Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Vũ Thị Hương, thực hiện tại Viện Toán học – Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên, thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số: 9 46 01 12), bảo vệ năm 2020. Đề tài nghiên cứu mang tên: "Một số bài toán tối ưu hóa chứa tham số trong kinh tế toán" (Some Parametric Optimization Problems in Mathematical Economics).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Kinh tế học toán học ứng dụng các công cụ giải tích hiện đại để mô hình hóa và phân tích các hành vi kinh tế ở cả cấp độ vi mô và vĩ mô. Trong kinh tế vi mô, bài toán người tiêu dùng tối đa hóa thỏa dụng dưới ràng buộc ngân sách (tương đương về mặt toán học với bài toán người sản xuất tối đa hóa lợi nhuận dưới ràng buộc chi phí) là mô hình nền tảng. Trong kinh tế vĩ mô, bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu được mô hình hóa dưới dạng bài toán điều khiển tối ưu động.

Mặc dù các mô hình này đã có lịch sử nghiên cứu lâu dài, việc phân tích định tính chuyên sâu đối với chúng dưới góc độ giải tích biến phân hiện đại vẫn tồn tại nhiều khoảng trống lý thuyết lớn:

  1. Tính ổn định và ổn định vi phân của bài toán người tiêu dùng trong không gian vô hạn chiều (chẳng hạn không gian hàm số đại diện cho chuỗi tiêu dùng liên tục theo thời gian hoặc không gian dãy số đại diện cho vô số loại hàng hóa) khi véc-tơ giá thay đổi chưa được khảo sát đầy đủ dưới các điều kiện tối thiểu.
  2. Việc phân tích nguyên lý cực đại cho các bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái (state constraints) trên khoảng thời gian hữu hạn đối với các mô hình tham số bất quy tắc (irregular optimal control problems) còn rất hiếm, đặc biệt là hiện tượng suy biến của nguyên lý cực đại và bài toán tổng hợp nghiệm tối ưu.
  3. Các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu trong thời gian hữu hạn với hàm thỏa dụng và hàm sản xuất tổng quát còn thiếu vắng, do các công trình trước đây chủ yếu dựa vào các giả thiết đơn giản hóa hoặc áp đặt hành vi tiết kiệm cố định.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung giải quyết 4 mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

  1. Thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục, tính ổn định Robinson, tính chất Lipschitz-like của ánh xạ ngân sách, tính liên tục Lipschitz của hàm thỏa dụng gián tiếp và tính liên tục Lipschitz-Hölder của ánh xạ cầu trong không gian vô hạn chiều.
  2. Xây dựng các công thức tính toán và đánh giá đạo hàm đối ngẫu (coderivative) của ánh xạ ngân sách, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân tiệm cận/Mordukhovich và dưới vi phân kỳ dị của hàm thiệt hại cực tiểu, cùng các đánh giá cho đạo hàm theo hướng Dini của hàm thỏa dụng gián tiếp.
  3. Phân tích nguyên lý cực đại cho các bài toán điều khiển tối ưu chứa 5 tham số có ràng buộc trạng thái một phía và hai phía trên khoảng thời gian hữu hạn; làm rõ hiện tượng suy biến và tổng hợp tường minh các quá trình tối ưu.
  4. Chứng minh các định lý tồn tại nghiệm cho mô hình tăng trưởng kinh tế tối ưu tổng thể thời gian hữu hạn và thực hiện tổng hợp hoàn chỉnh các quá trình tối ưu cho bài toán điển hình với hàm sản xuất và hàm thỏa dụng dạng tuyến tính (AK).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tối ưu hóa tham số trong kinh tế toán, bao gồm: bài toán người tiêu dùng/nhà sản xuất có giá thay đổi; bài toán điều khiển tối ưu dạng Lagrange/Mayer/Bolza có ràng buộc trạng thái; mô hình tăng trưởng kinh tế tối ưu tổng thể (aggregative economy).
  • Phạm vi toán học và không gian: Không gian Banach phản xạ $X$, không gian Hilbert, không gian Asplund; không gian Sobolev $W^{1,1}([t_0, T], \mathbb{R}^n)$; nón lồi đóng $X_+ \subset X$ và nón đối ngẫu dương $Y_+ \subset X^*$; khoảng thời gian lập kế hoạch hữu hạn $[t_0, T]$.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước đây

Luận án đã điểm lại và kế thừa hệ thống tài liệu chuyên khảo và công trình quốc tế thuộc hai mảng chính:

  1. Lý thuyết bài toán người tiêu dùng và tối ưu hóa tham số:

    • Các mô hình kinh tế vi mô kinh điển của Intriligator (1971), Nicholson & Snyder (2008), Takayama (1985).
    • Nghiên cứu về tính đối ngẫu giữa hàm thỏa dụng trực tiếp và gián tiếp của Diewert (1974), Martínez-Legaz & Santos (1993).
    • Nghiên cứu về tính khả vi và đạo hàm cấp hai của hàm thỏa dụng gián tiếp của Crouzeix (1981, 1983).
    • Nghiên cứu về dưới vi phân của hàm thỏa dụng gián tiếp và tính ổn định trong không gian vô hạn chiều của Penot (1998, 2014), Hadjisavvas & Penot (1997).
    • Cơ sở giải tích biến phân, định lý hàm ẩn và tính nhạy của nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân tham số của Borwein (1986), Aubin (1984), Gfrerer & Mordukhovich (2015), Mordukhovich (2006, 2018), Mordukhovich et al. (2015), Nguyễn Đông Yên (1995, 1997).

  2. Lý thuyết điều khiển tối ưu và mô hình tăng trưởng kinh tế:

    • Nguyên lý cực đại Pontryagin và bài toán có tọa độ pha bị chặn của Pontryagin et al. (1962), Vinter (2000), Clarke (2013), Hartl et al. (1995).
    • Phương pháp phân tích vùng (method of region analysis) cho bài toán điều khiển tối ưu chính quy có ràng buộc trạng thái và điều khiển của Hoàng Xuân Phú (1987, 1989).
    • Bài toán điều khiển tối ưu tham số xuất phát từ nghiên cứu của Basco, Cannarsa & Frankowska (2014).
    • Định lý tồn tại nghiệm Filippov cho bài toán Mayer và Bolza của Cesari (1983), Balder (1984), Bressan & Piccoli (2007).
    • Các mô hình tăng trưởng kinh tế vĩ mô kinh điển của Ramsey (1928), Harrod (1939), Domar (1946), Solow (1956), Swan (1956), Cass (1965), Koopmans (1965), cùng các sách chuyên khảo của Barro & Sala-i-Martin (2004), Acemoglu (2009).
    • Các kết quả tồn tại nghiệm hiếm hoi trong bài toán tăng trưởng thời gian hữu hạn của Carlson et al. (1991), Miersemann (1999).

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

  • Trong bài toán người tiêu dùng vô hạn chiều, các tiếp cận trước đây của Penot (2014) chưa tận dụng triệt để các đặc tính hình học của ánh xạ ngân sách, dẫn đến các điều kiện áp đặt lên hàm thỏa dụng còn phức tạp. Luận án chọn tiếp cận thông qua tính chất Lipschitz-like của ánh xạ ngân sách để thiết lập tính Lipschitz của hàm thỏa dụng gián tiếp và tính Lipschitz-Hölder của ánh xạ cầu dưới các giả thiết tối thiểu.
  • Trong lý thuyết điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái, việc tổng hợp các quá trình tối ưu nghi ngờ từ hệ điều kiện cần của nguyên lý cực đại Vinter cho các bài toán tham số bất quy tắc (không lồi ngặt theo biến điều khiển) chưa từng được thực hiện chi tiết trong y văn. Luận án giải quyết trọn vẹn việc tổng hợp nghiệm cho bài toán chứa 5 tham số với cả ràng buộc một phía và hai phía.
  • Trong lý thuyết tăng trưởng kinh tế thời gian hữu hạn, các kết quả tồn tại nghiệm của Carlson et al. (1991) hay Miersemann (1999) đòi hỏi các giả thiết rất ngặt và phức tạp. Luận án giải quyết bài toán tồn tại nghiệm dưới các điều kiện lỏng hơn nhiều đối với hàm sản xuất và hàm thỏa dụng, đồng thời không áp đặt tỷ lệ tiết kiệm cố định.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Lý thuyết, khái niệm và khung phân tích

Luận án sử dụng khung phân tích của Giải tích biến phân, Giải tích không trơn và Lý thuyết điều khiển tối ưu hiện đại, với các khái niệm trung tâm:

  • Nón tiếp xúc và nón chuẩn tắc: Nón tiếp xúc Clarke $T_\Omega(x)$, nón chuẩn tắc Clarke $N_\Omega(x)$, nón chuẩn tắc Fréchet (prenormal cone) $\widehat{N}(x; \Omega)$, và nón chuẩn tắc tiệm cận Mordukhovich $N(x; \Omega)$.
  • Đạo hàm đối ngẫu (Coderivatives): Đạo hàm đối ngẫu Fréchet $\widehat{D}^*F(x, y)$ và đạo hàm đối ngẫu tiệm cận $D^*F(x, y)$ của ánh xạ đa trị $F$.
  • Dưới vi phân không trơn: Dưới vi phân Fréchet $\widehat{\partial}\phi(x)$, dưới vi phân tiệm cận $\partial\phi(x)$, dưới vi phân kỳ dị $\partial^\infty\phi(x)$, và đạo hàm theo hướng Dini dưới $d^-v(p; q)$, Dini trên $d^+v(p; q)$.
  • Các tính chất ổn định đa trị: Tính nửa liên tục trên (u.s.c.), nửa liên tục dưới (l.s.c.), liên tục trong (i.s.c.), tính ổn định Robinson, tính chất Aubin (Lipschitz-like), tính compact chuẩn tắc dãy (SNC), tính chính quy đồ thị (graphical regularity).
  • Không gian hàm: Không gian Banach phản xạ $X$, không gian Asplund (nơi mọi không gian con phân ly có không gian đối ngẫu phân ly), không gian Sobolev $W^{1,1}([t_0, T], \mathbb{R}^n)$ với chuẩn $|x|{W^{1,1}} = |x(t_0)| + \int{t_0}^T |\dot{x}(t)| dt$.
  • Hàm thiệt hại cực tiểu (Infimal nuisance function): Hàm $-v(p)$, chuyển đổi từ bài toán cực đại hóa thỏa dụng sang bài toán cực tiểu hóa để áp dụng giải tích biến phân.

Phương pháp nghiên cứu

Luận án kết hợp các phương pháp toán học giải tích và tối ưu hóa chuyên sâu:

  1. Phương pháp giải tích biến phân đa trị: Sử dụng định lý hàm ẩn của Borwein (1986) và các quy tắc tính toán giải tích không trơn của Mordukhovich (2006, 2018) để khảo sát tính điều quy mêtric và đạo hàm đối ngẫu của ánh xạ ngân sách.
  2. Phương pháp bất đẳng thức biến phân tham số: Ứng dụng định lý về tính nhạy của nghiệm bất đẳng thức biến phân tham số của Nguyễn Đông Yên (1995) để thiết lập tính Lipschitz-Hölder của ánh xạ cầu.
  3. Phương pháp nguyên lý cực đại Vinter: Sử dụng nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái trên khoảng thời gian hữu hạn (Vinter, 2000), phân tích hệ nhân tử Lagrange gồm hàm liên tục tuyệt đối, hàm biến sai hữu hạn (bounded variation), hàm đo được Borel và độ đo Borel phi âm.
  4. Phương pháp tồn tại nghiệm Filippov-Cesari: Áp dụng định lý tồn tại nghiệm Filippov cho bài toán điều khiển tối ưu dạng Bolza có ràng buộc trạng thái (Cesari, 1983).
  5. Phương pháp tổng hợp quá trình tối ưu (Synthesis of optimal processes): Phân tích tổ hợp hệ điều kiện cần từ nguyên lý cực đại kết hợp phân tích vùng và tính chất hàm mục tiêu để xác định nghiệm tối ưu toàn cục duy nhất.

Nguồn tư liệu và dữ liệu mô hình

Nghiên cứu sử dụng các mô hình toán học giải tích thuần túy, bao gồm:

  • Mô hình không gian hàng hóa $X = \mathbb{R}^n$, $X = L_p([0, T], \mathbb{R})$ ($p \in (1, \infty)$) cho dòng tiêu dùng theo thời gian, và $X = \ell_p$ ($p \in (1, \infty)$) cho danh mục vô hạn hàng hóa khả đếm.
  • Hàm thỏa dụng dạng logarit mở rộng $\sum_{i=1}^n \mu_i \ln(x_i + \varepsilon_i)$ (hàm Cobb-Douglas qua phép biến đổi logarit).
  • Mô hình tăng trưởng kinh tế tổng thể với hàm sản xuất bình quân $f(k)$ và hàm thỏa dụng $u(c)$ dạng tuyến tính $AK$ ($f(k) = Ak$) và dạng Cobb-Douglas ($f(k) = A k^\alpha$).

Nội dung chính theo từng chương

Cấu trúc luận án gồm 5 chương, chia làm hai phần chính:

  • Phần I (Chương 1 và 2): Khảo sát tính ổn định và ổn định vi phân của bài toán người tiêu dùng/nhà sản xuất chứa tham số giá.
  • Phần II (Chương 3, 4 và 5): Phân tích nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái và bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu.
                    CẤU TRÚC NỘI DUNG TOÀN VĂN LUẬN ÁN

Chương 1. Stability of Parametric Consumer Problems (Tính ổn định của bài toán người tiêu dùng chứa tham số)

Chương 1 thiết lập các tính chất định tính về tính ổn định của bài toán tối đa hóa thỏa dụng $u(x)$ trên tập ngân sách $B(p) := {x \in X_+ : \langle p, x \rangle \le 1}$, với hàm thỏa dụng gián tiếp $v(p) = \sup{u(x) : x \in B(p)}$ và ánh xạ cầu $D(p) = {x \in B(p) : u(x) = v(p)}$.

Đối tượng toán học Ký hiệu Không gian xác định Tính chất ổn định chính đạt được
Ánh xạ ngân sách $B(p)$ $Y_+ \Rightarrow X_+$ Nửa liên tục dưới (yếu*-mạnh), nửa liên tục trên (mạnh-yếu), Lipschitz-like
Hàm thỏa dụng gián tiếp $v(p)$ $Y_+ \to \overline{\mathbb{R}}$ Nửa liên tục dưới (yếu*), nửa liên tục trên (mạnh), liên tục Lipschitz địa phương
Ánh xạ cầu $D(p)$ $Y_+ \Rightarrow X_+$ Nửa liên tục trên (mạnh-yếu), đơn trị Lipschitz-Hölder (số mũ $1/2$ theo giá)

Các luận điểm và định lý cốt lõi của Chương 1:

  • Bổ đề 1.1: Với mọi $p \in \text{int},Y_+$, tập ngân sách $B(p)$ là tập khác rỗng, đóng, lồi và bị chặn trong không gian Banach phản xạ $X$, do đó là tập compact yếu.
  • Mệnh đề 1.1 & 1.2: Ánh xạ ngân sách $B(\cdot)$ nửa liên tục dưới trên $Y_+$ trong tô pô yếu* của $Y_+$ và tô pô mạnh của $X_+$; đồng thời nửa liên tục trên $\text{int},Y_+$ trong tô pô mạnh của $Y_+$ và tô pô yếu của $X_+$.
  • Định lý 1.4: Nếu $u$ nửa liên tục trên yếu và nửa liên tục dưới mạnh trên $X_+$, thì hàm thỏa dụng gián tiếp $v(\cdot)$ liên tục mạnh trên $\text{int},Y_+$.
  • Định lý 1.5 & 1.6 (Tính ổn định Robinson và Lipschitz-like): Chứng minh với mọi $p_0 \in \text{int},Y_+$ và $x_0 \in B(p_0)$, tồn tại $\mu \ge 0$ cùng các lân cận $U$ của $p_0$ và $V$ của $x_0$ sao cho thỏa mãn chặn sai số địa phương đều: $$d(x, B(p)) \le \mu [\langle p, x \rangle - 1]+, \quad \forall p \in U \cap Y+, , \forall x \in V \cap X_+$$ Từ đó suy ra ánh xạ ngân sách $B(\cdot)$ có tính chất Lipschitz-like (Aubin property) tại $(p_0, x_0)$.
  • Định lý 1.7 (Tính Lipschitz của hàm giá trị): Khi $X$ hữu hạn chiều và $u$ Lipschitz địa phương trên $X_+$, hàm thỏa dụng gián tiếp $v(\cdot)$ có tính chất Lipschitz địa phương trên $\text{int},Y_+$.
  • Định lý 1.8 (Tính Lipschitz-Hölder của ánh xạ cầu): Với bài toán người tiêu dùng tham số $\max {u(x, \mu) : x \in B(p)}$ trên không gian Hilbert $X$, giả sử $\nabla_x u$ Lipschitz theo $(x, \mu)$ và $-u(\cdot, \mu)$ lồi mạnh địa phương đều với hằng số $\alpha > 0$. Khi đó tồn tại nghiệm duy nhất $x(\mu, p)$ thỏa mãn đánh giá: $$|x(\mu', p') - x(\mu, p)| \le \kappa_{\mu_0} |\mu' - \mu| + \kappa_{p_0} |p' - p|^{1/2}$$ Số mũ Hölder $1/2$ phản ánh tính chất nhạy của lượng cầu đối với sự thay đổi của véc-tơ giá khi thiếu tính khả vi bậc hai.

Chương 2. Differential Stability of Parametric Consumer Problems (Tính ổn định vi phân của bài toán người tiêu dùng chứa tham số)

Chương 2 đi sâu vào giải tích biến phân không trơn cho bài toán người tiêu dùng, xem xét hàm thiệt hại cực tiểu $-v(p) = \inf{-u(x) : x \in B(p)}$.

Các phát hiện và kết quả chính của Chương 2:

  • Đạo hàm đối ngẫu của ánh xạ ngân sách: Trong không gian Asplund, luận án sử dụng các định lý của Mordukhovich (2006, 2018) để thiết lập công thức biểu diễn chính xác cho đạo hàm đối ngẫu Fréchet $\widehat{D}^*B(\bar{p}, \bar{x})$ và đạo hàm đối ngẫu tiệm cận $D^*B(\bar{p}, \bar{x})$ thông qua nón chuẩn tắc của nón hàng hóa $X_+$ và quan hệ $\langle \bar{p}, \bar{x} \rangle = 1$.
  • Dưới vi phân của hàm thiệt hại cực tiểu: Thiết lập các công thức bao hàm và công thức đẳng thức tính dưới vi phân Fréchet $\widehat{\partial}(-v)(\bar{p})$, dưới vi phân tiệm cận $\partial(-v)(\bar{p})$ và dưới vi phân kỳ dị $\partial^\infty(-v)(\bar{p})$.
  • Đánh giá đạo hàm hướng Dini: Chứng minh rằng khi véc-tơ giá hiện tại $\bar{p}$ dịch chuyển theo hướng $q \in X^$, tốc độ biến thiên tức thời của mức thỏa dụng cực đại được chặn trên và chặn dưới bởi các giá trị thực xác định bởi các phần tử trong dưới vi phân của hàm $-v$: $$d^- v(\bar{p}; q) \ge \inf_{x^ \in \partial(-v)(\bar{p})} \langle -x^, q \rangle, \quad d^+ v(\bar{p}; q) \le \sup_{x^ \in \widehat{\partial}(-v)(\bar{p})} \langle -x^*, q \rangle$$
  • Diễn giải kinh tế: Cung cấp công cụ toán học định lượng để nhà phân tích mô hình xác định biên độ dao động của mức thỏa mãn tối đa khi giá cả thị trường chịu các cú sốc định hướng.

Chương 3. Parametric Optimal Control Problems with Unilateral State Constraints (Bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với ràng buộc trạng thái một phía)

Chương 3 khảo sát bài toán điều khiển tối ưu dạng Lagrange phụ thuộc vào 5 tham số $(\gamma, \alpha, x_0, t_0, T)$: $$\min \int_{t_0}^T L(t, x(t), u(t), \gamma) dt \quad \text{với } \dot{x}(t) = f(t, x(t), u(t), \alpha), , x(t_0) = x_0$$ dưới ràng buộc trạng thái một phía $g(t, x(t)) \le 0$ (hoặc $x(t) \ge c$).

Nội dung và phân tích trong Chương 3:

  • Thiết lập định lý tồn tại nghiệm cho bài toán bằng cách chuyển về dạng Mayer và áp dụng định lý Filippov (Cesari, 1983).
  • Áp dụng nguyên lý cực đại Vinter (2000, Theorem 9.1) với bộ nhân tử $(\lambda, p, \mu, m)$, trong đó $\lambda \ge 0$, $p \in W^{1,1}$, $\mu$ là hàm biến sai hữu hạn tạo bởi độ đo Borel phi âm trên $[t_0, T]$.
  • Giải bài toán không có ràng buộc trạng thái làm cơ sở so sánh, chỉ ra nghiệm tối ưu duy nhất.
  • Giải và tổng hợp hoàn chỉnh quá trình tối ưu cho bài toán có ràng buộc trạng thái một phía. Luận án chứng minh chi tiết cách thức mà quỹ đạo tối ưu chạm vào biên ràng buộc (touching/boundary arc) và cách nhân tử độ đo $\mu$ triệt tiêu hoặc tập trung khối lượng tại các thời điểm tiếp xúc.

Chương 4. Parametric Optimal Control Problems with Bilateral State Constraints (Bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với ràng buộc trạng thái hai phía)

Chương 4 mở rộng phân tích sang bài toán điều khiển tối ưu tham số với ràng buộc trạng thái hai phía $a(t) \le x(t) \le b(t)$ trên $[t_0, T]$.

Các kết quả nổi bật trong Chương 4:

  • Xử lý kỹ thuật phức tạp: Chứng minh một chuỗi các bổ đề giải tích để kiểm soát đồng thời hai độ đo Borel sinh ra từ hai biên ràng buộc trạng thái trên và dưới.
  • Hiện tượng suy biến của nguyên lý cực đại (Degeneracy Phenomenon): Phân tích hiện tượng bộ nhân tử trong nguyên lý cực đại trở nên tầm thường hoặc không cung cấp thông tin hữu ích khi quỹ đạo xuất phát hoặc kết thúc ngay trên biên ràng buộc trạng thái. Luận án chỉ ra các điều kiện tham số để nguyên lý cực đại không bị suy biến (tức $\lambda + |p|_{L^\infty} + \mu([t_0, T]) > 0$ với $\lambda > 0$).
  • Tổng hợp quá trình tối ưu: Xây dựng bức tranh tổng hợp tường minh tất cả các quá trình tối ưu địa phương và toàn cục tùy thuộc vào tương quan giữa 5 tham số đầu vào.

Chương 5. Finite Horizon Optimal Economic Growth Problems (Bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu trong khoảng thời gian hữu hạn)

Chương 5 nghiên cứu bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu của một nền kinh tế tổng thể trên đoạn thời gian $[t_0, T]$: $$\max \int_{t_0}^T e^{-\rho t} u(c(t)) dt \quad \text{s.t. } \dot{k}(t) = f(k(t)) - \lambda k(t) - c(t), \quad k(t_0) = k_0, \quad k(t) \ge 0, , c(t) \ge 0$$ trong đó $k(t)$ là tư bản trên mỗi lao động, $c(t)$ là tiêu dùng bình quân, $\rho > 0$ là tỷ lệ chiết khấu, $\lambda > 0$ là tỷ lệ hao mòn tư bản và tăng dân số, $f(k)$ là hàm sản xuất bình quân, $u(c)$ là hàm thỏa dụng.

Mô hình bài toán tăng trưởng Dạng hàm sản xuất $f(k)$ Dạng hàm thỏa dụng $u(c)$ Kết quả chính của luận án
Bài toán tổng quát Lõm, liên tục, $f(0) \ge 0$ Lõm, tăng ngặt, liên tục trên Định lý 5.3: Chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục bằng định lý Filippov-Cesari
Bài toán AK – AK $f(k) = Ak$ ($A > 0$) $u(c) = c$ Định lý 5.7: Tổng hợp tường minh nghiệm duy nhất qua 9 bổ đề kỹ thuật
Bài toán Cobb-Douglas $f(k) = A k^\alpha$ ($0 < \alpha < 1$) $u(c) = c^{1-\theta}/(1-\theta)$ hoặc $\ln c$ Định lý 5.4: Thiết lập sự tồn tại nghiệm; khảo sát tính tiệm cận của hàm giá trị $\varphi$

Các phát hiện kinh tế và toán học quan trọng của Chương 5:

  • Tính tồn tại nghiệm không cần giả thiết tiết kiệm cố định: Khác với các mô hình Solow-Swan giả định tỷ lệ tiết kiệm $s \in (0, 1)$ là hằng số ngoại sinh, luận án chứng minh sự tồn tại của chính sách tiêu dùng/tiết kiệm tối ưu biến thiên linh hoạt.
  • Hành vi tiệm cận và tính lõm của hàm giá trị $\varphi(t_0, k_0)$: Luận án chứng minh tính lõm của hàm giá trị theo trữ lượng tư bản ban đầu $k_0$ và phân tích tính khả vi của nó.
  • Tính chính quy của quá trình tối ưu (Regularity): Đưa ra khái niệm và phân tích tính trơn của chính sách tiêu dùng, đảm bảo chính sách có thể thực thi trong thực tế (không có vô hạn điểm gián đoạn).
  • Quy luật kinh tế đối với mô hình AK: Luận án chứng minh định lý chỉ ra rằng: nếu năng suất nhân tố tổng hợp $A$ tương đối nhỏ ($A \le \lambda + \rho$), thì việc mở rộng cơ sở sản xuất và tích lũy tư bản không mang lại mức thỏa dụng tiêu dùng xã hội cao hơn so với việc tiêu dùng tối đa ngay từ đầu.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các đóng góp học thuật mới về lý thuyết và ứng dụng kinh tế toán, được tóm tắt qua các điểm cốt lõi sau:

  1. Đóng góp mới về lý thuyết ổn định bài toán người tiêu dùng:

    • Thiết lập các điều kiện đủ mới và tổng quát cho tính liên tục, tính ổn định Robinson và tính chất Lipschitz-like của ánh xạ ngân sách trong không gian Banach vô hạn chiều.
    • Chứng minh tính liên tục Lipschitz địa phương của hàm thỏa dụng gián tiếp trong không gian hữu hạn chiều và tính liên tục Lipschitz-Hölder (với số mũ $1/2$ theo giá) của ánh xạ cầu đơn trị trong không gian Hilbert dưới các giả thiết tối thiểu.

  2. Đóng góp mới về giải tích vi phân không trơn:

    • Thiết lập các công thức hiện tính toán đạo hàm đối ngẫu Fréchet và Mordukhovich cho ánh xạ ngân sách trong không gian Asplund.
    • Cung cấp các công thức tính toán và đánh giá tường minh cho dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân tiệm cận và kỳ dị của hàm thiệt hại cực tiểu $-v$, cùng các chặn trên/dưới cho đạo hàm Dini theo hướng của hàm thỏa dụng gián tiếp.

  3. Đóng góp mới về lý thuyết điều khiển tối ưu:

    • Phân tích chi tiết và sâu sắc nguyên lý cực đại Vinter cho các bài toán điều khiển tối ưu phụ thuộc 5 tham số có ràng buộc trạng thái một phía và hai phía.
    • Làm rõ cơ chế phát sinh và cách khắc phục hiện tượng suy biến của nguyên lý cực đại khi quỹ đạo tiếp xúc với biên trạng thái.
    • Thực hiện thành công việc tổng hợp tường minh các quá trình tối ưu địa phương và toàn cục cho các lớp bài toán tham số bất quy tắc.

  4. Đóng góp mới cho lý thuyết tăng trưởng kinh tế:

    • Chứng minh các định lý mới về sự tồn tại nghiệm cho bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu thời gian hữu hạn với hàm sản xuất và hàm thỏa dụng tổng quát cũng như các dạng hàm chuẩn tắc (AK, Cobb-Douglas), loại bỏ các giả thiết cưỡng bức về hành vi tiết kiệm cố định.
    • Tổng hợp hoàn chỉnh nghiệm tối ưu duy nhất cho bài toán tăng trưởng dạng AK thông qua hệ thống 9 bổ đề toán học chặt chẽ.
    • Đưa ra kết luận kinh tế định lượng: làm rõ ngưỡng năng suất $A$ mà tại đó việc tích lũy tư bản bắt đầu mang lại lợi ích ròng cho phúc lợi tiêu dùng xã hội.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án

  • Luận án chủ yếu tập trung vào các mô hình trong khoảng thời gian hoạch định hữu hạn $[t_0, T]$; các bài toán điều khiển tối ưu và tăng trưởng kinh tế trên khoảng thời gian vô hạn $[0, \infty)$ với ràng buộc trạng thái phức tạp chưa được bao phủ toàn diện.
  • Bài toán tổng hợp quá trình tối ưu trong Chương 5 mới hoàn thành trọn vẹn cho trường hợp hàm tuyến tính AK; đối với mô hình tăng trưởng phi tuyến Cobb-Douglas tổng quát, luận án mới dừng lại ở việc chứng minh sự tồn tại nghiệm và khảo sát tính chất hàm giá trị mà chưa đưa ra được công thức nghiệm tường minh.
  • Các bài toán kinh tế vi mô chưa xét đến yếu tố ngẫu nhiên (stochastic) hoặc thông tin bất đối xứng của thị trường.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Nghiên cứu sâu hơn về tính chính quy (regularity) và tính duy nhất của nghiệm tối ưu toàn cục cho mô hình tăng trưởng kinh tế thời gian hữu hạn với hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas và các dạng hàm CES tổng quát.
  • Mở rộng phân tích nguyên lý cực đại và tính ổn định vi phân cho các bài toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên hoặc bài toán điều khiển hệ xung trong kinh tế vĩ mô.
  • Ứng dụng các công cụ giải tích biến phân hiện đại đã phát triển trong luận án để khảo sát bài toán cân bằng cạnh tranh và cân bằng Walras tổng quát trong các thị trường tài chính vô hạn chiều.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo có giá trị học thuật cao cho nhiều nhóm đối tượng:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng, Tối ưu hóa và Giải tích biến phân: Cung cấp phương pháp luận và kỹ thuật hiện đại về giải tích không trơn của Mordukhovich, kỹ thuật đánh giá đạo hàm đối ngẫu và phương pháp tổng hợp điều khiển tối ưu có ràng buộc pha.
  • Các nhà nghiên cứu kinh tế lượng và kinh tế học toán học: Cung cấp công cụ toán học chuẩn xác để đánh giá độ nhạy của lượng cầu, tính ổn định của cân bằng tiêu dùng/sản xuất khi giá cả biến động, thay thế cho độ co giãn cầu truyền thống khi hàm cầu không khả vi.
  • Các nhà hoạch định chính sách kinh tế vĩ mô: Phần nghiên cứu về mô hình tăng trưởng kinh tế tối ưu ở Chương 5 cung cấp khung lý thuyết để phân tích mối quan hệ giữa năng suất nhân tố tổng hợp $A$, tỷ lệ chiết khấu thời gian $\rho$, tốc độ khấu hao $\lambda$ và chiến lược phân bổ giữa tích lũy tư bản và tiêu dùng công cộng.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao bài toán người tiêu dùng trong luận án lại được đặt trong không gian Banach vô hạn chiều thay vì không gian hữu hạn chiều $\mathbb{R}^n$?

Trong thực tế kinh tế, người tiêu dùng không chỉ lựa chọn giữa một số lượng hữu hạn các mặt hàng tại một thời điểm, mà còn đưa ra quyết định tiêu dùng liên tục theo thời gian $t \in [0, T]$ (dòng tiêu dùng trong không gian hàm $L_p([0, T], \mathbb{R})$) hoặc đối mặt với một danh mục vô số hàng hóa tiềm năng khả đếm (chuỗi hàng hóa trong không gian dãy $\ell_p$). Không gian Banach vô hạn chiều phản xạ cho phép bao quát tất cả các tình huống này trong một khung lý thuyết thống nhất.

2. Tính chất Lipschitz-like của ánh xạ ngân sách đóng vai trò quyết định như thế nào trong việc chứng minh tính Lipschitz của hàm thỏa dụng gián tiếp?

Tính chất Lipschitz-like (Aubin property) của ánh xạ ngân sách $B(p)$ tại một điểm giá đảm bảo rằng khi véc-tơ giá thay đổi một lượng nhỏ $|p - p'|$, tập ngân sách mới $B(p')$ không bị co lại hay phình to một cách đột ngột mà luôn chứa một tập con dịch chuyển có khoảng cách Hausdorff bị chặn bởi hằng số nhân với khoảng cách giữa hai mức giá. Nhờ đó, mức thỏa dụng tối đa $v(p) = \sup_{x \in B(p)} u(x)$ không bị biến động vượt bậc, cho phép truyền tính Lipschitz địa phương từ hàm thỏa dụng trực tiếp $u$ sang hàm thỏa dụng gián tiếp $v$.

3. Hiện tượng suy biến của nguyên lý cực đại trong bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái xảy ra khi nào và xử lý ra sao?

Hiện tượng suy biến xảy ra khi hệ nhân tử Lagrange thỏa mãn nguyên lý cực đại nhưng nhân tử hàm mục tiêu $\lambda = 0$ và các nhân tử liên hợp triệt tiêu hoặc chỉ chứa thông tin biên, khiến hệ điều kiện cần không còn khả năng sàng lọc các quỹ đạo tối ưu. Luận án đã phân tích cấu trúc của bài toán chứa 5 tham số để chỉ ra các điều kiện biên và mối quan hệ tham số đảm bảo $\lambda > 0$, từ đó phục hồi toàn bộ sức mạnh định tính của nguyên lý cực đại Vinter.

4. Sự khác biệt cốt lõi giữa định lý tồn tại nghiệm tăng trưởng kinh tế trong luận án so với mô hình Solow-Swan kinh điển là gì?

Mô hình Solow-Swan giả định tỷ lệ tiết kiệm $s$ là một hằng số ngoại sinh cố định ($S(t) = s Y(t)$), biến bài toán thành một phương trình vi phân đơn giản. Ngược lại, luận án xem tỷ lệ tiết kiệm/tiêu dùng là một biến điều khiển nội sinh cần tối ưu hóa tại từng thời điểm để cực đại hóa phúc lợi xã hội tích lũy. Luận án chứng minh sự tồn tại của quỹ đạo tối ưu này bằng định lý Filippov-Cesari mà không cần áp đặt trước bất kỳ khuôn mẫu tiết kiệm hành vi nào.

5. Hàm thiệt hại cực tiểu (infimal nuisance function) $-v(p)$ ở Chương 2 được thiết lập nhằm mục đích gì?

Hàm thỏa dụng gián tiếp $v(p)$ xuất phát từ bài toán cực đại hóa ($\sup$), trong khi hầu hết các công cụ giải tích biến phân và giải tích không trơn hiện đại của Mordukhovich (dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Mordukhovich, nón chuẩn tắc của epigraph) được xây dựng chuẩn tắc cho bài toán cực tiểu hóa ($\inf$) và các hàm lồi/nửa liên tục dưới. Việc chuyển sang khảo sát hàm $-v(p) = \inf {-u(x) : x \in B(p)}$ cho phép sử dụng trọn vẹn bộ công cụ tính toán vi phân không trơn để tìm dưới vi phân, từ đó suy ra các chặn vi phân chuẩn xác cho hàm $v(p)$.

Kết luận

Luận án tiến sĩ của tác giả Vũ Thị Hương là một công trình nghiên cứu chuyên sâu thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng, kết hợp hài hòa giữa lý thuyết giải tích biến phân hiện đại và các mô hình kinh tế toán vi mô lẫn vĩ mô. Tác giả đã giải quyết trọn vẹn bài toán ổn định và ổn định vi phân của bài toán người tiêu dùng/nhà sản xuất trong không gian vô hạn chiều, đồng thời thiết lập các định lý tồn tại nghiệm và thực hiện tổng hợp hoàn chỉnh các quá trình điều khiển tối ưu cho mô hình tăng trưởng kinh tế thời gian hữu hạn. Các kết quả toán học đạt được có độ khái quát cao, giải quyết các khoảng trống lý thuyết quan trọng và mang lại nhiều đóng góp cho sự phát triển của toán học ứng dụng trong kinh tế.