I. Xác suất cơ bản
Xác suất cơ bản là nền tảng của lý thuyết xác suất, giúp hiểu rõ cách xác định khả năng xảy ra của các sự kiện ngẫu nhiên. Trong giáo trình, xác suất cơ bản được định nghĩa thông qua các mô hình xác suất rời rạc và tổng quát. Mô hình rời rạc áp dụng cho các phép thử có hữu hạn hoặc đếm được kết quả, trong khi mô hình tổng quát dựa trên hệ tiên đề Kolmogorov để xây dựng không gian xác suất. Các công thức xác suất như xác suất có điều kiện, công thức nhân, và công thức Bayes được giới thiệu để giải quyết các bài toán thực tế.
1.1. Mô hình xác suất rời rạc
Mô hình này áp dụng cho các phép thử có hữu hạn kết quả. Không gian mẫu được xác định là tập hợp các biến cố sơ cấp, và xác suất của mỗi biến cố được gán dựa trên các điều kiện cụ thể. Ví dụ, trong phép thử tung đồng tiền, không gian mẫu gồm hai kết quả: mặt sấp và mặt ngửa, với xác suất bằng nhau.
1.2. Mô hình xác suất tổng quát
Mô hình này dựa trên hệ tiên đề Kolmogorov, cho phép xây dựng không gian xác suất cho các phép thử có kết quả không đếm được. Không gian xác suất tổng quát bao gồm không gian mẫu, σ-đại số các biến cố, và độ đo xác suất. Điều này giúp mở rộng khả năng áp dụng lý thuyết xác suất vào các bài toán phức tạp hơn.
II. Biến cố ngẫu nhiên và phân phối xác suất
Biến cố ngẫu nhiên là các sự kiện có thể xảy ra trong một phép thử, được biểu diễn dưới dạng tập hợp các biến cố sơ cấp. Phân phối xác suất mô tả cách xác suất được phân bố trên các giá trị của biến ngẫu nhiên. Giáo trình giới thiệu các dạng phân phối xác suất thường gặp như phân phối nhị thức, phân phối chuẩn, và phân phối đều. Các tham số đặc trưng như kỳ vọng xác suất và phương sai xác suất được sử dụng để mô tả đặc điểm của phân phối.
2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu nhiên là một hàm ánh xạ từ không gian mẫu vào tập số thực. Nó được phân loại thành biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, tùy thuộc vào tập giá trị mà nó nhận. Ví dụ, số lần xuất hiện mặt sấp khi tung đồng tiền là biến ngẫu nhiên rời rạc.
2.2. Phân phối xác suất
Phân phối xác suất mô tả xác suất của các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận. Phân phối nhị thức áp dụng cho các phép thử Bernoulli, trong khi phân phối chuẩn được sử dụng rộng rãi trong thống kê do tính chất đối xứng và tập trung quanh giá trị trung bình.
III. Xác suất thống kê và ứng dụng
Xác suất thống kê là sự kết hợp giữa lý thuyết xác suất và thống kê, giúp phân tích và dự đoán các hiện tượng ngẫu nhiên. Giáo trình nhấn mạnh vào các công thức như xác suất đồng thời, xác suất độc lập, và xác suất có điều kiện. Các ứng dụng thực tế bao gồm dự đoán kết quả thí nghiệm, phân tích dữ liệu, và ra quyết định dựa trên xác suất.
3.1. Xác suất đồng thời và độc lập
Xác suất đồng thời mô tả khả năng xảy ra của hai biến cố cùng lúc, trong khi xác suất độc lập chỉ ra rằng việc xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến biến cố khác. Ví dụ, tung hai đồng tiền độc lập, kết quả của đồng tiền thứ nhất không ảnh hưởng đến đồng tiền thứ hai.
3.2. Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện đo lường khả năng xảy ra của một biến cố khi biết rằng một biến cố khác đã xảy ra. Công thức Bayes là công cụ quan trọng để cập nhật xác suất dựa trên thông tin mới, được ứng dụng rộng rãi trong y học, tài chính, và khoa học dữ liệu.
IV. Luật số lớn và định lý giới hạn
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm là hai khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất. Luật số lớn chỉ ra rằng khi số lần thử nghiệm tăng lên, giá trị trung bình của các kết quả sẽ tiến gần đến kỳ vọng. Định lý giới hạn trung tâm giải thích tại sao phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập thường tiến tới phân phối chuẩn, bất kể phân phối ban đầu của chúng.
4.1. Luật số lớn
Luật số lớn bao gồm luật yếu và luật mạnh. Luật yếu số lớn dựa trên bất đẳng thức Chebyshev, trong khi luật mạnh số lớn đảm bảo sự hội tụ hầu chắc chắn của giá trị trung bình. Cả hai đều có ứng dụng trong việc ước lượng và dự đoán.
4.2. Định lý giới hạn trung tâm
Định lý này giải thích tại sao phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối tiến tới phân phối chuẩn khi số lượng biến ngẫu nhiên tăng lên. Điều này là cơ sở cho nhiều phương pháp thống kê và phân tích dữ liệu.
