Chương 1 DUONG THANG SIMSON Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày định lý Simson và các tính chất của đường thắng Simson.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1. Trong một tam giác, trưng điểm các đoạn thẳng thuộc các đường cao kẻ từ đỉnh đến trực tâm của tam giác đó được gọi là các điểm Euler. Trong một tam giác, chân các đường trưng tuyến, chân các đường cao va các điểm Euler nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn chín điểm hau đường tròn Euler. Cho tam giác ABC, goi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BŒ, CA, kẻ các đường cao AX, BM,CN (K€e ĐŒ,M e AC, N € AB), H la truc tam ctta tam giác ABŒ, P,L,7 lần lượt là trung điểm của AH, BH,CH và (O) là đường tròn ngoại tiép ADEF.
ờ AB Do DK là đường trung tuyên cla tam gidc vudng AK B nén DK = > Do #, Ƒ lần lượt là trung điểm của BƠ, AC nên #Ƒ là đường trung bình của AABC. Suy ra EF = v. Do do, tacd DK = EF. Mat khac, DF // EK.
Suy ra DEK F la hinh thang can. Vì đường tròn (O) di qua 3 điểm D,E,F cia hinh thang can DEK F nén Hình 1.1: đường tròn (Ó) cũng đi qua điểm #. Do DL ƒ AK, DF jf BC (DEKF la hinh thang cân) nên DL L DF. Suy ra LDF = 90°.
Lai c6 LE // CH nên LEF = 90°. Do LDF + LEF = 180° nén ttt giac EFDL noi tiép. Vậy 5 điểm D, E, F, Ý, L cùng nằm trên đường tròn (OÓ). Do FT la đường trung bình của AACH nên Ƒ'T /ƒ AH.
Suy ra ta có DƑ' L FT. Do ET là đường trung binh cla ACH B nén ET // BH. Suy ratacé DE L FT. Do đó, các tứ giác DWET7, DFTE, DLEM nội tiép (EDF = FML = 90°).
Suy ra 9 điểm D, Ð, F, K,M, N, P,L,T cùng thuộc đường tròn (Ó) (đpem). Trưng điểm các đường chéo của một tứ giác toàn phần cùng nằm trên một đường thẳng, đường thẳng nàu gọi là đường thẳng Gauss. Đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác uà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó gọi là đường thẳng Euler. Cho tứ giác toàn phần ABCDMN, các đường tròn ngoại tiếp các tam gidc ABN, BCM, MAD, NCD cing đi qua một điểm uà điểm nàu gọi là điểm Miquel của tứ giác toàn phan nay.
Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác MUAD,CDN cắt nhau tại E(E#D) Khi đó ta có DƠNE là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta co MDE = CNE. Do tứ giác A2EM nội tiếp nên MAE = MDE. Suy ra MAE =CNE.
Suy ra ttt gidc ABNE néi tiép. Do đó E thuộc đường tròn ngoại tiếp AABN. Mặt khác, ta cóó EƠN = EDN,EDN = AME. Suy ra, ta có ECN = AME.
Do đó, ta có tứ giác BA EƠ nội tiếp. Do đó thuộc đường tròn ngoại tiếp ABƠM Suy ra 4 đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABN, BƠM, MAD, NƠD) cùng đi qua điểm E. Vậy điểm được gọi là điểm Miquel của tứ giác toàn phần. Tứ giác ABŒD nội tiếp đường tròn (O) théa man AB CB AD CD Ménh dé 1.
Cho dudng trén (O) va diém M bat ki ném ngoai dudng được gọi là tú giác điều hòa. Từ ME kẻ tiếp tuyến MA,MB tà cát tuyến MƠD (MƠ < MD) tới đường tròn (O). Khi đó tứ giác ABCD) là tứ giác điều hòa. Tà có ADC = MAC (góc nội tiếp với góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC).
Do AM AC đồng dạng với AM/DA (g.g) nên ta có MA AC MD_ DA (1.1) ` SỐ - ,1MB _ PC Do AMBC dong dang v6i AMDB nén ta có MD ~ DB’ Mặt khác, ta có MA = MB Do đó ta có AC BC DA~ DB 02) Từ (1.2) suy ra ABƠ?D là tứ giác điều hòa (đpcm). Cho tam giác ABC tà ba điểm bất kè A!,B',C! lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho hoặc cả ba điểm A',B',C! đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; hoặc một trong ba điểm đó nằm trên phan kéo dài của một cạnh, còn hai điểm còn lại nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần uà đủ để ba điểm A', B!,C! thẳng hàng là: AB' CA’ BC! | BIC A'B'C'A Hình 1. Điều kiện cần: Nếu ba điểm A’, B’,C’ thang hang thi Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt A*P! tại M.
CA’ BIC BƠ ` BM AB BM’ CA AB’ CA BC BIC BM AB CA BM AB’ _ AB! CA BC AB! BIC BM _ BIC AB CA BIC BM AB - AB CA' BC BƠ AB ŒA Giả sử A'P' cắt AB tại CƠ”. Khi đó, ba điểm A’, B’,C” thang hàng. AB! CA’ BC! | BIC ABCA Ta có: => Điều kiện đủ: Nếu = 1 thì ba điểm A’, B’,C’ thang hang. Theo điều kiện cần ta có: AB’ CA BC" BIC AB CIA | _ AB! CA! BC! Ma BiG AB CIA 1 (gia thiét).
uy in BO” _ BC! NYT CWA CA ; Suy ra C” = C hay ba diém A’, B’,C” thang hang. Cho tứ giác ABŒD nội tiếp đường tron, khi đó ta có đẳng thức AB. Tại đỉnh A dựng ra phía ngoài BAr = CAD, tia Ax cắt cạnh BC tai E. Suy ra EBA = ADC.
Do đó, ta có AABE đồng dạng với AADC (g. Suy ra, ta có EB AB AB.6: Ta c6 ADB = ACB (góc nội tiếp chấn cung AB) => AEAC ~ ABAD (g.g) suy ra EC AC BD.AC 9 Lại có EC = EB + BC, thay (1.4) vào ta được: BD.CD AD ~~ AD => BD. oO +BC Định nghĩa 1. Hai dudng thang di qua dinh ctia mot goc va tao vei đường phân giác của góc đó những góc bằng nhau được gọi là các đường đẳng giác đôi uới các cạnh của góc đó.
Hai diém duoc goi là liên hợp đẳng giác nếu chứng đẳng giác uới nhau trong (ngoài) hai góc bất kà của tam giác. Cho P, Q liên hợp đẳng giác trong tam giác ABƠ. Khi đó chân các đường uuông góc hạ xuống từ P,Q nằm trên cùng một đường tròn. Cho tứ giác ABƠD có cạnh AB tà cạnh ŒD cắt nhau tại M, cạnh AD va cạnh BƠ cắt nhau tại N, hành gồm té gide ABCD uà AB cắt CD, AD cắt BƠ được gọi là tứ giác toàn phần.
Nhiéu dudng thang song song cit hai cat tuyén (dudng thang) d,d' thi tao ra trén d,d! céc doan thang tuong tng tỉ lệ. Nếu đường thẳng d sơng song tới cạnh BƠ của tam giác ABC (không qua đỉnh A) cắt các đường thẳng AB, AC tại M,N thà AM AN MN AB AC BC’ Hình 1. Ba dudng thang a,b,c trong dé a Jf b, cắt hai dudng thang d,d', dinh ra trén d,d! nhitng doan thang tương ứng tỉ lệ thia |/ c. Các tiếp điểm của đường trờn chín điểm uới đường tròn nội tiếp uà bàng tiếp gọi là điểm Feuerbach.
Cho tứ giác lồi ABƠD nội tiếp đường tròn tâm O. AD giao BC tai M, AB giao CD tai N, AC giao BD tail. Khi đó O la trực tâm của tam giác MTN. Gọi H là giao điểm khác T của đường tròn ngoại tiếp các tam giác AID, BIƠ.
Do M nằm trên trục đẳng phương của (AID) va (BIC) nén M,I, H thang hang. Ta có ĐH = 360° — DHI — CHI = DAC + DBC = DOC. Từ dé suy ra DOHC là tứ giác nội tiếp. 11 Tương tự ta có tứ giác AOHB nội tiếp.
Dé thay NA- NB = NC -ND. Suy ra N nam trén truc dang phugng ciia hai dutng tron (ABHO), (DCHO), suy ra O, H, N thang hang. Ta co AHI — ADB = ACB = BHI. Suy ra H7 là đường phân giác của AHB.
Lai c6 OA = OB nên HO là phân giác ngoài của AHB. Suy ra TÀƒ L ON. Tương tự ta có IN L OM. Vậy Ó là trực tam tam giác MT N.2 Đường thẳng Simson Dinh lý 1.
Chân các đường vudng góc hạ từ một điểm bất kà nằm trên đường tròn đến các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn đó cùng nằm trên một đường thẳng, đường thẳng nàu gọi là đường thẳng Simson. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tron (O). Khong mat tinh tổng quát, gọi M thuộc cung BƠ của đường tròn (Ó), gọi D, E,ïW lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trén BC,CA, AB.9: Ta có MD L BƠ, ME 1 AC nén MDEC 1a ttt gidc ndi tiép 12 Suy ra EMC = EDC (1.5) Ta co MH | AB,MD 1 BC nén MHBD la ttt gidc ndi tiép Suy ra HMB = HDB (1.6) Do ABMC là tứ giác nội tiếp nên MBH =MCA Do đó ta có MBH + HMB = MCA+ EMC = 90° Suy ra EMC =HMB (1.7) tacé HDB = EDC. Suy ra HH,D,E thinghang.
Cho tam giác ABC, M là điểm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Goi D, E,H la hinh chiéu uuông góc của M lần lượt trên các canh BC,CA, AB va D,E,H thẳng hàng. Chứng mình M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Theo giả thiết, ta có MD L BƠ,ME | AC,MH 1 AB va D,E,H thắng hang.
Suy ra MDBH là tứ giác nội tiếp nên HMB = HDB (chắn cung HB), HDB =EDC (đối đỉnh), EDC = EMC (chấn cung EC) Do đó HMB = EMC. Tứ giác AE.MH là tứ giác nội tiếp nen A+ EMH = 180° Suy ra Â+ EMH = Ầ+ HMB + BME. Ta có A+ HMB + BME = A+ EMC + BME = A+ BMC = 180° Suy ra tứ giác ABMƠ là tứ giác nội tiếp Vậy M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABŒ. Nếu qua một điểm nằm trên một đường tròn người ta 0uẽ ba dây cưng bất kà uà trên mỗi dâu cưng lấu làm đường kính người ta uẽ mmột đường tròn thì các đường tròn đôi một cắt nhau tại ba điểm nằm trên một đường thẳng.
ST cối, I oe Hinh 1. Cho dudng tron (O), lay diém M bat ki nim trên đường tròn. Dung ba day cung bat ki MA, MB,MC. Dung 3 duéng tron dudng kinh MA,MB,MC, gọi A',B',C" lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BƠ, 14 AŒ, BA.
Chứng mình các đường tròn đường kinh MA, MB, MC doi mot c&t nhau tại ba điểm A’, B’,C’ thang hang. 'Theo định lí Simson ta có các điểm A', Ð!, C! cùng nằm trên một đường thẳng. Ta có, điểm 7” nằm trên đường tròn đường kính A4 (MŒ"A = 90°) và nằm trên đường tròn đường kính A4 (MŒ"B = 90°) Do đó, C7 là giao của hai đường tròn đường kính MA, MB. Chứng minh tương tự ta có A/ là giao của hai đường tron dudng kinh MB, MC và ' là giao của hai đường tròn đường kinh MA, MC.