chương 1: Khối đa diện, trong chương này được chia thành ba bài. Tổ chức toán học hỗ trợ Khi tiến hành nghiên cứu HH12CB chúng tôi nhận thấy có các TCTH sau đây: 1. Tổ chức toán học O1: Phân chia, lắp ghép khối đa diện Kiểu nhiệm vụ tương ứng T1: Phân chia khối đa diện thành hữu hạn khối đa diện thỏa điều kiện cho trước hoặc lắp ghép hữu hạn khối đa diện cho trước thành khối đa diện thỏa điều kiện cho trước. 7 Dưới đây, chúng tôi trình bày ba ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết tương ứng.
Ví dụ 1 (bài 4, tr 12, HH12CB): Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau. Lời giải mong đợi (booktoan.com): Chia khối lập phương thành hai hình lăng trụ bằng nhau ABD.B’C’D’ vì chúng đối xứng qua (BDD’B’). Trong lăng trụ ABD.A’B’D’ ta xét ba khối tứ diện: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB. Ta có: D’A’AB, D’A’B’B bằng nhau vì đối xứng qua (A’D’CB).
D’A’AB, D’ADB bằng nhau vì đối xứng qua (ABC’D’). Tương tự, chia hình lăng trụ BCD.B’C’D’ thành ba khối tứ diện D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC, các khối tứ diện này bằng nhau và bằng ba khối tứ diện đã chia. Vậy ta có: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB, D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC bằng nhau.3, tr 11, BTHH12CB): Chia hình chóp tứ giác đều thành tám hình chóp bằng nhau. Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác đều S.
Hai đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp đối diện của hình vuông ABCD chia hình vuông ABCD thành tám tam giác bằng nhau. Xem mỗi tam giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau. Ví dụ 3 (tr 11, BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy là hình vuông. Cạnh bên FC vuông góc với đáy và có độ dài bằng AB.
Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phương. 8 Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Từ hình chóp trên ta dựng hình lập phương HEFG. Ta thấy hai hình chóp F.ABEH đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ABF), hai hình chóp F.AHGD đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADF). Do đó ba hình chóp F.AHGD bằng nhau.
Như vậy có thể chia được hình lập phương HEFG.ABCD thành ba hình chóp bằng hình chóp F. Từ đó suy ra có thể ghép ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD để thành một hình lập phương. Ba ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1. Kỹ thuật 1: + Đối với phân chia khối đa diện: Chọn hữu hạn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện thành hữu hạn khối đa diện con.
Chứng minh các khối đa diện con thỏa điều kiện đã cho và có thể ghép thành khối đa diện ban đầu. + Đối với lắp ghép khối đa diện: Dựng khối đa diện thỏa điều kiện cho trước và chứa ít nhất một trong các khối đa diện cho trước. Chứng minh phần còn lại của khối đa diện đã dựng cũng chứa các khối đa diện đã cho còn lại. Công nghệ 1 + Định nghĩa của HH12CB: Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).
+ Tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, các hệ thức lượng trong không gian, các phép biến hình trong không gian, các tính chất. 9 Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian. Chúng tôi cho rằng kiểu nhiệm vụ T1 được tác giả sách giáo khoa đưa vào nhằm chuẩn bị cho việc giải quyết kiểu nhiệm vụ tính thể tích khối đa diện (sẽ đề cập ở phần sau). Tổ chức toán học O2: Tính tỉ số diện tích Kiểu nhiệm vụ tương ứng T2: Tính tỉ số diện tích toàn phần của hai hình đa diện Tính tỷ số diện tích hai đa giác (đặc biệt là hai tam giác) là một KNV đã xuất hiện ở THCS và kỹ thuật được ưu tiên là tính bình phương tỷ số đồng dạng.
Với trường hợp T2 đang xét, hình đang xét không còn là hình phẳng và không nhất thiết đồng dạng. Kỹ thuật “bình phương tỷ số đồng dạng” không còn phù hợp. Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’). Lời giải mong đợi (booktoan.com) Ta xét khoảng cách giữa O1, O2, với O1 là tâm của (ABCD), O2 là tâm của (BCC’B’).
1 Dễ thấy O1O2//AB’ và O1O2= AB’. Gọi a là 2 𝑎 √2 cạnh của lập phương thì O1O2=. 2 Vì (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H) nên (H’) có 8 mặt 𝑎 √2 là tam giác đều cạnh là. = 2 4 8 S(H)=6a2 𝑆(𝐻) Vậy = 2√3 𝑆(𝐻′ ) Ví dụ 4 giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T2 như sau: Kỹ thuật 2: Bước 1: Tính diện tích toàn phần của từng đa diện bằng các công thức đã biết.
Bước 2: Tính tỉ số hai diện tích. 10 Công nghệ 2: tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, hệ thức lượng trong tam giác, các công thức tính diện tích. Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian. Như vậy, việc giải quyết T2 đòi hỏi phải huy động trực tiếp các công thức tính diện tích toàn phần của đa diện và các tính chất của chúng.
Tổ chức toán học O3: Chứng minh một hình là hình đa diện đều Kiểu nhiệm vụ tương ứng T3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều. Ví dụ 5 (Hoạt động 4/ tr18 HH12CB): Cho hình lập phương ABCD. Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Lời giải mong đợi (HH12CB): Do sáu mặt của hình lập phương là các hình vuông bằng nhau nên đường chéo của chúng cũng bằng nhau.
Suy ra bốn tam giác AB’C, AD’B’, D’B’C, AD’C là các tam giác đều. Tứ diện AB’CD’ là một tứ diện đều. Ta rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T3: Kỹ thuật 3: Chứng minh các mặt là hình đa giác đều Công nghệ 3: Các công thức tính góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau Lý thuyết 3: Lý thuyết về hình đa diện đều. Tổ chức toán học phức hợp Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH hỗ trợ.
Tổ chức toán học O4: Tính thể tích khối đa diện Chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, có 3 kỹ thuật được SGK lựa chọn đó là: tính trực tiếp; phải phân chia, lắp ghép; tính nhờ tỷ số. 11 HH12CB ưu tiên việc trình bày kỹ thuật phải phân chia, lắp ghép và kỹ thuật tính nhờ tỷ số. Cụ thể HH12CB đã trình bày lý thuyết như sau: “Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau: a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) =1. b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1)=V(H2).
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diên H(1) và (H2) thì V(H1)= V(H1)+ V(H2). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H). Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị”. Từ đó, HH12CB cũng đưa ra công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, và khối chóp như sau: “Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó”.
“Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh”. 1 “Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh”. 3 Từ những lý thuyết được cung cấp, ta có thể rút ra những kỹ thuật giải quyết sau: Kỹ thuật 4,1: Bước 1: Chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ bằng nhau đơn giản hơn (nếu cần). Bước 2: Tính thể tích từng khối nhỏ đã chia.
Bước 3: Tính thể tích khối đa diện ban đầu. Ví dụ 6 (trang 24/ HH12CB): Cho hình lăng trụ tam giác ABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và BB’. Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’.
Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’. Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC. Tính thể tích khối chóp C. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.
Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C. Lời giải: Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và đường cao bằng nhau nên: 1 1 2 VC. Từ đó suy ra VC. 3 3 3 Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE bằng nửa 1 1 diện tích ABB’A’.
2 3 1 2 b) Áp dụng câu a) ta có: V(H) = VABC.ABFE = V - V = V 3 3 1 Vì EA’ song song và bằng CC’ nên theo định lý Ta-lét, A’ là trung điểm của 2 E’C’. Tương tự, B’ là trung điểm của F’C’. Do đó diện tích tam giác C’E’F’ gấp bốn 4 lần diện tích tam giác A’B’C’. Từ đó suy ra VC.𝐸′𝐹′𝐶′ 2 Kỹ thuật 4,2: Chúng tôi tạm gọi đây là kỹ thuật tính thể tích dựa vào tỉ số các thể tích.
Bước 1: Tìm và tính tỉ số các thể tích Bước 2: Tính thể tích Công nghệ 4-2: các công thức tính thể tích, các quan hệ định tính và định lượng trong hình học phẳng, chú ý công thức. 13 Lý thuyết 5_5: Khái niệm về thể tích khối đa diện, hình học Euclid. Như vậy KNV T4’: Tính tỉ số hai thể tích là 1 KNV con của T4: Tính thể tích khối đa diện. Trong BTHH12CB ưu tiên kỹ thuật tính trực tiếp, chúng tôi trình bày hai ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết tương ứng như sau: Ví dụ 7 (bài 2/ tr16/BTHH12CB): Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB= a.
Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a. Lời giải: BA ⊥ CD Ta có: { , suy ra BA⊥(ADC).
BA ⊥ CA Mặt khác, BD⊥(CEF) suy ra BD ⊥ CE. Từ đó ta có CE ⊥(ABD), suy ra CE⊥EF, CE⊥AD.