Chương 1. Một câu hỏi tự nhiên có thể đặt ra là các đa thức bậc hai ƒ nào thỏa mãn các điều kiện của các định lý trên. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 14 Trong phần này chúng ta sẽ tìm cách trả lời câu hỏi đó. Cụ thể, chúng ta sẽ xác định tất cả các đa thức bậc hai ƒ thỏa mãn các điều kiện của các Định lý và |2.2| Chúng ta cũng tìm điều kiện đủ cho các đa thức bậc hai ƒ thỏa mãn các điều kiện của Dịnh lý Các phép biến đổi bậc hai này sẽ cung cấp cho chúng ta các lớp copula mới có thể dễ dàng tính toán trên thực tô.
Chúng ta bắt đầu với phép biển đổi bậc hai trên các chan Fréchet- Hoeffding. Cho P là một da thúc hai biến bậc hai. Hàm số Cự. Copula C với một số lựa chọn của ø, b, đ có đồ thị được thể hiện trong Hình Chú ý rằng nếu ø = b = 0, thì đồ thị của Œ được cấu thành từ bốn mặt phẳng.
Bằng cách lựa chọn (ø, b) # (0,0), chúng ta có thể tạo ra độ cong cho đồ thị của C.1: Phép biến đổi bậc hai trên M va W. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 15 Chứng mình Định Iý|2.4| Do P là một đa thức bậc hai, ta có P(œ,) = a#2 + bụ? + cœu + dư + eụ + ƒ, véi a,b,c, d,e, f € R. R6 rang P théa man Dinh ly [2. Điều này chỉ xảy ra khi øa+b+e= ƒ =0 và d+e = 1.
Vì vậy P phải có dạng P(a,y) = a(x? — xy) + b(y® — vy) + dx + (1—d)y. Chúng ta sẽ khai thác các điều kiện () va (iii) trong Dinh Iý|2.1|để tìm tất cả các bộ hệ số a, b, d. Trước hết, ta tìm điều kiện cho các hệ số a, b, đ sao cho g(t) = Ply, (y+8)*) — Pla, (e+ 8") là không giảm trên [ — 1,0] với mọi 0 < x < y < 1. Điều đó tương đương với g(£) > 0, trong đó oP P "na.
Ð)Ÿ)XCy+s)) — ay eet t)*)X(-w-+00) (t)- Ỏ đây xa ký hiệu hàm đặc trưng của một tập con 4 C R. - Nếu —/<#< —z thì oP g(t) = ay yt = (b— a)w + 2bt + 1 — d. Điều kiện trên tương đương với 1—đ>max{0,a—b, 4P }. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 16 - Nễu —z< #< 0 thì 1, _ OP oP a — — ø)= y0 w+ÐD— (+ +1) = (b a)(u— #) + 2bt +1 — d.
Dé g'(t) > 0 vai mọi max{—z,/— 1} < £ < 0 và 0 < #z < < 1, điều kiện cần và đủ là i — đ)(— # —d]> pian | a)(y—«)+1-—d] >0, pain ,lb — đ)(U— #) + 2bmax{—z, T— 1}+1— dị >0, {mnt —d,b—a+l1—d}>0, min{l — đ,b—a+1—d,—b+1-— đ} >0. Điều kiện trên tương đương với 1— đ> max{0, a — b,b}.2) Tiếp theo, chúng ta xác định điều kiện cho các hệ số ø, b, đ sao cho h(z,g) = P(e, (20 —1)*) + Ply, 2y —1)*) — 2P(e, (@ +9 —1)) là không âm với mọi z, + € |0, 1] thỏa x < y. Để h(z,y) > 0 với mọi 0 < z << 3 điều kiện cần và đủ là min{d,a+d} > 0.3) - Nếu z< 3 Syvàz+< 1 thì h(œ,) = P(z,0) + P(,2w — 1) — 2P(z, 0) = a(— 9° — #2) + b(2w2 — 3 + 1) + đ(1— # — ) + (2 — 1).y) =[(b—a)(y 1) + 1]2y—1) > 0 với mọi 3 <y <1, điều kiện cần và đủ là. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 17 Ngược lại, nếu (2.3) thỏa mãn thì với mọi z < 3 < 0 sao cho # + < 1, ta.
Kết hợp điều này với (2.4), ta nhận được híz,) = h( — 0. 2u — 1) — 2P(œ,z+u— 1) = a(a? + 2ey — 2œ — ° + 0) + b(~2#w + 2 + — 1) + đœ+— 1)+1—2 _ ny) + (2a — Car Stay Hy Sas Pe Đ, Chú ý là 1 1 1 h(s,y) = las —w +4 (v-5) 20 voimoi5<y<1 do diéu kién min{a + d,a/2 + d} > 0 suy ra tit (2. Hon niia, tit (2.3), ta cd 0<d<1, a—-b<1-d, b<1-d, dan dén max{a + 2d — 4, 2b + 2d — 4, 2a + 2d — 4} < 0. Sử dụng bất đẳng thức trên, ta có thể dễ dàng kiểm tra được 2ax + 4a — 4b — 3a + 4b + 2d— 4 <0 và do đó híœ,) > 0 với mọi z < š < thỏa # + > 1.
Để dam bao h(x, y) > 0 vdi moi 5 <#z< << 1, điều kiện cần và đủ là mìn{a + đ,a/2 + d,ø— b+ đ} >0.5) Kết hợp các điều kiện Í2.5), ta có điều phải chứng minh. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 18 Tiếp theo, ta tìm điều kiện cần và đủ cho các biến đổi đa thức bậc hai trên copula doc lap và chặn dưới Fréchet-Hoeffding. Cho P là một da thúc hai biến bậc hai. Hàm số C(z,) :—= P(H(, y), W(x, y)) là một copula khi va chỉ khi P có dạng P(x,y) = al? — ay) + Oy? — ay) + dr + (L— đụ, trong đó 0<d<1, a+d>0, a+b<4(—4), -d<b-a<d, (GP + g> 0 nếu a < 0 nà 0 < #8 < 1, b+d>0 néua <0.
Hinh chứa một số ví dụ về copula P(I(+,ø), W(œ,)) với các lựa chọn phù hợp của a, b, d.2: Phép biến đổi bậc hai trên H và Wữ. Chứng mình Định lý Tương tự như trong phần chứng minh Dinh Iý|Ð. Bang cach sit dung Dinh ly chúng ta tìm điều kiện cho các hệ số œ,b, đ sao cho g(t) = Plyt, (y+t—1)*) — Plat, (a +t—-1)*) CHUONG 2. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 19 là không giảm trên |0, 1] với moi 0 < x < y < 1.
Điều đó tương đương với ø@) >0. Trường hợp 1. 0<y<1 Néu a > 0 thì min {2ay(1— y) +d, 4day(1 — y) + d} =d. 0<y<1 Néu a < 0 thi min {2ay(1— y) +d, 4ay(1— y) +d} =a+d<d.
0<y<1 Kết hợp các điều kiện trên, ta được d>0 nếu a > 0, at+d>0 néua<0. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 20 Dé ø(#) > 0 với mọi 1— œ < £ < 1 và 0< # < y< 1, điều kiện cần và đủ là i x — bx — by — > 0, pnin. {ax + ay ba — Ùbụ — a +b~+ đ} >0, min {—2ax? — 2ary + 3ax + ay + br — by—a+b+d}>0, O<@<y<l min{f-a+b+4+d,d,a—b+d}>0, + £9 p2 es ¢ min {-2ax* + (a + bu +d} 2 0, min {—4ax? + dar —a+b+d}>0. 0<z<1 Điều này tương đương với min{—œ+b+d,d,a—b+d}>0, (+ +} J >0 nếu ø< 0 và 0< ## <1, (27) b+d>0 néu a < 0.
Trường hợp 3. Với t € [L— ,1— #], ta có g(t) = P(yt, y +t — 1) — P(ct,0) = [(ayt — by — bt +b + đ)(wT— 1) — 1) +~+t— 1] — (az?? + dat) và g(t) = —2ata?+2aty?—2aty—ay?—2bty—by? +ay+2bt+3by—dx+dy—2b—d+1. Để ø(1— g) > 0 với mọi 0 < z = < 1, điều kiện cần và đủ là ¬= +1-d1—d}>0.8) Ngược lại, với điều kiện (2.8) va a < y, ta c6 go (A= y) = [(22? — 29? + ya + byl(y — 1) +d(y—a#-1) +1 > (a+b(y?—y)+1-d (2. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 21 Hơn nữa, g(1— #) = 2a#3 — 2az? — 2az2 + 2az + a2 + 2b — by? — aU — 2b# + bụ — dz + dụ — d+ 1 := h{0).
Ta có h'(y) = (—4az + 2a — 2b) + 2az + 2bz — a + b+ d.7), ta suy ra h'(1) = —2ax + 2bz+a—b+d > min {—2az + 2bz + œ — b + đ} 0<z<1 > min{a—b+d,-a+b+4+d} >0 va h(œ) = —4az? + 4az—a+b+d min {—4ax? + dar —a+b+d} 0<z<1 -—a+b+d 0. IV 2 2 Tit lap luan trén va do h’(y) tuyén tinh theo y, ta suy ra h'(y) > 0 véi moi x < < 1. Điều đó có nghĩa là h là không giảm trong [z, I].10) trong đó ta đã sử dụng (2:8).8), chúng ta tìm được điều kiện cần và đủ để C 1A mot copula. Định lý được chứng minh.
L] Cuối cùng, chúng ta tìm một điều kiện đủ cho phép biến đổi bậc hai trên chặn trên Fréchet-Hoeffding và copula độc lập. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 22 Dinh li 2. Cho P là một da thúc hai biến bậc hai.13) Sẻ |2đ—1|—1 _ [2d—1|4+1 J Sa=dK. Chúng ta có một số ví dụ về copula tạo ra bởi các phép biến đổi bậc hai trên VM va II trong Hình 2.3: Phép bién doi bac hai trén M va IL.
Chitng minh Dinh Iý|2.0| Tương tự như trong chứng minh Định lý P phải có dạng P(œ,) = a(œ? — zụ) + b(wˆ — zụ) + đz + (L— đ)u.13) thì Œ là một copula do Mệnh đè[L.3| Vì vậy chúng ta chỉ cần xét trường hợp Í[2.12] trong phần còn lại của chứng minh. PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 23 Trước hết ta tìm điều kiện cho các hệ số ø,b, d sao cho điều kiện (2) trong Định lý được thỏa mãn. Nghĩa là ta cần tìm điều kiện để q IA không giảm trong [y, 1] v6i moi 0 < x < < 1, trong đó q(t) = Ply, ty) — P(a, tz) = [aly? — ty) + (Py? — tu”) + dy + (1= 4)ty] — [a(a® — ta?) + b(t? — ta”) + da + (1 — d)ta’]. Tính toán trực tiếp cho thấy #{ = [@lt— a— b)(+ +) — đ+ 1](w — z).
Dé đảm bao q/(t) > 0 véi moi z < < £ < 1, điều kiện cần và đủ là min {(b— a)(œ+)— d+1} >0, 0<z<y<1 -a— _ > sảpjn, {0b a—Ù)(œ+)—d+1} >0, min{—d+1,2(b—a)—d+1}>0, min {(2by — a — b)y— d +1, 2(2by — a— b)y —d+1} > 0, 0<y<1 {i 1 < min{2(b— a), 0}, > : đ—1< 2 min {(2by —a-— b)y}, - Néu b> 0 va 5 € [0,1] thi b)2 min {(2by — a — b)y} = — (a+ 0<w<1 < min{0,b — a}. - Trong trường hợp ngược lại, ta có dạn {(2by — ø— Ù}} = min{0,b — a}. Kết hợp các điều kiện trên, ta suy ra P thỏa mãn Định I 2.14) er néu b> 0 va SP € [0, 1]. Tiếp theo, ta tìm một điều kiện đủ cho các hệ số ø, b, d sao cho điều kiện (ii) trong Dinh ly [2.3] được thỏa mãn, nghĩa là P(z,z?) + P(u,u?) > 2P(z, xu) CHUONG 2.
PHEP BIEN DOI COPULA DANG HAM HOP 24 với moi x,y € [0, 1] thỏa + <. Bằng tính toán trực tiếp, ta có P(a, x”) + Ply,y”) ~ 2P(x, ry) = [(a— by)(0? — ay —y? +a + y) + b0%(1— 2) +d(1+2—y) + (y—a))(y—2). Dat g(y) = 2? —xy—y?+aty voir <y <1. Dog khong cé diém cuc tiểu địa phương, ta có ø() > min{ø(z), ø(1)} = min{2z — z?,z+?} > 0.
Kết hợp các điều trên, ta suy ra P thỏa mãn Định Iý|.6] đã được chứng minh xong. Khác với các Định ly 2.