghiệm của bài toán không được thỏa, tức là sai số nhỏ ở dữ liệu đo đạc dẫn đến sai số rất lớn ở nghiệm, thì sẽ gây khó khăn trong việc tính toán số.
Vì thế, chúng ta cần phải có các phương pháp để “chỉnh hóa” những bài toán này. Các loại bài toán xác định điều kiện đầu và bài toán xác định hàm nguồn cho các phương trình khuếch tán với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm trong thời gian gần đây. Từ những thập niên 50 của thế kỉ trước, công việc chỉnh hóa các bài toán không chỉnh đã được nghiên cứu bởi khá nhiều các nhà khoa học trên thé giới. Một trong những kết quả đầu tiên về phương trình parabolic ngược thời gian là công trình của John [6] công bố năm 1955.
John đã dé xuất một phương pháp số để giải bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh các phương pháp đó là ổn định trên tập các hàm số dương bị chan. Từ năm 1963, sau khi Tikhonov [7] đưa ra phương pháp chỉnh hóa nổi tiếng của ông, bài toán không chỉnh và bài toán ngược đã trở thành một ngành riêng của vật lý toán hoc và khoa học tính toán. Nam 1967, Lattes và Lions đưa ra phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility).Ewing [9] đã dùng phương pháp phương trình Sobolev để chỉnh hóa bài toán thuần nhất. Sau đó, Showalter dé xuất phương pháp tựa biên (quasi-boundary value) hay còn gọi là phương pháp OBV.
Chúng ta có thể kể thêm một số các kết quả nổi tiếng về bài toán parabolic ngược thời gian tuyến tính như [4], [5], [9], [11], [12]. Tiếp theo đây, chúng tôi xin dé cập đến tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước trong những khoảng thời gian gần đây: 2.1 Tinh hình nghiên cứu trong nước Trong phần này, tôi xin giới thiệu tình hình nghiên cứu trên thế giới của các nhà Toán học có cùng hướng nghiên cứu với chúng tôi. Các nghiên cứu này chủ yếu tập trung chính vào hai loại bài toán sau. Bài toán xác định hàm nguỗn.
Cho T > 0, tìm ham f(x) thỏa hệ 9#u(x„t) + Au(x,t) = @(Đƒf(x), x EO, t € (0,T), u(x,0) = 0, xEQO, u(x,T) = g(x), xEO. ¢ Trong trường hợp dao hàm cổ điển, nghĩa là a = 1, thì đạo ham 9# trở thành đạo hàm u;, ta có thể liệt kê một số công trình nghiên cứu như sau : — Nam 2005, xem trong [13], Trong, Dinh va Long da khao sat bai toan nhiệt ngược không thuần nhất có dang như sau 1¿ — xx = —(t) f(x), với cặp hàm (u, ƒ). Dưới các giả định khác nhau của hàm ø va giá trị tại thời điểm cuối = 1, các nhà nghiên cứu để xuất các phương pháp chỉnh hóa khác nhau để chỉnh hóa bài toán này dựa trên biến đổi Fourier với độ do Lebesgue. Với ø # 0, nghiệm là duy nhất.
5 — Năm 2009, xem [14], Trọng, Định và Nam, đã khảo sát bài toán xác định cặp hàm (u, ƒ) thỏa mãn phương trình nhiệt ; — Au = g(t) f(x,y), trong đó (x,y) € O = (0,1) x (0,1) với ham ø cho trước. Bài toán nay là không chỉnh. Dưới một điều kiện nhỏ của hàm ø, nhóm nghiên cứu đã trình bay tính duy nhất nghiệm từ một số dt liệu trên biên và hàm nhiệt độ ban đầu. Sử dụng phương pháp nội suy và chặt cụt chuỗi Fourier, nhóm nghiên cứu đã xây dung cau trúc nghiệm chỉnh hóa của hàm nguồn ƒ từ dữ liệu không trơn.
Ước lượng sai số và ví dụ số được minh họa trong công trình này. e Trong trường hợp đạo hàm khác đạo hàm cổ điển, nghĩa là trường hợp a z 1, tôi xin nêu ra một so các công trình như sau. Bài tóan này là bài toán không chỉnh, và nhóm nghiên cứu đã sử dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonnov để khảo sát bài toán này, mục tiêu chính là ước lượng sai số hội tụ của nghiệm chỉnh hóa về nghiệm chính xác dưới cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm và tham số chỉnh hóa hậu nghiệm. Thí nghiệm số minh họa.
— Năm 2017, xem trong [16], Tuấn cùng các cộng sự đã khảo sát bài toán ngược khôi phục hàm nguồn cho phương trình khuếch tán với đạo hàm khác đạo hàm cổ điển với dữ liệu đã biết tại một thời điểm cố định như sau.1) u(x,0) = uo(x), x € (0,1), với p(t) và o(x) là những ham cho trước. Bài toán này là bài toán không chỉnh, nghĩa là, nghiệm của bài toán (nếu nó tổn tại) thường không phụ thuộc liên tục theo dt liệu. Với phương pháp chặt cụt tích phần và biến đổi Fourier, các nhà nghiên cứu đã xây dựng nghiệm chỉnh hóa và trình bày những ước lượng sai số. Hai thí nghiệm số được thể hiện nhằm trình bày tính đúng đắn của lí thuyết.
Bài toán này là bài toán không chỉnh. Dữ liệu đầu vào khi đo đạc có những sai số nhỏ sẽ gây ra sai số lớn cho nghiệm. Để khắc phục sự không ổn định này, nhóm nghiên cứu dé xuất giải pháp xấp xi ổn định thông qua phương pháp chính quy hóa giá trị gần như biên được sửa đổi chung. Thứ tự tốc độ hội tụ tối ưu cho lỗi trường hợp xấu nhất của phương pháp được suy ra trong điều kiện nguồn thông thường bằng cách sử dụng các quy tắc lựa chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm và tham số chỉnh hóa hậu nghiệm.
Một thử nghiệm số được cung cấp để minh họa tính hiệu quả của phương pháp được đề xuất. Năm 2021, xem trong tài liệu [18], Lực, Long, Dumitru Baleanu, và Ravi P. Agarwal đã khảo sát bài toán tìm lại hàm nguồn cho phương trình khuéch tán với đạo hàm khác dao hàm cổ điển trên miễn bị chan như sau aP u(x, t) = Lu(x,t) + (t) f(x), (x,t) € Ox (0,T) với điều kiện tích phan phi địa phương p11 u(x, tat = ¢(x),x € O. Bài toán này là bai toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard, do đó việc chỉnh hóa nó là cần thiết.