Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYET 1. Danh mục đầu tư 1. Khái niệm Danh mục đầu tư (Investment Portfolio) là một tập hợp các khoản đầu tư tài chính khác nhau như cô phiếu, trái phiếu, tiền mặt và các khoản tương đương tiền,. nhằm tối ưu hóa lợi nhuận và giảm thiêu rủi ro trong dau tu.
Gọi X là khoản tiền ban đầu của nhà đầu tư, trong danh mục đầu tư P có ø loại tài sản. Ký hiệu x; là tỷ trọng đầu tư vào tài san i trong danh mục đầu tư P: x = (x1,x2,.Xn), khi đó: Y"TM, x; = 1; X.x; = X;là khoản tiền dau tư vào tài sản i; ki là số lượng tài sản và S¡ là giá của tài i sản tại thời điểm dau tư ban dau. Chú ý e Nếu xi <0 có nghĩa là trong danh mục có tài sản i được bán khống. Trong trường hợp cắm bán khống tài sản (trừ trường hợp vay tiền) thì cần thêm điều kiện: x¡ > 0 với Ví = 1:n e Danh mục của các danh mục đầu tư cũng là một danh mục đầu tư.
Lợi suất tài sản Lợi suất tài sản (Asset return) là thu nhập của khoản đầu tư vào tài sản đó trong một khoảng thời gian nhất định và thường được tính băng đơn vị phần trăm (%) so với giá tri đầu tư ban đầu hoặc mệnh giá. Lợi suất bao gồm cả lãi hoặc cô tức nhận được trong thời gian năm giữ. Lợi suất của tài sản i được xác định theo công thức: Đụ. Lợi suất danh mục đầu tư Gia sử Rj (i=1,2,.,n) là bién ngẫu nhiên dai diện cho lợi suất tài sản thứ i, lợi suất của danh mục đầu tư Rp được xác định thông qua lợi suất của tài sản: — n Rp = Liar Rix; 11195050- Trần Thanh Thúy 7 Chuyên dé thực tập chuyên ngành Toán kinh tế Nếu lợi suất tài sản là các biến ngẫu nhiên khi đó lợi suất danh mục cũng sẽ là biến ngẫu nhiên.
Ta có lợi suất kỳ vọng của danh mục P, ký hiệu 7p là: rp = E(Rp) = EQ Rix) = LEX: Với 7; là lợi suất kỳ vọng của tài sani, i = I:n 1. Mô hình phân tích Trung bình- Phương sai ( MV- Mô hình Markowitz) Các giả định trong mô hình 1. Hàm lợi ích của nha đầu tư là một hàm của lợi suất trung bình và phương sai (nghĩa là họ đưa ra quyết định chỉ dựa trên lợi nhuận kỳ vọng và phương sai.) và do đó danh mục đầu tư được xây dựng dựa trên hai biến số này 2. Lợi suất kỳ vọng phân phối Chuẩn 3.
Rủi ro được đo lường bằng phương sai của lợi suất kỳ vọng 4. Nhà đầu tư có hàm lợi ích bậc hai Mô hình MV giải bài toán tối ưu sau Với rp = ro > 0 cho trước, xác định danh mục P bằng cách tối thiểu hóa phương sai: of = E[Rp — rp]? — Min fea XP OF + XiEt De pei1XOi f=13j= 1Øi/X¡ Với 3 j-1T¡X¡ = Tạ 3i=1X¡¿ =1 Trong đó: Ri là lợi suất của tài san i; = E[Ri], r= E[Re]; ơ;; = Cov[Ri,Ri]; ro là lợi suất kỳ vọng của nhà dau tư đối với danh mục xi, 1=1,2,.n là tỷ trọng đầu tư vào tài sản i. 11195050- Trần Thanh Thúy 8 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán kinh tế Với mỗi mức lợi suất kỳ vọng cho trước, chúng ta phải giải một bài toán tối ưu hóa bậc hai để tìm ra danh mục ít rủi ro nhất. Bài toán này sẽ trở nên rất khó nếu lượng cô phiếu trong danh mục lớn.
Một nhược điểm khác thường thấy ở mô hình tối ưu hóa MV đó là nghiệm của bài toán chứa nhiều khác 0. Điều này có nghĩa là nhà đầu tư phải mua rất nhiều cô phiếu khác nhau, hầu hết trong số đó lại chiếm tỷ trọng rất nhỏ trong tông quỹ. Điều này làm tăng một lượng đáng ké chi phí giao dịch trong thực tế. Mặt khác, số lượng mua quá nhỏ có thé không thóa mãn khối lượng giao dịch tối thiểu.
Khi ấy, nhà đầu tư buộc phải loại bỏ hoặc làm tròn các cô phiếu có tỷ trọng nhỏ, điều này sẽ làm sai lệch đáng ké so với danh mục đâu tư tôi ưu. Mô hình Trung bình- độ lệch chuẩn tuyệt đối (MAD) 1. Mô hình Trung bình — Độ lệch chuẩn tuyệt đối Với mô hình trung bình- độ lệch chuẩn tuyệt đối (Mean-Absolute deviation model), rủi ro được do bang độ lệch chuẩn tuyệt đối thay vi phương sai hay độ lệch chuẩn của lợi suất tài sản: W(x) = E[IRp-rpl] Mô hình MAD được định nghĩa như sau: W(x) — Min Với Vix = 1 i=1TịX¡ = Tạ Trong đó ro là lợi suất kỳ vọng của nhà đầu tư đối với danh mục. Giải bài toán tuyến tính 11195050- Trần Thanh Thúy 9 Chuyên dé thực tập chuyên ngành Toán kinh tế Độ lệch chuẩn tuyệt doi Phương sai Re Hình 1.
Phương sai, độ lệch chuẩn tuyệt doi Dinh lý 3., Rn) là một phân phối chuẩn nhiều chiêu với trung bình (Ly) tạ, ., tạ) và ma trận phương sai- hệ số tương quan ¥, = (Ø¡;), khi đó: Wp(x) = J2/TØp Chứng minh _ 2 Wp(z) = 1 |u — rp| exp {- ot 20p du J V2ffØp — ~ onOp | | | pl exp {- “ l 207 a u — Yp| ex u Đặt t = |u — rp|, khi đó: 1 t? Wp(x) = na | t exp {- za} dt P P | Jeol | of t? tex dt +[ tex ———tdt 2 aa t? = V210p J P | sai} texp}—— sr; dt 11195050- Trần Thanh Thúy 10 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán kinh tế +©œo 2ø2 t? = V27røp P exp }———> 205 0 = v 2/Trợơp Hệ quả: Mô hình MAD tạo ra một danh mục toi ưu giống mô hình MV khi biến ngẫu nhiên Rp = (R1,R2,.Rn) phân phối chuẩn. Tuy nhiên, trên thực tế, giả định chuỗi lợi suất phân phối chuẩn thường không được thỏa mãn, hay hai mô hình này không còn tương đương nữa. Ta có: W(x) — 2W_(x) = E[|R(x) — r(x)|] — 2E[|R(z) — r(x) |_] +00 r(x) = (u — r(x))f(u)du + | (r(z) — u)ƒ(u)du r(x) — r(x) —2 | (r(x) — u)ƒ(u)du +œ r(x) = I, aC = r())ƒ(u)du = | (r(z) — u)ƒ(u)du +œ +00 r(x) r(x) =| wƒ(4)d = | rœ)ƒ()áu = | rœ)ƒ()áu + | uf (u)du (x) r(x) —œ "vu ƑG0du~ [_ r@fendu —ằœ = [ow f (udu — r(x) [7e = r(z) -— r(x) =0 11195050- Trần Thanh Thúy 11 Chuyên dé thực tập chuyên ngành Toán kinh tế Điều này có nghĩa là mô hình trung bình - đô lệch chuẩn tuyệt đối là tương đương với mô trung bình - đô lệch chuẩn tuyệt đối dưới Giả sử rằng giá trị kỳ vọng của BNN có thé được xấp xi bằng giá trị trung bình thu được từ dữ liệu lich sử. Goi ri là giá trị thực của BNN R; trong khoảng thời gian t = 1:T.
Có xác suất: fe = P[(Ri,Rạ,., Rn) = he Peo Med, t ll ¬ | Khi đó, lợi suất kỳ vọng 1; khi không có chi phí giao dịch là: rị = E[R¡] = Vee ftTu Công thức tính độ lệch chuẩn tuyệt đối: 'Wp(x) = E[IRp-rpl] = E[|5i=1 Rixi — Lie Hill = Vea fe |Xi=tTitXị — LL TiZ¡| = Yeah hie — 1%: M6 hinh MAD duoc viét lai thanh: We(x) = X£=¡ fe UL aCe — rị)Xị|. —> Min Với }j~1T¡X¡ = 70 n — {=1 xi — 1 Trên thực tế, xác xuất xảy ra rit của BNN R: thường là như nhau với t = 1:T. Hay: 1 ƒ = 1/T: 7, = T ta1Tit 1 We(x) = T t=il>i=¡ (it — 7) x; 11195050- Trần Thanh Thúy 12 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán kinh tế Đặt y¿ = |X, (r%¢ — r;)x;¡|, mô hình được chuyên về dạng bài toán tối ưu tuyến tính: W(x) = 7 t=1¥t —> Min Với y¿ + 3/-¡[Œứ¡ — xi] > 0,£ = 1:T Me — Lilie — T¡)X¡] = 0,£ = 1:T i=1TiX¡ = To =i#¡¿ = 1 y,>0,t=1:T Từ bài toán tối ưu bên trên, ta có thé thấy danh mục đầu tư được tạo bởi mô hình MAD rất dễ xây dựng và giải quyết bởi một số ưu điểm sau: 1. Bài toán có thé giải nhanh hơn nhiều so với mô hình MV bởi đây là một mô hình tuyến tính thay vì phải tối ưu hóa bậc hai 2.
Bài toán có thể kết hợp các ràng buộc khác như chi phí giao dịch và các ràng buộc về thé chế (trong phan tiếp theo ta sẽ tìm hiểu về mô hình Độ lệch chuẩn tuyệt đối khi có thêm chi phí giao dịch) 1. Mô hình MAD với chi phí giao dịch Chi phí giao dịch (Transaction Costs) là chi phí phát sinh khi sử dụng hệ thống thị trường đề mua bán tài sản. Trong thị trường chứng khoán, chỉ phí giao dịch bao gồm các khoản thanh toán cho chính phủ dưới hình thức thuế giao dịch và cho những nhà môi giới chứng khoán (hoa hồng). Chúng bao gồm cả sự chênh lệch về giá của người mua và người bán (bid-ask spread) khi giao dịch cùng một chứng khoán.
Việc sử dụng các mô hình với các giả thiết về thị trường lý tưởng không đủ đảm bảo sự hội tụ của các kết quả tối ưu với thực tế. Mô hình tối ưu hóa không bao gồm chi phí dẫn đến việc tạo ra các danh mục đầu tư không hiệu quả, và kết quả tối ưu hóa cũng như hiệu suất danh mục đầu tư bị ảnh hưởng đáng kẻ. Trên thực tế, chi phí giao dịch có thể không còn ý nghĩa khi số tiền đầu tư lớn. Do đó, các nhà đâu tư có thể bỏ qua các chi phí này trong mô hình tối ưu hóa của mình.
Tuy nhiên, chi phí giao dịch lại trở nên đáng ké đối với các trường hợp lợi tức danh mục đầu tư thấp và cả đối với các nhà đầu tư mua/bán thường xuyên. Hơn nữa, trong các nghiên cứu gần đây như của Olivares-Nadal, AV và DeMiguel, V (2018), tầm quan trọng của 11195050- Trần Thanh Thúy 13 Chuyên đề thực tập chuyên ngành Toán kinh tế chi phí giao dịch và số tiền đầu tư trên danh mục dau tư đã được kiểm tra một cách tương đối bằng cách sử dụng các phương pháp luận khác nhau như PO mạnh và Bayesian PO. Theo các tác giả, số tiền đầu tư và chi phí tương quan với nhau. Ví dụ: các giao dịch nhỏ không ảnh hưởng đến giá thị trường và chỉ phí giao dịch được giả định là tỷ lệ thuận với số lượng giao dịch.
Các giao dịch lớn hơn ảnh hưởng đến giá thị trường và giả định rằng nó dẫn đến chi phí giao dich bậc hai. Gọi ci(xi) là chi phí giao dịch khi dau tư vào tài san i, tổng chi phí giao dich là PB.