CHƯƠNG I LỊCH SỬ TOÁN HỌC TRƯỚC THẾ KỶ MƯỜI BẢY §1. CÁC HỆ THỐNG SỐ 1. Các cơ sở số Số và phép đếm có một quá trình phát triển lâu dài trước khi con người biết ghi chép lại. Nhờ vào khảo cổ học mà người ta có thể biết được sự phát sinh của số và phép đếm.
Con người từ thời thượng cổ xa xưa nhất, trước khi ngôn ngữ ra đời, đã có một cảm giác về số, người ta có thể phân biệt giữa một cái cây và một rừng cây, giữa một con chó sói và một bầy chó sói, có thể nhận biết được sự nhiều hơn hay ít hơn khi một nhóm nhỏ đồ vật có sự thêm vào hay bớt ra. Cùng với từng bước tiến hoá của xã hội, việc tính đếm đơn giản đã trở thành một nhu cầu của cuộc sống. Ví dụ: nhu cầu kiểm tra, phân phát các dụng cụ, sản phẩm khi săn bắt hái lượm; nhu cầu cần biết đàn cừu của mình có bị mất con nào không hoặc bộ lạc của mình có thiếu thành viên nào không?. Lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm 4 giai đoạn (ứng với 4 giai đoạn của sự phát triển kỹ thuật đếm): - Giai đoạn 1: Thiết lập sự tương ứng 1-1 giữa tập hợp cần đếm với những vật quen thuộc xung quanh.
Ví dụ: Muốn kiểm tra dụng cụ săn bắt có đủ không, người ta phân phát cho mỗi người một dụng cụ, như vậy một người sẽ tương ứng với một dụng cụ. Hoặc một con cừu tương ứng với một cái cây (một viên sỏi, một cái que, một vạch trên mặt đất, một vết khắc trên thân cây, một nút thắt dây)… - Giai đoạn 2: (khi thanh âm phát triển) tính đếm được của một tập hợp được biểu thị qua các yếu tố tương đương của một tập hợp khác. Ví dụ: Người ta sử dụng “mặt trời” để chỉ số một (duy nhất), “cánh chim” để chỉ số 2, “chân chó” để chỉ số 4, hoặc “bàn tay” để chỉ số 5… - Giai đoạn 3: Chọn một tập hợp xác định làm tập mẫu về số lượng để đếm. Ví dụ: các que củi, các viên sỏi, các ngón tay.
5 - Giai đoạn 4: Con người đã biết trừu tượng hoá để gạt bỏ tên đồ vật hay vật khi đếm, chỉ giữ lại các con số. Ví dụ: Một nhóm người sử dụng các que để đếm, hai con bò tương ứng với hai que, hai cần câu tương ứng với hai que, hai người tương ứng với hai que,. phép tương ứng đó được lặp đi lặp lại nhiều lần, lâu dài con người dần dần nhận thấy có một đặc điểm chung giữa các tập hợp này và đi đến chỗ đặt tên cho cái chung đó. Ban đầu, loài người chỉ đếm được những tập hợp ít phần tử.
Để thực hiện việc đếm mở rộng và thuận tiện hơn, con người đã biết hệ thống hoá lại và khái niệm cơ số xuất hiện. Khi số b được chọn làm cơ số thì các số 1, 2,…, b được gán tên, còn các số lớn hơn b là tổ hợp tên của các số từ 1, 2,…, b. Trong lịch sử có nhiều cơ số khác nhau đã được chọn để sử dụng, ví dụ như: cơ số 2, cơ số 5, cơ số 10, cơ số 12, cơ số 20, cơ số 60… 2. Hệ thống số viết Trong thời kỳ đầu, để ghi lại các con số người ta thường sử dụng các vạch dọc hoặc ngang.
Ví dụ: Hệ thống chữ số Tally (Trung Quốc cổ) | || ||| |||| ||||| |||||| Hệ thống chữ số Trung Nhật cổ Cách ghi số này sẽ gặp khó khăn khi ghi các số lớn, thực hiện các phép tính,… và cũng khó để đọc các số lớn. Ví dụ ghi hoặc đọc số 49. Từ những cố gắng ban đầu này, những hệ thống chữ viết khác đã dần dần phát triển để ghi lại các số một cách khoa học hơn. Sau đây là các loại hệ thống chữ số được sử dụng nhiều trong các dân tộc trên thế giới từ xưa đến nay.
Hệ thống nhóm đơn Nguyên tắc: Nếu b là cơ số thì người ta có những ký hiệu cho 1, b, b2, b3,. Khi đó, một con số bất kỳ được biểu thị bằng cách dùng các ký hiệu trên 6 theo quy tắc cộng (trong đó một ký hiệu có thể được lặp đi lặp lại một số lần), nghĩa là giá trị của một số bằng tổng giá trị tất cả các số tạo nên nó. Ví dụ 1: Hệ thống chữ số tượng hình Ai Cập dựa trên cơ số 10. Ban đầu, hệ thống số của người Ai Cập cũng gồm những vạch dọc như hệ thống số của người Tally.
Sau đó, họ đã cải tiến bằng cách phát triển một hệ thống nhóm để giúp việc ghi các số lớn dễ dàng hơn. ││││││││││ → ∩ Các biểu tượng trên tương ứng với: cây gậy (1), gót chân (10), cuộn dây thừng (100), hoa sen (103), ngón trỏ (104), con nòng nọc (105), một người đang ngạc nhiên (106). Người Ai Cập cổ đại viết chữ trên một loại giấy có tên gọi là giấy papyrus. Họ hái cây papyrus, mọc rất nhiều ở hai bên bờ sông Nile, chẻ thành từng thanh mỏng, ghép thành những tờ giấy (2 lớp), sau đó ép mỏng và phơi khô, đây là loại giấy xuất hiện sớm nhất trên thế giới.
Giấy papyrus viết, họ dùng thân cây sậy làm bút và mực là bồ hóng. Ví dụ 2: Hệ thống số Babylon (Iraq ngày nay) phát triển cùng thời gian với hệ thống số Ai Cập. Người Babylon sử dụng chữ số hình nêm, mỗi 7 chữ số là một dấu nhọn thẳng đứng hoặc nằm ngang. Các số nhỏ hơn 60 được biểu thị bằng một hệ thống nhóm đơn có cơ số 10.
Vùng Lưỡng Hà rất hiếm tài nguyên, nhưng có một loại đất sét rất tốt, và nó được chọn làm chất liệu để viết. Người ta dùng những que vót nhọn để viết trên những bản đất sét còn ướt, vì vậy những chỗ mới ấn vào thì nét to, chỗ rút bút ra thì nét nhỏ, giống Hình 2. Viết số trên các bản như những hình nêm. Loại “giấy” này đất sét có ưu điểm là không bị mục nát, mối mọt, không bị cháy, nhưng dễ vỡ và quá nặng.
Ví dụ 3: Chữ số La Mã (cơ số 10) xuất hiện ở châu Âu khoảng thế kỷ thứ 3 TCN. Ngoài các ký hiệu cơ bản như I là số 1, X là số 10, C là số 102, M là số 103, người La Mã còn sử dụng thêm các ký hiệu V là số 5, L là số 50, D là số 500. 1944 : MDCCCCXXXXIIII 8 Tuy nhiên, đến thời trung cổ, để tránh việc lặp lại một ký tự nhiều hơn 3 lần, người La Mã đã sử dụng thêm quy tắc trừ, lúc này số 1944 đã được viết lại ngắn gọn hơn MCMXLIV. Sau này, họ còn sử dụng thêm quy tắc nhân bằng cách đặt một thanh ngang trên một số là nhân số đó với 1000.
Để chỉ những số lớn hơn người ta có thể sử dụng nhiều thanh ngang, chẳng hạn như V 5, 000, 000. Hệ thống nhóm nhân Nguyên tắc: Nếu b là cơ số của một hệ thống nhóm nhân thì người ta dùng các ký hiệu cho 1, 2,. ,b – 1 và các ký hiệu cho b, b2, b3,. Khi đó, các ký hiệu của hai tập hợp này được dùng theo quy tắc nhân để biểu thị các nhóm cao hơn.
Ví dụ: Hệ thống chữ số Trung Nhật là một hệ thống nhóm nhân có cơ số 10. Hệ thống chữ số mã hoá Nguyên tắc: Nếu b là cơ số thì người ta sử dụng một tập hợp các ký hiệu để gán cho: 1, 2, ., (b – 1)b2 …… 9 Khi đó, một con số bất kỳ được biểu thị bằng cách dùng các ký hiệu trên theo quy tắc cộng. Ưu điểm của hệ thống chữ số mã hóa là cách biểu thị rất ngắn gọn tuy nhiên người sử dụng phải nhớ khá nhiều ký hiệu. Ví dụ: Hệ thống chữ số Hy Lạp cổ hay còn gọi là hệ thống Ionic (khoảng 450 TCN).
Đó là một hệ thống dựa trên cơ số 10 và dùng 27 chữ, bao gồm 24 chữ của vần chữ cái Hy Lạp và 3 ký hiệu cho các chữ diagamma, koppa và sampi mà hiện không còn sử dụng nữa. Dùng các ký hiệu này ta có: ιβ, κα, σμζ lần lượt biểu thị cho các số 12, 21, 247. Hệ thống chữ số vị trí Nguyên tắc: Nếu b là cơ số, người ta dùng ký hiệu cơ bản cho các số: 0, 1, 2,. Khi đó, trong một chữ số cho trước bất kỳ, tuỳ theo vị trí được viết mà một ký hiệu cơ bản sẽ có những giá trị khác nhau, là bội của một lũy thừa nào đó của cơ số b.
Bất kỳ số tự nhiên N nào cũng có thể viết dưới dạng: N = anbn + an-1bn-1 +., n và N được biểu thị bởi anan-1an-2. Ví dụ: - Hệ thống số Babylon với các số lớn hơn hoặc bằng 60 được sử dụng theo nguyên tắc vị trí. 10 1*603 57*602 46*60 40 424000 Hệ thống số Babylon là không đầy đủ vì ký hiệu có thể biểu diễn 2 cho số 2 hoặc 2. nghĩa là không thể phân biệt giữa các số đòi hỏi một số không ở cuối với các số tương ứng nhưng không cần chữ số không ở cuối.
Sau đó, người Babylon đã bổ sung ký hiệu để đặt vào những vị trí trống trong biểu diễn vị trí của số. (10*60 + 21), (10*602 + 0*60 + 21) Tuy nhiên, người Babylon không sử dụng ký hiệu này để chỉ số 0 theo nghĩa là không có số lượng. - Hệ thống số Maya. Người Maya đã sử dụng ba ký hiệu dưới đây để biểu diễn hệ thống số của mình theo cơ số 20, tuy nhiên từ các nhóm số lớn hơn hai thì có dạng là 20n-1.18 0 1 5 1(18)(20) + 1(20) + 13 = 433 2(18)(202) + 14(18)(20) + 6(20) + 18 = 19578 Nền văn minh Maya là một nền văn minh cổ được xây dựng bởi người Maya, một bộ tộc thuộc thổ dân châu Mỹ, ở đông nam Mê-hi-cô.
Họ là 11 những người đầu tiên sử dụng ký hiệu cho khái niệm số 0 theo nghĩa là không có gì, không có số lượng. - Hệ thống chữ số mà chúng ta đang dùng ngày nay (hệ thống số Hindu - Ả Rập) là một ví dụ cho hệ thống chữ số vị trí với cơ số 10. Chẳng hạn số 2 trong 217 có giá trị là 200, nhưng số 2 trong 127 có giá trị là 20. Hệ thống số Hindu - Ả Rập được phát triển bởi người Hindu (Ấn Độ), sau đó được truyền sang châu Âu bởi người Ả Rập.
Phát minh hệ thống số của người Hindu - Ả Rập được xem là một trong những phát minh quan trọng nhất trong toán học.