Tổng quan luận án
Công trình "Đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán khai căn và logarit rời rạc" do nghiên cứu sinh Lưu Xuân Văn thực hiện thuộc ngành Cơ sở toán học cho tin học (mã số: 9 46 01 10), dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lưu Hồng Dũng và TS Đoàn Văn Hòa, được bảo vệ tại Viện Khoa học và Công nghệ quân sự năm 2023.
Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu
Quá trình thúc đẩy Chính phủ điện tử và thương mại điện tử nhằm nâng cao năng lực phục vụ và cạnh tranh quốc gia được đo bằng chỉ số phát triển E-Government Development Index (theo thống kê của Liên Hợp Quốc năm 2020, Việt Nam xếp hạng 86/193). Trong bối cảnh Cách mạng công nghiệp lần thứ 4, hầu hết các thông tin trọng yếu như tài khoản, dữ liệu mật đều được lưu trữ và truyền nhận dưới dạng điện tử, dẫn đến rủi ro bị sao chép, sửa đổi hoặc đánh cắp dữ liệu nếu thiếu các biện pháp xác thực và toàn vẹn.
Kỹ thuật mật mã khóa công khai là nền tảng cốt lõi giải quyết các vấn đề an toàn thông tin. Tuy nhiên, việc ứng dụng các hệ mật sẵn có của nước ngoài thường gặp phải các rào cản về bản quyền, chi phí kinh tế, an toàn thông tin và tính bị động về mặt công nghệ. Đồng thời, phần lớn các lược đồ chữ ký số hiện hành chỉ dựa trên một bài toán khó đơn lẻ (như bài toán logarit rời rạc hoặc phân tích số nguyên), tiềm ẩn nguy cơ mất an toàn trước sự phát triển của năng lực tính toán và các thuật toán giải mã mới. Vì vậy, nhiệm vụ đặt ra cho ngành an toàn thông tin nói chung và lĩnh vực quốc phòng an ninh nói riêng là phải nghiên cứu, làm chủ công nghệ và xây dựng các giải pháp chữ ký số dựa trên các bài toán nền tảng kết hợp.
Mục tiêu nghiên cứu
- Mục tiêu chính: Đề xuất phương pháp xây dựng lược đồ chữ ký số an toàn dựa trên việc kết hợp một số bài toán khó.
- Mục tiêu cụ thể:
- Đề xuất dạng bài toán khó mới dựa trên việc kết hợp hai dạng bài toán khó cơ sở hiện nay là bài toán khai căn và bài toán logarit rời rạc.
- Đề xuất phương pháp xây dựng lược đồ chữ ký số từ dạng bài toán khó mới.
- Đánh giá, thử nghiệm chương trình một số lược đồ chữ ký số đã đề xuất.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lược đồ chữ ký số và các thuật toán, bài toán cơ sở phục vụ xây dựng lược đồ chữ ký số.
- Phạm vi nghiên cứu:
- Cơ sở lý thuyết của các bài toán trong lý thuyết số trên trường hữu hạn thường dùng trong mật mã: bài toán phân tích số (IFP), bài toán logarit rời rạc (DLP), bài toán khai căn (RP).
- Cách thức xác lập khóa và tham số hệ thống trong các chuẩn chữ ký số DSS (Hoa Kỳ), GOST (Liên bang Nga), đặc biệt là các lược đồ có chữ ký số hai thành phần.
- Xây dựng và phát triển lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó giải của việc kết hợp đồng thời bài toán khai căn và bài toán logarit rời rạc.
Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án
Các hướng nghiên cứu trước đây
Từ khi khái niệm mật mã khóa công khai và chữ ký số được Whitfield Diffie và Martin Hellman công bố năm 1976, nhiều lược đồ kinh điển đã ra đời dựa trên một bài toán khó đơn lẻ:
- Hệ mật RSA (Rivest, Shamir, Adleman - 1978), hệ mật Rabin (1979) và Williams (1980) dựa trên tính khó của bài toán phân tích số nguyên (IFP).
- Hệ mật ElGamal (1985), lược đồ Schnorr (1989), chuẩn DSA/DSS (NIST - 1994) dựa trên bài toán logarit rời rạc (DLP).
Nhằm gia tăng mức độ an toàn trước sự tiến bộ của các phương pháp thám mã, hướng tiếp cận kết hợp nhiều bài toán khó đã được khởi xướng:
- McCurley (1988) và Brickell - McCurley (1992) đề xuất các sơ đồ phân phối khóa và nhận dạng tương tác kết hợp DLP và IFP.
- Laih và Kuo (1997) đề xuất lược đồ dựa trên hai bài toán khó nhưng chi phí tính toán và bộ nhớ lưu trữ lớn.
- Shao (1998) đề xuất hai lược đồ dựa trên hai bài toán khó, nhưng sau đó Li - Xiao (1998) và Lee (1999) đã chỉ ra điểm yếu giả mạo chữ ký và khôi phục khóa bí mật khi giải quyết được bài toán phân tích số.
- He (2001) đưa ra giải pháp khắc phục cho Shao, song Sun (2001) chứng minh lược đồ này thực chất chỉ dựa trên DLP; Hwang và cs (2002), Ding - Laih (2002), Shao (2002) tiếp tục phát hiện các lỗ hổng an toàn.
- Tzeng và cs (2004) đề xuất lược đồ mới nhưng Shao (2004) đã dùng thuật toán xác suất Pollard-Schnorr để chứng minh nguy cơ bị giả mạo. Chang và cs (2004) cũng chỉ ra lỗi tồn tại nhiều khóa bí mật tương ứng với một khóa công khai.
- Lin và cs (2007) cải tiến lược đồ Shao nhưng kẻ tấn công vẫn có thể giả mạo chữ ký nếu giải quyết được IFP.
- Wei (2007) dùng lý thuyết phần dư bậc hai để cải tiến lược đồ Shao, tuy nhiên Zheng và cs (2008) cùng Lin và cs (2009) đã phá vỡ do phát hiện lỗ hổng từ phương trình xác minh dạng lũy thừa bậc hai, cho phép giả mạo qua thuật toán Pollard-Schnorr.
Tại Việt Nam, nhiều nhóm tác giả đã nghiên cứu phát triển lược đồ chữ ký số theo các hướng khác nhau:
- Lưu Hồng Dũng và cs (2010) phát triển lược đồ chữ ký bội với trách nhiệm ký phân biệt.
- Trần Trung Dũng và cs (2012) phát triển thuật toán mật mã khóa công khai từ ElGamal kết hợp bảo mật và xác thực.
- Đỗ Việt Bình và cs (2013) đề xuất hai lược đồ chữ ký số ngắn dựa trên hai bài toán khó.
- Hồ Ngọc Duy và cs (2014) xây dựng giao thức chữ ký số tập thể dựa trên DLP modulo hợp số $n = p \cdot q$ trên nhóm non-cyclic.
- Nguyễn Đức Toàn và cs (2016) kết hợp OTP, AES, SHA-256 và RSA.
- Đào Tuấn Hùng và cs (2017) đề xuất chữ ký nhóm ngưỡng lai dựa trên bài toán ECDLP.
- Nguyễn Tấn Đức và cs (2017) kết hợp RSA và Schnorr (IFP và DLP) xây dựng chữ ký mù đơn và mù bội; đề xuất bốn lược đồ chữ ký bội mù dựa trên GOST R 34.10-94 và Schnorr chứng minh trong mô hình ROM.
- Đặng Minh Tuấn (2017) đề xuất mô hình chữ ký bội nhiều thành phần với nhiều trách nhiệm ký.
- Nguyễn Đào Trường và Lê Văn Tuấn (2018) nâng cao độ an toàn cho lược đồ dựa trên DLP trên vành $\mathbb{Z}_n$.
- Võ Tùng Linh (2018) nghiên cứu phép biến đổi Fiat-Shamir từ lược đồ định danh chính tắc.
- Nguyễn Nam Hải và cs (2019) xây dựng hai giao thức chữ ký số mù dựa trên DLP modulo hợp số $n = p \cdot q$ sử dụng nhóm hữu hạn cyclic hai chiều.
Khoảng trống nghiên cứu
Các công trình kết hợp bài toán khó trước đây phần lớn áp dụng theo phương thức tuần tự (mỗi bài toán khó được đưa vào một giai đoạn độc lập trong quá trình sinh tham số hoặc ký). Do đó, mức độ an toàn của hệ thống thực chất chỉ phụ thuộc vào bài toán thành phần có độ phức tạp cao hơn; khi bài toán này bị giải quyết, toàn bộ lược đồ sẽ bị phá vỡ. Luận án lựa chọn giải quyết khoảng trống này bằng cách đề xuất dạng kết hợp bài toán khó mới (giải hệ phương trình phi tuyến và kết hợp đồng thời bài toán khai căn với logarit rời rạc), buộc đối phương phải giải quyết đồng thời các bài toán cơ sở mà không thể bẻ gãy từng phần riêng biệt.
Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết và khái niệm
- Hệ mật mã khóa công khai (PKC): Mô hình cấu trúc bộ 5 thành phần $(P, C, K, E, D)$ với các chức năng bảo đảm an toàn: bí mật, toàn vẹn, xác thực và chống chối bỏ.
- Hàm băm mật mã: Ánh xạ $h(M): D \to R$ với các đặc tính: tính một chiều, tính chống xung đột yếu và tính chống xung đột mạnh.
- Cơ sở lý thuyết số: Nhóm nhân cyclic $G_p^*$, định lý Euler, định lý phần dư Trung Hoa, tính chất của thặng dư bậc $k$, căn nguyên thủy trên trường hữu hạn $\mathbb{Z}_p$.
- Các bài toán khó nền tảng:
- Bài toán phân tích số (IFP): Biểu diễn số nguyên $n = \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$.
- Bài toán logarit rời rạc (DLP): Tìm $x$ thỏa mãn $y \equiv g^x \pmod p$.
- Bài toán khai căn (RP): Tìm $x$ thỏa mãn $a \equiv x^k \pmod n$.
- Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến trên $\mathbb{Z}_p$ và Bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Phân tích, tổng hợp các công trình khoa học, tiêu chuẩn mật mã quốc tế (FIPS 180, FIPS 186 của NIST, GOST của Nga) và các tài liệu chuyên ngành về mật mã học và lý thuyết số.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Phân tích cấu trúc thuật toán, chứng minh toán học tính đúng đắn và độ an toàn của các lược đồ đề xuất; xây dựng chương trình thử nghiệm để kiểm chứng tính khả thi của các thuật toán sinh tham số, sinh khóa, ký số và xác minh chữ ký.
Nội dung chính theo từng chương
Chương 1: Tổng quan về chữ ký số và định hướng nghiên cứu của đề tài luận án
Chương 1 hệ thống hóa các khái niệm, cơ sở toán học và cấu trúc của một lược đồ chữ ký số (gồm ba thuật toán: tạo khóa, ký, xác minh chữ ký). Tác giả phân loại chữ ký số theo phương thức kiểm tra (kèm thông điệp, phục hồi thông điệp), theo mức an toàn (không thể phủ nhận, một lần) và theo ứng dụng đặc trưng (chữ ký mù, chữ ký nhóm, chữ ký bội, chữ ký mù nhóm, chữ ký mù bội, chữ ký ngưỡng $(t, n)$).
Chương này trình bày chi tiết về chuẩn hàm băm an toàn FIPS PUB 180 và các chuẩn chữ ký số quốc tế DSS, GOST.
| Giải thuật |
Kích thước thông điệp |
Kích thước khối |
Kích thước từ |
Kích thước thông điệp thu gọn |
Bit an toàn |
| SHA-1 |
$< 2^{64}$ bit |
512 bit |
32 bit |
160 bit |
80 bit |
| SHA-224 |
$< 2^{64}$ bit |
512 bit |
32 bit |
224 bit |
112 bit |
| SHA-256 |
$< 2^{64}$ bit |
512 bit |
32 bit |
256 bit |
128 bit |
| SHA-384 |
$< 2^{128}$ bit |
1024 bit |
64 bit |
384 bit |
192 bit |
| SHA-512 |
$< 2^{128}$ bit |
1024 bit |
64 bit |
512 bit |
256 bit |
Bảng 1.1: So sánh các hàm băm trong chuẩn băm an toàn
| Phiên bản |
Cặp $(L, N)$ (bits) |
Giải thuật |
Chuẩn hàm băm |
| FIPS PUB 186 |
$L \in [512, 1024]$, $N \in [159, 160]$ |
DSA |
Chưa có |
| FIPS PUB 186-1 |
$L \in [512, 1024]$, $N \in [159, 160]$ |
DSA |
FIPS 180-1 |
| FIPS PUB 186-2 |
$L \in [512, 1024]$, $N \in [159, 160]$ |
DSA, ECDSA |
FIPS 180-1 |
| FIPS PUB 186-3 |
$L=1024, N=160$; $L=2048, N=224$; $L=3072, N=256$ |
DSA, RSA, ECDSA |
FIPS 180-2 |
| FIPS PUB 186-4 |
$L=1024, N=160$; $L=2048, N=224, 256$; $L=3072, N=256$ |
DSA, RSA, ECDSA |
FIPS 180-3 |
Bảng 1.2: Các phiên bản tiêu chuẩn chữ ký số của DSS
| Tiêu chí |
DSS |
GOST P34.10-2001 |
| Hàm băm |
160 bits |
256 bits |
| Tham số |
$p = 512$ bits, $q = 160$ bits |
$2^{509} < p < 2^{512}$, $2^{1020} < p < 2^{1024}$, $2^{254} < q < 2^{256}$ |
| Phạm vi áp dụng |
Quốc tế |
Liên bang Nga |
| Ưu điểm |
Linh động |
An toàn cao |
| Nhược điểm |
Có thể bị tấn công |
Tốc độ chậm, lưu trữ lớn |
Bảng 1.3: So sánh chuẩn GOST và DSS
Chương 1 kết luận bằng việc chỉ ra hạn chế của các phương pháp kết hợp bài toán khó tuần tự và xác lập định hướng nghiên cứu kết hợp đồng thời bài toán khai căn và logarit rời rạc.
Chương 2: Xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó của việc giải hệ phương trình phi tuyến
Chương 2 phân tích độ phức tạp của các thuật toán giải các bài toán khó kinh điển:
- Bài toán phân tích số (IFP): Thuật toán Sàng trường số tổng quát (GNFS) có độ phức tạp tính toán:
$$\exp\left(\left(\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)\right) (\ln n)^{1/3} (\ln \ln n)^{2/3}\right)$$
Phương pháp đường cong Elliptic (ECM) có độ phức tạp:
$$\exp\left((\sqrt{2} + o(1)) \sqrt{\ln p \ln \ln p}\right)$$
- Bài toán logarit rời rạc (DLP): Thuật toán Baby-step Giant-step có độ phức tạp $O(\sqrt{n})$, thuật toán Pohlig-Hellman có độ phức tạp $O\left(\sum e_i (\log n + \sqrt{p_i})\right)$, thuật toán tính chỉ số (Index Calculus) có độ phức tạp $L_n[1/2, \sqrt{2} + o(1)]$.
- Bài toán khai căn (RP): Nghiên cứu phương trình đồng dư $a \equiv x^k \pmod n$. Tác giả thiết lập:
- Định lý 2.1: Nghiệm của phương trình $x^k \equiv 1 \pmod{2^{k'}}$ trên $\mathbb{Z}_{2^{k'}}$ (với $k$ lẻ có 1 nghiệm; $k$ chẵn và $v_2(k) > k' - 2$ có $2^{k'-1}$ nghiệm; $k$ chẵn và $v_2(k) \le k' - 2$ có $2^{1+v_2(k)}$ nghiệm).
- Định lý 2.2: Với $p$ lẻ, $\gcd(k, \phi(p^{k'})) = d$, phương trình $x^k \equiv 1 \pmod{p^{k'}}$ có đúng $d$ nghiệm $x_t = g^{t\phi(p^{k'})/d}$ ($t = 1, \dots, d$).
Trên cơ sở đó, tác giả đề xuất bài toán giải hệ phương trình phi tuyến trên $\mathbb{Z}_p$ như một dạng bài toán khó mới không thể giải trong thời gian đa thức, đồng thời xây dựng lược đồ chữ ký số hoàn chỉnh gồm: thuật toán sinh khóa, thuật toán ký, thuật toán kiểm tra, chứng minh tính đúng đắn và đánh giá độ an toàn.
Chương 3: Xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó giải của bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc
Chương 3 đi sâu vào dạng bài toán khai căn khó giải:
- Khai căn bậc $k$ trên $\mathbb{Z}_p$ với modulo có cấu trúc đặc thù $p = N \cdot k^s + 1$.
- Mở rộng bài toán khai căn và xây dựng bài toán kết hợp khai căn với logarit rời rạc.
- Đề xuất mô hình lược đồ chữ ký số tổng quát dựa trên bài toán kết hợp mới.
- Phát triển các lược đồ chữ ký số cụ thể từ mô hình tổng quát (lược đồ DVH01, DVH02), xây dựng các thuật toán sinh tham số, sinh khóa, thuật toán ký và kiểm tra chữ ký.
- Đánh giá chi phí tính toán qua Bảng 3.1 (chi phí thuật toán ký) và Bảng 3.2 (chi phí thuật toán kiểm tra), chứng minh ưu thế về độ an toàn so với các lược đồ đơn lẻ.
Chương 4: Xây dựng lược đồ chữ ký số mù dựa trên bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc
Chương 4 tập trung vào ứng dụng chữ ký số mù nhằm bảo vệ tính ẩn danh:
- Phân tích điểm yếu làm lộ nguồn gốc bản tin ký trên các lược đồ chữ ký số mù hiện có: lược đồ DSA cải tiến, lược đồ Nyberg-Rueppel và lược đồ Moldovyan.
- Xây dựng thuật toán chữ ký số mù mới dựa trên bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc:
- Thiết lập lược đồ chữ ký cơ sở.
- Xây dựng hai biến thể thuật toán ký chữ ký số mù (dạng thứ nhất và dạng thứ hai) cùng thuật toán kiểm tra tương ứng.
- Phân tích các thuật toán xác định nguồn gốc bản tin ký ($A_1, A_2, A_3$ và $B_1, B_2, B_3$) để chứng minh lược đồ đề xuất khắc phục được nguy cơ lộ nguồn ký, bảo đảm tính mù và tính không thể liên kết.
Kết quả và những đóng góp mới
Đóng góp về lý luận và khoa học
- Đề xuất các dạng bài toán khó mới: Đề xuất bài toán giải hệ phương trình phi tuyến trên $\mathbb{Z}_p$ và bài toán kết hợp tính khó giải của bài toán khai căn với bài toán logarit rời rạc. Đây là các bài toán chưa có lời giải hiệu quả trong thời gian đa thức.
- Xây dựng khung lược đồ chữ ký số tổng quát: Đề xuất phương pháp luận và mô hình tổng quát cho phép phát triển một lớp các lược đồ chữ ký số mới, khắc phục nhược điểm của các lược đồ kết hợp tuần tự trước đây.
- Chứng minh tính an toàn toán học: Chứng minh các lược đồ đề xuất có khả năng kháng lại các hình thức tấn công: tấn công làm lộ khóa mật, tấn công thuật toán tạo chữ ký và tấn công giả mạo thuật toán xác minh.
Đóng góp về thực tiễn và ứng dụng
- Thiết kế các lược đồ cụ thể: Xây dựng chi tiết các thuật toán sinh khóa, ký số và kiểm tra chữ ký cho các lược đồ cụ thể (như DVH01, DVH02) và các biến thể chữ ký số mù.
- Khắc phục điểm yếu lộ nguồn ký: Ứng dụng thành công bài toán kết hợp vào mô hình chữ ký số mù, hạn chế nguy cơ lộ nguồn ký vốn tồn tại trong các lược đồ DSA cải tiến, Nyberg-Rueppel và Moldovyan.
- Tối ưu hóa độ dài khóa: Cho phép sử dụng các tham số và khóa có kích thước ngắn hơn nhưng vẫn duy trì cấp độ an toàn cao trước các cuộc tấn công, phù hợp triển khai trong các hệ thống trao đổi thông tin điện tử, thương mại điện tử và quốc phòng an ninh.
Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp
Dựa trên phạm vi và nội dung nghiên cứu của văn bản luận án:
- Hạn chế: Luận án tập trung xây dựng cơ sở toán học và lược đồ chữ ký số hai thành phần trên trường số hữu hạn $\mathbb{Z}_p$, chưa mở rộng chi tiết trên các cấu trúc đại số khác như đường cong Elliptic tổng quát hay các cấu trúc mã hóa kháng lượng tử.
- Hướng nghiên cứu tiếp: Tiếp tục mở rộng nghiên cứu phát triển các biến thể chữ ký số khác (như chữ ký nhóm, chữ ký tập thể, chữ ký phân tán) từ bài toán kết hợp khai căn và logarit rời rạc; tối ưu hóa hiệu năng cài đặt thực tế trên các thiết bị hạn chế tài nguyên.
Giá trị tham khảo
Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu đối với:
- Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Chuyên ngành Cơ sở toán học cho tin học, An toàn thông tin, Mật mã học; đặc biệt là phần tổng quan cấu trúc chuẩn chữ ký số (Chương 1) và cơ sở lý thuyết số về bài toán khai căn, logarit rời rạc (Chương 2, Chương 3).
- Kỹ sư và chuyên gia an toàn thông tin: Tham khảo quy trình thiết kế các thuật toán sinh tham số, sinh khóa, ký số, kiểm tra chữ ký (DVH01, DVH02) và các giải pháp chống lộ nguồn ký trong chữ ký số mù (Chương 4).
- Các cơ quan, tổ chức nghiên cứu thuộc lĩnh vực quốc phòng an ninh: Phục vụ công tác xây dựng các giải pháp xác thực, bảo mật dữ liệu tự chủ về công nghệ.
Câu hỏi thường gặp
1. Luận án giải quyết bài toán khó cơ sở nào để xây dựng lược đồ chữ ký số?
Luận án đề xuất dạng bài toán khó mới dựa trên việc kết hợp đồng thời tính khó giải của bài toán khai căn (Root Problem - RP) và bài toán logarit rời rạc (Discrete Logarithm Problem - DLP), cùng với bài toán giải hệ phương trình phi tuyến trên trường $\mathbb{Z}_p$.
2. Điểm khác biệt giữa phương pháp kết hợp bài toán khó của luận án so với các công trình trước đây là gì?
Các công trình trước đây (như của Laih - Kuo, Shao, He, Wei) thường kết hợp các bài toán khó theo phương thức tuần tự ở các giai đoạn độc lập, dẫn đến việc độ an toàn thực chất chỉ phụ thuộc vào một bài toán khó cơ bản. Luận án đề xuất mô hình kết hợp đòi hỏi phải giải quyết đồng thời cả hai bài toán khó, không thể phá vỡ từng phần riêng lẻ.
3. Chuẩn chữ ký số GOST P34.10-2001 của Nga có đặc điểm tham số gì so với chuẩn DSS của Mỹ?
Theo so sánh trong luận án, GOST P34.10-2001 sử dụng hàm băm 256 bits, tham số $p$ có kích thước từ $2^{509} < p < 2^{512}$ hoặc $2^{1020} < p < 2^{1024}$, $q$ có kích thước $2^{254} < q < 2^{256}$, mang lại độ an toàn cao hơn nhưng tốc độ xử lý chậm hơn và yêu cầu lưu trữ lớn hơn so với DSS (sử dụng hàm băm 160 bits, $p = 512$ bits, $q = 160$ bits).
4. Ứng dụng cụ thể của bài toán kết hợp trong Chương 4 là gì?
Chương 4 ứng dụng bài toán khai căn kết hợp logarit rời rạc để xây dựng lược đồ chữ ký số mù mới, khắc phục các điểm yếu làm lộ danh tính nguồn ký của bản tin vốn tồn tại trong các lược đồ chữ ký mù DSA cải tiến, Nyberg-Rueppel và Moldovyan.
Kết luận
Luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Lưu Xuân Văn đã giải quyết vấn đề xây dựng lược đồ chữ ký số an toàn dựa trên việc kết hợp đồng thời bài toán khai căn và logarit rời rạc trên trường số hữu hạn. Công trình đã chứng minh đầy đủ tính đúng đắn toán học, đánh giá độ an toàn trước các dạng tấn công giả mạo và thiết kế thành công các lược đồ chữ ký số cụ thể cùng ứng dụng chữ ký số mù chống lộ nguồn ký. Kết quả nghiên cứu đóng góp cơ sở khoa học và giải pháp thực tiễn cho việc phát triển các công nghệ bảo mật, xác thực thông tin tự chủ phục vụ xã hội và lĩnh vực quốc phòng an ninh.
