Chương I: CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT §1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1.1 Phép thử và các loại biến cố.2 Định nghĩa xác suất : I.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất.2 Định nghĩa thống kê về xác suất.3 Định nghĩa hình học về xác suất.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề (tham khảo).3 Nguyên l{ xác suất lớn và xác suất nhỏ.1 Phép thử và các loại biến cố : • Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó gọi là thực hiện một phép thử ( trial ). • Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ở hai lần thử bất kz với đầu vào và quá trình chuyển hóa giống nhau nhưng kết quả đầu ra lại có thể hoàn toàn khác nhau, không dự báo được. • Mỗi kết cục không thể phân chia được của phép thử gọi là biến cố sơ cấp.
Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp tạo thành không gian các biến cố sơ cấp, hay gọi là không gian mẫu, kí hiệu là . • Hợp thành của các kết cục nào đó gọi là một biến cố ( hay sự kiện- event ). Như vậy mỗi biến cố chính là một tập con của không gian mẫu. 14 Tung 1 con Phép thử xúc xắc Xuất hiện Các biến cố sơ cấp Ai.
A1 A2 D là biến cố số chấm A3 xuất hiện chia hết cho 3 A4 A5 A6 Không gian mẫu 15 Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cố sau: • Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử gọi là biến cố chắc chắn, được kí hiệu là . • Biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử gọi là biến cố không thể có, được kí hiệu là . • Biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một phép thử cụ thể gọi là biến cố ngẫu nhiên. Người ta thường dùng các kí hiệu là A, B, C hay A1, A2,… B1, B2, …,Bn để biểu diễn biến cố.2 Định nghĩa xác suất: Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất : Xét một phép thử mà không gian mẫu có thể chia thành n kết cục duy nhất đồng khả năng; trong đó có mA kết cục thuận lợi cho biến cố A khi thực hiện phép thử.
Ta định nghĩa xác suất của biến cố A theo cổ điển: mA P(A)= n Để thuận lợi, người ta hay lấy n = số các biến cố sơ cấp trong không gian mẫu, với điều kiện các biến cố này duy nhất và đồng khả năng. Các tính chất : • 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 P() = 0 17 Ví dụ 2: Tung 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố: a) Tổng số chấm trên 2 con xúc xắc bằng 7. b) Có ít nhất một mặt sáu chấm xuất hiện.
Một hộp có 7 bi đỏ, 3 bi vàng và 5 bi xanh. Lấy ra Ví dụ 3: ngẫu nhiên 5 bi. Tìm xác suất của các biến cố sau: a) Trong 5 bi đó có đúng 3 bi xanh. b) Trong 5 bi đó có ít nhất 3 bi xanh.
c) Có đủ 3 màu bi nếu biết rằng trong 5 bi đó có đúng 2 bi đỏ. Có 8 người lên 5 toa tàu một cách ngẫu nhiên. Tìm Ví dụ 4: xác suất có 2 toa không ai lên, 2 toa có 3 người lên, và 1 toa có 2 người lên.C102 sô' cách lâ'y 5 bi mà có 3 bi xanh 150 a) C155 sô' cách lâ'y 5 bi tùy ý trong 15 bi 1001 C53 .C53 672 8 5 15625 n = số cách xếp ngẫu nhiên 8 hành khách lên 5 toa tàu.2 Định nghĩa thống kê về xác suất : Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỉ số giữa số phép thử trong đó biến cố A xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. k f(A)= n Người ta nhận thấy nếu tiến hành số lượng lớn các phép thử trong những điều kiện như nhau thì tính ổn định của tần suất khá rõ ràng.
Ví dụ 4 Người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần. Người gieo Số lần gieo (n) Số lần được mặt sấp (k) Tần suất (f) Buffon 4.012 0,5005 20 Qua ví dụ trên , ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5. Điều đó cho phép hy vọng khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất sẽ hội tụ (*) về giá trị 0,5. Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất xuất hiện biến cố đó sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn.
Như vậy: Khi n đủ lớn ta có thể coi P(A) f(A) (*): SV có thể tìm hiểu thêm trong tài liệu tham khảo (4) về sự khác nhau giữa khái niệm hội tụ theo xác suất và khái niệm hội tụ trong môn Giải tích đã được học. 21 Ví dụ 5 Theo dõi ngẫu nhiên 10.000 bé mới sinh ở một vùng, người ta thấy có 5097 bé trai. Tần suất sinh bé trai trong khảo sát: fn = 5097/10000. Vì số lượng bé được theo dõi là n =10.000 khá lớn nên ta có thể coi xác suất sinh con trai p ở vùng này xấp xỉ bằng: p fn = 5097/10.
Tỉ lệ trên cho tương ứng 100 bé gái với khoảng 104 bé trai. Tỷ số giới tính khi sinh tự nhiên trên thế giới dao động từ 104 – 106 trẻ em trai cho mỗi 100 trẻ em gái. Định nghĩa xác suất theo thống kê được sử dụng rất phổ biến trong các lĩnh vực của cuộc sống.3 Định nghĩa hình học về xác suất : • Giả sử một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng có thể biểu diễn bởi một miền hình học G nào đó đo được, còn tập các kết cục đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A được biểu diễn bởi một miền hình học S nào đó đo được. Khi đó xác suất của biến cố A được tính như sau:.
P(A) = Độ đo miền S / Độ đo miền G • Tùy theo miền G là một đường thẳng, một miền phẳng hay khối không gian mà độ đo được xác định tương ứng là độ dài, diện tích hay là thể tích. 23 Ví dụ 6 Biết rằng xe buýt số 202 thường qua trạm gần nhà An vào thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng 7g đến 7g15. Nếu An đến trạm vào lúc 7g10 thì xác suất bắt được xe 202 là bao nhiêu? Ví dụ 7 Xét phương trình bậc hai x2 + ax + b = 0, hệ số a được lấy ngẫu nhiên trong đoạn *0; 1+, còn hệ số b được lấy ngẫu nhiên trong đoạn *-1; 1]. a) Tìm xác suất phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
b) Tìm xác suất phương trình có nghiệm kép. c) Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm phân biệt, tìm xác suất để phương trình có 2 nghiệm dương. 24 VD7: a) Do a, b là 2 tham số độc lập nên ta dùng trục Ox trong mặt phẳng Oxy để biểu diễn cho các giá trị của a, và trục Oy để biểu diễn cho các giá trị của b. Độ đo được sử dụng ở đây là diện tích miền phẳng.
Phương trình có 22 nghiệm thực PB a >0b<. Miền Sa chính là miền phẳng x2 trong Ga giới hạn bởi y <. 4 Xác suất cần tìm: x2 1 Dien tich S 0 4 ( 1) dx 13 Dien tich G 2 24 25 b) Miền Gb Ga = [0; 1] [-1; 1]. Miền Sb chính là đoạn đường cong có phương trình y = x2/4.
Diện tích miền Sb = 0 nên XS phương trình có nghiệm kép = 0. Ví dụ này cho thấy một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra; hay một biến cố có xác suất bằng 1 vẫn có thể không xảy ra trong 1 phép thử. c) Hướng dẫn: Miền Gc Sa 1.3 Nguyên l{ xác suất lớn và xác suất nhỏ : • Nếu một biến cố có xác suất xảy ra rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. • Tương tự như vậy, nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất gần 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử.
• Mức xác suất khá nhỏ mà từ đó ta cho rằng không xảy ra biến cố phụ thuộc vào từng bài toán thực tế.1 Quan hệ giữa các biến cố 2.2 Một số phép toán giữa các biến cố 2.1 Công thức cộng.2 Công thức nhân và xác suất có điều kiện.3 Công thức Becnoulli.4 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.1 Quan hệ giữa các biến cố Các khái niệm: - Ta nói biến cố A kéo theo biến cố B và k{ hiệu là A B ( hay A B), nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra. - Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau, k{ hiệu là A = B, nếu biến cố A kéo theo biến cố B và ngược lại, tức là A B A B B A - Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử. - Hai biến cố A và B gọi là đối lập với nhau , k{ hiệu là B = Ā, nếu A xảy ra thì B không xảy ra và khi A không xảy ra thì B xảy ra. 28 Ví dụ 8 Tung ngẫu nhiên 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất.
Gọi Ai là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng i; i = 1,2,…,6. Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn. Gọi C là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ. Gọi D là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc chia hết cho 3.
• Hãy sử dụng các biến cố trên để minh họa cho các khái niệm và các phép toán được định nghĩa trong bài này.2 Một số phép toán giữa các biến cố - Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B là biến cố C , ký hiệu là: C =A+B (hay C=AB ), xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra.
