chương I: Buổi học thứ ba. Nộp bài tập chương: Buổi học thứ tư. - Giải đáp bài tập chương II: Buổi học thứ năm. Nộp bài tập chương II: Buổi học thứ sáu.
- Thực hành Mathematica và giải đáp bài tập chương III: Buổi học thứ bảy. Nộp bài tập chương III: Buổi học thứ tám. - Nộp bài tập chương VII, VIII, IX vào hôm thi. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.
Lý thuyết xác suất và thống kê – Thái Bình Dương, Bùi Quốc Thắng. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia 2. Xác suất thống kê – Đào Hữu Hồ. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia.
Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê – Tống Đình Quỳ. Xác suất thống kê, lý thuyết và bài tập – Đặng Hùng Thắng. Nhà xuất bản Giáo dục. Statistics for Engineers and Scientist – William Navidi.
3rd Mc Graw Hill Các bài giảng của giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức của bản thân giáo viên đến đâu, thì về thực chất, mà nói, đó chẳng qua cũng vẫn chỉ là chương trình, là những lời chỉ dẫn tuần tự để điều chỉnh trật tự nhận thức của sinh viên. Người nào chỉ biết ngồi nghe giáo sư giảng chứ bản thân mình trong lòng không cảm thấy khát khao học, thì có thể nói tất cả những điều người ấy nghe giảng ở trường đại học cũng sẽ chỉ như một tòa nhà xây trên cát mà thôi. GONTCHAROV Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -6- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUẨN BỊ §1.
NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN I. Tập hợp Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học, để chỉ tập các đối tượng (phần tử) và không có bất cứ cấu trúc nào ngoài các phần tử. Nếu 𝑥 là phần tử của tập hợp 𝐴, ký hiệu 𝑥 ∈ 𝐴. Nếu 𝑥 không là phần tử của tập hợp 𝐴, ký hiệu 𝑥 ∉ 𝐴.
Để biểu diễn một tập hợp, có thể dùng hai cách: Cách 1. Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp. Biểu diễn tập hợp thông qua tính chất của các phần tử của tập hợp. Tập hợp 𝐴 là tập các số tự nhiên chẵn có một chữ số có thể biểu diễn như sau: ➢ 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8}.
Giao (⋂), hợp (⋃), hiệu (– ) của hai tập hợp 𝑨 và 𝑩 được định nghĩa như sau: 𝑨⋂𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩} 𝑨⋃𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩} 𝑨 − 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩} Định nghĩa 1. Tập hợp vũ trụ, ký hiệu là 𝑼, là tập tất cả các phần tử có thể có. Phần bù của tập hợp 𝑨, ký hiệu ̅̅̅̅ 𝑨 , là tập hợp chứa tất cả các phần từ không thuộc 𝑨. Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hơp rỗng, ký hiệu ∅.
Một số tính chất: 𝑨⋃∅ = 𝑨 − ∅ = 𝑨 𝑨⋂∅ = ∅ ̅=𝑼 ∅ ̿̿̿̿ 𝑨 =𝑨 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑨⋂𝑩 = ̅̅̅̅ ̅ 𝑨 ⋃𝑩 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑨⋃𝑩 = ̅̅̅̅ ̅ 𝑨 ⋂𝑩 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -7- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success. Tập hợp 𝑨 là tập hợp con của tập hợp 𝑩, ký hiệu 𝑨 ⊆ 𝑩, nếu mọi phần tử của 𝑨 là phần tử của 𝑩. • Nếu 𝑨 ⊆ 𝑩 và 𝑩 chứa một phần tử không thuộc 𝑨 thì ta nói 𝑨 là tập con thực sự của 𝑩, ký hiệu 𝑨 ⊂ 𝑩. Nếu hai tập 𝑨, 𝑩 không có phần tử chung, tức là 𝑨⋂𝑩 = ∅ thì ta nói hai tập 𝑨, 𝑩 rời nhau.
Các nguyên lý đếm cơ bản Định lý 1. Giả sử có 𝒎 công việc 𝑻𝟏 , 𝑻𝟐 , … , 𝑻𝒎 có thể làm tương ứng bằng 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 , … , 𝒏𝒎 cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong 𝒎 việc đó là 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒎. Quy tắc cộng có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp: Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 là các tập rời nhau thì |𝐴1 ⋃𝐴2 ⋃ … ⋃𝐴𝑚 | = |𝐴1 | + |𝐴2 | + ⋯ + |𝐴𝑚 |.
Trong một thư viện, số sách tham khảo môn Toán là 20, môn Lý là 15 còn môn Hóa là 25. Một học sinh muốn mượn một trong số các sách tham khảo này. Hỏi có bao nhiêu cách để học sinh này chọn được một quyển sách. Giả sử có một nhiệm vụ được thi hành bằng cách thực hiện lần lượt 𝒎 công việc 𝑻𝟏 , 𝑻𝟐 , … , 𝑻𝒎.
Nếu việc 𝑻𝒊 có thể làm bằng 𝒏𝒊 cách sau khi các việc 𝑻𝟏 , 𝑻𝟐 , … , 𝑻𝒊−𝟏 đã được làm thì khi đó số cách làm nhiệm vụ là 𝒏𝟏 𝒏𝟐 … 𝒏𝒎. Quy tắc nhân có thể phát biểu dưới dạng ngôn ngữ tập hợp: Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 là các tập hữu hạn thì |𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑚 | = |𝐴1 |. Có bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô và xe máy nếu mỗi biển chứa một chữ cái in hoa tiếng Anh, sau chữ cái là một chữ số và cuối cùng là một dãy 5 chữ số. Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -8- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success.
Một nhóm du khách nước ngoài có 15 người nói được tiếng Anh, 18 người nói được tiếng Pháp và có 3 người nói được một trong hai thứ tiếng. Hỏi nhóm du khách này có bao nhiêu người hoặc nói được tiếng Anh, hoặc nó được tiếng Pháp. Tổ hợp Định nghĩa 1. Hoán vị của một tập các đối tượng khác nhau là một cách sắp xếp có thứ tự các đối tượng này.
• Số các hoán vị của một tập 𝒏 đối tượng ký hiệu là 𝑷𝒏. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số và các chữ số đều khác nhau. Một cách sắp xếp có thứ tự 𝒌 phần tử của một tập có 𝒏 phần tử được gọi là một chỉnh hợp chập 𝒌 của tập có 𝒏 phần tử. • Số chỉnh hợp chập 𝒌 của tập có 𝒏 phần tử ký hiệu là 𝑨𝒌𝒏.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số và các chữ số đều khác nhau. Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -9- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success. Một tổ hợp chập 𝒌 của tập có 𝒏 phần tử là một cách chọn 𝒌 phần tử của tập đã cho. • Số tổ hợp chập 𝒌 của tập có 𝒏 phần tử ký hiệu là 𝑪𝒌𝒏.
Một tổ hợp chập 𝒌 là một tập con 𝒌 phần tử của tập đã cho. Một hộp đựng bi có … … …. bi xanh và 10 bi vàng. a) Có bao nhiêu cách lấy ra 8 viên bi từ hộp.
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 bi đỏ, 2 bi xanh và 3 bi vàng từ hộp. Số cách phân chia 𝒏 đồ vật khác nhau vào trong 𝒌 hộp khác nhau sao cho có 𝒏𝒊 (𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒌 = 𝒏) vật được đặt vào hộp thứ 𝒊 với 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒌 bằng: 𝒏! 𝒏𝟏 !. Có bao nhiêu cách chia bộ bài 52 quân cho 4 người, mỗi người có đúng 8 quân. Số gần đúng và sai số 1.
Sai số tuyệt đối và sai số tương đối Trong thực tế có rất nhiều đại lượng mà ta không thể biết được chính xác giá trị đúng của đại lượng này mà chỉ biết giá trị gần đúng của đại lượng này. Khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng không thể biết chính xác. Khoảng cách trung bình từ trái đất đến mặt trăng là 384400𝑘𝑚. Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -10- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success.
Cho 𝑨 là một giá trị đúng của một đại lượng nào đó. Một giá trị 𝒂 được gọi là giá trị gần đúng của 𝑨 hoặc xấp xỉ 𝑨 nếu 𝒂 khác 𝑨 không đáng kể và được thay thế cho 𝑨 trong tính toán. ➢ 3,14 hoặc 3,1,4159 là giá trị gần đúng của 𝜋. ➢ 2,72 hay 2,71828 là giá trị gần đúng của 𝑒.
Với giá trị đúng 𝑨 ta có thể có vô số giá trị gần đúng 𝒂 nên có sự sai lệch giữa các giá trị gần đúng và giá trị đúng. Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng 𝒂 đối với giá trị đúng đúng 𝑨, ký hiệu là ∆, là một giá trị được xác định như sau: ∆= |𝒂 − 𝑨|. Do giá trị 𝑨 có thể chưa biết hoặc không biết chính xác nên không thể tính được sai số tuyệt đối của số gần đúng 𝒂. Sai số tuyệt đối giới hạn của giá trị gần đúng 𝒂 đối với giá trị đúng đúng 𝑨, ký hiệu là ∆𝒂 , là một giá trị được xác định như sau: |𝒂 − 𝑨| ≤ ∆𝒂.
➢ Với 𝐴 = 𝜋 và 𝑎 = 3,14 thì ∆𝑎 = 0,01 vì |3,14 − 𝜋| ≤ 0,01. ➢ Với 𝐴 = 𝜋 và 𝑎 = 3,14 thì ∆𝑎 = 0,0016 vì |3,14 − 𝜋| ≤ 0,0016. Sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng 𝒂 là không đơn trị. Vì vậy trong thực tế người ta thường chọn sai số tuyệt đối giới hạn là số nhỏ nhất có thể được.
➢ Với 𝐴1 = 100000,01; số gần đúng 𝑎1 = 100000 có sai số tuyệt giới hạn đối ∆𝑎1 = 0,01. ➢ Với 𝐴2 = 1,01; số gần đúng 𝑎2 = 1 thì sai số tuyệt giới hạn đối ∆𝑎2 = 0,01. Hai số trên có cùng sai số tuyệt đối giới hạn nhưng phép lấy gần đúng đầu tiên chính xác hơn phép lấy gần đúng thứ hai Định nghĩa 1. Sai số tương đối của giá trị gần đúng 𝒂 đối với giá trị đúng ∆ đúng 𝑨, ký hiệu là 𝜹, là một giá trị được xác định như sau: 𝜹 = |𝑨|.
Sai số tương đối giới hạn của giá trị gần đúng 𝒂 đối với giá trị đúng đúng 𝑨, ký hiệu là 𝜹𝒂 , là một giá trị được xác định như sau: 𝜹 ≤ 𝜹𝒂. ∆ Trong thực tế ta thường lấy 𝜹𝒂 = |𝒂|𝒂. 100000 10000000 1 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -11- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success.