Khóa Luận Tốt Nghiệp Về Hình Học Hyperbolic

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu tốt nghiệp toán tin hình học hyperbolic, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải pháp cụ thể cho vấn đề toán học.

• Tác giả: Võ Trọng Nghĩa
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Hà Thanh
• Trường học: Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Hình học
• Đề tài: Hình Học Hyperbolic
• Loại tài liệu: khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: HÌNH HỌC HYPERBOLIC: MÔ HÌNH ĐĨA POINCARÉ
• 1.1. Hình học Hyperbolic
• 1.2. Sự tồn tại của đường thẳng
• PHỤ LỤC
• Phụ lục 1: Diện tích
• Phụ lục 2: Hình học Hyperbolic: Mô hình bán phẳng
• Phụ lục 3: Một số bài tập
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Khóa Luận Tốt Nghiệp Hình Học Hyperbolic

Khóa luận tốt nghiệp về hình học hyperbolic tại Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh là một nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực hình học phi Euclid. Đề tài này không chỉ giúp sinh viên nắm vững kiến thức lý thuyết mà còn phát triển kỹ năng nghiên cứu thực tiễn. Hình học hyperbolic, với những đặc điểm độc đáo, mở ra nhiều hướng đi mới trong nghiên cứu toán học.

1.1. Ý nghĩa của hình học hyperbolic trong toán học

Hình học hyperbolic là một phần quan trọng trong hình học phi Euclid, giúp mở rộng hiểu biết về không gian và hình dạng. Nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1.2. Mục tiêu của khóa luận tốt nghiệp

Mục tiêu chính của khóa luận là tìm hiểu và trình bày các khái niệm cơ bản của hình học hyperbolic, từ mô hình đĩa Poincaré đến các phép biến đổi và khoảng cách trong không gian này.

II. Thách thức trong nghiên cứu hình học hyperbolic

Nghiên cứu hình học hyperbolic gặp nhiều thách thức, đặc biệt là trong việc hiểu và áp dụng các định lý phi Euclid. Các khái niệm như đường thẳng và song song trong không gian hyperbolic khác biệt hoàn toàn so với hình học Euclid truyền thống.

2.1. Khó khăn trong việc hình dung không gian hyperbolic

Việc hình dung không gian hyperbolic là một thách thức lớn. Các sinh viên thường gặp khó khăn trong việc hình dung các đường thẳng và góc trong không gian này, điều này đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao.

2.2. Vấn đề trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn

Mặc dù lý thuyết về hình học hyperbolic đã được phát triển, nhưng việc áp dụng vào thực tiễn vẫn còn nhiều hạn chế. Cần có thêm nghiên cứu để tìm ra các ứng dụng thực tiễn hiệu quả hơn.

III. Phương pháp nghiên cứu hình học hyperbolic hiệu quả

Khóa luận sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau để phân tích và tổng hợp các kiến thức về hình học hyperbolic. Phương pháp lý thuyết và thực nghiệm được kết hợp để đạt được kết quả tốt nhất.

3.1. Phương pháp lý thuyết trong nghiên cứu

Phương pháp lý thuyết bao gồm việc phân tích các tài liệu và định lý liên quan đến hình học hyperbolic. Điều này giúp sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản và phát triển tư duy phản biện.

3.2. Phương pháp thực nghiệm và ứng dụng

Phương pháp thực nghiệm cho phép sinh viên áp dụng lý thuyết vào thực tiễn. Việc thực hành trên mô hình đĩa Poincaré giúp sinh viên hiểu rõ hơn về các khái niệm trong hình học hyperbolic.

IV. Ứng dụng thực tiễn của hình học hyperbolic

Nghiên cứu về hình học hyperbolic không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các ứng dụng này có thể được tìm thấy trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kiến trúc và khoa học máy tính.

4.1. Ứng dụng trong vật lý và thiên văn học

Hình học hyperbolic có thể được áp dụng trong các mô hình vật lý, đặc biệt là trong lý thuyết tương đối và thiên văn học, nơi không gian không phẳng là một yếu tố quan trọng.

4.2. Ứng dụng trong kiến trúc và thiết kế

Trong kiến trúc, hình học hyperbolic giúp tạo ra các thiết kế độc đáo và sáng tạo, mở ra những khả năng mới cho các công trình kiến trúc hiện đại.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu hình học hyperbolic

Khóa luận tốt nghiệp về hình học hyperbolic không chỉ là một bước tiến trong nghiên cứu mà còn mở ra nhiều cơ hội cho các nghiên cứu tiếp theo. Tương lai của hình học hyperbolic hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá mới.

5.1. Tóm tắt kết quả nghiên cứu

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng hình học hyperbolic có nhiều ứng dụng và tiềm năng phát triển trong tương lai. Các khái niệm cơ bản đã được làm rõ và ứng dụng thực tiễn đã được chứng minh.

5.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo

Hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các ứng dụng mới của hình học hyperbolic trong công nghệ và khoa học, cũng như mở rộng các khái niệm lý thuyết.

Nội dung chính

Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Hình học Hyperbolic là một nhánh của hình học phi Euclid, ra đời từ cuộc tranh luận kéo dài nhiều thế kỷ xung quanh tiên đề thứ năm của Euclid — thường được phát biểu tương đương là: "Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho." Jean le Rond d'Alembert từng gọi đây là "điểm đen duy nhất" trong hệ thống hình học Euclid. Nhiều thế hệ nhà toán học đã cố gắng chứng minh tiên đề này từ các tiên đề còn lại nhưng đều thất bại; hướng tiếp cận phủ định tiên đề thứ năm thay vì dẫn tới mâu thuẫn, lại mở ra một thế giới hình học nhất quán hoàn toàn mới — hình học phi Euclid, bao gồm hình học Elliptic (Bernhard Riemann) và hình học Hyperbolic (Nikolay Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss).

Sinh viên Võ Trọng Nghĩa, chuyên ngành Hình học, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, chọn đề tài "Hình học Hyperbolic" cho khóa luận tốt nghiệp năm 2022 xuất phát từ nhận thức về tính mới mẻ và sâu sắc của quan điểm hình học phi Euclid. Khóa luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hà Thanh.

Mục tiêu nghiên cứu:

1. Tìm hiểu ý tưởng nền tảng của hình học phi Euclid, cụ thể là hình học Hyperbolic.
2. Trình bày các nội dung cơ bản của hình học Hyperbolic trên mô hình đĩa Poincaré: đường thẳng, phép biến đổi, khoảng cách, diện tích.
3. Giới thiệu một số kết quả của hình học Hyperbolic trong mô hình bán phẳng.

Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào các vấn đề cơ bản của hình học Hyperbolic với mô hình đĩa Poincaré là trọng tâm chính; mô hình bán phẳng được trình bày bổ sung ở phần phụ lục. Không gian nghiên cứu là hình học thuần lý thuyết, không giới hạn thời gian theo nghĩa dữ liệu thực nghiệm.

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết và khái niệm nền tảng:

Khóa luận xây dựng trên nền tảng hệ tiên đề Euclid, từ đó xuất phát bằng cách thay thế Định đề Song song của Euclid bằng "Định đề Song song Hyperbolic": Cho một đường thẳng l và điểm P không nằm trên l, khi đó có ít nhất hai đường thẳng m, n đi qua P không cắt l. Các khung lý thuyết chính được sử dụng bao gồm:

• Mô hình đĩa Poincaré (Henri Poincaré): không gian các điểm nằm bên trong đĩa đơn vị D = {z : |z| < 1} trên mặt phẳng phức.
• Phép nghịch đảo và phép đối xứng trong hình học Euclid và hình học nghịch đảo.
• Phép biến đổi Möbius: mọi phép biến đổi Hyperbolic đều biểu diễn được dưới dạng phép biến đổi Möbius M(z) = (αz + β)/(βz + α) trên đĩa D, với |β| < |α|.
• Hàm tanh⁻¹: cơ sở xây dựng công thức khoảng cách Hyperbolic.
• Lý thuyết nhóm đại số: tập hợp các phép biến đổi Hyperbolic tạo thành nhóm Hyperbolic, ký hiệu G_D.

Phương pháp nghiên cứu:

Khóa luận sử dụng thuần túy phương pháp nghiên cứu lý thuyết, cụ thể là phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết: nghiên cứu tài liệu, phân tích từng bộ phận để hiểu sâu từng khía cạnh của hình học Hyperbolic, sau đó liên kết lại thành một hệ thống lý thuyết nhất quán từ đầu đến cuối. Không có khảo sát, thực nghiệm hay phân tích dữ liệu số trong đề tài này.

Nguồn dữ liệu: Tài liệu tham khảo học thuật chuyên ngành (liệt kê trong mục Tài liệu tham khảo, trang 94 của khóa luận).

---

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Hình học Hyperbolic — Mô hình đĩa Poincaré

Chương này thiết lập nền móng khái niệm của toàn bộ khóa luận. Tác giả giới thiệu mô hình đĩa Poincaré với không gian là đĩa đơn vị D, trong đó:

• Điểm Hyperbolic là các điểm z thỏa |z| < 1; các điểm trên đường tròn đơn vị C = {z : |z| = 1} không thuộc hình học Hyperbolic.
• Đường thẳng Hyperbolic là phần của một "đường tròn tổng quát" (đường tròn hoặc đường thẳng Euclid) nằm hoàn toàn trong D và trực giao với C. Tác giả chứng minh rằng nếu đường thẳng d là đường thẳng Euclid thì nó phải là đường kính của C; nếu là cung tròn thì không thể đi qua tâm O. Mệnh đề 1 khẳng định phương trình của đường thẳng Hyperbolic có dạng Ax + By = 0 (A² + B² ≠ 0) hoặc x² + y² + ax + by + 1 = 0 với a² + b² > 4.
• Định đề Song song Hyperbolic được minh họa cụ thể: cho đường thẳng Hyperbolic d và điểm P trong D không nằm trên d, tồn tại đúng hai đường thẳng Hyperbolic qua P song song với d (cắt C tại cùng điểm giới hạn), và vô số đường thẳng siêu song song.
• Phản xạ Hyperbolic được định nghĩa là giới hạn của phép nghịch đảo trong đường tròn chứa đường thẳng Hyperbolic đối với D; tích hữu hạn các phản xạ Hyperbolic tạo thành nhóm Hyperbolic G_D.
• Góc Hyperbolic giữa hai đường cong tại điểm P trong D được định nghĩa là góc Euclid giữa các tiếp tuyến tại P của hai đường cong đó. Phép biến đổi Hyperbolic có tính bảo giác.
• Các định lý quan trọng được chứng minh: qua hai điểm phân biệt trong D tồn tại duy nhất một đường thẳng Hyperbolic; qua mỗi điểm trong D có vô số đường thẳng Hyperbolic.

Chương 2: Các phép biến đổi Hyperbolic

Chương này khai thác cấu trúc đại số của nhóm Hyperbolic (G_D, ∘) thông qua biểu diễn bằng số phức và phép biến đổi Möbius.

• Bổ đề 2 thiết lập công thức tường minh của phản xạ Hyperbolic p qua đường thẳng Hyperbolic có đường tròn tâm α: p(z) = (αz̄ − 1)/(z̄ − α).
• Định lý 2 cho công thức tích của hai phản xạ Hyperbolic p(z) = (αz̄ − 1)/(z̄ − α) và q(z) = (βz̄ − 1)/(z̄ − β): kết quả là phép biến đổi Hyperbolic φ(z) = [(αβ − 1)z + α − β] / [(ᾱ − β̄)z + ᾱβ̄ − 1].
• Mệnh đề 2 chứng minh rằng mọi phép biến đổi Hyperbolic đều biểu diễn được dưới dạng phép biến đổi Möbius M(z) = (αz + β)/(β̄z + ᾱ) và ngược lại, mọi phép biến đổi Möbius trên D đều là phép biến đổi Hyperbolic. Hai tập hợp này đồng nhất với nhau.
• Dựa trên tính chất định hướng, tác giả phân loại phép biến đổi Hyperbolic thành trực tiếp (bảo toàn định hướng, tích của số chẵn phản xạ) và gián tiếp (đảo định hướng, tích của số lẻ phản xạ).
• Dạng chính tắc của phép biến đổi trực tiếp: p(z) = K(z − a)/(1 − āz), |K| = 1, |a| < 1. Nghịch đảo của p là p⁻¹(z) = K̄(z + Ka)/(1 + K̄āz). Chương cũng định nghĩa phép quay Hyperbolic (khi hai đường thẳng Hyperbolic d₁ và d₂ cắt nhau tại A ∈ D, có điểm bất biến A), phép quay giới hạn Hyperbolic (khi d₁ và d₂ song song, không có điểm bất biến trong D) và phép tịnh tiến Hyperbolic (khi d₁ và d₂ siêu song song, không có điểm bất biến trên D lẫn C). Lưu ý rằng tích hai phép tịnh tiến Hyperbolic không có tính giao hoán, khác với hình học Euclid.

Chương 3: Khoảng cách trong hình học Hyperbolic

Chương này xây dựng và phân tích hàm khoảng cách Hyperbolic.

• Định nghĩa 3.1 xác định khoảng cách Hyperbolic d : D × D → ℝ thỏa sáu tính chất, bao gồm tính bất biến qua phép biến đổi Hyperbolic (đẳng cự) — tính chất phân biệt so với khoảng cách Euclid.
• Công thức khoảng cách được rút ra: d(z₁, z₂) = tanh⁻¹(|z₂ − z₁| / |1 − z̄₁z₂|), trong đó tanh⁻¹(z) = ½ ln((1 + z)/(1 − z)). Đặc biệt, d(0, z) = tanh⁻¹(|z|).
• Hai tính chất nổi bật được chỉ ra: khi |z| → 0 thì d(0, z) → |z| (vùng đủ nhỏ quanh O, khoảng cách Hyperbolic xấp xỉ khoảng cách Euclid, tương tự bề mặt Trái Đất nhìn như phẳng ở quy mô nhỏ); khi |z| → 1 thì d(0, z) → ∞ (các điểm trên biên "vô cùng xa" so với tâm, nhất quán với ý tưởng hai đường thẳng song song gặp nhau ở vô cùng).
• Trung điểm Hyperbolic được định nghĩa và trình bày phương pháp xác định cho các điểm nằm trên đường kính của D.
• Đường tròn Hyperbolic {a ∈ D : d(c, a) = r} được chứng minh trùng với đường tròn Euclid trong D (và ngược lại), tuy nhiên tâm Hyperbolic và tâm Euclid có thể không trùng nhau nhưng cùng thẳng hàng với O.
• Điểm đối xứng Hyperbolic được định nghĩa tương tự hình học Euclid; trục đối xứng d là đường trung trực Hyperbolic của đoạn thẳng aa'. Công thức xác định trục đối xứng khi cho trước cặp điểm p, q ∈ D được dẫn ra: a = (p − q)/(pp̄ − qq̄).

Chương 4: Các khái niệm hình học cơ bản

Chương này phát triển hình học tổ hợp và hình học hình thức trong môi trường Hyperbolic.

• Tam giác, tứ giác và đa giác Hyperbolic được định nghĩa tương tự hình học Euclid nhưng trong đĩa D với các cạnh là đoạn thẳng Hyperbolic.
• Các tính chất quan trọng được chứng minh: hai cạnh bất kỳ của tam giác Hyperbolic chỉ cắt nhau tại đỉnh; tổng ba góc của tam giác Hyperbolic nhỏ hơn π; tổng bốn góc tứ giác Hyperbolic nhỏ hơn 2π; góc ngoài lớn hơn tổng hai góc trong không kề với nó. Điều này trái ngược hoàn toàn với hình học Euclid.
• Định lý đồng dạng ⟹ bằng nhau: hai tam giác Hyperbolic đồng dạng (có các cặp góc tương ứng bằng nhau) thì bằng nhau — một kết quả không có trong hình học Euclid.
• Tam giác tiệm cận được phân loại: tam giác tiệm cận đơn (một đỉnh trên C), tam giác tiệm cận kép (hai đỉnh trên C) và tam giác ba tiệm cận (ba đỉnh trên C, tổng ba góc bằng 0).
• Đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng Hyperbolic tồn tại khi và chỉ khi chúng siêu song song, và nếu có thì là duy nhất — khác với hình học Euclid (vô số đoạn vuông góc chung giữa hai đường song song).

---

Kết quả và đóng góp

Kết quả chính:

Tính chất	Hình học Euclid	Hình học Hyperbolic
Số đường thẳng song song qua điểm ngoài	Đúng 1	Đúng 2 (song song) + vô số (siêu song song)
Tổng ba góc tam giác	= π	< π
Tam giác đồng dạng mà không bằng nhau	Có	Không — đồng dạng tức là bằng nhau
Tổng ba góc tam giác ba tiệm cận	—	= 0
Khoảng cách đến biên đĩa	Hữu hạn	Vô cùng (d → ∞ khi
Tích hai phép tịnh tiến có giao hoán	Có	Không

Kết quả công thức được thiết lập trong văn bản:

• Công thức phản xạ Hyperbolic: p(z) = (αz̄ − 1)/(z̄ − α)
• Dạng chính tắc phép biến đổi trực tiếp: p(z) = K(z − a)/(1 − āz), |K| = 1, |a| < 1
• Công thức khoảng cách Hyperbolic: d(z₁, z₂) = tanh⁻¹(|z₂ − z₁|/|1 − z̄₁z₂|)
• Công thức trục đối xứng Hyperbolic: a = (p − q)/(pp̄ − qq̄)

Đóng góp so với nghiên cứu trước: Tác giả không tự nhận đóng góp nguyên gốc; đây là khóa luận tổng hợp lý thuyết nhằm hệ thống hóa và trình bày một cách mạch lạc, thống nhất từ đầu đến cuối các nội dung cơ bản của hình học Hyperbolic mô hình đĩa Poincaré bằng tiếng Việt, phù hợp với trình độ sinh viên đại học chuyên ngành toán.

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Tác giả thừa nhận trong lời mở đầu rằng luận văn "không thể tránh khỏi những thiếu sót" và mong nhận góp ý. Dựa trên phạm vi được xác định trong văn bản:

• Đề tài giới hạn ở mô hình đĩa Poincaré; mô hình bán phẳng chỉ được trình bày sơ lược ở phụ lục, chưa được phát triển song hành.
• Diện tích Hyperbolic được đưa vào phụ lục (Phụ lục 1, trang 65) nhưng không được tích hợp sâu vào nội dung chính.
• Hướng mở theo phạm vi nghiên cứu: mở rộng sang hình học Hyperbolic chiều cao hơn (không gian Hyperbolic 3 chiều), khảo sát liên hệ giữa mô hình đĩa Poincaré và mô hình hyperboloid (mô hình Minkowski), hoặc ứng dụng hình học Hyperbolic trong lý thuyết tương đối hẹp và khoa học máy tính (không gian nhúng Hyperbolic trong học máy).

---

Giá trị tham khảo

Khóa luận phù hợp làm tài liệu đọc thêm cho:

• Sinh viên ngành Toán, Toán ứng dụng ở bậc đại học muốn tìm hiểu hình học phi Euclid lần đầu, đặc biệt phần trình bày hệ thống từ tiên đề đến các định lý trong Chương 1 và Chương 4.
• Sinh viên làm khóa luận về hình học Hyperbolic hoặc hình học vi phân có thể tham khảo cách xây dựng công thức khoảng cách và phép biến đổi Möbius trong Chương 2 và Chương 3.
• Giảng viên toán phổ thông và đại học quan tâm đến hướng trình bày tiên đề, đặc biệt là cách tác giả dẫn dắt từ lịch sử tiên đề Euclid sang hình học phi Euclid.
• Phụ lục 3 (bài tập, trang 82) có giá trị tham khảo cho người tự học muốn luyện tập tính toán trong hình học Hyperbolic.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Khóa luận định nghĩa đường thẳng Hyperbolic như thế nào và điều kiện để một cung tròn là đường thẳng Hyperbolic?

Đường thẳng Hyperbolic là phần của một đường tròn tổng quát (đường tròn hoặc đường thẳng Euclid) nằm hoàn toàn trong D và trực giao với C. Theo Mệnh đề 1, điều kiện là phương trình có dạng x² + y² + ax + by + 1 = 0 với a² + b² > 4, hoặc dạng Ax + By = 0 (đường kính). Ví dụ trong văn bản: d: x² + y² + 3x − 2y + 1 = 0, kiểm tra a = 3, b = −2, a² + b² = 13 > 4 nên d là đường thẳng Hyperbolic.

2. Tại sao hai tam giác Hyperbolic đồng dạng thì nhất thiết phải bằng nhau, và điều này khác hình học Euclid như thế nào?

Trong hình học Euclid, hai tam giác đồng dạng có thể có kích thước khác nhau (tỉ lệ khác 1). Trong hình học Hyperbolic, vì không tồn tại phép co dãn đồng dạng giữ nguyên góc, nếu hai tam giác có ba cặp góc tương ứng bằng nhau thì tồn tại phép biến đổi Hyperbolic biến tam giác này thành tam giác kia, nghĩa là chúng bằng nhau. Điều này được chứng minh bằng phản chứng qua việc xét các trường hợp vị trí tương đối của hai tam giác sau khi biến đổi về cùng tâm O.

3. Công thức khoảng cách Hyperbolic d(z₁, z₂) = tanh⁻¹(|z₂ − z₁|/|1 − z̄₁z₂|) được xây dựng từ đâu?

Tác giả xuất phát từ sáu tính chất của hàm khoảng cách Hyperbolic (bao gồm tính bất biến qua phép biến đổi Hyperbolic), sau đó dùng phép biến đổi trực tiếp M(z) = (z − z₁)/(1 − z̄₁z) để đưa z₁ về gốc O. Khi đó d(z₁, z₂) = d(0, w) với w = (z₂ − z₁)/(1 − z̄₁z₂). Hàm tanh⁻¹ được xác định là hàm duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện trên, dẫn đến định lý d(0, z) = tanh⁻¹(|z|).

4. Sự khác biệt giữa "song song" và "siêu song song" trong hình học Hyperbolic là gì?

Hai đường thẳng Hyperbolic không giao nhau trong D được gọi là song song nếu đường tròn tổng quát chứa chúng cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn đơn vị C (điểm giới hạn chung). Chúng được gọi là siêu song song nếu đường tròn tổng quát của chúng không giao nhau kể cả trên C. Hệ quả: hai đường thẳng siêu song song mới có đoạn thẳng vuông góc chung (và là duy nhất), còn hai đường thẳng song song thì không.

5. Tam giác ba tiệm cận có tổng ba góc bằng bao nhiêu và điều đó có ý nghĩa gì?

Tổng ba góc của tam giác ba tiệm cận (cả ba đỉnh nằm trên C) bằng 0. Đây là giới hạn của kết quả "tổng ba góc tam giác Hyperbolic nhỏ hơn π": khi các đỉnh tiến dần ra biên C (khoảng cách Hyperbolic đến vô cùng), mỗi góc nội tiếp tiến về 0. Điều này không mâu thuẫn với hình học vì các đỉnh không thuộc D và tam giác tiệm cận về cơ bản khác với tam giác Hyperbolic thông thường.

---

Kết luận

Khóa luận trình bày hệ thống và nhất quán nền tảng lý thuyết của hình học Hyperbolic trong mô hình đĩa Poincaré, bao gồm bốn nội dung chính: định nghĩa và cấu trúc hình học cơ bản, phép biến đổi Hyperbolic và mối liên hệ với phép biến đổi Möbius, khoảng cách Hyperbolic và các hệ quả hình học, cùng các khái niệm hình học hình thức như tam giác, đồng dạng và đối xứng. Kết quả nổi bật là chứng minh rằng mọi phép biến đổi Hyperbolic đồng nhất với phép biến đổi Möbius trên D, thiết lập công thức khoảng cách bằng hàm tanh⁻¹, và chứng minh định lý đặc trưng của hình học Hyperbolic: hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau. Đây là tài liệu nghiên cứu lý thuyết bằng tiếng Việt, phù hợp làm nền tảng cho các nghiên cứu chuyên sâu hơn về hình học phi Euclid.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Hình học Hyperbolic: Mô hình đĩa Poincaré Hệ tiền dé Euclid đã đưa ra các định nghĩa về các thuật ngữ cơ bản trong hình học và các quy tắc để sử dung chúng (được gọi là định dé). Và rat nhiễu quy tắc của Euclid đường như hoàn toàn không đối nghịch, chang hạn như khang định thông qua hai điểm phân biệt bất kỳ trong một mặt phẳng hoặc trong không gian sẽ xác đình duy nhất một đường thắng đi qua hai điểm đó và một đường có thể kéo dai vô hạn theo cả hai hướng. Trên những nên tang nay, Euclid đã đưa ra những chứng mình chặt chẽ vẻ các định lí trong hình học sơ cấp, diéu này có thể được chấp nhận là đúng vì cách chúng đã được thiết lap. Trong số các định dé cho hình học Euclid có mốt định dé về các đường thang song song tương đương với phát biểu sau day: Dinh đề song song: Cho một đường thang| va điểm P không nam trên đường thang |, khi đó có duy nhất đường thang m di qua P không cat đường thang | (hay song song uới đường thang 1).

Với quan điểm này, định dé song song của Euclid di khang định hai điều: thứ nhất, tồn tai đường thing m qua P song song với !; thứ 2, đường thing m là duy nhất hay nói cách khác là mọi đường thang khác m đi qua P đều phải cắt đường thang J. Tuy nhiên, bằng quan sát thực tế thì không hợp lí, các nhà khoa học đã cổ gắng xóa Định để song song ra khỏi danh sách các định dé của Euclid, coi nó như một định lí và cé gắng chứng minh nó bằng các tiên để còn lại. Tắt cả đều that bại, và cuối cùng thì lí do đã được giải thích: Dinh dé Song song không thể được biển thành một định lí theo cách này bởi vì có những mô hình hình học nhất quán bên trong tuân theo tat cả các định dé Euclid ngoại trừ Dinh dé Song song. Có thể nói, Dinh dé song song chính là sự độc đáo của hình hoc mà Euclid đã xây dựng.

Tuy nhiên, dựa vào đó, cũng có thể xây dựng Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie một loại hình học khác bằng cách thay thế Dinh dé song song của Euclid cụ thé là phủ định Dinh dé song song của Euclid. Chúng tôi xin giới thiệu một định dé thay thế như sau: Cho mét đường thẳng | va điểm P không nằm trên đường thăng t, khi đó cá it nhất hai đường thăng m, n di qua P không cất đường thang! (hay m, n song song vii đường thang Ì). Định đề thay thế trên đã phủ định tính duy nhất trong Dinh dé song song của Euclid. Hình học có các định dé của hình học Euclid cùng với đình đề thay thế trên được gọi là Hình học Hyperbolic.

Từ day, chúng tôi xin gọi định dé thay thế bên trên là :"Dinh đề song song Hyperbolic”. Trong chương nay, chúng tôi giới thiệu một mồ hình hình học Hyperbolic của nhà Toán học Pháp Herry Poincaré và trong mô hình này (đơn giản gọi là hình học Hypebolic) là không gian của các điểm nằm bén trong đĩa đơn vị D = {z: |zÌ < 1} va tất cả các biểu điễn hình học déu được thể hiện trên đĩa này. Qua đó, dita ra các định nghĩa vẻ đường thang Hyperbolic, góc Hyperbolic và một số kết quả.1 Hình học Hyperbolic Trước nhất chúng tôi đưa ra các khái niệm ban dau đó chính là điểm và đường thẳng trong hình học Hyperbolic. Các điểm trong hình học Hyperbolic là các điểm nằm trong dia đơn vi.

z là điểm trong hình học Hyperbolic khi: <( z€?D= { L}={ ,w): (ứz | :z? +9 1} z<| Đặt: C = {z: |z| = 1} = {(£. ¢ là một đường tròn (trong hình hoc Euclid) và các điểm nằm trên C không phải là các điểm thuộc hình học Hyperbolic. Dường thang d là một phan của đường tròn tổng quát (có thể là một đường tron hay mot đường thang trong hành học Euclid) nằm hoàn toàn trong D tà trực giao tới C được gọi d là đường thẳng d Hyperbolic. Nguyễn Hà Thanh 9 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Để thuận tiên, chúng tôi gọi đường thẳng trong hình học Euclid là đường thang Euclid, và đường thang trong hình học Hyperbolic là đường thang Hy- perbolic.

Các đường thang d cắt C tại hai điểm goi là điểm biên của đường thẳng # hay điểm giới hạn của ¿. Hiển nhiên hai điểm ấy khong thuộc hình hoc Hyperbolic vì nó khong thuộc D. e Nếu đường thăng d là đường thang Euclid thì nó chính là đường kính của đường tròn C. Thật vậy, nếu d không là đường kính của đường tròn C thì nó khỏng thé trực giao với Œ do lúc này tiếp tuyến của d cũng là chính đường thang d và tiếp tuyến của C tại điểm biên không vuông góc nhau (góc giữa tiếp tuyển và đây cung luôn bé hơn góc giữa tiếp tuyển và đường kính).

Như vay, đường thẳng đ phải là đường kính của C. ®« Nếu dường thang d là một cung của đường tròn (trong hình học Euclid) thi nó không thể di qua gốc O là tâm của đường tron C. Thật vay, giả sử d di qua tâm O. Mà d cắt C tại hai điểm là ?.Q nên tiếp tuyển tại 7.

Q cung tròn di qua tâm O, gọi đường tròn (O’,r)} là đường tròn chứa cung đ. Khi đó, PO? = OO” —r* do O € d nên ỞO! = r suy ra PO = 0 nên P =O điều này mâu thuẫn với việc O là tam của đường tròn C. Xét đường d như sau: d= {(£.w): zÊ +y? —4y =0}n?D GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh 10 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Khi đó, z? + y? — 4ự = 0 © 2? + (y — 2)? = 4 là đường tròn tâm A(0;1) bán kính r = 2 và thấy rằng gốc O nằm trên (A,r), theo nhận xét d không là đường thing Hyperbolic.

Đến đây, nêu đường thang Hyperbolic ở là một cung tròn thi ta có thể viết đồng nhất phương trình của đường tròn chứa cung tròn ấy với đường thẳng Hyperbolic d và việc chỉ ra phương trình đường tròn chứa cung tròn chính là chỉ ra đường thẳng Hyperbolic d. Như vậy, phương trình đường tròn có dang như thế nào thì cung tròn trên đĩa D là một đường thang Hyperbolic đ Mệnh đề 1. Nếu d là đường thẳng Hyperbolic thì phương trình của 4 là một trong các dang sau day: 1. Có dạng Ax + By = 0 rới A2 + B? #0 2.

Có dang d= {{x:y): +? + yỀ + aœ + bụ + 1 = 0} 1 tới a2 + bỀ > 4 Chứng mình: e Nếu dla đường thang Euclid thì d đi qua Ó(0;0) do đó đ có dang Az+ By = 0 với A? + B? # 0. e Nếu đ là một cung tròn Euclid thì đ có dang: đ: 2z? +? + a2 + bự + c = 0 a 3 2 b\? đua nụ Gọi: (Ch) : z? +? + az + bụ c= 0 © (« + 3) + ( + 3) =; (a? + b°) —c Trước hết (Cy) phải là một đường tròn do đó : ((a? + 67) — e > 0(1). Nghĩa là OA? = 147? © nh +) = 1+ Gs + )—c œc= I (ste t?)—=1>0=a?+ˆ >4 Ví dụ 2. Xét đường d như sau: d = z + y* + 3x — 2u + 1.

Khi đó, a = 3,b = —2 > a? +P = 32 + (—2)2 = 13 > 4, theo mệnh dé trên, d là đường thẳng Hypebolie. Cho 44(a;b) là một điểm nằm bên ngoài đường trong đơn tệ C. đường thẳng Hyperbolic d là một phần của đường tròn Euclid tâm A cá phương trình là : d= 2? + wˆ — 2aœ — 2b + 1 =0 GVHD; TS. Nguyễn Hà Thanh ll SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Như vậy, chúng ta đã đưa ra khái niệm về điểm Hyperbolic và đường thang Hyperbolic, vẫn dé chúng ta cần quan tâm chính là khái niệm song song trong hình học Hyperbolic.

Hai đường thang Hyperbolic không giao nhau trên đĩa D được gọi la song song nếu đường tròn tổng quát của chúng cất nhau tại một diém va điểm ay nam trên đường tròn đơn vi C. Và được gọi là siêu song song nếu đường tròn tổng quát của chúng không giao nhau trên đường tròn dan vi C. Cho đường thing Hyperbolic d va điểm P bat kì trên dia D không nằm trên d. Khi đó ton tai đúng hai đường thang Hyperbolic | val’ di qua P song song ớt d, “A (C) GVHD; TS.

Nguyễn Hà Thanh 12 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie 9. Cho đường thang Hyperbolic d va điểm P bất kì trên đĩa D không nằm trên d. Khi đó tồn tại tô số đường thăng Hyperbolic | di qua P siêu song song ớt d. Trong hình hoc Euclid và hình học nghịch đảo, phép đỗi xứng và phép nghịch đảo đóng góp vai trò quan trọng và trong hình hoc Hyperbolic cũng như the.

Rõ ràng, phép đối xứng của đĩa đơn vị D qua một đường kính của D là ánh xa từ D vào chính nó, và phép nghịch dao của dia đơn vị D trên một đường thẳng Hyperbolic ở không đi qua gốc O cũng như thế. Cho đường thang Hyperbolic d là một phần của đường tròn Euclid ¿. Khe đó, pháp nghịch dao trong ¢ là ánh rạ từ Œ vao C va từ uào D. Chứng minh: (C) GVHD; TS.

Nguyễn Hà Thanh 13 SVTH: Võ Trọng Nghĩa Kháa luận tắt nghiệp Hình hoe Hụperbolie Goi A, B là giao điểm của C và ø : Qua phép nghịch đảo trong y, A và B được biến thành chính nó. Do phép nghịch đảo có tính bảo giác nên ảnh của đường tròn C là một đường tròn cắt với y và vuông géc với ¿ tại A và B. Và chỉ có một đường tròn thỏa điều trên, đó chính là €, do đó ảnh của C là chính nó qua phép nghịch đảo trong ¿. Mac khác, ảnh của các điểm nằm trong Ø qua phép nghịch trong ¿ nằm trong hay bên ngoài ảnh của đường tròn C qua phép nghịch đảo trong ¿ cũng chính là đường tròn D.

Nhưng ảnh của các điểm nam trên đường thang Hyperbolic d là chính nó qua phép nghịch dao trong y. Vậy, ảnh của D là chính nó qua phép nghịch đảo trong ý. Như vay, chúng ta thấy rằng ảnh của đường thang Hyperbolic đ trên dia đơn vị D qua phép nghịch đảo cũng là chính nó.Và việc quan sắt các nét đặt trưng của một phép nghịch đảo chính là quan sát các thành phan bat biến qua phép nghịch đảo ấy. Tương tự với các tính chất đúng trong hình học Euclid, chúng tôi đưa ra định nghĩa sau: Định nghĩa 1.