XÁC SUẤT THỐNG KÊ Học là cách thay đổi số phận! NỘI DUNG 1/ Xác suất là gì, học xác suất để làm gì? 2/ Giải tích tổ hợp 3/ Các phép toán trên tập hợp 4/ Phép thử và biến cố I. Xác suất là gì, học xác suất để làm gì ? a. Xác suất là gì ? - Bắt nguồn từ probare có nghĩa là để chứng minh, để kiểm chứng, để chỉ những sự việc hoặc kiến thức chưa chắc chắn hay nói cách khác, xác suất dùng để chỉ khả năng xảy ra một sự việc nào đó. Sơ lược về lịch sử xác suất - Năm 1550 Cardan đã đưa ra một bản thảo và trình bày một ý nghĩa thô của xác suất.
Tuy nhiên bản thảo lại được phát hiện vào năm 1576 và in vào năm 1663. - Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm 1654. Pierre de Fermat Blaise Pascal - Christiaan Huygens đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học vào năm 1657 Christiaan Huygens - Xác suất thường đi kèm với môn học song hành là Thống kê, là ngành học nhằm đưa ra các mô hình toán học về sự ngẫu nhiên và cho phép tính toán về sự ngẫu nhiên trong những trường hợp phức tạp. Học xác suất để làm gì ? Để ta dự đoán được khả năng của một sự vật hiện tượng nào đó, giúp ta có hướng giải quyết đúng đắn.
VD: Ta có thể dự đoán khả năng thi đậu 1 môn học, khả năng trúng số, hay khả năng “cưa đỗ” đối phương… II. Giải tích tổ hợp 1. Quy tắc cộng a. Định nghĩa: Nếu một công việc nào đó phải thực hiện theo k phương án khác nhau, trong đó: + Phương án 1: có n1 cách thực hiện + Phương án 2: có n2 cách thực hiện + Phương án k có nk cách thực hiện + ………………………………….
Khi đó, có n = n1+n2+… +nk cách thực hiện công việc. Ví dụ: Từ lầu 1 lên lầu 5: +Phương án 1: đi bộ +Phương án 2: đi thang máy vậy ta có 1+1 = 2 cách để đi Chú ý: Khi nói đến quy tắc cộng, ta nói đến hai phương án thực hiện công việc hoàn toàn độc lập nhau. Quy tắc nhân a. Định nghĩa: Nếu công việc nào đó phải thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp, trong đó: + Giai đoạn 1: có n1 cách thực hiện + Giai đoạn 2: có n2 cách thực hiện + ………………………………….
+ Giai đoạn k: có nk cách thực hiên Khi đó, có n = n1.n2… nk cách thực hiện công việc. VD: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số ? Chú ý: Khi nói đến quy tắc nhân, ta nói đến các giai đoạn liên tiếp nhau để thực hiện một công việc. Định nghĩa: Hoán vị của m phần tử là một nhóm có thứ tự gồm đủ m phần tử đã cho. Công thức: Pm = m! VD: Hỏi có bao cách xếp 10 cây viết thành 1 hàng ngang ? VD2: có bao nhiêu cách sắp xếp 10 SV vào một cái bàn tròn có 10 ghế? 4.
Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho. công thức: Ví dụ: Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ tập hợp {1;2;3;4} ? Giải: Số tự nhiên lập được là chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử: = = 24 số Chú ý: Khi nói đến chỉnh hợp ta phải chú ý đến thứ tự 5. Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử (k<=n) là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau được chọn từ n phần tử đã cho. Công thức: Ví dụ: Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng.
Có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên từ hộp sao cho có 2 bi đỏ ? Giải: Lấy 2 bi đỏ từ hộp là tổ hợp chập 2 của 5 phần tử: = 10 cách Chú ý: Khi nói đến tổ hợp ta không kể thứ tự. Khái niệm: Tập hợp có thể hiểu tổng quát là sự tụ tập, tập trung hữu hạn hay vô hạn của một đối tượng nào đó. Các đối tượng này là phần tử của tập hợp. Chú ý + Ta thường kí hiệu tập hợp bằng các chữ cái in hoa (A,B,C,S…), và các phần tử là các chữ cái thường (a,b,c…) + a thuộc tập hợp A ta kí hiệu a A + b không thộc B ta kí hiệu b / B + Tập không có phần tử nào ta kí hiệu a.
Tập con: Cho hai tập A và B, A gọi là con của B khi mọi phần tử của A cũng là phần tử của B. Phép hợp: Cho hai tập hợp A và B, hợp của A và B là tất cả phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A và B - Kí hiệu: A U B Ví dụ: A = {2;4;6;8} B = {1;3;5;7;9} AUB = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} c. Phép giao: Cho 2 tập hợp A và B, giao của A và B là tất cả phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Kí hiệu: A B Ví dụ A = {a;e;b;c;d} B = {b;c;n;m} A B = {b;c} d. Phép trừ: Cho tập hợp A và B, hiệu của A với B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B Kí hiệu: A\B Ví dụ: A = {18;27;36;45;54;63;72;81} A B = {13;14;15;16;17;18;19} B => A\B={27;36;45;54;63;72;81} Chú ý: A\B khác B\A IV.
Phép thử, biến cố 1. Phép thử: Có hai loại hiện tượng - Hiện tượng tất yếu: Thực hiện ở điều kiện giống nhau thì kết quả giống nhau Ví dụ: Đun 100 độ thì nước sôi, kéo lò xo thì lò xo giãn,… - Hiện tượng ngẫu nhiên: thực hiện trong điều kiện giống nhau nhưng cho kết quả khác nhau. Đây là đối tượng nghiên cứu xác suất. Ví dụ: rút 1 lá bài trong bộ bài, chọn 1 con trong bộ lô tô, tung một con xúc xắc, quay chiếc nón kì diệu… - Phép thử ngẫu nhiên (phép thử) là việc thực hiện một thí nghiệm hay quan sát một hiện tượng mà không biết kết quả xảy ra nhưng có thể biết tất cả các kết quả có thể xảy ra.
ví dụ: Ta không biết trước được kết quả học cuối năm như thế nào, nhưng ta biết được có thể rơi vao các trường hợp: kém, yếu, trung bình, khá, giỏi. - Tập hợp tất cả các kết quả xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu. Biến cố - Tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. Biên cố được kí hiệu từ các chữ cái in hoa: A, B, C… - “Biến cố không thể”, kí hiệu là biến cố chắc chắn không xảy ra khi thực hiện phép thử - “Biến cố chắc chắn”, kí hiệu Ω là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiên phép thử Ví dụ: Ta tung 1 con xúc xắc: - Không gian mẫu là Ω = {1,2,3,4,5,6} là biến cố chắc chắn.
- Biến cố không thể 7 - “Biến cố xung khắc”: A và B được gọi là xung khắc nếu A .B - “Biến cố đối lập”: A và B được gọi là đối lập nếu A .B A B Bài 1 Biến cố và Xác suất của biến cố Phép thử và biến cố Phép thử ngẫu nhiên Là sự thực hiện một số điều kiện xác định (thí nghiệm cụ thể hay quan sát hiện tượng nào đó), có thể cho nhiều kết quả khác nhau. Các kết quả này không thể dự báo chắc chắn được. Một phép thử thường được lặp lại nhiều lần. Phép thử và biến cố Không gian mẫu (KG biến cố sơ cấp) Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử gọi là không gian mẫu (hay không gian biến cố sơ cấp), ký hiệu .
Mỗi kết quả của phép thử, , gọi là biến cố sơ cấp. Một tập con của không gian mẫu gọi là biến cố. Phép thử và biến cố Các ký hiệu - : không gian mẫu. - : biến cố sơ cấp - A, B, C, …: biến cố - |A|: số phần tử của biến cố A Phép thử và biến cố Ví dụ - Tung đồng xu ={S,N}; S,N}; }; 1=“S”, S”, 2=“S”, N}; ” - Tung con xúc sắc ={S,N}; 1,…, 6} i=“S”, Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6 - Đo chiều cao (đv: cm) 0, 250 Quan hệ giữa các biến cố Tổng 2 biến cố Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A hoặc B.
A B A+B Quan hệ giữa các biến cố Tích của hai biến cố Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tích của A và B, ký hiệu AB (hay AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A và B. A AB B Phép thử và biến cố Ví dụ - Tung đồng xu ={S,N}; S,N}; }; 1=“S”, S”, 2=“S”, N}; ” - Tung con xúc sắc ={S,N}; 1,…, 6} i=“S”, Xuất hiện mặt thứ i”, i=1,…,6 - Đo chiều cao (đv: cm) 0, 250 Quan hệ giữa các biến cố Tổng 2 biến cố Xét A và B là hai biến cố trong không gian mẫu , thì biến cố tổng của A và B, ký hiệu A+B (hay AB), là tập chứa những kết quả trong thuộc về A hoặc B. A B A+B Quan hệ giữa các biến cố Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu AB=. AB= A B Quan hệ giữa các biến cố Biến cố đối lập Biến cố không xảy ra khi biến cố A xảy ra gọi là biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A.
A A Biến cố chắc chắn - . Biến cố không thể - . Quan hệ giữa các biến cố Ví dụ. Tung một lần con xúc sắc cân đối và đồng chất.
Không gian mẫu: ={S,N}; 1,2,3,4,5,6} Đặt A = “S”, Xuất hiện mặt có số điểm chẵn” B = “S”, Xuất hiện mặt có số điểm ít nhất là 4” Quan hệ giữa các biến cố = {S,N}; 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {S,N}; 2, 4, 6} B = {S,N}; 4, 5, 6} Biến cố đối lập: A {1, 3, 5} B {1, 2, 3} Biến cố tích: AB {4, 6} AB {5} Biến cố tổng: A B {2, 4, 5, 6} A A {1, 2, 3, 4, 5, 6} Xác suất của biến cố Xác suất 1 Chắc chắn xảy ra Khả năng một biến cố sẽ xảy ra.