Chương 1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT Chương này trình bày một số nội dung: xây dựng không gian xác suất từ không gian mẫu; tính chất xác suất; một số công thức tính xác suất. Việc xây dựng không gian xác suất tổng quát dựa trên hệ tiên đề Kolmogorov thể hiện cơ sở lý thuyết chặt chẽ về mặt toán học, ở đó các trường hợp xác suất cổ điển, xác suất hình học là các trường hợp riêng. Trong chương này, các công thức tính xác suất cũng được chứng minh chặt chẽ dựa trên cơ sở xây dựng không gian xác suất tổng quát. 11 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT ROI RAC 1.1 Mô hình xác suất của phép thử có hữu hạn kết quả Xét phép thử ngẫu nhiên với hữu hạn kết quả được liệt kê bởi: @, @›,.,@y dude goi la cdc biến cô sơ cấp.
* Tap hitu han Q = {@1,@2,., @y} được gọi là không gian các biến cỗ sơ cấp (hay không gian mẫu). « Mỗi tập con của © được gọi là một biến cô. Việc mô tả không gian mẫu là bước đầu tiên trong việc xây dựng một mô hình xác suât. Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1.
Hộp chứa N quả cầu được đánh số 1,2,. Rút lần lượt ø lần: mỗi lần một quả, rút xong trả lại vào hộp rồi mới rút quả mới. Hãy mô tả không gian mẫu và biến cỗ A —" các quả rút đôi một khác nhau". Kết quả của phép thử là kết quả của n lần rút.
Gọi z; là số được đánh dấu trên quả rút được ở lần thứ ¡, khi đó mỗi biến cố sơ cấp được mô tả @ = (aI,đa,. Không gian mẫu Q = {@ = (at,aa,. Biến cô A A ={@ = (ai,ø¿,.aj,ViF j}} => |A| = AY. Dạng đặc biệt của bài toán trên « Lên cầu thang.
Bảy người lên cầu thang máy của một ngôi nhà 10 tầng chuyển động từ tầng 1. Số cách để mỗi người ra ở một tầng là A¿. Có n học sinh, ngày sinh nhật là một trong 365 ngày. Số trường hợp để hai học sinh bat kỳ có ngày sinh nhật khác nhau là A3.
Một hộp chứa M quả cầu đen và N — M quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên ø quả, hãy mô tả không gian mẫu và biến cố A= "trong ø quả lấy ra có đúng z quả đen" (trong các trường hợp lấy đồng thời, lấy lần lượt có hoàn lại)? Giải. Để mô hình hoá, đánh số các quả cau den ti 1 dén M, cau trang từ Ä⁄ + l đến N. » Láy đồng thời Khi đó các quả chọn ra có số khác nhau từng đôi, không phân biệt thứ tự.|A| = Cj-Cặc » Láy lần lượt có hoàn lại Khi đó các quả được chọn có thể có số trùng nhau.
Xếp ø quả cầu phân biệt vào cái hộp phân biệt. Mô tả không gian mẫu và các biến cố a) A = "Hộp thứ ¿ có n; quả" ( = l,. b) B = "Hộp thứ & có đúng rm quả". Gọi a¡ là số thứ tự của hộp mà ta xếp quả thứ ¡ vào ( = 1,.an) : #{ai = 1} = mị,.
B= cr" Để biểu thị khả năng xuất hiện của mỗi biến cố sơ cấp @; trong phép thử, người ta gắn cho nó một đặc trưng số P(@;)- được gọi là xác suất của œ;. Giả sử xác suất {P(@;)} thỏa mãn các điều kiện ) 0< P(@) < Li=1,. Khi đó, xác suất của biến cố A được xác định là tổng các xác suất của các biến cố sơ cấp lập nên nó P(A)= }_ P(œ). 1:0,CA Định nghĩa 1.
Cặp (©,P) được gọi là mô hình xác suất của phép thử có hữu hạn kết quả nều « © =ø\,., @y} là không gian các biến cố sơ cấp đ.,P(@w)} là tập các xác suất của các biến cố sơ cấp của phép thử. Nếu (O, P) là mô hình xác suất của phép thử mà |O| = ø và tập 11 1 các xác suất P = ( —— -) thi ta c6 m6 hinh xdc sudt cổ điển. Xét phép thử tung một đồng tiền xu cân đối đồng chất, thu được hai kết quả: xuất hiện mặt sắp Š, xuất hiện mặt ngửa W. Khi đó, mô hình xác suất - Q SN cua phép thu tung dong tién 1a p]E 1 1 22 1.2 Mô hình xác suất của phép thử có đếm được kết quả Trong trường hợp tổng quát, các kết quả của phép thử là đếm được, như tung đồng tiền xu liên tục cho đến khi được mặt sắp; bắn liên tiếp vào bia đến khi nào trúng,.
Khi đó, ta vẫn đánh số được các kết quả của phép thử: @\, @,., và không gian mau hic nay 1a Q = {@1,@,. Tương tự, mỗi œ; được gán với một xác suất P(@;) thỏa mãn ) 0< P(œ;) < 1,i=1,.} được gọi là mô hình xác suất của phép thử có đếm được kết quả. Tung một đồng tiền xu liên tục đến khi được mặt sắp S. 1 1 két qua la: S, NS, NNS,.
vGi xac suat tuong ting 35253 (5) S NS NNS NNNS. Mô hình xác suất =|1 I1 1 1 2 22 2 2” 1.2_ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TỔNG QUÁT 1.1 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Việc xây dựng mô hình xác suất cho phép thử có số kết quả là không đếm được thì không thể thực hiện tương tự như với trường hợp rời rạc. Hơn nữa, khi xây dựng mô hình xác suất cho trường hợp không đếm được, ta quan tâm đến xác suất để kết quả phép thử rơi vào một tập hợp nào đó các biến cỗ chứ không phải từng biến cố riêng biệt. Vì vậy, để xây dựng không gian xác suất tổng quát, người ta bắt đầu từ một họ các tập con của không gian mẫu.
Xét tip XQ 4 0,.F C A(Q), v6i A(Q) la ho cac tap con ctia Q. Họ các tap con ¥ dude goi 1a mét o- dai số nếu nó thỏa mãn i QEF.Z) được gọi là một không gian đo và mỗi phần tử A € .Z được gọi là một biến cô.Z được gọi là một đại số các tập con của © nếu điều kiện ¿) ở trên chỉ thỏa mãn với hữu hạn tập con, tức là Vi = 1,2,.n:A¡€ F, thi UL, Ai € F.Z C Z(©) là một ø - đại số. Hàm tập hợp P xác định trên .Z là một ánh xạ P: .Z — [0,1], dude goi là độ đo xác suất ø - cộng tính nêu thoả mãn i. 1 Khi đó, P còn được gọi là độ đo xác suất (xác suất).Z,P) được gọi là một không gian xác suất nếu « © 18 tap hợp tuỳ ý, gồm các phần tử ø.# là ø— đại số các tập con của ©.
« P là độ đo xác suất ø- cộng tính trên. Khi đó, người ta gọi * Q là không gian các biến cố sơ cấp, œ € © là biến cố sơ cấp.Z là biến cô ngẫu nhiên (biến cô). » P là xác suất trên .Z, P(A) là xác suất của biến cô A. Dễ thấy không gian xác suất rời rạc là trường hợp cụ thể của không gian xác suất tổng quát.
Xét trường hợp đặc biệt, phép thử có vô hạn kết quả, mà mỗi kết quả được mô tả bởi một "điểm" trên tập $ đo được với độ đo m(.) nào đó, và mỗi biến cố A được mô tả bởi một tập con đo được của 5, có độ đo zz(A). Hàm tập xác suất .Z-tập hợp các tập con đo duge cua S, bdi P(A) = at Khi m đó, (O,.Z, P) là một không gian xác suất và còn được gọi là mô hình xác suất hình học.1: Biểu diễn các biến cố ©, A. Lây ngẫu nhiên hai số dương không lớn hơn 1. Tìm xác suất sao cho tổng của chúng không quá I và tích của chúng không lớn hơn 2/9.
Gọi hai số đó là x,y. Khi đó không gian mẫu © và biến cỗ A= "Tổng của chúng không quá l và tích của chúng không lớn hơn 2/9" được mô tả O={(zx,y):0<x,y< 1},A={(,y)c€@:x. Không gian mẫu © và biến cố A được biểu diễn trên Hình 1.2 Quan hệ giữa các biến cô Để đưa ra các tính chất của xác suất, ta cần xét mối quan hệ giữa các biến cố. Về mặt tập hợp, biến cố là tập hợp con của không gian mẫu, bao gồm các biến cố sơ cấp.
Vì vậy, giữa các biến cô cũng có các quan hệ tương tự như giữa các tập hợp. Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố Ö, ký hiệu là A C Z, nếu khi A xảy ra thì 8 cũng xảy ra, tức là, nều @ € A thì @ € B. « Tổng của hai biến cố A,, ký hiệu A + B, là biến cổ xảy ra khi A hoặc B xay ra A+B={@:@€Ahoặc @€ B}. 12 Tổng của n biến cố A1,4a,.,Aa, kí hiệu }7_¡ 4¡, là biến cố xảy ra khi có ít nhất một biến cô 4; nào đó xảy ra n Ai +.+An = ) Aj = {@ : Fig € {1,.
i=l * Tich cua hai bién cé A,B, ki hiéu A.B, 1a bién cé xảy ra khi cả A va B đều xay ra A.B = 0 thi A va B được gọi là xung khắc. Tích của ø biến cô AI,4a,. A„, là biến cố xảy ra khi mọi biến cố A; đều xảy ra n Ai. i=l » Hiệu của hai biến cô A, B, ký hiệu là A — ð, là biến cố xảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra A—B={0œ:@C^A và œ đØ B}.
Hiệu của hai biến cô © và ð là biến cố đối của B, ký hiệu là B, B=Q-B={@:@€Qvao ¢ B}. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại 3 sản phẩm của lô hàng, ký hiệu A¿= "sản phẩm kiểm tra thứ & đạt tiêu chuẩn". Hãy mô tả bằng ký hiệu các biến cố sau. a) Chỉ có sản phẩm kiểm tra thứ nhất đạt tiêu chuẩn.
13 b) Có đúng I sản phẩm đạt tiêu chuẩn. c) Có sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Các biến cô được mô tả a) Ai. €) AI+4s+Aa =Ai.3 Tính chất của xác suất Với A, B và các A; €.
4) NéuA CB thi P(A) < P(B) 5) P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB). Từ đó, néu AB = @ thi P(A+ B) = P(A) +P(B). 6) P(UJA¿) = De (- DE Licicine.ciggn P(A Ain---Aix) Chitng minh. Tinh chat 1,2) dé dang suy ti dinh nghia va cdch phân hoạch Q=24+0.
Tính chất 3) suy ra từ O =A+A. Tính chất 4) suy từ 8 = A + B. Tính chất 5) suy từ AU 8 = A+B.A Tính chất 6) được chứng minh bằng qui nạp.1 Xác suất có điều kiện Trước hết, xét phép thử tung con xúc xắc hai lần, với các biến cố A=" lần thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm". B=" tổng số chấm hai lần gieo không vượt quá 3".