CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Khái niệm mô hình, mô hình hóa 1. Mô hình và mô hình hóa Mô hình được hiểu như một vật có điểm điểm đặc trưng của vật thực tế, được dùng để thay thế cho vật thực tế đó. Thông qua mô hình, ta có thể khám phá đối tượng mà không cần dùng đến vật thật.
Mô hình là một hình mẫu dùng để minh họa, mô tả hình dáng, cấu trúc, phương thức hoạt động của sự vật, hiện tượng hay một khái niệm. Theo Swetz và Hartzler, mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ mô hình theo ý nghĩa vật lý [31]. Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của của quá trình tư duy, ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa các đối tượng cụ thể hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa.
Mô hình hóa được biết đến như một phương pháp dạy học, cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề, giúp học sinh đọc hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế. Mô hình hóa còn giống như một phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp học sinh biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác nhau. Đây chính là môi trường để học sinh khám phá các kiến thức toán học [10]. 8 Tóm lại, mô hình được dùng để mô tả một đối tượng thực tiễn nào đó, song mô hình không thể thay thế cho vật mẫu.
Mô hình hóa là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết vấn đề nào đó xuất phát từ tình huống thực tiễn. Mô hình hóa toán học Từ những năm 70 của thế kỉ trước, Aristides C. Barreto đã đề xuất ý tưởng đưa mô hình và mô hình hóa vào trong dạy học. Mô hình hóa toán học là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học (các đồ thị, phương trình, hệ phương trình, hàm số, các kí hiệu toán học, …) để biểu diễn và mô tả đặc điểm của một sự vật, hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu[23].
Edwards và Hamson (2001) đưa ra khái niệm mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học thông qua việc thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [10]. Nói cách khác, mô hình hóa toán học chính là quá trình giải quyết vấn đề thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Vấn đề của tình huống thực tiễn được chuyển đổi sang vấn đề toán học phù hợp và ngược lại. Theo Lê Thị Hoài Châu (2014), mô hình toán học là sự giải thích ngôn ngữ toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này.
Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề bằng ngôn ngữ toán học trong mô hình đó, rồi kiểm tra và đánh kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận [8]. Như vậy, có thể nói mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng các công cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, thể hiện các tình huống đó dưới dạng ngôn ngữ toán học. Quá trình chuyển đổi giữa tình huống thực tiễn và tình 9 huống toán học tuân theo một quy trình nhất định với những quy tắc đặc biệt để xây dựng giả thuyết toán học để từ đó học sinh có thể dễ dàng nhìn nhận các vấn đề thực tiễn. Mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo cả hai chiều, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau, đồng thời có kiến thức liên quan đến tình huống thực tiễn.
Quy trình mô hình hóa toán học 1. Quy trình mô hình hóa Năm 1970, Pollak đã đưa ra sơ đồ mô hình hóa đầu tiên về sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học và ngược lại khi thực hiện mô hình hóa [29]. Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak Từ sơ đồ ta thấy, tình huống thực tiễn ban đầu được phiên dịch sang tình huống toán học dựa trên ngôn ngữ toán học, rồi giải bài toán trong mô hình đó, và quay lại áp dụng kết quả với tình huống thực tiễn ban đầu. Chiều các mũi tên biểu thị cho sự chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học nhiều lần.
Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [31] Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán học. Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng. 10 Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình.
Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận.1: Một sợi dây thẳng nằm ngang có chiều dài là L (m) , được chia thành hai phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phần thứ hai uốn thành hình tròn. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình thu được nhỏ nhất ? Lời giải Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn. - Từ đề bài ta vẽ hình minh hoạ tương ứng Hình 1.
Hình mô phỏng trong ví dụ 1.1 - Trọng tâm của bài toán: Tổng diện tích hình tam giác và hình tròn phụ thuộc vào việc tính toán phần dây bị cắt đi để tạo thành tam giác đều. Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dùng ngôn ngữ toán học. Dựa vào đó, xây dựng bài mô hình toán học tương ứng. - Bài toán quy về việc tính toán phần dây để cắt đi sao cho tổng diện tích các hình được tạo thành nhỏ nhất.
11 Giai đoạn 3: Vận dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực tiễn để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình. Gọi x là độ dài của cạnh hình tam giác đều. Chiều dài phần dây làm thành tam giác là 3x. L - 3x Chiều dài phần dây làm thành hình tròn là L - 3x Þ chính là bán kính 2p của đường tròn.
æL - 3x ö Khi đó ta có: S = Stron + Stamgiac = p çç ÷ ÷ 2 x 2 3 ( ) 9 + p 3 x 2 - 6 Lx + L2 çè 2p ø ÷+ 4 = 4p Xét ( ) f (x) = 9 + p 3 x 2 - 6 Lx + L2. Ta có ìï f (x) : parabol ï Þ xmax = - b = 3L í ïï a = 9 + p 3 > 0 2a 9 + p 3 ïî 3L Do đó ta có x = thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9+ p 3 Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận. - Từ kết quả bài toán, học sinh hiểu được cách cắt đi phần dây có độ dài như thế nào để thu được các hình trang trí thỏa mãn theo yêu cầu đã định.
- Trong thực tế việc tính toán để cắt phần dây và gấp thành các hình theo yêu cầu còn phụ thuộc vào việc sử dụng chúng để làm việc gì, loại dây to hay nhỏ, việc vận chuyển chúng như thế nào, hay không gian để đặt các hình trang trí đó… Quy trình mô hình hóa và giải quyết vấn đề có những đặc điểm tương tự nhau, hỗ trợ các học sinh rèn luyện thông qua các phương pháp để phát triển hướng dẫn tư duy của học sinh và thúc đẩy các quá trình siêu nhận thức. Quy 12 trình này là vòng tuần hoàn khép kín vì nó được dùng để mô tả thế thới thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích các vấn đề trong thực tiễn; học sinh thường phải quay lại các giai đoạn trước để kiểm tra thông tin hoặc tinh chỉnh các chiến lược. Swetz và Hartzler minh họa quy trình trên theo sơ đồ sau[31]: Sơ đồ 1. Sơ đồ quy trình mô hình hóa theo Swetz và Hartzler 1991.
Chúng ta có thể mô tả mô quá trình mô hình hóa một tình huống nào đó xảy ra với ba giai đoạn: giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn nghiên cứu trên mô hình và giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình. - Giai đoạn xây dựng mô hình, giai đoạn cần đến trí tưởng tưởng, trực giác của học sinh. Nhờ trí tưởng và trực giác học sinh xây dựng mô hình dựa trên các đặc điểm đặc trưng của đối tượng. Mô hình này có thể là mô hình vật chất hoặc liên tưởng tới những mô hình đã có sẵn.
Hay nói cách khác, giai đoạn xây dựng mô hình là giai đoạn đi tìm hình mẫu đại diện cho đối tượng. - Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình, giai đoạn này mô hình phát hiện được ở giai đoạn trước trở thành đối tượng nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm khác nhau. Đó là quá trình nghiên cứu mô hình có phù hợp với đối tượng ban đầu hay không và đến giai đoạn tiếp theo. 13 - Giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình, giai đoạn này kết quả thu được dựa trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu ban đầu để đối chiếu, dựa vào đó để điều chỉnh mô hình phù hợp với đối tượng.
Hầu hết các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Bloom và Leib (2006) bao gồm 7 bước mô tả quá trình giải quyết nhiệm vụ mô hình hóa. Đặc điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Bloom cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa[24]. Quy trình mô hình hóa theo Bloom năm 2006.