Luận văn Thạc sĩ: ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu phương pháp ước lượng tham số cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính toán học.

• Tác giả: Vũ Thị Hương Sắc
• Người hướng dẫn: Nguyễn Thịnh
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
• Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học
• Đề tài: Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ khoa học
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• Giới thiệu
• 1. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
• 1.1. Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính
• 1.2. Một số quá trình ngẫu nhiên
• 1.2.1. Quá trình Markov
• 1.3. Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng
• 1.3.1. Các hàm đặc trưng
• 1.3.2. Các tham số đặc trưng
• 1.4. Chuyển động Brown
• 1.4.1. Phân bố chuẩn
• 1.4.2. Chuyển động Brown
• 1.5. Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô)
• 1.6. Chuyển động Brown hình học
• 2. Chương 2: Mô hình Black – Scholes và các hạn chế
• 2.1. Mô hình Black – Scholes
• 2.2. Các hạn chế của mô hình Black – Scholes
• 2.2.1. Độ biến động nụ cười
• 2.2.2. Tính không đầy đủ của các thị trường
• 3. Chương 3: Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
• 3.1. Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên
• 3.2. Các quá trình bước nhảy
• 3.3. Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
• 3.3.1. Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn
• 3.3.2. Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên
• 3.3.3. Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ nhảy
• 4. Chương 4: Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
• 4.1. Chuyển động hình học Brown
• 4.2. Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy
• 4.3. Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Giới thiệu về Ước lượng Mô hình Độ Biến động Ngẫu nhiên

Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong toán tài chính hiện đại. Từ khi Black và Scholes công bố lý thuyết định giá quyền chọn năm 1973, các nhà khoa học đã liên tục phát triển những mô hình tiên tiến hơn để khắc phục những hạn chế của mô hình Black-Scholes cổ điển. Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc ước lượng tham số cho các mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy, một cải tiến đáng kể so với giả định độ biến động không đổi. Các mô hình này phản ánh chính xác hơn tính chất biến động của thị trường tài chính thực tế, nơi giá cả có thể thay đổi đột ngột do các sự kiện bất ngờ.

1.1. Nền tảng của Mô hình Black Scholes

Mô hình Black-Scholes là nền tảng của định giá quyền chọn hiện đại, giả định giá cổ phiếu tuân theo phân bố log-chuẩn với độ biến động không đổi. Tuy nhiên, giả định này tỏ ra không phù hợp với dữ liệu thực tế. Các nhà kinh tế học đã phát hiện ra độ biến động nụ cười và tính không đầy đủ của thị trường, chứng minh rằng cần phải phát triển các mô hình tiên tiến hơn để ước lượng chính xác hơn các tham số tài chính.

1.2. Tầm quan trọng của Ước lượng Tham số

Ước lượng tham số chính xác là then chốt để xây dựng những mô hình tài chính đáng tin cậy. Trong mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy, việc ước lượng các tham số như độ biến động, cường độ nhảy và tốc độ hồi quy là cực kỳ quan trọng. Những ước lượng này ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả định giá công cụ tài chính và quản lý rủi ro, làm cho chúng trở thành đối tượng nghiên cứu ưu tiên.

II. Các Quá trình Ngẫu nhiên và Chuyển động Brown

Các quá trình ngẫu nhiên là cơ sở toán học của các mô hình tài chính hiện đại. Chuyển động Brown, còn gọi là quá trình Wiener, là một quá trình ngẫu nhiên liên tục đóng vai trò trung tâm trong định giá tài chính. Trong luận văn này, chuyển động Brown hình học (GBM) được sử dụng để mô hình hóa động lực giá cổ phiếu. Tích phân Itô là công cụ toán học quan trọng cho phép xây dựng các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Những yếu tố này tạo thành khung lý thuyết để phát triển các mô hình độ biến động ngẫu nhiên phức tạp hơn và thực hiện ước lượng tham số chính xác.

2.1. Chuyển động Brown và Phân bố Chuẩn

Chuyển động Brown có tính chất tuân theo phân bố chuẩn với trung bình bằng không và phương sai tuyến tính theo thời gian. Đây là tính chất cơ bản cho phép áp dụng các công cụ thống kê trong tài chính. Quá trình Markov là tính chất quan trọng của chuyển động Brown, có nghĩa là giá trị tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại, không phụ thuộc vào quá khứ. Tính chất này là nền tảng cho nhiều mô hình ước lượng tham số trong toán tài chính.

2.2. Tích phân Itô và Ứng dụng

Tích phân Itô là công cụ toán học cho phép tính toán tích phân đối với các quá trình ngẫu nhiên. Bổ đề Itô cung cấp quy tắc vi phân cho các hàm của chuyển động Brown, là nền tảng để xây dựng các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong bối cảnh mô hình độ biến động ngẫu nhiên, tích phân Itô cho phép chúng ta thực hiện các phép tính phức tạp và ước lượng các tham số một cách chính xác từ dữ liệu thị trường.

III. Mô hình Độ Biến động Ngẫu nhiên có Bước Nhảy

Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy là sự kết hợp của hai yếu tố quan trọng: độ biến động ngẫu nhiên và quá trình bước nhảy (jump process). Mô hình này vượt trội hơn mô hình Black-Scholes bằng cách cho phép độ biến động thay đổi theo thời gian theo một quá trình ngẫu nhiên riêng biệt, và đồng thời cho phép giá cổ phiếu thực hiện những bước nhảy đột ngột. Các quá trình bước nhảy được mô hình hóa thông qua quá trình Poisson, cho phép mô tả những sự kiện hiếm nhưng có tác động lớn đến giá cổ phiếu. Ước lượng tham số cho mô hình này bao gồm cả tham số của độ biến động và tham số của quá trình nhảy.

3.1. Các Khuếch tán Bước Nhảy Log Chuẩn

Các khuếch tán bước nhảy log-chuẩn mô hình hóa giá cổ phiếu với các bước nhảy có kích thước tuân theo phân bố log-chuẩn. Mô hình này cho phép các bước nhảy có tác động nhân lên giá cổ phiếu chứ không phải cộng tính. Ước lượng tham số cho mô hình này cần phải xác định cả tham số của quá trình liên tục lẫn tham số của phân bố log-chuẩn của các bước nhảy. Những ước lượng này có thể thu được từ dữ liệu giá lịch sử thông qua các phương pháp thống kê tiên tiến.

3.2. Mô hình với Độ Biến động Ngẫu nhiên và Cường độ Nhảy

Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy phức tạp nhất cho phép cả độ biến động và cường độ nhảy (tần suất nhảy) thay đổi theo thời gian. Cường độ nhảy được mô hình hóa bằng tham số Poisson biến đổi theo một quá trình ngẫu nhiên riêng. Ước lượng tham số cho mô hình đầy đủ này yêu cầu các kỹ thuật thống kê phức tạp như phương pháp khả năng tối đa (maximum likelihood) hay phương pháp Bayes, để đạt được độ chính xác cao từ dữ liệu thị trường.

IV. Phương pháp Ước lượng và Ứng dụng Thực nghiệm

Phương pháp ước lượng tham số cho các mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy được trình bày chi tiết trong chương 4 của luận văn. Luận văn này so sánh ba mô hình chính: chuyển động hình học Brown (GBM), GBM với bước nhảy, và mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy đầy đủ. Bằng cách áp dụng các ước lượng này trên dữ liệu thực tế, luận văn minh chứng được tính ưu việt của các mô hình tiên tiến hơn. Ước lượng tham số được thực hiện thông qua hai ví dụ thực nghiệm với dữ liệu thị trường thực, cho thấy mô hình độ biến động ngẫu nhiên cung cấp những ước lượng chính xác hơn so với mô hình cổ điển.

4.1. Ước lượng cho Mô hình GBM

Ước lượng tham số cho chuyển động hình học Brown (GBM) là bước khởi đầu cơ bản. Mô hình này chỉ có hai tham số chính: lợi suất kỳ vọng và độ biến động không đổi. Phương pháp ước lượng dựa trên phương pháp khả năng tối đa hoặc ước lượng hợp lý từ dữ liệu giá lịch sử. Mặc dù đơn giản, ước lượng GBM cung cấp điểm cơ sở để so sánh với các mô hình phức tạp hơn, giúp đánh giá mức độ cải thiện của các mô hình tiên tiến.

4.2. Ước lượng cho Mô hình với Bước Nhảy và Độ Biến động Ngẫu nhiên

Ước lượng tham số cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy là công việc phức tạp hơn, yêu cầu ước lượng đồng thời nhiều tham số bao gồm tốc độ hồi quy, cường độ nhảy, và kích thước bước nhảy. Luận văn sử dụng các kỹ thuật thống kê nâng cao để thực hiện những ước lượng này. Hai ví dụ thực nghiệm trình bày chi tiết cách áp dụng các phương pháp ước lượng và so sánh kết quả giữa các mô hình, chứng minh rằng mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy cung cấp sự phù hợp tốt hơn với dữ liệu thị trường thực.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính Định nghĩa 1.1 (Đại số) Cho  là tập không rỗng và cho F bao gồm các tập con của . Ta nói rằng F là một đại số thỏa mãn: (i) F và 0 F , (ii) A F  Ac   \ A F , (iii) A, B F  A  B F. Định nghĩa 2 ( - đại số) Một đại số F của các tập con của  được gọi là một  o - đại số trên  nếu với bất kỳ dãy  An  n  F , ta có  An  F. n1 Mỗi một cặp  , F  như vậy được gọi là một không gian đo được.

Do đó, một  - đại số sinh bởi tập tất cả các tập con mở của  được gọi là  - đại số Borel: B E  .3 (Xác suất) Cho  là một tập không rỗng, và cho F là một  - đại số các tập con của . Một độ đo xác suất  là một hàm số sao cho đối với mỗi tập AF xác định một số trong đoạn [0,1]được gọi là xác suất của A và viết là   A . Trong đó các tính chất sau phải thỏa mãn: (i)     1 , (ii) (tính cộng tính đếm được) với A1, A2 ,. là dãy các tập rời nhau trong F thì        An      An  (1.1)  n1  n1 7  , F,   được gọi là một không gian xác suất.

Một không gian xác suất  là đầy đủ nếu với mỗi B  AF sao cho ta  A  0 , có B F. Trong tình huống khi mà thời gian biến đổi, nhiều thông tin được tiếp nhận hơn, ta phải thêm thành phần phụ thuộc thời gian vào không gian xác suất , F,   .4 (Lọc) Một lọc (hay dòng thông tin) trên  , F,   là một họ tăng các  - đại số  Ft  : t[ 0 Fs  Ft  FT  F với 0  s  t  T. Ft biểu diễn thông tin nhận được tại thời gian t, và lọc  Ft biểu diễn dòng  t[ 0 thông tin diễn tiến theo thời gian. Một không gian xác suất  , F,   trang bị một lọc được gọi là không gian xác suất lọc  ,F, , F  t t[0,T ] .

(ii) F0 chứa tất cả các tập  - không của . Nghĩa là ta biết biến cố nào là có thể và biến cố nào là không. (iii)  Ft t[ 0,T ] là liên tục phải, tức là Ft  Ft   st Fs.  8 Tham số thời gian t có thể hoặc là rời rạc hoặc là liên tục.

Với mỗi biễn ngẫu nhiên w , quỹ đạo X  w : t  X t  xác định một hàm số của thời gian gọi là w quỹ đạo mẫu của quá trình. Do đó các quá trình ngẫu nhiên có thể cũng được hiểu như là các hàm số ngẫu nhiên.7 (Các quá trình tương thích) Một quá trình ngẫu nhiên  X t được gọi là F - tương thích (hay không đoán trước được theo cấu trúc t t[ 0 thông tin  Ft  ) nếu với mỗi t [0,T] , giá trị của X là được xác định tại thời t t[ 0 gian t: biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được.8 (Thời gian dừng) Một thời gian ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên dương T  0 biểu diễn thời gian mà tại đó biến cố nào đó là đang xảy ra. Nếu cho trước dòng thông tin Ft thì ta có thể xác định liệu biến cố có xảy ra   t  hay không   t  , thời gian ngẫu nhiên  được gọi là thời gian dừng (hay thời gian ngẫu nhiên không đoán trước). Nói cách khác,  là thời gian ngẫu nhiên không đoán trước ( Ft  - thời gian dừng) nếu t  0,  t Ft .2 Một số quá trình ngẫu nhiên 1.1 Quá trình Markov Một quá trình Markov là một dạng quá trình ngẫu nhiên trong đó chỉ giá trị hiện tại của biến là thích hợp để dự đoán tương lai.

Quá khứ của biến và cách thức mà hiện tại xuất hiện từ quá khứ là không liên quan (nôm na là quá khứ được hợp nhất trong giá trị hiện tại).9 (quá trình Markov) Cho  , F,   là một không gian xác suất, cho T là một số dương xác định, và cho  Ft  là một lọc. Xét một quá trình t[ 0 tương thích  X t . Nếu với hàm Borel – đo được t[ 0 f : E  f  X t  | Fs   E  f  X t  | (1.2) X s  9 quá trình  X t  được gọi là quá trình Markov.2 Martingale Định nghĩa 1.3) E  Xt | Fs   Xs X là martingale trên nếu (iii) được thay bởi E  Xt | Fs   X s , s  (1.4) t X là martingale dưới nếu (iii) được thay bởi E  Xt | Fs   X s , s  (1.5) t Nói cách khác, dự báo tốt nhất cho giá trị tương lai của martingale là giá trị hiện tại của nó. Martingale biểu diễn các tình huống mà trong đó không có độ lệch hay xu hướng, mặc dù có thể có rất nhiều tính chất ngẫu nhiên.

Trong thống kê ta có dữ liệu = dấu hiệu + nhiễu (data = signal + noise), martingale được sử dụng để mô hình thành phần nhiễu. Một ví dụ gần gũi của martingale là quá trình Weiner Wt .3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng 1.1 Các hàm đặc trưng Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên là một biến đổi Fourier của phân bố của nó. Nhiều tính chất xác suất của các biến ngẫu nhiên dựa vào các tính chất giải tích của các hàm đặc trưng, khiến cho khái niệm này rất hữu ích trong việc nghiên cứu các biến ngẫu nhiên.11 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là hàm  :  d   xác định bởi X   t   E  eitX   E cos  tX   iE sin  tX  (1.6) X Cho là hàm phân bố xác suất của X. Khi đó FX   t   E  eitX     eitx dF  x  (1.7) X  do đó  là một biến đổi Fourier của F , nhưng không nhân với hằng số như  2  1/ 2 như thường được dùng trong phân tích Fourier.

Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên xác định phân phối xác suất: hai biến với cùng hàm đặc trưng là có cùng phân phối. Một hàm đặc trưng thì luôn luôn liên tục và thỏa mãn  X 0  1 ,   t   1,   t   e itb  at  .12 Nếu X là khả tích thì X có hàm mật độ được cho bởi 1f  x    eiux  u  du .13 ( Hàm đặc trưng Gauss) Đối với phân bố chuẩn N   ,   , ta có thể 2 định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau: 1 1  x   2 i z   2z2 f  x  ,1 e 2  2  ze (1.14 ( Hàm đặc trưng Poisson) Đối với phân bố Poisson P    , ta có thể định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau: f k     X  X  z     1e   k iz  k  e  , (1.2 Các tham số đặc trưng Các tham số đặc trưng là những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán (Expected Value) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có x1, x2 ,., xn với các xác suất tương ứng p1, p2 ,. Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc X ký hiệu là E  X  là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng: n E  X    xi pi .10) i1 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f  x  thì kỳ vọng toán E  X  được xác định bằng biểu thức E  X     xf  x  dx .11)  Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng giá trị trung bình (Mean) 1n x  x của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên.

Nó phản ánh giá trị trung n i 1 i tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Các tính chất của kỳ vọng 1. Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó E  C   C. Kỳ vọng toán của tích một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng tích của hằng số với kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó E  CX   CE  X .

Kỳ vọng toán của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần E  X  Y   E  X   E Y . 12 Phương sai (Variance) Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là Var  X  là kỳ vọng toán của bình phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó 2 Var  X   E  X  E  X   .12) Có thể thấy, phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá trị đó. Do đó nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán. Các tính chất của phương sai 1.

Phương sai của hằng số bằng 0: Var  C   0 2. Phương sai của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên: Var  CX   C2Var  X . Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương sai thành phần: Var  X  Y   Var  X  Var Y . Độ lệch chuẩn (Standard deviation – Std) Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là  X , là căn bậc hai của phương sai X , dùng để đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo Var  X  đơn vị đo của nó.