phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, các phụ lục và tài liệu tham khảo, Nội dung chính của luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn Chƣơng 2: Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài toán tiếp cận chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) theo quan điểm dạy học định hƣớng phát triển năng lực Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề lý luận 1.1 Bài toán, bài toán thực tiễn và Quá trình toán học hóa G. Polya định nghĩa: “Bài toán là nhu cầu hay yêu cầu đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [9, tr. Bài toán xuất phát từ yêu cầu hay nhu cầu mà ta gọi là ƣớc muốn (hay vấn đề), ƣớc muốn có khi dẫn đến một bài toán, có khi không dẫn đến bài toán. Nếu khi có một ƣớc muốn, mà trong đầu ta, không cần một chút cố gắng nào, lập tức nảy sinh ra một phƣơng tiện rõ ràng mạch lạc, mà dùng phƣơng tiện đó chắc chắn có thể thực hiện đƣợc ƣớc muốn, thì sẽ không nảy ra bài toán.
Nhƣng nếu không có đƣợc một phƣơng tiện nhƣ vậy, thì đó là một bài toán. Một vấn đề có thể là bài toán đối với ngƣời này nhƣng không phải là bài toán đối với ngƣời khác tùy thuộc vào phƣơng tiện (kiến thức và kinh nghiệm) mà họ có. Nhƣ vậy, bài toán thực tiễn là bài toán mà yêu cầu hay nhu cầu cần đạt đƣợc xuất phát từ trong thực tiễn cuộc sống. Ví dụ: “Xây dựng một công trình thủy lợi trên một dòng sông” là một bài toán thực tiễn.
Chúng ta cần phân biệt bài toán “thực tiễn đích thực” với bài toán “ngụy thực tiễn”. Có một số sách, tài liệu, công trình khoa học đã đồng nhất hai khái niệm này. Ví dụ: “Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20 quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp 4/3 lần số trứng ở rổ thứ hai.
Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ?” [9, tr. Thoạt nhìn, ta tƣởng đây là bài toán thực tiễn bởi “ngôn ngữ thực” của bài toán. Tuy nhiên, bài toán này không xuất phát từ một mong muốn nào trong thực tiễn, nó chẳng giải quyết vấn đề nào của thực tiễn cả bởi ta không bao giờ gặp nó trong thực tiễn, chúng ta đếm mỗi rổ có bao nhiêu trứng là cách làm thực tế và khả thi hơn nhiều việc tính tỉ lệ rồi đong qua xớt lại nhƣ bài toán nêu. Polya gọi 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com các bài toán này là các “bài toán đố bằng lời”, tức là các bài toán đƣợc hƣ cấu nhằm thách đố ngƣời giải.
Về nhiều phƣơng diện, các bài toán thực tế khác xa những bài toán thuần túy toán học. Tuy nhiên, các lý luận và phƣơng pháp chính để giải thì về căn bản là nhƣ nhau. Hơn nữa, những bài toán thực tiễn nói chung có bao gồm một phần toán học. Trong bài toán thực tiễn, các ẩn, các dữ kiện, các điều kiện là phức tạp hơn và không đƣợc xác định rõ ràng nhƣ trong một bài toán thuần túy toán học.
Để giải quyết một bài toán thuần túy toán học, chúng ta xuất phát từ những khái niệm rất rõ ràng, tƣơng đối có trật tự trong ý nghĩ của chúng ta. Với một bài toán thực tế nhiều khi ta phải xuất phát từ những ý nghĩ mơ hồ và việc làm sáng tỏ các khái niệm có khi lại là một bộ phận quan trọng của bài toán. Nhƣ vậy, giải một bài toán thực tiễn đòi hỏi năng lực giải quyết vấn đề cao hơn khi giải một bài toán thuần túy toán học. Muốn đạt và giải một bài toán thuần túy toán học xuất phát từ những vấn đề thực tiễn thì thông thƣờng chúng ta giới hạn trong việc tính gần đúng, vì ta buộc phải bỏ qua một số dữ kiện và điều kiện phụ của bài toán thực tiễn.
Tóm lại, “trong các bài toán thực tế, tất cả đều phức tạp hơn và không rõ ràng như trong các bài toán thuần túy toán học. Đó là điều khác nhau cơ bản giữa hai loại bài toán đó và từ đó dẫn đến nhiều sự khác nhau nữa, tuy nhiên, các lập luận và phương pháp cơ bản để đạt được lời giải thì đều như nhau trong cả hai loại bài toán” [9, tr. Vì lẽ đó, khi giải một bài toán thực tế, ngƣời ta tìm cách dịch nó sang ngôn ngữ toán học để đƣợc bài toán thuần túy toán học. Quá trình đó ta gọi là quá trình “toán học hóa” (Mathematisation).
Từ một bài toán thực tế thông qua quá trình toán học hóa, có thể biến thành một bài hoặc cũng có thể nhiều bài toán thuần túy toán học mà mỗi bài toán giải quyết một nhiệm vụ của bài toán thực tế đó. Điều đó phụ thuộc vào tính phức tạp của bài toán thực tế, bản chất của lĩnh vực thực tế và vào “tay nghề” của ngƣời thực hiện toán học hóa. Trong quá trình toán học hóa, để biến một bài toán thực tế thành một bài toán 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuần túy toán học chúng ta thƣờng phải đặt ra một số điều kiện lý tƣởng cho ẩn. Do đó, kết quả của bài toán thuần túy toán học nhiều khi không phản ánh đúng kết quả thực tế.
Việc đánh giá, phê phán lời giải của bài toán thuần túy toán học và làm cho nó có ý nghĩa thực tế là một khâu quan trọng trong quá trình toán học hóa. Để có quá trình toán học hóa tốt, chúng ta cần xây dựng quy trình để đảm bảo sự tƣơng ứng chặt chẽ của hai bài toán. PISA – Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế đã đƣa ra quy trình toán học hóa gồm 3 giai đoạn và 5 bƣớc trong các bài toán của mình [xem mục 1.2, PISA và các bài toán của PISA]. Đây cũng là quy trình mà chúng ta sẽ sử dụng trong luận văn này.2 Ký hiệu, ngôn ngữ toán học Toán học có các ký hiệu, phép toán và ngôn ngữ đặc thù của mình mà chúng ta thƣờng gọi là ngôn ngữ toán học, một loại ngôn ngữ đặc biệt, xúc tích, rõ ràng, không hề có ngoại lệ (bất quy tắc) nhƣ đối với các ngôn ngữ thông thƣờng.
Điều đó xuất phát từ bản chất logic của toán học và hoàn toàn thích ứng với trình bày toán học. Một số ký hiệu nhƣ các dấu +, -, =, … đã có một ý nghĩa nhất định; trái lại, những ký hiệu khác nhƣ các chữ cái La Tinh và Hy Lạp thƣờng dùng với những ý nghĩa khác nhau tùy theo từng bài toán. Khi ta khảo sát một bài toán mới, ta phải chọn một số ký hiệu, đƣa ký hiệu vào một cách thích hợp. Điều đó cũng tự nhiên nhƣ khi ta sử dụng ngôn ngữ thông thƣờng: nhiều từ ngữ có ý nghĩa thay đổi tùy theo hoàn cảnh, nên tùy vào mục đích ta chọn lọc từ ngữ cho phù hợp.
Việc chọn ký hiệu là một giai đoạn quan trọng trong khi giải (hay toán học hóa) một bài toán. Để có cơ sở cho sự lựa chọn đó, ta phải nghiên cứu thật kỹ mọi yếu tố của bài toán. Cách ký hiệu thích hợp có ý nghĩa hàng đầu để giúp ta hiểu đƣợc bài toán. Một ký hiệu tốt phải thỏa mãn các yêu cầu sau: có nội dung và dễ nhớ; nó phải tránh đƣợc mọi lối giải thích không rõ ràng.
Thứ tự các ký hiệu và sự tƣơng quan giữa chúng phải làm ta 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com liên tƣởng đến thứ tự và sự tƣơng quan giữa các đối tƣợng tƣơng ứng. Sau đây là một số yêu cầu đối với việc sử dụng ký hiệu trong quá trình toán học hóa: Thứ nhất, các ký hiệu không đƣợc nhập nhằng. Chẳng hạn, trong cùng một vấn đề không bao giờ đƣợc dùng một ký hiệu để chỉ hai đối tƣợng khác nhau. Nếu trong một bài toán ta đã gọi a là một độ dài nào đó thì không đƣợc gọi một phần tử nào khác là a.
Dĩ nhiên, trong một bài toán khác thì có thể dùng chữ a với một ý nghĩa khác. Tuy không đƣợc dùng một ký hiệu để chỉ hai đối tƣợng khác nhau nhƣng ta có quyền dùng những ký hiệu khác nhau để chỉ cùng một đối tƣợng. Chẳng hạn, viết tích của a với b là: a x b, a. Nhƣng mỗi khi thấy làm nhƣ vậy là có lợi thì cũng phải thận trọng.
Nói chung, nên dùng một ký hiệu cho một đối tƣợng và không bao giờ nên dùng nhiều ký hiệu không cần thiết. Thứ hai, các dấu hiệu đƣợc chọn phải dễ nhớ và dễ nhận, mỗi dấu hiệu phải nhắc ta tức khắc đến đối tƣợng tƣơng ứng và ngƣợc lại. Một cách để có đƣợc ký hiệu dễ nhớ là dùng các chữ cái đầu tiên của tên đối tƣợng. Ví dụ: chữ t để chỉ thời gian (time: thời gian), V để chỉ thể tích (volume: thể tích),… Thứ ba, cần chú ý đến thứ tự và quan hệ giữa các ký hiệu.
Một ký hiệu không những giúp ta liên hệ với các khái niệm mà còn đặc biệt lợi ích là giúp ta quan niệm đƣợc bài toán khi thứ tự và quan hệ giữa các ký hiệu làm ta liên tƣởng đến thứ tự và quan hệ giữa các đối tƣợng. Để chỉ các đối tượng gần nhau trong bài toán, ta chọn các chữ theo thứ tự trong bảng chữ cái. Ta thƣờng dùng những chữ cái đầu tiên nhƣ a, b, c để chỉ những đại lƣợng đã cho hay những hằng số và các chữ cuối nhƣ x, y, z để chỉ những đại lƣợng chƣa biết hay biến thiên. Để chỉ các đối tượng cùng một phạm trù, ta thường chọn những chữ thuộc cũng một mẫu tự và ta dùng những mẫu tự khác cho những phạm trù khác.
Chẳng hạn, trong hình học phẳng ta thƣờng dùng: Chữ in hoa của mấu tự la tinh nhƣ A, B, C để chỉ các điểm, chữ thƣờng a, b, c để chỉ các 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đƣờng thẳng, chữ thƣờng Hi Lạp , , để chỉ các góc. Khi gặp hai đối tượng thuộc những phạm trù khác nhau, nhưng lại có quan hệ với nhau thì ta có thể dùng những chữ tương ứng trong các tự mẫu khác nhau, hoặc dùng chữ in và chữ thường.