I. Tổng quan về luận án
Luận án tiến sĩ của Vũ Thị Hương, "Một số bài toán tối ưu có tham số trong toán kinh tế", tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất định tính của các bài toán tối ưu xuất hiện trong kinh tế học tiêu dùng, kinh tế học sản xuất và các mô hình tăng trưởng kinh tế tối ưu. Luận án được chia thành hai phần chính. Phần I xem xét tính ổn định và tính ổn định vi phân của bài toán người tiêu dùng, cụ thể là bài toán tối đa hóa thỏa dụng với ràng buộc ngân sách khi giá cả biến động. Phần II phân tích nguyên lý cực đại cho các bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc trạng thái thông qua các ví dụ tham số và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu. Luận án sử dụng các công cụ toán học tiên tiến từ lý thuyết tối ưu, phân tích biến phân và lý thuyết điều khiển tối ưu để giải quyết các vấn đề kinh tế. Điểm đáng chú ý của luận án là việc áp dụng các phương pháp mới và thu được các kết quả mới về tính chất Lipschitz của hàm ngân sách, tính liên tục Lipschitz địa phương của hàm thỏa dụng gián tiếp và tính liên tục Lipschitz-Hölder của hàm cầu. Ngoài ra, luận án còn đóng góp vào việc tính toán coderivative của hàm ngân sách và áp dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán người tiêu dùng. Việc phân tích nguyên lý cực đại thông qua các ví dụ tham số và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu cũng là những điểm mạnh của luận án.
II. Bài toán người tiêu dùng Phần I
Phần I của luận án tập trung vào bài toán tối đa hóa thỏa dụng với ràng buộc ngân sách của người tiêu dùng khi giá cả biến động. Luận án nghiên cứu tính ổn định và tính ổn định vi phân của bài toán này. "Trong kinh tế học tiêu dùng, hai bài toán kinh điển sau đây được quan tâm chung. Bài toán thứ nhất là tối đa hóa thỏa dụng với ràng buộc ngân sách của người tiêu dùng...; và bài toán thứ hai là tối thiểu hóa chi tiêu của người tiêu dùng cho thỏa dụng ở một mức độ xác định…" (Lời mở đầu). Chương 1 nghiên cứu tính ổn định của bài toán. Bằng cách tập trung vào các đặc điểm của hàm ngân sách, luận án thiết lập tính liên tục và tính liên tục Lipschitz địa phương của hàm thỏa dụng gián tiếp, cũng như tính liên tục Lipschitz-Hölder của hàm cầu trong các giả thiết tối thiểu. Phương pháp tiếp cận này được xem là mới. Chương 2 tập trung vào tính ổn định vi phân. Sử dụng các định lý từ Mordukhovich, luận án đưa ra các điều kiện đủ để hàm ngân sách có tính chất Lipschitz-like tại một điểm nhất định. Các công thức tính toán coderivative của hàm ngân sách cũng được thiết lập. Từ đó, luận án thu được các kết quả mới về tính ổn định vi phân của bài toán khi giá cả thay đổi. Các ước lượng về subdifferential của hàm "infimal nuisance" (được lấy từ hàm thỏa dụng gián tiếp bằng cách đổi dấu) mang lại những giải thích kinh tế thú vị về tốc độ thay đổi của sự thỏa mãn tối đa của người tiêu dùng khi giá cả thay đổi.
III. Bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc trạng thái Phần II
Phần II của luận án xem xét nguyên lý cực đại cho các bài toán điều khiển tối ưu có ràng buộc trạng thái. "Các bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc trạng thái là các mô hình quan trọng, nhưng người ta thường gặp nhiều khó khăn trong việc phân tích chúng." (Lời mở đầu). Luận án phân tích nguyên lý cực đại thông qua các ví dụ tham số, bắt nguồn từ bài báo của Basco, Cannarsa và Frankowska. Các ví dụ này tương tự như các bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu trong kinh tế vĩ mô. Chương 3 và 4 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các ví dụ tham số này, được xem là các bài toán điều khiển tối ưu không chính quy. Việc phân tích không chỉ giúp hiểu sâu hơn về nguyên lý cực đại mà còn là một ví dụ về việc áp dụng nó vào các mô hình tăng trưởng kinh tế tối ưu. Chương 3 nghiên cứu các bài toán không có ràng buộc trạng thái và các bài toán có ràng buộc trạng thái đơn phương. Chương 4 xem xét các bài toán có ràng buộc trạng thái song phương. Việc tổng hợp các quy trình tối ưu cho các bài toán này khá phức tạp và đòi hỏi nhiều lập luận tinh tế.
IV. Bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu Chương 5
Chương 5 tập trung vào sự tồn tại nghiệm của các bài toán tăng trưởng kinh tế tối ưu trong một nền kinh tế tổng hợp. "Các mô hình tăng trưởng kinh tế đã đóng một vai trò thiết yếu trong kinh tế học… cho phép phân tích, lập kế hoạch và dự đoán mối quan hệ giữa các yếu tố toàn cầu…" (Lời mở đầu). Luận án không giả định bất kỳ hành vi tiết kiệm đặc biệt nào, khác với các mô hình tăng trưởng của Solow và Swan. Công cụ chính được sử dụng là Định lý Tồn tại của Filippov cho các bài toán điều khiển tối ưu với ràng buộc trạng thái. Kết quả mới về sự tồn tại nghiệm được thu được trong các điều kiện tổng quát hơn so với các nghiên cứu trước đây. Luận án cũng xem xét tổng hợp các quy trình tối ưu cho một bài toán điển hình và đưa ra những giải thích kinh tế. Tóm lại, luận án đã đóng góp đáng kể vào việc nghiên cứu các bài toán tối ưu có tham số trong toán kinh tế, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế học tiêu dùng, sản xuất và tăng trưởng kinh tế tối ưu. Các kết quả của luận án có giá trị lý thuyết và thực tiễn cao, mở ra hướng nghiên cứu mới cho các vấn đề kinh tế quan trọng.
