Giáo trình lý thuyết phép tính vi phân và tích phân cho hàm một biến số

• Tác giả: Nguyễn Mạnh Quy
• Người hướng dẫn: GS TSKH Nguyễn Thừa Hợp
• Trường học: Đại Học Sư Phạm
• Chuyên ngành: Giải Tích
• Đề tài: Giáo Trình Lý Thuyết Phép Tính Vi Phân Và Tích Phân Hàm Một Biến Số
• Loại tài liệu: giáo trình
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG MỞ ĐẦU
• 1.1. Số thực
• 1.2. Giá trị tuyệt đối
• 1.3. Sai số
• 2. CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
• 2.1. Định nghĩa giới hạn của một dãy số thực
• 2.2. Một số tính chất đơn giản của giới hạn
• 2.3. Các phép toán trên giới hạn
• 2.4. Bổ đề công to về dãy đoan bao nhau và định lí Bô-nanô - Vâyơxtrat
• 2.5. Tiêu chuẩn Côsi
• 2.6. Giới hạn vô cùng lớn và vô cùng bé
• 2.7. Một vài giới hạn quan trọng số e và logarit tự nhiên
• 3. CHƯƠNG II: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
• 3.1. Bổ túc về hàm số
• 3.2. Định nghĩa giới hạn của hàm số. Tiêu chuẩn Côsi
• 3.3. Một số tính chất và các phép toán
• 3.4. Giới hạn một phía
• 3.5. Giới hạn tại vô cùng
• 3.6. Giới hạn vô cùng
• 3.7. Vô cùng bé và vô cùng lớn. Các hàm số tương đương
• 4. CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC
• 4.1. Định nghĩa hàm số liên tục. Các điểm gián đoạn
• 4.2. Các phép toán trên hàm số liên tục. Hàm số hợp của hai hàm số liên tục
• 4.3. Hàm số liên tục trên một đoạn
• 4.4. Tính liên tục của hàm số ngược
• 4.5. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp
• 4.6. Một vài giới hạn liên quan đến số e
• 5. CHƯƠNG IV: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
• 5.1. Định nghĩa đạo hàm. Một vài tính chất đơn giản
• 5.2. Mở rộng khái niệm đạo hàm
• 5.3. Các quy tắc tính đạo hàm
• 5.4. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
• 5.5. Vi phân
• 5.6. Đạo hàm cấp cao
• 5.7. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp Newton
• 6. CHƯƠNG V: CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM
• 6.1. Các định lí về giá trị trung bình
• 6.2. Quy tắc Lôpitan
• 6.3. Công thức Taylor
• 7. CHƯƠNG VI: KHẢO SÁT HÀM SỐ
• 7.1. Tính tăng và tính giảm của hàm số
• 7.2. Cực trị của hàm số
• 7.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• 7.4. Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong
• 7.5. Tiệm cận
• 7.6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• 8. CHƯƠNG VII: TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH
• 8.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định
• 8.2. Các tính chất đơn giản
• 8.3. Phương pháp đổi biến số dưới dấu tích phân
• 8.4. Phương pháp tích phân từng phần
• 8.5. Tích phân các hàm số hữu tỉ
• 8.6. Tích phân các hàm số vô tỉ và siêu việt
• 8.7. Khái niệm về phương trình vi phân
• 9. CHƯƠNG VIII: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• 9.1. Bổ luận kiến thức
• 9.2. Tích phân xác định
• 9.3. Tính chất của tích phân xác định
• 9.4. Các phương pháp tính tích phân
• 9.5. Ứng dụng của tích phân
• 9.6. Tính gần đúng tích phân
• 9.7. Tích phân suy rộng
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Giới thiệu chung

Giáo trình lý thuyết phép tính vi phân và tích phân hàm một biến số là tài liệu quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên THCS. Tài liệu này tập trung vào các khái niệm cơ bản của giải tích toán học, bao gồm giới hạn, đạo hàm, và tích phân. Các khái niệm này được xây dựng dựa trên nền tảng lý thuyết giới hạn, được coi là cốt lõi của giải tích. Giáo trình cung cấp các ví dụ minh họa, bài toán thực tế, và hệ thống bài tập phong phú để giúp sinh viên nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tiễn.

1.1. Mục tiêu giáo trình

Giáo trình nhằm trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến số. Nó giúp sinh viên hiểu sâu về các khái niệm như giới hạn, hàm số liên tục, đạo hàm, và tích phân. Đồng thời, giáo trình cũng chú trọng đến việc phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế thông qua các ví dụ và bài tập được thiết kế kỹ lưỡng.

1.2. Cấu trúc giáo trình

Giáo trình được chia thành các chương, mỗi chương tập trung vào một chủ đề cụ thể. Các chương bao gồm: Chương mở đầu giới thiệu về số thực và các khái niệm cơ bản; Chương I về giới hạn của dãy số; Chương II về hàm số và giới hạn hàm số; Chương III về hàm số liên tục; Chương IV về đạo hàm và vi phân; Chương V về các định lý cơ bản của đạo hàm; Chương VI về khảo sát hàm số; Chương VII về tích phân không xác định; và Chương VIII về tích phân xác định.

II. Nội dung chính

Giáo trình đi sâu vào các khái niệm và phương pháp tính toán trong phép tính vi phân và tích phân. Các chương đầu tiên tập trung vào việc xây dựng nền tảng lý thuyết, bao gồm giới hạn và hàm số liên tục. Các chương sau đó mở rộng sang các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm, vi phân, và tích phân. Mỗi chương đều có các ví dụ minh họa cụ thể và bài tập để sinh viên thực hành.

2.1. Giới hạn và hàm số

Giới hạn là khái niệm trung tâm trong giải tích. Giáo trình trình bày chi tiết về giới hạn của dãy số và hàm số, bao gồm các định nghĩa, tính chất, và các phép toán liên quan. Các tiêu chuẩn hội tụ như tiêu chuẩn Cauchy cũng được đề cập. Ngoài ra, giáo trình cũng giới thiệu về các hàm số và giới hạn của chúng, giúp sinh viên hiểu rõ hơn về sự hội tụ và phân kỳ của các hàm số.

2.2. Đạo hàm và vi phân

Đạo hàm là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu sự biến thiên của hàm số. Giáo trình trình bày các định nghĩa về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, và các ứng dụng của đạo hàm trong việc tìm cực trị và khảo sát hàm số. Vi phân cũng được giới thiệu như một công cụ để xấp xỉ giá trị của hàm số tại các điểm gần nhau.

2.3. Tích phân và ứng dụng

Tích phân là khái niệm đối ngẫu với đạo hàm, được sử dụng để tính diện tích, thể tích, và các đại lượng khác trong toán học và vật lý. Giáo trình trình bày cả tích phân không xác định và tích phân xác định, cùng với các phương pháp tính tích phân như phương pháp đổi biến và phương pháp tích phân từng phần. Các ứng dụng của tích phân trong thực tế cũng được đề cập chi tiết.

III. Đánh giá và ứng dụng

Giáo trình phép tính vi phân và tích phân hàm một biến số là tài liệu thiết yếu cho sinh viên ngành toán và các ngành khoa học khác. Nó không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn giúp sinh viên phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế. Các ví dụ và bài tập được thiết kế kỹ lưỡng giúp sinh viên hiểu sâu và áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Giáo trình cũng là nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho các giảng viên và nhà nghiên cứu.

3.1. Giá trị thực tiễn

Giáo trình không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn chú trọng đến việc áp dụng kiến thức vào thực tế. Các bài toán thực tế được đưa vào giúp sinh viên hiểu rõ hơn về ứng dụng của phép tính vi phân và tích phân trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, và kinh tế. Điều này giúp sinh viên phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.

3.2. Đóng góp cho giáo dục

Giáo trình đóng góp quan trọng vào việc nâng cao chất lượng đào tạo giáo viên THCS. Nó cung cấp một hệ thống kiến thức toàn diện và bài bản, giúp sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản và nâng cao trong giải tích. Đồng thời, giáo trình cũng khuyến khích sinh viên tự học và nghiên cứu thông qua các bài tập và tài liệu tham khảo.