Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp "Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp cho học sinh Trung học phổ thông về chủ đề Tổ hợp" được thực hiện bởi sinh viên Lê Thị Gái (lớp K16 - ĐHSP Toán, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức) dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Thị Thu, hoàn thành vào tháng 05 năm 2017 tại Thanh Hóa. Công trình thuộc chuyên ngành Phương pháp dạy học môn Toán (Sư phạm Toán học).

Lý do chọn đề tài và bối cảnh thực tiễn

Trong hoạt động nhận thức và đời sống, phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy cơ bản, gắn liền hữu cơ với nhau. Trong học tập môn Toán, việc chiếm lĩnh các khái niệm, định lý và giải quyết bài tập đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu bản chất, nhận diện mối liên hệ giữa các yếu tố và tổng hợp để xác định đường lối giải.

Về mặt lịch sử chương trình, chủ đề Tổ hợp trước đây chủ yếu được giảng dạy ở bậc đại học tại Việt Nam. Theo xu hướng đổi mới giáo dục (đặc biệt là định hướng sau năm 2015), kiến thức Tổ hợp đã được đưa vào chương trình Trung học phổ thông (THPT) do có giá trị ứng dụng thực tiễn cao, hỗ trợ tính toán xác suất và đánh giá rủi ro. Tuy nhiên, các bài toán Tổ hợp thường có tính trừu tượng cao, không có thuật giải tổng quát cho mọi dạng toán, khiến học sinh thường xuyên gặp lúng túng và mắc sai lầm trong việc phân tích đề bài. Mặc dù đã có các công trình nghiên cứu về rèn luyện kỹ năng giải toán, nhưng việc nghiên cứu hệ thống về rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp thông qua chủ đề Tổ hợp ở cấp THPT vẫn chưa được thực hiện đầy đủ.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ kỹ năng phân tích, tổng hợp trên các khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính phổ dụng trong nhận thức và giáo dục toán học; đồng thời nghiên cứu các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng này cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp.

Tác giả xác định 6 nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể:

  1. Làm rõ khái niệm phân tích, tổng hợp và lý do cần rèn luyện các thao tác này.
  2. Xác định mối liên hệ biện chứng giữa phân tích và tổng hợp.
  3. Làm rõ tiềm năng của môn Toán trong việc rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp.
  4. Khảo sát và đánh giá thực trạng rèn luyện kỹ năng phân tích - tổng hợp trong dạy học toán Tổ hợp ở trường THPT.
  5. Xây dựng các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng phân tích - tổng hợp cho học sinh trong dạy học chủ đề Tổ hợp.
  6. Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.

Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một số biện pháp dạy học hợp lý, khả thi, có cơ sở khoa học thì có thể phát triển kỹ năng phân tích, tổng hợp cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Quá trình rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp cho học sinh THPT trong dạy học môn Toán.
  • Phạm vi nội dung: Chủ đề Tổ hợp trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao.
  • Phạm vi khảo sát và thực nghiệm: Giáo viên và học sinh các lớp 11A3, 11A4 tại Trường THPT Hậu Lộc 2, tỉnh Thanh Hóa.
  • Thời gian nghiên cứu: Năm học 2016 – 2017.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Khóa luận xây dựng cơ sở lý luận dựa trên các lý thuyết tâm lý học nhận thức, triết học và lý luận dạy học môn Toán:

  • Khái niệm tư duy: Tiếp cận theo Từ điển tiếng Việt, Triết học và Tâm lý học (X. Rubinstein); xác định tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, mối liên hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng. Tư duy có 5 đặc điểm chính: tính "có vấn đề", tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái quát, mối quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ, và quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính.
  • Khái niệm phân tích và tổng hợp: Tiếp thu định nghĩa của Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Sacdacop. Tác giả thống nhất:
    • Phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận theo các dấu hiệu và thuộc tính nhằm nghiên cứu đối tượng sâu sắc hơn.
    • Tổng hợp là quá trình dùng trí óc liên kết các bộ phận, thuộc tính đã phân tách thành một chỉnh thể thống nhất theo mục đích xác định để thu được tri thức mới.
    • Mối quan hệ: Phân tích và tổng hợp là hai mặt đối lập nhưng thống nhất của một quá trình; phân tích được tiến hành theo định hướng của tổng hợp, còn tổng hợp được thực hiện dựa trên kết quả của phân tích.
  • Khái niệm kỹ năng: Khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động theo mục đích trong những điều kiện xác định; kỹ năng phân tích - tổng hợp là việc biết thực hiện các thao tác này hướng tới mục tiêu giải quyết nhiệm vụ toán học.
  • Chương trình chuẩn: Nội dung chủ đề Tổ hợp thuộc SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao (gồm Hai quy tắc đếm cơ bản; Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp; Nhị thức Newton và Tam giác Pascal).

Phương pháp nghiên cứu

  1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn bản, giáo trình, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học toán và tài liệu toán học liên quan đến giải tích tổ hợp.
  2. Phương pháp điều tra, quan sát: Thiết kế phiếu hỏi và tiến hành khảo sát thực trạng nhận thức, phương pháp dạy học của 11 giáo viên dạy Toán và 81 học sinh (thuộc hai lớp 11A3, 11A4) tại Trường THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa.
  3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm có đối chứng tại trường THPT nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của hệ thống biện pháp đề xuất.

Nguồn dữ liệu

Dữ liệu nghiên cứu bao gồm: các định nghĩa và mô hình lý luận dạy học toán; phân phối chương trình và bài tập SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao; kết quả trả lời phiếu điều tra của giáo viên và học sinh; các bài giải mẫu và bài làm mắc sai lầm thực tế của học sinh THPT.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 1 trình bày hệ thống lý luận về tư duy, kỹ năng phân tích - tổng hợp và đánh giá thực trạng dạy học chủ đề Tổ hợp tại trường THPT.

  1. Khái quát về tư duy và thao tác phân tích - tổng hợp: Tác giả phân tích cấu trúc của sơ đồ tư duy (từ xác định vấn đề, xuất hiện liên tưởng, sàng lọc giả thuyết, kiểm tra giả thuyết, đến giải quyết vấn đề). Trong dạy học giải bài tập toán, mối liên hệ này thể hiện qua ba pha: Tổng hợp định hướng cho phân tích -> Phân tích bài tập tìm cách giải -> Tổng hợp và trình bày lời giải bài tập.

  2. Thực trạng dạy học tại Trường THPT Hậu Lộc 2: Khóa luận công bố kết quả điều tra qua phiếu hỏi đối với 11 giáo viên và 81 học sinh:

Kết quả khảo sát đối với Giáo viên (11 phiếu):

Nội dung câu hỏi Lựa chọn chính của Giáo viên Tỉ lệ (%)
Mức độ quan tâm rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp Thường xuyên quan tâm 100,0%
Đánh giá tầm quan trọng của việc rèn luyện kỹ năng Rất quan trọng (3 GV) / Quan trọng 27,3% / 72,7%
Hình thức tổ chức hoạt động cho học sinh Kết hợp theo nhóm và cá nhân (7 GV) 63,6%
Đánh giá mức độ tham gia của học sinh Đa số học sinh tham gia (8 GV) 72,7%
Đánh giá hiệu quả khi tổ chức rèn luyện kỹ năng Tương đối hiệu quả (5 GV) / Rất hiệu quả (2 GV) 45,4% / 18,2%
Phương pháp tối ưu để phân biệt quy tắc cộng và nhân Dạy học phân tích và tổng hợp 100,0%
Phương pháp dạy bài Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp Phương pháp học tập theo nhóm (8 GV) 72,7%

Kết quả khảo sát đối với Học sinh (81 phiếu):

Nội dung khảo sát Kết quả nổi bật Tỉ lệ (%)
Mức độ yêu thích môn Toán Tổ hợp Không thích (34 HS) / Chưa thích (26 HS) 41,98% / 32,09%
Nhận thức về tầm quan trọng của Toán Tổ hợp Rất quan trọng (17 HS) / Không quan trọng (4 HS) 20,99% / 4,94%
Hình thức học tập ưa thích Tùy từng nội dung (41 HS) / Học theo nhóm (29 HS) 50,62% / 35,80%
Thái độ với phương pháp rèn kỹ năng phân tích - tổng hợp Không thích (12 HS) / Chưa thích (24 HS) 14,81% / 29,63%
  1. Phân loại các khó khăn và sai lầm điển hình của học sinh: Khóa luận chỉ ra và phân tích 5 nhóm sai lầm phổ biến thông qua các ví dụ toán học cụ thể:
  • Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân: Học sinh không phân biệt được hành động độc lập (chia phương án) và hành động liên tiếp (chia giai đoạn), dẫn đến việc cộng các trường hợp phụ thuộc (Ví dụ 1.4: chọn 1 nam và 1 nữ từ 280 nam, 325 nữ lại tính $280 + 325$ thay vì $280 \times 325$).
  • Nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp, quên điều kiện của biến: Học sinh không xác định bài toán có phân biệt thứ tự hay không (Ví dụ 1.5, 1.6, 1.7), hoặc khi giải phương trình chứa $A_n^k, C_n^k$ bỏ quên điều kiện $k, n \in \mathbb{N}, 1 \le k \le n$ (Ví dụ 1.8).
  • Chưa nắm vững các khái niệm toán học cơ bản: Quên điều kiện chữ số đầu tiên của số tự nhiên phải khác 0 (Ví dụ 1.9, 1.10), hoặc quên điều kiện ba điểm tạo thành tam giác phải không thẳng hàng (Ví dụ 1.11: lấy 10 điểm trên đường thẳng $d_1$ và 20 điểm trên $d_2$, tính sai thành $C_{30}^3$ thay vì $C_{10}^1 C_{20}^2 + C_{10}^2 C_{20}^1 = 2800$).
  • Nắm không chính xác điều kiện quy tắc đếm, gây đếm lặp hoặc đếm thiếu: Không chia trường hợp khi các giai đoạn có tính phụ thuộc (Ví dụ 1.12: lập số có 6 chữ số chia hết cho 5 từ ${0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}$), hoặc dùng sai chỉnh hợp thay vì tổ hợp kết hợp hoán vị (Ví dụ 1.13: dán 4 nhãn trong 9 nhãn lên 4 quyển vở trong 11 quyển vở, tính đúng phải là $C_9^4 \times C_{11}^4 \times 4! = 997920$).
  • Hiểu nhầm về thứ tự hoặc chia trường hợp không độc lập: Đếm lặp khi chọn phần tử có điều kiện "ít nhất" (Ví dụ 1.14: chọn 4 quả từ 6 xoài, 10 cam có ít nhất 2 xoài); chia thiếu trường hợp khi xếp bàn tròn (Ví dụ 1.15); chia các tập hợp giao nhau dẫn đến việc đếm trùng phần tử nhiều lần (Ví dụ 1.16: bài toán chọn 6 viên bi từ 8 bi xanh, 7 đỏ, 5 vàng).

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp cho học sinh trong dạy học toán

Chương này tập trung xây dựng định hướng và hệ thống các biện pháp dạy học thông qua nội dung chương trình Tổ hợp lớp 11 nâng cao.

  1. Phân tích chương trình Tổ hợp: Hệ thống hóa mục tiêu kiến thức, kỹ năng của 3 bài học:

    • Hai quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng (mệnh đề tuyển các phương án độc lập) và quy tắc nhân (mệnh đề hội các công đoạn liên tiếp).
    • Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp: Khái niệm hoán vị ($P_n = n!$), chỉnh hợp ($A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$), tổ hợp ($C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$).
    • Nhị thức Newton và Tam giác Pascal: Công thức khai triển $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$ và quy luật hình thành các hàng số trong tam giác Pascal.

  2. Định hướng xây dựng biện pháp: Đảm bảo bám sát chuẩn kiến thức SGK hiện hành; rèn luyện đồng thời thao tác phân tích và tổng hợp; xuất phát từ vốn kiến thức và khắc phục trực tiếp các khó khăn, sai lầm đã khảo sát của học sinh.

  3. Nội dung các biện pháp sư phạm đề xuất:

  • Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diện của khái niệm, nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng, làm rõ ý nghĩa giả thiết và tìm khả năng vận dụng của định lý, quy tắc.
    • Dạy học khái niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp: Giáo viên phân tích bản chất logic. Dấu hiệu bản chất chung là lấy ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử. Dấu hiệu khác biệt duy nhất là có quan tâm đến thứ tự sắp xếp (Chỉnh hợp) hay không quan tâm đến thứ tự (Tổ hợp). Tác giả minh họa qua các bài toán đối chiếu: chọn 4 người nhận 4 giải Nhất, Nhì, Ba, Khuyến khích từ 25 người ($A_{25}^4 = 116280$) so với chọn 5 người nhận thưởng như nhau từ 20 người ($C_{20}^5 = 15504$); lập số có 3 chữ số từ ${1, 2, 3, 4, 5}$ ($A_5^3 = 60$).
    • Dạy học Quy tắc cộng và Quy tắc nhân: Phân tích cấu trúc logic "Nếu A thì B". Làm rõ giả thiết của quy tắc cộng (các hành động tách rời, không trùng lặp) thông qua bài toán chọn cặp vợ chồng đi dự tiệc ($10+10 = 20$), bài toán chọn 2 quyển sách khác ngôn ngữ từ 8 sách Việt, 6 sách Anh, 4 sách Pháp ($8\times6 + 8\times4 + 6\times4 = 104$). Làm rõ quy tắc nhân qua cấu trúc liên tiếp độc lập (chọn đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây: $3 \times 4 = 12$).
  • Biện pháp 2: Yêu cầu học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau và phân tích để so sánh các cách giải, tìm cách giải tốt nhất. (Hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán bằng phương pháp trực tiếp, phương pháp gián tiếp/phần bù, so sánh độ phức tạp để tối ưu hóa quá trình tư duy).
  • Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh phân chia trường hợp riêng trong dạy học giải bài tập toán thuộc chủ đề Tổ hợp. (Rèn luyện kỹ năng phân chia tập hợp thành các tập con rời nhau, bao quát hết không gian biến cố và tránh việc phân chia chồng lấn gây đếm lặp).

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Nội dung chương 3 được thiết kế nhằm kiểm chứng tính hiệu quả và khả thi của hệ thống biện pháp:

  • Mục đích: Đánh giá mức độ phát triển kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh sau khi áp dụng các biện pháp dạy học tại Chương 2.
  • Tổ chức thực nghiệm: Tiến hành dạy học tại các lớp thực nghiệm và đối chứng tại trường THPT; xây dựng giáo án thực nghiệm bám sát các tình huống phân tích nội hàm, phân hóa trường hợp và giải toán nhiều cách.
  • Nội dung và đánh giá: Thực hiện đánh giá kết quả thực nghiệm theo hai phương diện:
    • Đánh giá định tính: Khả năng nhận diện bản chất bài toán, mức độ giảm thiểu sai lầm (đặc biệt là lỗi nhầm giữa chỉnh hợp - tổ hợp, cộng - nhân), tính tích cực trong tư duy toán học.
    • Đánh giá định lượng: So sánh phổ điểm, tỷ lệ đạt điểm khá - giỏi và trung bình - yếu giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua các bài kiểm tra chuyên đề Tổ hợp.

Kết quả và đóng góp

Kết quả chính của nghiên cứu

  • Hệ thống hóa lý luận: Khóa luận đã hệ thống hóa các quan điểm lý luận về thao tác phân tích, tổng hợp và làm rõ quy trình vận dụng mối quan hệ biện chứng giữa phân tích và tổng hợp trong giải toán THPT.
  • Số liệu thực trạng chi tiết: Cung cấp bức tranh thực tế về dạy học chủ đề Tổ hợp tại trường THPT (100% GV nhận thức được sự cần thiết nhưng chỉ 18,2% đạt hiệu quả cao; 74,07% học sinh chưa thích hoặc không thích học tổ hợp do tính trừu tượng).
  • Phân loại sai lầm: Nhận diện và phân tích chi tiết nguyên nhân của 5 nhóm sai lầm phổ biến kèm theo 13 ví dụ đối chiếu lỗi sai - lời giải đúng cụ thể.
  • Hệ thống 3 biện pháp sư phạm: Xây dựng quy trình hướng dẫn học sinh phân tích nội hàm - ngoại diện khái niệm, phương pháp so sánh nhiều cách giải và kỹ năng phân chia trường hợp độc lập.

Đóng góp của tác giả

Theo tự đánh giá trong công trình, khóa luận mang lại hai đóng góp chính:

  1. Làm sáng tỏ tính phổ dụng, vai trò và vị trí của kỹ năng phân tích, tổng hợp trong dạy học môn Toán ở trường THPT.
  2. Làm sáng tỏ hình thái, mức độ và các dạng biểu hiện cụ thể của phân tích, tổng hợp trong dạy học Toán thông qua chủ đề chuyên biệt là Tổ hợp lớp 11.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

  • Hạn chế: Phạm vi điều tra khảo sát thực trạng và thực nghiệm sư phạm chỉ mới được tiến hành trong phạm vi hẹp tại một trường THPT (Trường THPT Hậu Lộc 2, Thanh Hóa) với 11 giáo viên và 81 học sinh thuộc khối 11; nội dung nghiên cứu khu biệt trong chủ đề Tổ hợp.
  • Hướng nghiên cứu tiếp: Khóa luận mở ra hướng mở rộng nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp sang các phân môn và chủ đề toán học khác ở trường THPT (như Hình học không gian, Phương trình - Bất phương trình, Giải tích); đồng thời triển khai thực nghiệm diện rộng trên nhiều nhóm đối tượng học sinh có học lực khác nhau.

Giá trị tham khảo

Tài liệu là nguồn tham khảo hữu ích cho:

  • Giáo viên môn Toán tại các trường THPT: Tham khảo các tình huống sư phạm, câu hỏi gợi mở để phân tích khái niệm và hệ thống bài tập minh họa giúp học sinh phòng tránh các sai lầm kinh điển trong giải toán Tổ hợp.
  • Sinh viên ngành Sư phạm Toán học và học viên cao học chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán: Tham khảo cấu trúc thiết kế một đề tài nghiên cứu phương pháp dạy học, cách thức xây dựng phiếu điều tra thực trạng và quy trình phân tích sai lầm của học sinh.
  • Phần nội dung đáng tham khảo nhất: Mục 1.5 (phân tích chi tiết các ví dụ sai lầm thực tế của học sinh) và Biện pháp 1 tại Mục 2.3 (phương pháp dẫn dắt phân biệt nội hàm - ngoại diện của Chỉnh hợp và Tổ hợp).

Câu hỏi thường gặp

1. Nguyên nhân chính khiến học sinh thường nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán Tổ hợp là gì?
Theo phân tích của khóa luận, nguyên nhân chính là do học sinh không phân tích rõ tính độc lập hay phụ thuộc của các hành động. Học sinh chưa nhận diện được: quy tắc cộng áp dụng khi công việc được hoàn thành bởi một trong các phương án độc lập (hành động tách rời); còn quy tắc nhân áp dụng khi công việc đòi hỏi thực hiện liên tiếp nhiều công đoạn phụ thuộc nhau.

2. Tác giả phân biệt khái niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp dựa trên những dấu hiệu bản chất nào?
Cả hai khái niệm đều có chung dấu hiệu là chọn ra $k$ phần tử từ một tập hợp gồm $n$ phần tử ($1 \le k \le n$). Dấu hiệu đặc trưng để phân biệt là yếu tố thứ tự: nếu việc thay đổi vị trí giữa các phần tử tạo ra kết quả mới (có quan tâm đến thứ tự) thì đó là Chỉnh hợp; nếu việc thay đổi thứ tự không làm thay đổi bản chất nhóm phần tử được chọn (không quan tâm đến thứ tự) thì đó là Tổ hợp.

3. Kết quả khảo sát tại Trường THPT Hậu Lộc 2 cho thấy thực trạng thái độ học tập của học sinh đối với phần Tổ hợp như thế nào?
Kết quả khảo sát trên 81 học sinh (lớp 11A3 và 11A4) cho thấy có 41,98% học sinh không thích và 32,09% học sinh chưa thích học toán Tổ hợp (tổng cộng 74,07% chưa có hứng thú). Chỉ có 20,99% học sinh nhận thấy nội dung này là rất quan trọng.

4. Khóa luận đề xuất bao nhiêu biện pháp sư phạm ở Chương 2?
Tác giả đề xuất 3 biện pháp sư phạm chính: (1) Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diện của khái niệm, nhấn mạnh dấu hiệu đặc trưng và làm rõ ý nghĩa giả thiết; (2) Yêu cầu học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau và so sánh để tìm cách giải tối ưu; (3) Tập luyện cho học sinh kỹ năng phân chia bài toán thành các trường hợp riêng độc lập.

5. Sai lầm của học sinh khi giải phương trình chứa chỉnh hợp, tổ hợp được khắc phục bằng cách nào?
Khóa luận chỉ ra học sinh thường quên đặt điều kiện của biến số. Tác giả yêu cầu khi giải các phương trình chứa $A_n^k, C_n^k$, bước phân tích đầu tiên bắt buộc phải là xác định tập xác định của các biểu thức tổ hợp ($n, k \in \mathbb{N}$ và $n \ge k \ge 0$), sau đó mới thực hiện các biến đổi đại số.

Kết luận

Khóa luận của tác giả Lê Thị Gái đã giải quyết một cách có hệ thống vấn đề rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp cho học sinh THPT thông qua dạy học chủ đề Tổ hợp lớp 11. Công trình kết hợp chặt chẽ giữa nghiên cứu lý luận nhận thức, điều tra thực trạng dạy học tại địa phương và xây dựng hệ thống 3 biện pháp sư phạm cụ thể kèm các ví dụ thực tế. Kết quả nghiên cứu cung cấp tài liệu tham khảo có giá trị về mặt phương pháp dạy học cho giáo viên và sinh viên ngành Sư phạm Toán trong việc nâng cao chất lượng dạy học giải tích tổ hợp ở trường phổ thông.