I. Tổng Quan Nghiên Cứu Toán Tử Picard Cơ Sở và Phát Triển
Năm 1922, S. Banach đặt nền móng cho lý thuyết điểm bất động metric với "Nguyên lý ánh xạ co Banach". Định lý này khẳng định, trong không gian metric đầy đủ, ánh xạ co có điểm bất động duy nhất. Công trình này mở ra hướng nghiên cứu mới, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng rộng rãi trong giải phương trình vi phân, tích phân và hệ phương trình tuyến tính. Nhiều nghiên cứu đã nỗ lực mở rộng nguyên lý Banach với các điều kiện khác nhau, áp dụng trên các không gian đa dạng hơn, như công trình của Ran và cộng sự (2004), M. Ri (2016) và nhiều tác giả khác. Sự phát triển này làm phong phú thêm công cụ toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn.
1.1. Định nghĩa Toán Tử Picard và Toán Tử Picard Yếu
Năm 1983, I. Berinde khái quát khái niệm điểm bất động cho không gian tôpô, định nghĩa toán tử Picard yếu. Một ánh xạ T được gọi là toán tử Picard yếu nếu nó có điểm bất động và dãy lặp {Tⁿa} hội tụ đến điểm bất động đó, với mọi a thuộc không gian. Nếu toán tử Picard yếu có duy nhất một điểm bất động, nó được gọi là toán tử Picard. Ánh xạ co Banach là một ví dụ về toán tử Picard trên không gian metric đầy đủ. Các công trình của I. Berinde tập trung vào các tính chất của toán tử Picard và toán tử Picard yếu liên quan đến tập các điểm bất động của ánh xạ đơn và đa trị.
1.2. Hướng Nghiên Cứu Chính Về Toán Tử Picard và Điều Kiện Co
Các nghiên cứu gần đây về toán tử Picard tập trung vào ba hướng chính. Thứ nhất, xây dựng điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard/Picard yếu trên không gian metric, liên quan đến điều kiện co. Thứ hai, mở rộng không gian metric (không gian metric suy rộng) và tìm điều kiện co để ánh xạ là toán tử Picard/Picard yếu trên các không gian này. Thứ ba, nghiên cứu ứng dụng của toán tử Picard và toán tử Picard yếu. Luận án này tập trung vào việc tìm hiểu sự tồn tại của các toán tử Picard gắn với điều kiện co trên các không gian metric suy rộng.
II. Thách Thức và Vấn Đề Hiện Tại Trong Nghiên Cứu Toán Tử
Một thách thức lớn là mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach với các điều kiện co khác nhau và trên các không gian khác nhau. Ví dụ, Edelstein (1962) chứng minh rằng trên không gian metric compact, ánh xạ thỏa mãn ρ(Ta, Tb) < ρ(a, b) (a ≠ b) là toán tử Picard. Điều kiện này nhẹ hơn điều kiện co của Banach, nhưng đòi hỏi không gian phải compact. Việc tìm các điều kiện co yếu hơn, hoặc áp dụng trên các không gian tổng quát hơn, vẫn là một vấn đề mở. Sự cân bằng giữa điều kiện co và cấu trúc không gian là yếu tố then chốt để đảm bảo sự tồn tại của toán tử Picard.
2.1. Cải Tiến Điều Kiện Co Banach và Điều Kiện Co Mới
Các tác giả tập trung cải tiến điều kiện co Banach bằng cách thay hằng số co r bằng hằng số, tham số hoặc hàm số khác. Một số nghiên cứu giới hạn điều kiện co chỉ cần đúng với một số phần tử a, b thuộc không gian. Chẳng hạn, A. Keeler (1972) thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard trong không gian đầy đủ bằng cách sử dụng ε-δ điều kiện. Năm 2016, S. Ri thay thế hằng số co bằng hàm tham số và thu được kết quả tương tự. Những cải tiến này giúp mở rộng phạm vi ứng dụng của nguyên lý Banach.
2.2. Ánh Xạ Co Kannan và Ứng Dụng Trong Không Gian Metric
Kannan (1968) giới thiệu một lớp ánh xạ khác với ánh xạ co Banach. Ánh xạ Kannan thỏa mãn điều kiện ρ(Ta, Tb) ≤ r[ρ(a, Ta) + ρ(b, Tb)] (r < 1/2). Kannan chỉ ra rằng ánh xạ Kannan không nhất thiết liên tục, khác với ánh xạ co Banach. Subramanyam (1975) chứng minh rằng tính đầy đủ của không gian metric tương đương với việc mọi ánh xạ Kannan đều có điểm bất động duy nhất. Lớp ánh xạ Kannan thu hút sự quan tâm lớn vì tính chất đặc biệt và khả năng mô tả tính đầy đủ của không gian metric.
2.3. Hàm Điều Khiển và Mở Rộng Kết Quả về Ánh Xạ Kannan
Nhiều nghiên cứu sử dụng hàm điều khiển để mở rộng kết quả về ánh xạ Kannan. Năm 2018, J. Górnicki thu được kết quả mới bằng cách sử dụng hàm điều khiển trên. Các kết quả này mở rộng Định lý của Kannan bằng cách sử dụng các hàm f và ϕ thỏa mãn các điều kiện nhất định. Điều này cho thấy việc sử dụng hàm điều khiển là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu ánh xạ Kannan và tìm ra các điều kiện đủ cho sự tồn tại của toán tử Picard.
III. Phương Pháp Nghiên Cứu Toán Tử Picard Yếu và Điều Kiện
Luận án này sử dụng phương pháp tiếp cận dựa trên điều kiện co kết hợp. Dựa trên ý tưởng từ các định lý đã có, luận án thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ trong không gian metric đầy đủ là toán tử Picard yếu. Điều này đạt được bằng cách kết hợp điều kiện co Banach với co Kannan. Việc sử dụng khoảng cách Hausdorff cho phép mở rộng các kết quả cho trường hợp ánh xạ đa trị. Các ví dụ được đưa ra để minh họa tính đúng đắn của các kết quả và so sánh với các kết quả đã biết.
3.1. Định Lý Về Toán Tử Picard Yếu và Điều Kiện Liên Quan
Luận án xây dựng định lý mới về điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard yếu trong không gian metric đầy đủ. Định lý này sử dụng một điều kiện liên quan đến khoảng cách giữa điểm và ảnh của nó. Chứng minh của định lý dựa trên việc xây dựng dãy Cauchy và chứng minh sự hội tụ của dãy đó đến điểm bất động. Các điều kiện trong định lý được thiết kế để đảm bảo sự hội tụ và tính duy nhất của điểm bất động.
3.2. Mở Rộng Định Lý cho Ánh Xạ Đa Trị và Khoảng Cách Hausdorff
Để mở rộng kết quả cho ánh xạ đa trị, luận án sử dụng khoảng cách Hausdorff. Điều này cho phép đo khoảng cách giữa các tập hợp và áp dụng các điều kiện co cho ánh xạ đa trị. Định lý mở rộng cho trường hợp ánh xạ đa trị đưa ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị có điểm bất động và là toán tử Picard yếu. Điều này mở rộng phạm vi ứng dụng của các kết quả cho các bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị.
IV. Ứng Dụng Toán Tử Picard trong Không Gian B Metric Mạnh
Luận án nghiên cứu ứng dụng của toán tử Picard trong không gian b−metric mạnh. Không gian b−metric mạnh là một mở rộng của không gian metric, cho phép đo khoảng cách giữa các điểm bằng một số thực dương lớn hơn hoặc bằng 1. Việc nghiên cứu toán tử Picard trong không gian b−metric mạnh mở ra khả năng giải quyết các bài toán trong các lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn như giải phương trình vi phân và tích phân trong không gian b−metric mạnh.
4.1. Hàm Điều Khiển và Kết Quả về Toán Tử Picard Trong B Metric
Luận án chứng minh các định lý về sự tồn tại của toán tử Picard trong không gian b−metric mạnh bằng cách sử dụng các hàm điều khiển. Các hàm điều khiển được sử dụng tương tự như trong các kết quả của J. Górnicki, nhưng được áp dụng trong không gian b−metric mạnh. Các định lý này cung cấp các điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard trong không gian b−metric mạnh và mở rộng các kết quả đã biết cho không gian metric thông thường.
4.2. Ánh Xạ Kannan Suzuki và Toán Tử Picard trong B Metric Mạnh
Luận án giới thiệu khái niệm ánh xạ Kannan-Suzuki trong không gian b−metric mạnh và thiết lập điều kiện đủ để một ánh xạ là toán tử Picard. Ánh xạ Kannan-Suzuki là một loại ánh xạ co kết hợp giữa điều kiện co Banach và Kannan. Việc nghiên cứu ánh xạ Kannan-Suzuki trong không gian b−metric mạnh cung cấp các công cụ mới để giải quyết các bài toán điểm bất động trong không gian này.
4.3. Ánh Xạ Kiểu Kannan Suzuki và Toán Tử Picard
Luận án kết hợp kiểu co của T. Suzuki và J. Górnicki thu được kết quả về sự tồn tại của toán tử Picard trong không gian b−metric mạnh compact. Luận án đưa ra ví dụ cho thấy tính liên tục của ánh xạ T không thể bỏ được. Định lý 2.13 là mở rộng thực sự kết quả của Górnicki
V. Không Gian B TVS Metric Nón Mạnh và Toán Tử Picard
Luận án giới thiệu khái niệm không gian b-TVS metric nón mạnh, một không gian mới kết hợp cấu trúc của không gian vectơ tôpô và không gian b−metric. Việc xây dựng không gian này mở ra một hướng nghiên cứu mới về các không gian metric suy rộng. Luận án nghiên cứu các tính chất của không gian b-TVS metric nón mạnh, đặc biệt là thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard và chứng minh nguyên lý bổ sung đủ.
5.1. Tính Chất Lân Cận của Nón và Không Gian B TVS Metric Nón Mạnh
Luận án nghiên cứu tính chất lân cận của nón trong không gian vectơ tôpô. Các tính chất này đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng và nghiên cứu không gian b-TVS metric nón mạnh. Không gian b-TVS metric nón mạnh được định nghĩa dựa trên nón và có cấu trúc phức tạp hơn so với không gian metric thông thường.
5.2. Toán Tử Picard trong Không Gian B TVS Metric Nón Mạnh
Luận án thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard trong không gian b-TVS metric nón mạnh. Các điều kiện này được xây dựng dựa trên các tính chất của không gian và ánh xạ. Việc chứng minh sự tồn tại của toán tử Picard trong không gian b-TVS metric nón mạnh là một kết quả quan trọng và mở ra các hướng nghiên cứu tiếp theo.
VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tương Lai Toán Tử Picard
Luận án đã đạt được một số kết quả quan trọng về sự tồn tại của toán tử Picard trong các không gian metric suy rộng. Các kết quả này góp phần làm phong phú thêm lý thuyết điểm bất động và mở ra các hướng nghiên cứu mới. Việc nghiên cứu sâu hơn về các không gian metric suy rộng và ứng dụng của toán tử Picard trong các lĩnh vực khác nhau là một hướng đi đầy tiềm năng.
6.1. Tóm Tắt Các Kết Quả Chính và Đóng Góp của Luận Án
Luận án đã thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ là toán tử Picard yếu trên không gian metric đầy đủ, xây dựng không gian b-TVS metric nón mạnh và chứng minh nguyên lý bổ sung đủ. Các kết quả này đóng góp vào việc phát triển lý thuyết điểm bất động và cung cấp các công cụ mới để giải quyết các bài toán trong các lĩnh vực khác nhau.
6.2. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo và Các Vấn Đề Mở
Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc nghiên cứu sâu hơn về các không gian metric suy rộng, phát triển các điều kiện co mới cho toán tử Picard và khám phá các ứng dụng của toán tử Picard trong các lĩnh vực khác nhau. Các vấn đề mở bao gồm việc tìm các điều kiện yếu hơn cho sự tồn tại của toán tử Picard và nghiên cứu tính ổn định của các điểm bất động.
