Chương 1 Hình học Hyperbolic: Mô hình đĩa Poincaré Hệ tiền dé Euclid đã đưa ra các định nghĩa về các thuật ngữ cơ bản trong hình học và các quy tắc để sử dung chúng (được gọi là định dé). Và rat nhiễu quy tắc của Euclid đường như hoàn toàn không đối nghịch, chang hạn như khang định thông qua hai điểm phân biệt bất kỳ trong một mặt phẳng hoặc trong không gian sẽ xác đình duy nhất một đường thắng đi qua hai điểm đó và một đường có thể kéo dai vô hạn theo cả hai hướng. Trên những nên tang nay, Euclid đã đưa ra những chứng mình chặt chẽ vẻ các định lí trong hình học sơ cấp, diéu này có thể được chấp nhận là đúng vì cách chúng đã được thiết lap. Trong số các định dé cho hình học Euclid có mốt định dé về các đường thang song song tương đương với phát biểu sau day: Dinh đề song song: Cho một đường thang| va điểm P không nam trên đường thang |, khi đó có duy nhất đường thang m di qua P không cat đường thang | (hay song song uới đường thang 1).
Với quan điểm này, định dé song song của Euclid di khang định hai điều: thứ nhất, tồn tai đường thing m qua P song song với !; thứ 2, đường thing m là duy nhất hay nói cách khác là mọi đường thang khác m đi qua P đều phải cắt đường thang J. Tuy nhiên, bằng quan sát thực tế thì không hợp lí, các nhà khoa học đã cổ gắng xóa Định để song song ra khỏi danh sách các định dé của Euclid, coi nó như một định lí và cé gắng chứng minh nó bằng các tiên để còn lại. Tắt cả đều that bại, và cuối cùng thì lí do đã được giải thích: Dinh dé Song song không thể được biển thành một định lí theo cách này bởi vì có những mô hình hình học nhất quán bên trong tuân theo tat cả các định dé Euclid ngoại trừ Dinh dé Song song. Có thể nói, Dinh dé song song chính là sự độc đáo của hình hoc mà Euclid đã xây dựng.
Tuy nhiên, dựa vào đó, cũng có thể xây dựng Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie một loại hình học khác bằng cách thay thế Dinh dé song song của Euclid cụ thé là phủ định Dinh dé song song của Euclid. Chúng tôi xin giới thiệu một định dé thay thế như sau: Cho mét đường thẳng | va điểm P không nằm trên đường thăng t, khi đó cá it nhất hai đường thăng m, n di qua P không cất đường thang! (hay m, n song song vii đường thang Ì). Định đề thay thế trên đã phủ định tính duy nhất trong Dinh dé song song của Euclid. Hình học có các định dé của hình học Euclid cùng với đình đề thay thế trên được gọi là Hình học Hyperbolic.
Từ day, chúng tôi xin gọi định dé thay thế bên trên là :"Dinh đề song song Hyperbolic”. Trong chương nay, chúng tôi giới thiệu một mồ hình hình học Hyperbolic của nhà Toán học Pháp Herry Poincaré và trong mô hình này (đơn giản gọi là hình học Hypebolic) là không gian của các điểm nằm bén trong đĩa đơn vị D = {z: |zÌ < 1} va tất cả các biểu điễn hình học déu được thể hiện trên đĩa này. Qua đó, dita ra các định nghĩa vẻ đường thang Hyperbolic, góc Hyperbolic và một số kết quả.1 Hình học Hyperbolic Trước nhất chúng tôi đưa ra các khái niệm ban dau đó chính là điểm và đường thẳng trong hình học Hyperbolic. Các điểm trong hình học Hyperbolic là các điểm nằm trong dia đơn vi.
z là điểm trong hình học Hyperbolic khi: <( z€?D= { L}={ ,w): (ứz | :z? +9 1} z<| Đặt: C = {z: |z| = 1} = {(£. ¢ là một đường tròn (trong hình hoc Euclid) và các điểm nằm trên C không phải là các điểm thuộc hình học Hyperbolic. Dường thang d là một phan của đường tròn tổng quát (có thể là một đường tron hay mot đường thang trong hành học Euclid) nằm hoàn toàn trong D tà trực giao tới C được gọi d là đường thẳng d Hyperbolic. Nguyễn Hà Thanh 9 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Để thuận tiên, chúng tôi gọi đường thẳng trong hình học Euclid là đường thang Euclid, và đường thang trong hình học Hyperbolic là đường thang Hy- perbolic.
Các đường thang d cắt C tại hai điểm goi là điểm biên của đường thẳng # hay điểm giới hạn của ¿. Hiển nhiên hai điểm ấy khong thuộc hình hoc Hyperbolic vì nó khong thuộc D. e Nếu đường thăng d là đường thang Euclid thì nó chính là đường kính của đường tròn C. Thật vậy, nếu d không là đường kính của đường tròn C thì nó khỏng thé trực giao với Œ do lúc này tiếp tuyến của d cũng là chính đường thang d và tiếp tuyến của C tại điểm biên không vuông góc nhau (góc giữa tiếp tuyển và đây cung luôn bé hơn góc giữa tiếp tuyển và đường kính).
Như vay, đường thẳng đ phải là đường kính của C. ®« Nếu dường thang d là một cung của đường tròn (trong hình học Euclid) thi nó không thể di qua gốc O là tâm của đường tron C. Thật vay, giả sử d di qua tâm O. Mà d cắt C tại hai điểm là ?.Q nên tiếp tuyển tại 7.
Q cung tròn di qua tâm O, gọi đường tròn (O’,r)} là đường tròn chứa cung đ. Khi đó, PO? = OO” —r* do O € d nên ỞO! = r suy ra PO = 0 nên P =O điều này mâu thuẫn với việc O là tam của đường tròn C. Xét đường d như sau: d= {(£.w): zÊ +y? —4y =0}n?D GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 10 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Khi đó, z? + y? — 4ự = 0 © 2? + (y — 2)? = 4 là đường tròn tâm A(0;1) bán kính r = 2 và thấy rằng gốc O nằm trên (A,r), theo nhận xét d không là đường thing Hyperbolic.
Đến đây, nêu đường thang Hyperbolic ở là một cung tròn thi ta có thể viết đồng nhất phương trình của đường tròn chứa cung tròn ấy với đường thẳng Hyperbolic d và việc chỉ ra phương trình đường tròn chứa cung tròn chính là chỉ ra đường thẳng Hyperbolic d. Như vậy, phương trình đường tròn có dang như thế nào thì cung tròn trên đĩa D là một đường thang Hyperbolic đ Mệnh đề 1. Nếu d là đường thẳng Hyperbolic thì phương trình của 4 là một trong các dang sau day: 1. Có dạng Ax + By = 0 rới A2 + B? #0 2.
Có dang d= {{x:y): +? + yỀ + aœ + bụ + 1 = 0} 1 tới a2 + bỀ > 4 Chứng mình: e Nếu dla đường thang Euclid thì d đi qua Ó(0;0) do đó đ có dang Az+ By = 0 với A? + B? # 0. e Nếu đ là một cung tròn Euclid thì đ có dang: đ: 2z? +? + a2 + bự + c = 0 a 3 2 b\? đua nụ Gọi: (Ch) : z? +? + az + bụ c= 0 © (« + 3) + ( + 3) =; (a? + b°) —c Trước hết (Cy) phải là một đường tròn do đó : ((a? + 67) — e > 0(1). Nghĩa là OA? = 147? © nh +) = 1+ Gs + )—c œc= I (ste t?)—=1>0=a?+ˆ >4 Ví dụ 2. Xét đường d như sau: d = z + y* + 3x — 2u + 1.
Khi đó, a = 3,b = —2 > a? +P = 32 + (—2)2 = 13 > 4, theo mệnh dé trên, d là đường thẳng Hypebolie. Cho 44(a;b) là một điểm nằm bên ngoài đường trong đơn tệ C. đường thẳng Hyperbolic d là một phần của đường tròn Euclid tâm A cá phương trình là : d= 2? + wˆ — 2aœ — 2b + 1 =0 GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh ll SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Như vậy, chúng ta đã đưa ra khái niệm về điểm Hyperbolic và đường thang Hyperbolic, vẫn dé chúng ta cần quan tâm chính là khái niệm song song trong hình học Hyperbolic.
Hai đường thang Hyperbolic không giao nhau trên đĩa D được gọi la song song nếu đường tròn tổng quát của chúng cất nhau tại một diém va điểm ay nam trên đường tròn đơn vi C. Và được gọi là siêu song song nếu đường tròn tổng quát của chúng không giao nhau trên đường tròn dan vi C. Cho đường thing Hyperbolic d va điểm P bat kì trên dia D không nằm trên d. Khi đó ton tai đúng hai đường thang Hyperbolic | val’ di qua P song song ớt d, “A (C) GVHD; TS.
Nguyễn Hà Thanh 12 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie 9. Cho đường thang Hyperbolic d va điểm P bất kì trên đĩa D không nằm trên d. Khi đó tồn tại tô số đường thăng Hyperbolic | di qua P siêu song song ớt d. Trong hình hoc Euclid và hình học nghịch đảo, phép đỗi xứng và phép nghịch đảo đóng góp vai trò quan trọng và trong hình hoc Hyperbolic cũng như the.
Rõ ràng, phép đối xứng của đĩa đơn vị D qua một đường kính của D là ánh xa từ D vào chính nó, và phép nghịch dao của dia đơn vị D trên một đường thẳng Hyperbolic ở không đi qua gốc O cũng như thế. Cho đường thang Hyperbolic d là một phần của đường tròn Euclid ¿. Khe đó, pháp nghịch dao trong ¢ là ánh rạ từ Œ vao C va từ uào D. Chứng minh: (C) GVHD; TS.
Nguyễn Hà Thanh 13 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Goi A, B là giao điểm của C và ø : Qua phép nghịch đảo trong y, A và B được biến thành chính nó. Do phép nghịch đảo có tính bảo giác nên ảnh của đường tròn C là một đường tròn cắt với y và vuông géc với ¿ tại A và B. Và chỉ có một đường tròn thỏa điều trên, đó chính là €, do đó ảnh của C là chính nó qua phép nghịch đảo trong ¿. Mac khác, ảnh của các điểm nằm trong Ø qua phép nghịch trong ¿ nằm trong hay bên ngoài ảnh của đường tròn C qua phép nghịch đảo trong ¿ cũng chính là đường tròn D.
Nhưng ảnh của các điểm nam trên đường thang Hyperbolic d là chính nó qua phép nghịch dao trong y. Vậy, ảnh của D là chính nó qua phép nghịch đảo trong ý. Như vay, chúng ta thấy rằng ảnh của đường thang Hyperbolic đ trên dia đơn vị D qua phép nghịch đảo cũng là chính nó.Và việc quan sắt các nét đặt trưng của một phép nghịch đảo chính là quan sát các thành phan bat biến qua phép nghịch đảo ấy. Tương tự với các tính chất đúng trong hình học Euclid, chúng tôi đưa ra định nghĩa sau: Định nghĩa 1.