Chương 1: Cơ sở lý luận về dạy học chủ đề Thống kê – Xác suất theo hướng phát triển kỹ năng thu thập và xử lý thông tin cho học sinh. Chương 2: Tổ chức dạy học Thống kê – Xác suất theo hướng phát triển kỹ năng thu thập và xử lý thông tin cho học sinh lớp 10. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ DẠY HỌC THỐNG KÊ – XÁC SUẤT LỚP 10 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG THU THẬP VÀ XỬ LÝ THÔNG TIN CHO HỌC SINH 1.
Tổng quan vấn đề nghiên cứu 1. Lịch sử hình thành và phát triển của thống kê và xác suất 1. Lịch sử hình thành và phát triển của thống kê Thống kê là thuật ngữ diễn tả hoạt động thu thập số liệu về một hiện tượng, sự việc hoặc tình hình nào đó, qua đó cung cấp cơ sở để so sánh, phân tích, giải thích và đánh giá về tình hình chung. Thống kê trong tiếng Anh là “statistics”, tiếng La-tinh là “statisticum”, tiếng Ý là “statista”, và tiếng Đức là “statistik” hay “status”.
Giai đoạn cuối thế kỉ 17 – đầu thế kỉ 20 thống kê được hình thành và phát triển một cách rõ nét nhất. Năm 1660, tại trường đại học Holmsted, nhà kinh tế học người Đức H. Cohring đã giảng bài lần đầu tiên về “Phương pháp nghiên cứu hiện tượng xã hội dựa vào số liệu điều tra cụ thể”. Năm 1664, Jean Baptiste Collebert – tác giả cuốn sách “Phương pháp tổng quát và dễ dàng để đếm dân số” (1686), đã đề xuất sử dụng “mẫu” của mỗi vùng đất để đánh giá khả năng nông nghiệp của các tỉnh thành.
Năm 1682, nhà kinh tế học người Anh – William Petty (1623 – 1687) đã xuất bản cuốn sách “Số học chính trị”, với nội dung phân tích các số liệu thống kê để nghiên cứu các hiện tượng xã hội như: số con của một người phụ nữ, khoảng cách giữa hai lần sinh của một người mẹ, số người sinh sống trong một hộ dân, tỷ lệ người chết,. Phương pháp ước lượng dân số được W .Petty miêu tả như sau: Đánh giá số nhà ở London năm 1686 là 88000 nhà, số gia đình ở London là 105000 (xấp xỉ con số chính thức của văn phòng quản lý hộ tịch là 105315), sau đó giả sử mỗi gia đình có 6 thành viên và 10% số nhà là nơi cứ trú của 2 gia đình, suy ra 105000 ngôi nhà là nơi cư trú của 695700 người dân. Kỹ thuật mà W. Petty sử dụng được gọi là “kỹ thuật ngoại suy” hay “kỹ thuật nhân”, giúp thu nhỏ các cuộc điều tra dân số khổng lồ, chuyển sang điều tra trên một bộ phận.
Cuối thế kỉ XIX – đầu thế kỉ XX, các lý thuyết nền tảng của khoa học thống kê được phát triển mạnh mẽ. Adolphe Questelet (1796-1874) đã giới thiệu số trung vị như một sự biểu hiện tình trạng của các hiện tượng xã hội như tỉ lệ tội phạm, tỉ lệ ly hôn, tỉ lệ tự tử,… A. Questelet đã chấp nhận việc lấy các 5 kết quả thu được trên một bộ phận làm đại diện cho tổng thể. Nhà thống kê học Jean- Baptis Fourier đã tiến hành nghiên cứu lương của người lao động Pháp trong khoảng thời gian 1891-1893 qua việc điều tra một mẫu chiếm 1/5 dân số.
Roosevelt đã trúng cử tổng thống Hoa Kỳ, đây cũng là kết quả được dự đoán khi các nhà nghiên cứu thực hiện các cuộc điều tra độc lập với nhau. Phương pháp chung của họ là phỏng vấn các cá nhân được lựa chọn theo tỷ lệ phần trăm (phương pháp “nước Mỹ thu nhỏ”). Đặc điểm chung của các cuộc điều tra thống kê trong giai đoạn này là đều sử dụng phương pháp nghiên cứu trên một bộ phận (một mẫu) để đánh giá cho tổng thể. Đã có nhiều cuộc tranh luận nảy ra xung quanh tính chính xác của phương pháp này, câu hỏi đặt ra là: Một nghiên cứu thống kê bộ phận phải được thực hiện như thế nào, cần đảm bảo những yếu tố gì để thu được kết quả chính xác nhất có thể, đại diện được cho toàn thể? Để trả lời câu hỏi này, người ra đã nghĩ đến việc đưa các tính toán xác suất vào kiểm tra độ chính xác của các kết quả nghiên cứu thống kê.
Sau 1925, các cuộc tranh luận chuyển hướng sang tìm cách lấy mẫu hiệu quả, qua đó chia mẫu thành hai loại: mẫu ngẫu nhiên và mẫu có suy tính. Lịch sử hình thành và phát triển của xác suất Thuật ngữ “xác suất” trong tiếng Anh là “probability”, tiếng La-tinh là “probabilitas”. Gốc từ “probable” chỉ những sự kiện chưa chắc chắn hoặc mang tính may rủi. Trong toán học, xác suất đóng vai trò là thước đo tính chắc chắn của khả năng xảy ra một sự kiện (biến cố) nào đó.
Xác suất được xác định trên cơ sở kinh nghiệm trong quá khứ hay quan sát kết quả thực nghiệm, và được biểu thị qua các số từ 0 (không thể xảy ra) đến 1 (chắc chắn xảy ra). Mầm mống của xác suất đã có từ thế kỉ III TCN, trong phương thức vận hành của các trò chơi may rủi. Các mẫu vật hình lập phương, đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ, chứng tỏ các trò chơi sử dụng phép thử ngẫu nhiên đã có từ thời này và phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại. Đến nửa đầu thế kỉ XVII, xác suất chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm để so sánh khả năng xảy ra giữa các sự kiện.
Tuy nhiên để có số liệu cụ thể cho thước đo này thì chưa thực hiện được, bởi chưa có một định nghĩa chính thức nào về xác suất. 6 Từ nửa sau thế kỉ XVII, một lời giải cho bài toán cờ bạc đã gợi mở ra một lĩnh vực toán học mới: Lý thuyết xác suất hiện đại. • Năm 1651, một người Pháp tên Chevalier de Mere (1606 – 1689) liên tục thua khi chơi các trò chơi sử dụng xúc sắc. Không cho là do may rủi, Mere tìm gặp thiên tài toán học Blaise Pascal (1623 – 1662) để xin sự giải thích toán học về nguyên lý hoạt động của trò chơi.
• Năm 1654, có 7 lá thư trao đổi giữa Blaise Pascal và Pierre de Fermat thảo luận về câu hỏi của Mere về vấn đề chia tiền cược giữa hai người chơi A và B. Pascal và Fermat đã vào vai người chơi và thuật lại tình huống như sau: Mỗi người bỏ ra 50 Francs để chơi trò tung đồng xu, nếu mặt ngửa xuất hiện thì Fermat được 1 điểm, nếu mặt sấp xuất hiện thì Pascal được 1 điểm, khi nào một trong hai người được 10 điểm thì dừng cuộc chơi và người thắng sẽ được 100 Francs. Tuy nhiên, khi Fermat được 8 điểm, Pascal được 7 điểm thì phải dừng trò chơi. Vậy làm thế nào để chia số tiền 100 Francs? Fermat nhận thấy mình chỉ cần 2 điểm nữa là thắng, trong khi Pascal cần 3 điểm nữa, do đó cần tung tối đa là 4 lần nữa để kết thúc.
Nếu ký hiệu N là mặt ngửa, S là mặt sấp, ta có 16 khả năng xảy ra khi tung đồng xu 4 lần như sau: NNNN, NNNS, NNSN, NSNN, SNNN, SSNN, NNSS, SNNS, NSSN, NSNS, SNSN, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SSSS. Trong 16 khả năng này, có 11 khả năng thuận lợi cho Fermat và 5 khả năng thuận lợi cho Pascal, như vậy cần !! chia 100 Francs theo tỉ lệ 11:5 và Fermat được nhận !" × 100 = 68,75 Frances, Pascal được nhận 31,25 Frances. Pascal đồng ý với cách giải của Fermat, tuy nhiên thay vì liệt kê hết các khả năng có thể xảy ra, ông đã sử dụng công thức tổ hợp để tính toán. Năm 1665, Pascal công bố công trình nghiên cứu về “tam giác số học”, còn gọi là “tam giác Pascal”, cho biết cách tính các số tổ hợp.
Các phương pháp mà Pascal và Fermat sử dụng chính là cách tính xác suất hiện nay, tuy nhiên hai ông không phải người đầu tiên đưa ra khái niệm xác suất. Định nghĩa đầu tiên về xác suất được công bố vào năm 1814 bởi Pierre-Simon Laplace: “Xác suất của một biến cố bằng tỉ lệ giữa số trường hợp thuận lợi với số trường hợp có thể xảy ra. Xác suất định nghĩa dưới dạng tỉ số được gọi là định 7 nghĩa cổ điển của xác suất, trong đó không gian mẫu là hữu hạn và các biến cố phải đồng khả năng xảy ra. Vậy trong trường hợp một trong hai điều kiện trên không thỏa mãn thì sao? Jaque Bernoulli phát hiện ra điểm hạn chế này khi muốn dự đoán các hiện tượng trong tự nhiên như: sự bùng phát của dịch bệnh, các dự báo về thời tiết hay xây dựng chiến lược cho người chơi mà các kết quả xảy ra là không thể đoán trước được,… Việc tiên nghiệm xác suất là không khả thi trong những trường hợp này.
Do đó, ý tưởng của Bernoulli là sẽ tiến hành thực nghiệm một lượng đủ lớn các phép thử lặp lại, từ đó xác định tần suất xuất hiện của các kết quả thu được, nghĩa là đi xác định hậu nghiệm xác suất. Câu hỏi đặt ra là số thí nghiệm đủ lớn cần thực hiện là bao nhiêu để thu được kết quả cho sai số nhỏ nhất? Abraham de Moivre (1667 – 1754) và sau là Laplace đã nghiên cứu và đưa ra định lý Moivre-Laplace với nội dung: Cho biết độ chính xác 𝜀 và độ tin cậy 1 − 𝛼, có thể tính được lượng lý tưởng các thí nghiệm cần thực hiện, chẳng hạn với độ chính xác 3% và độ tin cậy 95% (𝛼 = 5%) thì kích thước mẫu rơi vào khoảng 1000 phép thử. Việc định nghĩa xác suất theo Laplace hay theo Bernoulli chỉ là nêu lên kỹ thuật tính xác suất cho một biến cố. Tới thế kỷ XIX, chưa có một định nghĩa tổng quát về khái niệm xác suất trong toán học.
Năm 1933, nhà toán học Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. Kết luận rút ra từ phân tích lịch sử Thống kê ra đời do nhu cầu thu thập và xử lý số liệu, nhằm rút ra những kết luận, đánh giá khách quan về đối tượng nghiên cứu. Thống kê gồm hai bộ phận là “thống kê mô tả” và “thống kê suy diễn”. Trong thống kê mô tả, người nghiên cứu sẽ tính toán các tham số đặc trưng (tần suất, trung bình, độ lệch chuẩn,…) của các số liệu thu thập được, từ đó xác định được các quy luật phân phối của đối tượng nghiên cứu.
Tuy nhiên đa số các cuộc điều tra chỉ được tiến hành trên phạm vi một mẫu – một bộ phận rút ra từ quần thể rộng lớn, do đó các tham số tính được chỉ có ý nghĩa thực nghiệm mà chưa phải số liệu chính xác cần có.