MỞ ĐẦU Chương này nhằm chuẩn bì những kiến thức thiết yếu để hoc môn Giải tích Đó cũng là những kiến thức cần thiết để học nhiểu môn Toán hoc và khoa hoc khác Số thực Xay dung tap hop số thưc là nhiêm vụ của môn Cơ sở Số hoc, ban đọc sẽ được hac day đủ trong môn này, bao gồm những điểm chính yếu sau đây Đình nghĩa số thưc — các phép tính trên tâp hợp số thưc — quan hê thứ tu trén tap hơp số thưc — các tính chất của tap hap số thưc Trong các tính chất của tấp hop sô thưc, tính đầy đủ của nó là cơ sở để chứng mình những đình lí chủ chốt của lí thuyết giới han ~ lí thuyết cốt lõi của môn Giải tích Theo chương trình, môn Giải tích thường được hoc ngay từ đầu, trước khi hoc môn Cơ sở Số hoc Vì thế ở đây phải giới thiêu về số thực, chủ vếu để trình bày tính đầy đủ của tập hơp số này, được sử dung trong Giải tích Giá trị tuyệt đổi Giá trì tuyệt đối là phân ánh đai số của khái niêm khoảng cách trong hình hoc Vì thế nó quan trong không phải chỉ trong môn Giải tích mà cả trong nhiều môn Toán hoc và khoa hoc khác Những bất đẳng thức về giá trì tuyêt đối rất cần thiết trong các tính toán ước lương, cả trong lí thuyết lẫn thưc hành Sai số Trong thực tế, không bao giờ ta biết được sé đo đúng của một đại lượng dò dung cu đo có tình vị đến đâu, vẫn có thể có sai số Hơn nữa, sai số có thể mắc phản bởi nhiều nguyên nhân khác do phương pháp đo, do chủ quan người đo (tay, mất, sức khoẻ ), do các yếu tố thiên nhiên, 11 ngẫu nhiên, đo tính toán (làm tròn số}, Vấn đề là bằng moi cách phải làm giảm các sai số đó, càng nhỏ càng tốt, hoäc ít nhất cũng phản nhỏ đến mức chấp nhân được tuỳ theo nôi dung của bài toán Ví du đo chiều rông của một cái bàn mà mắc sai s6 lem thì chắc khó được chấp nhân, nhưng nếu đo khoảng cách giữa hai tỉnh thì sai số lem sẽ đươc bổ qua Có nghĩa là phải khống chế đươc sai số Thông thường có 3 loại sat số — Sai số về số liêu do do dac hay đo nhiều nguyên nhân ~ Sai số về phương pháp đo (hay là phương pháp tính gần đúng) — Sai số tính toán (đo quy tròn số) Dướa đây sẽ trình bày lí thuyết chung về sai số để có thể vân dung vào nhiều môn Toán hoc và khống chế chung đươc tất cả các loại sai số trên Nhưng khì áp dung, mỗi môn Toán hoc — cu thể hơn mỗi nôi dung tính toán — có một phương pháp tính gần đúng riêng, do đó trong giáo trình mỗi khi găp môt vấn đề phải ước lượng sai số, ta chú ý hơn tới sai số về phương pháp §1. SỐ THỰC Từ lâu, xuất phát từ nhu cầu đếm, đo, người ta đã biết tới các số tư nhiên và số hữu tỉ, và cũng đã biết, tập bơp số hữu tỉ chưa đáp ứng đủ yêu cầu về đo đac nếu chỉ có số hữu tỉ thì đường chéo của môt hình vuông canh đơn vì không có chiểu đài (xem giải thích ở mức 1 2) Từ đó đã manh mún môt loai số mồi — số vô tỉ, hợp với các số hữu tỉ thành tập hop số thưc và chúng cũng đã xâm nhập đươc vào đời sống của toán học từ lâu Nhưng mai dén thé ki XVII, to4n hoe và cả giải tích toán hoc vẫn chỉ thoả mãn với môt định nghĩa còn mơ hồ, xa la với số hoe về số vô tỉ, theo đó số vô tỉ biểu điễn các đai lương vô ước với đơn vì (còn số hỡu tỉ (dương) biểu diễn các đai hương khả ước với đơn vì) Chỉ đến cuối thế kỉ XVII — đầu thế kỉ XIX, do yêu cầu chính xác hoá những khán niêm cơ 12 bar va chung mình chặt chẽ những đình lí quan trong của giải tích toá+ học, người ta mới nhân thấy cần phải xây dưng lí thuyết về số thư: một cách chat ché, đãc biệt là phải chứng tổ được tính đầy đủ của tap hap sé thuc (xem muc 1 6 đưới đây), nếu không. )í thuy£ t giới han — kéo theo là cả giản tích toán hoc — không có cơ sở đứng vững Lúc đó rất nhiều nhà toán hoc có tên tuổi, độc lâp với ›hau, đã bỏ nhu công sức tâp trung vào công việc xây dưng số thưc, và chỉ trong môi thời gan ngắn đã đưa ra dược rất nhiều cách xây dưng bằng lát cắt Décokin (Richard Dedekind (1831 — 1916) — môt nhà Toán hoc Đức), bằng đãy chuẩn tắc, bằng tập thương trên mét quan hê tương đương troxg tập hơp số hữu tỉ, bằng số thâp phân vô han, bằng tiên đề Theo yéu cau của chương; trình, giáo trình này chon cách xây dưng số thực dưa vào số thâp phân vô han để gắn với kiến thức giảng day ở trưởng phổ thông Muốn vây, trước hết phải nhắc lai những kết quả về biếu diễn số hữu tỉ bằng số thập phân Ta không đưa ra các chứng mình (baa đọc có thể tìm duce trong môn Cơ sở Số hoc) mà chỉ nêu lên các kết quả thông qua các ví du 1. Giới thiệu một số kết quả trong tập hợp các số hữu tỉ Q Ở đây ta chỉ để cập tói việc biểu diễn số hữu tỉ bằng số thâp phân Ta biết rằng md: sé hitu ti d tu có thể biểu diễn được dưới đang môt phân A Tr a.b #0 Nhu xg phan sé 5 lai chính là phép chìa của số ) nguyên a cho số nguyên b_ 3ằng cách thưc hiên phép chìa đó, ta có thể biét diễn số hữu tỉ đưới mét dang khác mà ta goi là số thap phan Dé cho đơn giản, dưới đây ta c.u đì tìm sự biểu diễn của số hữu tỉ dương Đối với các số hữu tỉ âm, ta "hỉ cần biểu diễn số đối của nó (là số hữu tỉ đương) rồi đất thêm đấu ~— ở : tằng trước Phân số thập phân 3ố hữu tỉ x (đương) được goi là môt phân số thâp phân nếu nó biểu diér dude dudi dang mét ph4i số có mẫu số là luỹ thừa của 10 18 Vi du x= 28.
81405 OR g2 an? aay haa “na? 25 5° 10 2) 2?x5 10 _,-4_4 1 10 Rõ ràng ta nhân thấy môt số hữu tỉ là phân số thâp phân khi và chỉ khì nó là môt số nguyên hoäc là môt phân số dưới dang tối giản có mẫu sế không chứa ước nguyên tố nào khác ngoài 2 và 5 Số thập phân hữu hạn 18728 Giả sử có phân số thâp phân Ta hãy tìm cách biểu diễn khác của phân số này Ta biết 18728 = 1 x 10! + 8x 10? + 7 x 10? + 2 x 10 +3 18723 _ 18723 _ Vay 1x 107+ 8x 10'+7x 10°+2x10'+3x 10? 100 10? Do đó, theo nguyên tắc ghì số trong hê thâp phân ta có thể viết 18122 _ 197,93, 100 dấu phẩy ở giữa để phân cách giữa luỹ thừa của 10 với số mũ không âm và số mũ âm Số 187,23 gọi là số thâp phân hữu han, 187 là phan nguyên, 23 go là phần thâp phân Tổng quát ta có thể kết luân Moi số hữu tỉ là phân số thâp phân đều có thể biểu diễn được dưới dang môt số thâp phân hữu han x=N,aja. a, 14 trorg đó N là môt số tự nhiên, a;, a;, , a„ là những chữ số (0 < a, < 9, 1=12, ,m) 3ố thập phân vô han tuần hoàn 3ối với các số hữu tỉ không phải là phân số thâp phân, ta không thể biểu diễn chúng dưới dang tổng hữu han các luỹ thừa của 10, do đó không thể biểu diễn chúng bằng môt số thâp phân hữu han như trên Tuynhiên, bằng môt phép chia có dư, ta có thể biểu diễn chúng bằng môtsố thâp phân vô han Ví du 515 _ 39,615384 13 Nhưng ta đã biết mỗi phép chìa có dư của a cho b, số dư chỉ có thể là 0,12, , b-1. đo đó cùng lắm chỉ sau b bước là quá trình sẽ đươc lăp lai 7í du 367 —— = 3,336363636 110 36 3,3363636 gơi là số thâp phân vô han tuần hoàn có chu kì 36 và được kí hiêu là 3,3(36) Ta có thể kể ra các số thâp phân vô han tuần hoài có chu kì đơn (chỉ có môt chữ số) như sau 1 —=0,111 =0, 9 (1) 2 ~=0,222 =0,(2 9 3 (2) 2-1-0333 =0, 9 3 4 20,444 =0,(4) 9 5 —=0,B55 =0, 9 5 (5) Š _2 0.666 =0,(6) 9 3 420,777 =0, 9 15 =0,888 =0,(8) | c Qua đây có thể đát ra vấn để có số thâp phân vô han tuần hoàn có chu kì 9 hay không? Cứ theo cách quy nap ở trên thì số đó phải là 0,(9) = 0,999 ===1, tức là số đó có thể coi như bằng 1 Ta có thể giải thích tính hợp )í của quy ước này (trong môn Cơ sở Số hoc, ban đọc có thể tìm được lí luân chặt chẽ hơn) bằng cách tính tổng của môt cấp số nhân như sau 0999 -2 42474 10 10° 10 ° fie te “to.1 10 9 10 Nhu vay ta có kết luân Mỗi số bữu tỉ không phảt là phân số thâp phân có thể biểu diễn đưới đang số thâp phân vô han tuần hoàn không có chu kì 9 X=N, aia. Ain) (số thâp phân vô han tuần hoàn chu kì 9 x=N,a¡a; a(9) có thể xem như x=N,a,a, fa,+ 1] vidu x =3,549999 = 3,55) Biểu dién sé hitu ti bang sé thập phân Từ các nhân xét trên, nếu coi số thâp phân hữu han cũng là một số thâp phân vô han tuần hoàn có chu kì 0 (vi du 3,54 = 3,5400000 ) thi ta có môt kết luân tổng quát như sau Mãi số hữu tỉ đều đươc biểu diễn một cách duy nhất đưới dang môt số thâp phân vô han tuần hoàn chu kì khác 9 Đảo lai có thể chứng mình 16 được rằng Mi số thập phân vô han tuần hoàn không có chu kì 9 đều biểu diễn môt số hữu tỉ 1.
Yêu cầu mở rông tập hợp các số hữu tỉ Q Ta đã biết đô đài đường chéo x của môt hình vuông canh đơn vị được tính theo công thức Pìtago như sau x? = 12+ 12=9 Nhưng có thể chứng mình được không có môt số hữu tỉ nào mà xÊ = Qua vay, ma sử x được biểu diễn đưới dang một phân số tối giản x =. ; ta có 3 (2) h bề —| =9 2=9 B Ti , từ đó rút ra a phải là số chẵn a= 2p Khi đó (2p)? = 2b? hay b° = 2p?