CHƯƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1.1 Giải tích tổ hợp và đại cương về xác suất Bài 1. (Trịnh Huy Khôi) Số điện thoại ở Hà Nội có 8 chữ số. Một người chọn một số điện thoại một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để người ấy chọn được số điện thoại có chữ số đầu tiên là 7 và 8 chữ số là khác nhau.
Bài giải: - Số các số điện thoại khóa 8 chữ số được thành lập từ 10 chữ số là : = 108 - Gọi A là biến cố chọn được số điện thoại gồm 1 chữ số 7 là chữ số đầu tiên và 8 chữ số là khác nhau. chữ số 7 đầu tiên có một cách chọn, 7 chữ số còn lại khác nhau khác chữ số 7 có vậy: P(A) =. Bài 2: (Nguyễn Thanh Hà) Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được ghi các số từ 1 đến 100, Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất để a/ Rút được hai thẻ lập nên một số có hai chữ số.
b/ Rút được hai thẻ lập nên một số chia hết cho 5. Bài giải a/ Gọi A là biến cố rút được hai thẻ lập nên một số có hai chữ số. P(A) = 0,0073 b/ Gọi A là biến cố rút được hai thẻ lập nên một số chia hết cho 5. Số chia hết cho 5 tận cùng phải là 0 hoặc 5.
Để có biến cố A thích hợp với ta rút thẻ thứ hai một cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1 trong 99 thẻ còn lại đặt vào vị trí đầu. Do đó số trường hợp thuận lợi cho A là 99.20 3 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 P(A) = = 0,2 Bài 3:(Nguyễn Thanh Hà) Một hộp có chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước. Rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu rút được có a/ Hai quả cầu đen.
b/ Ít nhất 2 cầu đen c/ Toàn cầu trắng Bài giải Rút ngẫu nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 quả cầu nên số trường hợp đồng khả năng là a/Gọi A là biến cố có 2 quả cầu đen P(A) = = 0,3 b/ Gọi B là biến cố có ít nhất 2 quả cầu đen P(B) = = c/ Gọi C là biến cố có toàn cầu trắng P(C) = = Bài 4: (Nguyễn Thanh Hà) Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để lập Ban cán bộ lớp (BCB). Tính xác suất để a/ BCB gồm 3 nữ và 2 nam, b/ BCB có ít nhất một nữ, c/ BCB có ít nhất hai nam và hai nữ. Bài giải a/ Gọi A là biến cố bcb có 3 nam và 2 nữ P(A) = = b/ Gọi B là biến cố BCB có ít nhất 1 nữ P(B) = 1 - = c/ Gọi C là biến cố BCB có ít nhất 2 nam và hai nữ P(C) = + = 4 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Bài 5:(Hoàng Văn Ái) Có bao nhiêu cách bố trí 9 khách lên một đoàn tàu có 3 toa để toa I có 2 người, toa II có 3 người, toa III có 4 người. Bài giải: Số cách để 2 người khách trong số 9 người khách lên toa I là: Số cách để 3 người khách trong số 7 người còn lại lên toa II là Số cách để 4 người còn lại lên toa III là: Vậy ta có.
= 1260 (cách) Bài 6:(Đào Minh Hiếu) Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốtt và 3 ống kém chất lượng. Ch ọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 ống. Tính xác suất để: a/ Có hai ống được chọn đều tốt. b/ Chỉ ống được chọn ra đầu tiên là tốt.
c/ Trong hai ống ít nhất một ống thuốc tốt. Bài giải: Chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 trong 8 ống nên các trường hợp đồng kh ả năng là. a/ A: “cả hai ống được chọn đều tốt” P(A) = = 0,357. b/ B: “chỉ ống được chọn ra đầu tiên là tốt” P(B) = = 0,268.
c/ C: “trong hai ống ít nhất một ống thuốc tốt” P(A) = = 0,893.2 Công thức cộng, công thức nhân xác suất Bài 7: (Trịnh Huy Khôi) Hai công ty A và B cùng kinh doanh một loại mặt hàng. Xác suất để công ty A kinh doanh thua lỗ là 0,3; xác suất để công ty B kinh doanh thua lỗ là 0,2. Trên thực tế xác suất để cả hai công ty kinh doanh cùng thua lỗ là 0,01. Tìm xác suất để có ít nhất một công ty kinh doanh thua lỗ.
Bài giải: Gọi : A1 là “ biến cố công ty A kinh doanh thua lỗ”. 5 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 A2 là “ biến cố công ty B kinh doanh thua lỗ” A là “ biến cố có ít nhất một công ty kinh doanh thua lỗ”. Ta có : A = A1 + A2 P(A) = P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2) = 0,2 + 0,3 – 0,01 = 0,49 Bài 8: (Trịnh Huy Khôi) Một thiết bị gồm 4 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Biết rằng xác suất để cường độ cạnh đó hoạt động tốt theo thứ tự lần lượt là 0,65; 0,7; 0,89; 0,8 .Tìm xác suất để máy hoạt động tốt biết rằng khi máy hoạt động.
- Gọi A là biến cố “ thiết bị hoạt động tốt “. - Gọi Ai là biến cố “ Bộ phận thứ i hoạt động tốt “ (i = 1, 2, 3, 4) khi đó {Ai } i = 1,4 độc lập với nhau - Máy hoạt động tốt khi cả 4 bộ phận hoạt động tốt, khi đó A = A1. 0,8 = 0,32396 Bài 9: (Nguyễn Hữu Dũng) Vụ hợp tác quốc tế của bộ có 25 nhân viên, trong đó có 16 người biết tiếng Anh, 14 người biết tiếng Pháp, 10 người biết tiếng Nga, có 10 người biết được cả Anh và Pháp, 5 người biết được cả Anh và Nga, 3 người biết Nga và Pháp và biết rằng không có ai biết được cả 3 thứ tiếng. Cử 1 người đi công tác.
Tìm xác suất để người đó: a. Biết tiếng Anh hoặc Pháp. Biết ít nhất một ngoại ngữ. 6 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.
Chỉ biết được một ngoại ngữ. Bài giải: - Gọi: A1 là biến cố “ Chọn được nv biết tiếng Anh ”. A2 là biến cố “ Chọn được nv biết tiếng Pháp ”. A3 là biến cố “ Chọn được nv biết tiếng Nga ”.
Tổng: 25: Anh: 16; Pháp: 14; Nga: 10; A-P: 10; A-N: 5; N-P: 3 a/ Gọi A là biến cố: “ Chọn được sv biết tiếng Anh hoặc Pháp ”: b/ Gọi B là b/c: Chọn được sv biết ít nhất 1 ngoại ngữ: c/ Gọi là b/c: Chọn được sv chỉ biết 1 ngoại ngữ Gọi là b/c: Chọn được sv biết 2 ngoại ngữ. Vì không ai biết 3 ngoại ngữ nên: 7 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Bài 10:(Nguyễn Hữu Dũng) Một hộp có 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác có 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi.
Tìm xác suất để được 2 bi cùng màu. Bài giải Gọi Ai: Lấy được bi trắng ở hộp thứ i; i=1,2 Bi : Lấy được bi đỏ ở hộp thứ i; i=1,2 Ci : Lấy được bi xanh ở hộp thứ i; i=1,2 D : Lấy được 2 bi cùng màu. Bài 11:(Nguyễn Hữu Dũng) Một người dự thi hai trường đại học, khả năng thi đỗ trường thứ nhất là 0,8; khả năng thi đỗ trường thứ 2 là 0,6; khả năng thi đỗ cả 2 trường là 0,5. xác suất để người đó chỉ đỗ một trường.Tính xác suất để người đó đỗ vào trường thứ hai biết rằng đã trượt ở trường thứ nhất.
Gọi A là biến cố : Học sinh thi đỗ trường thứ nhất. Gọi B là biến cố : Học sinh thi đỗ trường thứ hai. Gọi C là b/c: Học sinh chỉ đỗ một trường. 8 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 A, B không độc lập vì b.
Xác suất để người đó đỗ vào trường thứ hai biết rằng đã trượt ở trường thứ nhất: Trong đó: Bài 12 (Nguyễn Hữu Dũng): Một người mua một tấm vé số gồm 3 chữ số. Tìm xác suất để tấm vé số này có chữ số 1 và chữ số 2. Bài giải Đặt: A = “Có chữ số 1 và chữ số 2” ” Không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 2”, Đặt Ai = “ Biến cố không có chữ số i”, 9 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Theo công thức cộng thì: Bài 13(Nguyễn Hữu Dũng) A, B tham gia một trò chơi mà ai tháng 6 ván thì sẽ là người thắng cuộc. Cơ hội chiến thắng mỗi ván của hai người là như nhau.
Giả sử trò chơi bắt buộc phải tạm dừng, khi đó A thắng 5 ván và B thắng 3 van. Hỏi phải chia tỉ lệ giải thưởng như thế nào cho hợp lý ? Bài làm Ai = “Người A thắng ván thứ i”, = “ Người B thắng ván thứ i “ X = “Người A thắng cuộc” Y = “Người B thắng cuộc” Theo công thức nhân: suy ra xác suất để người A thắng = 10 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.com) lOMoARcPSD|39222806 Suy ra tỉ lệ giải thưởng: Bài 14: (Hoàng Văn Ái) Một nhà máy gầm 3 bộ phần hoạt động độc lập với nhau. Biết rằng xác suất để 3 bộ phận đó hoạt động tốt theo thứ tự lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Tìm xác suất để máy hoạt động tốt, biết rằng mỗi bộ phận hỏng thì máy ngừng hoạt động.
Bài giải: Gọi A là biến cố “ máy hoạt động tốt”. Gọi Ai là biến cố “bộ phận thứ i hoạt động tốt”,(i=1,2,3). Khi đó, {Ai}i=1,2,3 độc lập với nhau. Máy hoạt động tốt thì cả 3 bộ phận đều hoạt động tốt, khi đó: A=A1.336 Bài 15: (Hoàng Văn Ái) Có ba xạ thủ cùng bắn vào một đích, mỗi xạ thủ bắn một viên với xác suất trúng đích của mỗi xạ thủ lần lượt là 0,8; 0,7; 0,6.
Tìm xác suất để đích bị bắn trúng (coi việc bắn trúng đích của các xạ thủ là độc lập). Bài giải: Gọi A là biến cố “đích bị bắn trúng”. Gọi Ai là biến cố “xạ thủ thứ i bắn trúng đích” (i=1,2,3). Do việc bắn trúng đích của các xạ thủ là độc lập nhau nên {Ai}i=1,2,3 độc lập với nhau.
Đích bị bắn trúng khi có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng nên ta có: A=A1 + A2 + A3 11 Downloaded by MON HOANG (monmon3@gmail.0,6 =0,976 Bài 16 (Hoàng Văn Ái): Một hộp chứa 12 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy lần lượt 2 sản phẩm (không hoàn lại). Lấy lần lượt 2 sản phẩm (có hoàn lại). Tìm xác suất lấy được 2 phế phẩm.