CHƯƠNG 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT 1. Một số quy tắc đếm A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho k và n là các số tự nhiên. Ta nhắc tại một số quy tắc đếm sau: (i) Quy tắc cộng.
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án. Phương án thứ nhất có n1 cách thực hiện, phương án thứ hai có n2 cách thực hiện,., phương án thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó, số cách hoàn thành công việc là n = n1 + n2 +. (ii) Quy tắc nhân.
Giả sử để thực hiện một công việc ta phải chia thành k công đoạn. Công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, công đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện,., công đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó, số cách hoàn thành công việc là n = n1 × n2 ×. (iii) Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một dãy phân biệt thứ tự gồm k phần tử (không nhất thiết phải khác nhau) lấy từ n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp lặp, ký hiệu là Akn , được tính bằng công thức Akn = nk. (iv) Một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một dãy phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp không n! lặp, ký hiệu là Akn , được tính bằng công thức Akn = (n− k)!. (v) Một hoán vị của n phần tử là chỉnh hợp không lặp chập n của n phần tử.
Số các hoán vị, ký hiệu là Pn , được tính bằng công thức Pn = n!. (vi) Một tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một dãy không phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Số các tổ hợp, ký hiệu là Cnk , được tính bằng công thức Cnk = k!(nn!−k)!. MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU Để đếm số khả năng xảy ra, ta có thể đếm bằng cách liệt kê hoặc tính nhẩm nếu số khả năng xảy ra nhỏ.
Trong trường hợp số khả năng xảy ra khá lớn, ta cần phải đếm bằng các quy tắc trong giải tích tổ hợp: tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị, v. 2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT Nếu lấy k phần tử từ tập hợp n phần tử (k ≤ n) mà thứ tự lấy của các phần tử không có ý nghĩa gì (lấy đồng thời) thì ta dùng cách đếm tổ hợp, nếu cách lấy có phân biệt thứ tự (lấy liên tiếp không hoàn lại hoặc gắn số thứ tự) thì ta dùng cách đếm chỉnh hợp. Chỉnh hợp không lặp và chỉnh hợp có lặp chỉ khác nhau ở tính lặp (phần tử được lấy đi lấy lại nhiều lần). Ta dùng quy tắc cộng trong trường hợp công việc được hoàn thành khi chỉ cần thực hiện theo một trong k phương án, còn quy tắc nhân được dùng trong trường hợp công việc được hoàn thành khi phải thực hiện đủ cả k công đoạn.
Sau đây là một số ví dụ mẫu. Có bao nhiêu cách xếp 4 khách lên 9 toa tàu hỏa? Hướng dẫn giải. Giả thiết xếp khách lên 9 toa tàu hỏa nói lên tính sắp thứ tự. Ngoài ra, cả 4 khách có thể lựa chọn lên cùng một toa nói lên tính lặp.
Như vậy, số cách xếp 4 khách lên 9 toa tàu là chỉnh hợp có lặp chập 4 của 9: A49 = 94 = 6561 cách. Ngoài cách giải bằng sử dụng quy tắc đếm chỉnh hợp lặp, bài này chúng ta cũng có thể giải bằng quy tắc nhân như sau. Khi xếp 4 khách lên 9 toa tàu hỏa thì các khách có thể ngồi trùng toa với nhau nên khách thứ nhất có 9 cách xếp, khách thứ hai có 9 cách xếp, khách thứ ba có 9 cách xếp và khách thứ 4 cũng có 9 cách xếp. Như vậy, theo quy tắc nhân, số cách xếp 4 khách lên 9 toa tàu hỏa bằng 9.
Trong một lớp học có 50 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn vào ban cán sự lớp, trong đó có 1 bạn làm lớp trưởng, 1 bạn làm lớp phó và 1 bạn làm bí thư? Hướng dẫn giải. Giả thiết chọn 3 bạn vào ban cán sự với 3 chức vụ khác nhau nói lên tính sắp thứ tự, ngoài ra, cần chọn 3 bạn khác nhau từ tập thể lớp 50 bạn nên số cách chọn 3 bạn vào ban cán sự là chỉnh hợp không lặp chập 3 của 50 phần tử: A350 = 117600 cách chọn. Trong một chuồng thỏ có 10 con thỏ trắng và 5 con thỏ nâu.
Có bao nhiêu cách bắt ra 5 con thỏ để: a) Bắt được 2 con thỏ trắng và 3 con thỏ nâu? b) Bắt được ít nhất 4 con thỏ nâu? Hướng dẫn giải. a) Công việc bắt 5 con thỏ chia thành 2 công đoạn là bắt 2 con thỏ trắng và bắt 3 con thỏ nâu. Ngoài ra, ở mỗi công đoạn các con thỏ được bắt cùng lúc không phân biệt thứ tự nên ta dùng cách đếm tổ hợp. Như vậy, ở ý này ta sử dụng phối hợp quy tắc nhân và tổ hợp.1 Một số quy tắc đếm 3 Công đoạn một bắt 2 con thỏ trắng có số cách bắt là: n1 = C10 2.
Công đoạn hai bắt 3 con thỏ nâu có số cách bắt là: n2 = C53. Vậy theo quy tắc nhân, số cách bắt 5 chú thỏ theo yêu cầu là: 2 3 n = n1 × n2 = C10 C5 = 450. b) Công việc bắt ít nhất 4 con thỏ nâu có 2 phương án thực hiện là bắt 4 con nâu, 1 con trắng và bắt 5 con nâu. Như vậy, ở ý này ta dùng phối hợp quy tắc cộng, quy tắc nhân và tổ hợp.
Phương án 1: Bắt 4 con thỏ nâu và 1 con thỏ trắng. Phương án 2: Bắt 5 con thỏ nâu. Phương án 1 chia thành 2 công đoạn và có số cách thực hiện là n1 = C10 5 0 C5. Phương án 2 chia thành 2 công đoạn và có số cách thực hiện là: n2 = C10 5 Vậy, theo quy tắc cộng, số cách bắt 5 con thỏ theo yêu cầu là: 1 4 0 5 n = n1 + n2 = C10 C5 + C10 C5 = 51.
Một đoạn gen gồm 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z và 2 gen T liên kết với nhau theo một hàng dọc. a) Hỏi có bao nhiêu cách liên kết 8 gen nói trên? b) Hỏi có bao nhiêu cách liên kết để 2 gen X đứng liền nhau? Hướng dẫn giải. a) Mỗi cách liên kết bất kỳ 8 gen ta được 1 đoạn gen. Do mỗi đoạn gen có phân biệt thứ tự nên số cách liên kết 8 gen là hoán vị của 8 phần tử n = 8!.
b) Để 2 gen X luôn đứng liền nhau ta sẽ nhóm 2 gen X và coi đó là 1 gen, khi đó chỉ cần sắp xếp 7 gen theo thứ tự. Vậy số cách liên kết để 2 gen X đứng liền nhau là n = 7!. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 1. Một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ.
Gọi ngẫu nhiên 3 bạn lên bảng làm bài tập. Hỏi có bao nhiêu cách gọi để: a) Có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ? b) Trong 3 bạn có cả nam và nữ? Bài tập 1. Sinh viên năm thứ nhất của một trường đại học phải học 5 học phần trong một học kỳ, mỗi buổi học 2 học phần. Hỏi rằng, phòng đào tạo có bao nhiêu cách xếp thời khóa biểu trong mỗi buổi học? Bài tập 1.
Thang máy của một tòa nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách. Hỏi 3 khách này có bao nhiêu sự lựa chọn tầng để ra? 4 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT Bài tập 1. Có bao nhiêu cách nhốt 8 con thỏ vào 8 chiếc chuồng biết rằng mỗi chiếc chuồng chỉ nhốt được 1 con? Bài tập 1. Có bao nhiêu cách nhốt 5 con gà vào 7 chiếc chuồng gà? Bài tập 1.
Để đăng ký biển số xe máy, người ta dùng 4 chữ số từ tập hợp số 0, 1, 2, 3, ., 9 để lập thành 1 seri. Hỏi mỗi seri có thể đăng ký được cho bao nhiêu xe? Bài tập 1. Có 10 đội bóng thi đấu với nhau theo thể thức đấu vòng tròn. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Bài tập 1.
Một đàn gà có 20 con, trong đó có 4 con gà ri, 5 con gà tam hoàng, 7 con gà tre và 4 con gà đông tảo. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên ra 3 con thuộc 3 giống gà khác nhau? 1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT a) Phép thử và biến cố (i) Phép thử là một thí nghiệm hay một quan sát các hiện tượng tự nhiên, xã hội hoặc các vấn đề về kỹ thuật với cùng một hệ điều kiện nào đó.
Mỗi phần tử của không gian mẫu Ω gọi là biến cố sơ cấp. (iii) Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với tập con ∅ của không gian mẫu Ω. (iv) Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với toàn bộ không gian mẫu Ω. (v) Biến cố ngẫu nhiên (hay biến cố ), thường ký hiệu bởi các chữ cái A, B, C, ., là biến cố có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử, nó tương ứng với một tập con của không gian mẫu Ω.
b) Định nghĩa cổ điển về xác suất Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử, ký hiệu P( A), là tỷ số giữa số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và số các biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.2 Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển 5 c) Tính chất của xác suất (i) Cho A là một biến cố bất kỳ, khi đó 0 ⩽ P( A) ⩽ 1. d) Định nghĩa thống kê về xác suất (i) Giả sử một phép thử được thực liện lặp lại rất nhiều lần trong những điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép thử, biến cố A xuất hiện m lần thì tỷ số f n ( A) = m n gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử. (ii) Xác suất xuất hiện biến cố A là giới hạn của tần suất của biến cố đó khi số phép thử tăng lên vô hạn.