CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Một số vấn đề lý luận 1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và quá trình toán học hóa Toán học là môn học đòi hỏi tư duy, suy luận logic, phân tích và sự tổng quát hóa. Những yếu tố đó thường được thể hiện trong các bài toán được đưa vào chương trình giảng dạy và học tập ở các trường học mọi cấp bậc. Tính tư duy, khả năng suy luận logic, phân tích và mức độ tổng quát hóa tùy vào các cấp bậc khác nhau.Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [11, trang 119].
Bài toán xuất phát từ nhu cầu mà ta gọi là vấn đề, không phải nhu cầu nào cũng nảy sinh ra bài toán. Chỉ những nhu cầu mà tìm ra được một phương tiện thỏa mãn nhu cầu đó mới trở thành bài toán, những nhu cầu mà không cần đầu tư một chút cố gắng nào đã có thể đạt được ngay mục đích thì sẽ không làm nảy sinh bài toán. Một vấn đề có thể là bài toán với người này nhưng không phải là bài toán đối với người khác, tùy thuộc vào trí tuệ, trình độ, cũng như vốn kinh nghiệm của mỗi người. Bài toán thực tiễn là bài toán mà nhu cầu cần đạt được xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống.
Ví dụ: “Mối quan hệ giữa dân số và phát triển kinh tế” là bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, hiện nay chúng ta vẫn thấy rằng trong chương trình giảng dạy, những bài toán này thực sự không nhiều, chủ yếu là các bài toán mang tính trừu tượng và lý thuyết thuần túy hoặc những bài toán về hình thức giống với những bài toán thực tiễn nhưng về bản chất thì hoàn toàn khác, có thể gọi đây là “bài toán ngụy thực tiễn”. Việc xây dựng các bài toán thực tiễn không khó nhưng đòi hỏi sự đầu tư, tìm hiểu và nghiên cứu một cách nghiêm túc của người dạy và sự nỗ lực của người học. Trên nhiều phương diện, các bài toán thực tế khác xa so với các bài toán thuần túy toán học.
Những bài toán thực tiễn nói chung có bao gồm một phần toán học nhưng các ẩn, các dữ kiện, điều kiện là phức tạp hơn không được xác định rõ ràng như trong một bài toán thuần túy toán học. Giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi năng lực giải quyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học. Tóm 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com lại, “trong các bài toán thực tế, tất cả đều phức tạp hơn và không rõ ràng như trong các bài toán thuần túy toán học. Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [11, trang 119].
Vì lẽ đó, khi giải một bài toán thực tế, để đơn giản hóa người ta chuyển về bài toán thuần túy toán học rồi giải. Quá trình đó gọi là quá trình “Toán học hóa”. Đây là quá trình chuyển đổi tình huống từ thực tế vào môi trường toán học, đưa ra kết quả và giải thích kết quả đó trong ngữ cảnh thực tế ban đầu. Đây là quá trình giúp học sinh thấy được sự liên kết, mối quan hệ giữa kiến thức toán và kiến thức thực tế, phát triển khả năng áp dụng toán học vào vấn đề thực tế.
Từ một bài toán thực tế thông qua quá trình toán học hóa có thể biến thành một bài toán hoặc nhiều bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài toàn giải quyết một nhiệm vụ của bài toán thực tế đó. Điều đó phụ thuộc vào tính phức tạp của bài toán thực tế, bản chất của lĩnh vực thực tế và khả năng của người thực hiện toán học hóa. Để biến một bài toán thực tế thành một bài toán thuần túy toán học thường phải đặt ra một số điều kiện lý tưởng cho ẩn. Vì vậy, kết quả của bài toán thuần túy toán học nhiều khi không phản ánh đúng kết quả thực tế.
Cho nên cần phải đánh giá, phê phán lời giải của bài toán thuần túy toán học và làm cho nó có ý nghĩa thực tế. Để có quá trình toán học hóa tốt, chúng ta cần xây dựng qui trình đảm bảo sự tương ứng chặt chẽ của hai bài toán. PISA – Chương trình đánh giá học sinh quốc tế đã đưa ra quy trình toán học hóa gồm 3 giai đoạn và 5 bước trong các bài toán của mình. Đây cũng là quy trình mà chúng ta sử dụng trong luận văn này.1 Năng lực (Competence) Theo tâm lý học: “Năng lực là tổ hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao” 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Theo nhà tâm lí học Nga V.Cruchetxki thì: “Năng lực được hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công hoạt động đó”.
Theo Nguyễn Văn Cường [tr 44]: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động.” Như vậy có thể hiểu: “Năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện được một dạng hoạt động nào đó” 1. Năng lực toán (Mathematical competence) Theo Nguyễn Hữu Châu, năng lực toán: “Là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; khả năng vận dụng tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; khả năng phân tích, suy luận, lập luận khái quát hoá, trao đổi thông tin một cách hiệu quả thông qua việc đặt ra, hình thành và giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống, hoàn cảnh khác nhau…” Theo Kơrutecxki thì cấu trúc của năng lực toán học bao gồm những thành phần sau: a) Về mặt thu nhận thông tin b) Về mặt chế biến thông tin c) Về mặt lưu trữ các thông tin d) Về thành phần tổng hợp chung * Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển năng lực toán: Yếu tố tự nhiên – sinh học: Năng lực toán của học sinh được di truyền từ cha mẹ, mà chúng ta hay gọi là năng khiếu toán. Thực tế có nhiều học sinh được thừa hưởng những thuộc tính sinh học (gen), những phẩm chất toán học từ cha mẹ là những người có năng lực toán học tốt. Di truyền tạo ra những điều kiện ban đầu để học sinh có triển vọng phát triển năng lực toán tốt.
Tuy nhiên, điều đó chỉ tạo nên những tiền đề vật chất cho sự hình thành và phát triển năng lực toán sau này. Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục: Mỗi học sinh đều sống (hoạt động) trong một môi trường xã hội nhất định. Môi trường góp phần tạo nên động cơ, mục 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đích, phương tiện, hành động của cá nhân, trong đó giáo dục đóng vai trò chủ đạo. Chính vì thế, trên thế giới có những nước toán học rất phát triển, là mỗi trường ươm mầm cho những tài năng toán học xuất chúng.
Hay trong một quốc gia, có những địa phương có phong trào học toán vượt trội so với những nơi khác, mà người ta hay gọi là đất học toán. Yếu tố nội dung của toán học: Chính trong bản thân môn toán học với nội dung có đặc tính trừu tượng, logic đã góp phần hình thành và phát triển các năng lực toán học cho học sinh. Việc học tập toán một cách có hệ thống, phương pháp phù hợp là điều kiện quan trọng để học sinh phát triển năng lực toán một cách bền vững. Yếu tố hoạt động của học sinh: Hoạt động của học sinh đóng vai trò quyết định trực tiếp đến sự hình thành và phát triển năng lực toán.
Muốn hình thành và phát triển năng lực toán, học sinh cần phải được trực tiếp thao tác, hoạt động với các đối tượng, nội dung toán học một cách tích cực, say mê, cộng với ý chí, nghị lực và sự kiên trì để vượt qua các trở ngại, dần dần chiếm lĩnh các tri thức toán học. Trong quá trình hoạt động đó, tùy vào sự nỗ lực của bản thân mà năng lực toán học sẽ được hình thành và phát triển ở các mức độ khác nhau ở mỗi học sinh. Điều đó khẳng định, năng lực, tài năng của mỗi con người chỉ có thể được hình thành “trong hoạt động, thông qua hoạt động và bằng hoạt động” của mỗi cá nhân.3 Ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay.
Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẻ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa. Như ta đã biết, nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học. Ngược lại toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, sản xuất và các ngành khoa học kỹ thuật khác.
Về nguyên tắc không những nó có thể áp dụng vào các ngành khác nhau của khoa học tự nhiên mà còn có thể áp dụng vào các ngành khoa học xã hội nữa. 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ngày nay cũng như trước đây một bộ phận của toán học được áp dụng vào sản xuất và kỹ thuật thông qua vật lý và cơ học. Rất nhiều tiến bộ của khoa học kỹ thuật chỉ giải quyết được trên cơ sở những tiến bộ của vật lý và cơ học, thế mà hai ngành này lại liên hệ mật thiết với toán học.