Một số phương pháp giải phương trình bậc ba - Đoàn Ngọc Ánh

Luận văn nghiên cứu các phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát và đặc biệt. Trình bày lý thuyết đa thức, công thức Cardano, phương pháp Horner.

• Tác giả: Đoàn Ngọc Ánh
• Người hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Nhụy
• Trường học: Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Sư phạm Toán học
• Đề tài: Một số phương pháp giải phương trình bậc ba
• Loại tài liệu: khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Phương pháp giải phương trình bậc ba Tổng quan và ý nghĩa học thuật

Phương trình bậc ba là một chủ đề then chốt trong đại số sơ cấp và đại số hiện đại. Trong chương trình phổ thông, học sinh thường chỉ làm quen với phương trình bậc nhất và bậc hai, trong khi phương trình bậc ba ít được khai thác sâu. Tuy nhiên, từ thế kỷ 16, các nhà toán học như Cardano và Tartaglia đã tìm ra công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc ba. Ngày nay, việc nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc ba không chỉ mang tính lý thuyết mà còn có giá trị ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính. Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh (2018), Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã hệ thống hóa các phương pháp giải phương trình bậc ba, từ dạng đặc biệt đến tổng quát, nhằm hỗ trợ giảng dạy và học tập hiệu quả hơn. Nghiên cứu này đặc biệt nhấn mạnh đến tính khả thi trong môi trường phổ thông, nơi nghiệm phức chỉ được giới thiệu ở mức độ cơ bản. Do đó, việc lựa chọn và trình bày các phương pháp giải phù hợp với học sinh THPT trở thành một thách thức quan trọng trong giảng dạy toán học hiện đại.

1.1. Khái niệm và vai trò của phương trình bậc ba trong toán học

Phương trình bậc ba là phương trình có dạng tổng quát: ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) với ( a \neq 0 ). Đây là loại phương trình đầu tiên trong dãy phương trình đại số có thể có nghiệm phức và không luôn giải được bằng phép khai căn đơn giản như bậc hai. Trong lịch sử toán học, việc giải được phương trình bậc ba đã mở ra kỷ nguyên mới cho đại số, dẫn đến sự ra đời của lý thuyết nhóm và trường. Trong chương trình giáo dục, phương trình bậc ba giúp học sinh phát triển tư duy logic và khả năng phân tích đa thức.

1.2. Cơ sở lý thuyết từ tài liệu gốc Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh

Khóa luận “Một số phương pháp giải phương trình bậc ba” (Đoàn Ngọc Ánh, 2018) cung cấp nền tảng vững chắc về vành đa thức một ẩn, phép chia đa thức, và định lý Horner – những công cụ thiết yếu để tiếp cận phương trình bậc ba. Tài liệu nhấn mạnh rằng: “Việc áp dụng các giải pháp này thế nào cho học sinh dễ hiểu và dễ nắm bắt là cả một vấn đề”. Điều này phản ánh nhu cầu thực tiễn trong giảng dạy, nơi phương pháp sư phạm phải đi đôi với độ chính xác toán học.

II. Thách thức khi giải phương trình bậc ba trong chương trình phổ thông

Một trong những thách thức lớn nhất khi giảng dạy phương trình bậc ba ở phổ thông là sự hạn chế trong việc giới thiệu số phức. Trong khi nghiệm của phương trình bậc ba tổng quát có thể là số thực hoặc phức, chương trình THPT thường chỉ tập trung vào nghiệm thực. Điều này dẫn đến khó khăn khi áp dụng công thức Cardano, vốn yêu cầu hiểu biết về căn bậc ba của số phức. Ngoài ra, học sinh thường thiếu kỹ năng phân tích đa thức và phân tích nhân tử, khiến việc tìm nghiệm hữu tỉ trở nên khó khăn. Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh chỉ rõ: “Các em ít được làm quen với phương trình bậc cao”, dẫn đến khoảng trống kiến thức khi tiếp cận các bài toán nâng cao. Thêm vào đó, thời gian học tập hạn chế và số lượng bài tập đa dạng khiến học sinh khó chọn lọc được dạng bài trọng tâm. Do đó, việc hệ thống hóa các dạng phương trình bậc ba thường gặp và phương pháp giải phù hợp là nhu cầu cấp thiết trong đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay.

2.1. Hạn chế về kiến thức số phức và căn thức

Trong chương trình THPT, số phức chỉ được giới thiệu ở lớp 12 với mức độ cơ bản. Tuy nhiên, công thức nghiệm Cardano cho phương trình bậc ba thường sinh ra biểu thức chứa căn bậc ba của số phức, ngay cả khi nghiệm cuối cùng là số thực (gọi là “trường hợp bất khả quy”). Điều này gây nhầm lẫn và khó hiểu cho học sinh, làm giảm hiệu quả tiếp thu.

2.2. Khó khăn trong phân tích đa thức và tìm nghiệm hữu tỉ

Nhiều học sinh không nắm vững định lý Bezout hay sơ đồ Horner, dẫn đến lúng túng khi thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ. Việc phân tích nhân tử phương trình bậc ba thành tích của đa thức bậc nhất và bậc hai là bước then chốt, nhưng đòi hỏi kỹ năng đại số vững. Do đó, cần có phương pháp giải trực quan và từng bước rõ ràng để hỗ trợ học sinh.

III. Phương pháp giải phương trình bậc ba dạng đặc biệt hiệu quả

Các phương trình bậc ba dạng đặc biệt thường xuất hiện trong đề thi và bài tập phổ thông. Chúng bao gồm phương trình khuyết hệ số, phương trình có nghiệm nguyên rõ ràng, hoặc phương trình đối xứng. Phương pháp giải phương trình bậc ba dạng đặc biệt giúp học sinh tránh phải sử dụng công thức phức tạp, thay vào đó là các kỹ thuật đơn giản như đặt ẩn phụ, phân tích nhân tử, hoặc sử dụng định lý Viète. Ví dụ, phương trình ( x^3 + px + q = 0 ) (dạng khuyết ( x^2 )) có thể giải bằng cách đặt ( x = u + v ), dẫn đến hệ phương trình đơn giản hơn. Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh đã hệ thống hóa các dạng này thành ba nhóm chính: (1) phương trình có một nghiệm rõ ràng, (2) phương trình khuyết bậc hai, và (3) phương trình hồi quy. Mỗi nhóm đi kèm phương pháp giải cụ thể, phù hợp với trình độ THPT. Việc nhận diện nhanh các dạng đặc biệt giúp tiết kiệm thời gian và tăng độ chính xác khi làm bài.

3.1. Giải phương trình bậc ba khuyết hệ số bằng đặt ẩn phụ

Khi phương trình có dạng ( x^3 + px + q = 0 ), việc đặt ( x = u + v ) giúp biến đổi phương trình thành hệ: ( u^3 + v^3 = -q ) và ( 3uv = -p ). Từ đó, ( u^3 ) và ( v^3 ) là nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp này tránh được số phức nếu ( \Delta \geq 0 ), phù hợp với học sinh phổ thông.

3.2. Sử dụng định lý Bezout và sơ đồ Horner để tìm nghiệm hữu tỉ

Nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ ( r ), thì ( r ) là ước của hệ số tự do chia cho ước của hệ số cao nhất. Sau khi đoán được nghiệm, sơ đồ Horner giúp chia đa thức nhanh chóng để đưa về phương trình bậc hai. Đây là phương pháp giải phương trình bậc ba được ưa chuộng trong thi cử.

IV. Phương pháp giải phương trình bậc ba tổng quát theo Cardano

Phương trình bậc ba tổng quát có dạng ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) với ( a \neq 0 ). Để giải, bước đầu tiên là khử hệ số bậc hai bằng phép đổi biến ( x = y - \frac{b}{3a} ), đưa về dạng ( y^3 + py + q = 0 ). Sau đó, áp dụng công thức Cardano: ( y = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}} ), với ( \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 ). Khi ( \Delta > 0 ), có một nghiệm thực; ( \Delta = 0 ), có nghiệm bội; ( \Delta < 0 ), có ba nghiệm thực nhưng biểu diễn qua số phức (trường hợp bất khả quy). Dù công thức Cardano là nền tảng lý thuyết, việc dạy nó ở phổ thông cần được đơn giản hóa và minh họa bằng ví dụ cụ thể. Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh đề xuất kết hợp công thức Cardano với phân tích đồ thị để trực quan hóa số nghiệm, giúp học sinh dễ hình dung.

4.1. Biến đổi phương trình tổng quát về dạng khuyết bậc hai

Phép đổi biến ( x = y - \frac{b}{3a} ) loại bỏ hạng tử ( y^2 ), giúp đưa mọi phương trình bậc ba về dạng chuẩn ( y^3 + py + q = 0 ). Đây là bước bắt buộc trước khi áp dụng công thức Cardano, và là kỹ năng quan trọng trong đại số nâng cao.

4.2. Phân tích biệt thức Delta và số nghiệm thực

Biệt thức ( \Delta ) quyết định bản chất nghiệm. Khi ( \Delta < 0 ), dù có ba nghiệm thực, biểu thức nghiệm vẫn chứa số phức, gây khó khăn cho học sinh. Do đó, nên kết hợp với phương pháp đồ thị hoặc đạo hàm để xác định số nghiệm thực mà không cần tính nghiệm cụ thể.

V. Ứng dụng thực tiễn và bài tập minh họa từ khóa luận

Ứng dụng của phương trình bậc ba rất phong phú, từ tính toán thể tích, mô hình hóa chuyển động đến giải tích số. Trong giảng dạy, việc lồng ghép bài tập thực tiễn giúp học sinh thấy được giá trị của toán học. Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh cung cấp hệ thống bài tập phương trình bậc ba được phân loại theo mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Các bài tập này không chỉ rèn kỹ năng giải mà còn phát triển tư duy phản biện. Ví dụ, bài toán tìm kích thước hộp chữ nhật khi biết thể tích và mối quan hệ giữa các cạnh dẫn đến phương trình bậc ba. Ngoài ra, phần mềm toán học như GeoGebra có thể hỗ trợ vẽ đồ thị và kiểm tra nghiệm, tăng tính trực quan. Việc kết hợp lý thuyết – bài tập – ứng dụng tạo thành vòng lặp học tập hiệu quả, đặc biệt trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay.

5.1. Bài tập phương trình bậc ba trong chương trình THPT

Các bài tập thường tập trung vào dạng ( x^3 - 3x + 1 = 0 ) hoặc ( 2x^3 + x^2 - 5x + 2 = 0 ), yêu cầu học sinh tìm nghiệm bằng đoán nghiệm và Horner. Đây là dạng xuất hiện nhiều trong đề thi tốt nghiệp và đại học.

5.2. Ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật

Phương trình bậc ba xuất hiện khi giải bài toán về điểm uốn trong cơ học, hoặc khi tính thời gian rơi trong môi trường có lực cản tỷ lệ với bình phương vận tốc. Những ví dụ này giúp học sinh thấy toán không chỉ là lý thuyết trừu tượng.

VI. Kết luận và hướng phát triển phương pháp giải phương trình bậc ba

Việc nghiên cứu phương pháp giải phương trình bậc ba không chỉ có giá trị học thuật mà còn mang tính ứng dụng cao trong giảng dạy. Khóa luận của Đoàn Ngọc Ánh đã chứng minh rằng, bằng cách phân loại dạng phương trình và lựa chọn phương pháp giải phù hợp, có thể giúp học sinh THPT tiếp cận chủ đề này một cách hiệu quả. Tương lai, cần phát triển thêm tài liệu chuyên đề, video bài giảng minh họa, và bộ công cụ hỗ trợ giải dựa trên trí tuệ nhân tạo để cá nhân hóa việc học. Đồng thời, nên lồng ghép lịch sử toán học – như câu chuyện giữa Cardano và Tartaglia – để khơi gợi hứng thú. Phương trình bậc ba không chỉ là một bài toán đại số, mà là cánh cửa mở vào thế giới toán học hiện đại, nơi logic, sáng tạo và ứng dụng hòa quyện làm một.

6.1. Tóm tắt các phương pháp giải cốt lõi

Các phương pháp giải phương trình bậc ba hiệu quả bao gồm: (1) phân tích nhân tử với nghiệm hữu tỉ, (2) đặt ẩn phụ cho dạng khuyết, (3) công thức Cardano cho dạng tổng quát, và (4) hỗ trợ bằng đồ thị hoặc phần mềm. Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng tùy theo bối cảnh giảng dạy.

6.2. Gợi ý cho nghiên cứu và giảng dạy tiếp theo

Cần mở rộng nghiên cứu sang phương trình bậc bốn, phương pháp số, và ứng dụng trong STEM. Đồng thời, xây dựng ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận theo chuẩn PISA để đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của học sinh.

Trích đoạn nội dung tài liệu

LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông môn Toán không chỉ giữ một vị trì quan trong mả còn giúp học sinh học tốt các môn học khác, và là công cụ của nhiều ngành khoa học kĩ thuật, cá nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống. Muốn học giỏi nói chung vả học giỏi Toán nói riêng thí phải luyện tập thực hảnh nhiêu, nghĩa là ngoải việc nắm rõ lý thuyết các em côn phẩi làm nhiều bài tập. Đối với hoe smb, bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời gian thì han hẹp đồng thời các em khó có điều kiên chọn lọc những bải toán hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư duy toán học của mình Trong môn Toán, phương trình đỏng một vai trỏ then chốt, không những là đổi tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ.

đắc lực của Giải tích và các môn học khác. Nó dược giới thiệu ngay từ những năm dầu cúa bậc phổ thông ở các dạng đơn giản. Đa phần các em dược làm quen với phương trình bậc nhất hoặc bậc hai còn các phương trỉnh hậc cao các em ít dược làm quen. Ngày nay, phương, trình bậc ba, bậc bến đã được giải bằng căn thức.

Song ở phổ thông, nghiệm phức đưa vào chí ở mức độ giới thiêu, do đó việc áp đụng các giải này thế nảo cho các em dễ hiểu và đễ nắm bắt là cả một vần đề Với những lí do trên cùng lỏng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ tận tình của thầy PGS.TS Nguyễn Nhụy, em đã chọn đề tài: "Afật số phương pháp giải phương trình bậc ba” để làm khóa luận tốt nghiệp với mong muốn góp phần bé nhỏ lâm tăng vẽ đẹp của môn Toản qua việc giải phương trình bac ba. sử A là miễn nguyên thế thì số nghiệm của một đa thức 67 /(x)< .4|x|, mỗi nghiệm tính với số bội của nó không vượt quá bậc cia f(x). = Néu hai da thie f(x), (x) € [x] có bậc n va lây giá trị bằng nhau tại t1 phần tử khác nhau của miền nguyên 4 thé thi chimg bing nhau. Một số định H về sự tân tại nghiệm của đa thức Dinh kí 1.

Mới đa thúc bậc lá với hệ số thực có ft nhất một nghiệm thực. (Định lí cơ ban) Moi da hức ƒ(x) bậc n>] trên trường sỐ phức (hay thực) đều có ding n nghiệm phức, mỗi nghiệm tính với bội số của nó, Dinh li 3. Ching minh Gid st f(x) chia hét cho g(x), khi dé ƒ(Œ)~— #@Œ). Nếu gœ)—Œ #)'z@thì ƒ@)— h@Mx a) a6) Suy ra z là nghiêm bội k của ø(x) thì œ là nghiệm bôi kì của ƒ(%) (#'>E), Ngược lại, néu tat ca cde nghiém cia g(x) ld m0.

sử A là miễn nguyên thế thì số nghiệm của một đa thức 67 /(x)< .4|x|, mỗi nghiệm tính với số bội của nó không vượt quá bậc cia f(x). = Néu hai da thie f(x), (x) € [x] có bậc n va lây giá trị bằng nhau tại t1 phần tử khác nhau của miền nguyên 4 thé thi chimg bing nhau. Một số định H về sự tân tại nghiệm của đa thức Dinh kí 1. Mới đa thúc bậc lá với hệ số thực có ft nhất một nghiệm thực.

(Định lí cơ ban) Moi da hức ƒ(x) bậc n>] trên trường sỐ phức (hay thực) đều có ding n nghiệm phức, mỗi nghiệm tính với bội số của nó, Dinh li 3. Ching minh Gid st f(x) chia hét cho g(x), khi dé ƒ(Œ)~— #@Œ). Nếu gœ)—Œ #)'z@thì ƒ@)— h@Mx a) a6) Suy ra z là nghiêm bội k của ø(x) thì œ là nghiệm bôi kì của ƒ(%) (#'>E), Ngược lại, néu tat ca cde nghiém cia g(x) ld m0. Mục đích nghiên cứu Bước dầu lam quen với công việc nghiên cửu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình bậc ba.

Nhiệm vụ nghiên cứu -_ Giải được phương trình bậc ba tổng quát - Tim mét sé phương pháp giải phương trình bậc ba thường đứng 4, Đối Lượng và phạm vỉ nghiên cứu -_ Đối tượng nghiền cửu: Phương trình bậc ba. -_ Phạm vi nghiên cứu + Kiến thức về đa thức ! Phương trình bậc ba tổng quát và một số phương trình bậc ba thường gặp 5. Phương pháp nghiên cứu -_ Phương pháp nghiên cứu tài liệu -_ 8o sánh, phân tích, tổng hợp. - Phương pháp đánh giá.

Cầu trúc khóa luận Ngoài mở dầu, kết luận, danh mục tải liệu tham khảo, khóa luận của em gam ba chương: Chương ï: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương trình bậc ba đặc biệt. Chương 3: Phương trình bậc ba tông quát ‘La c6 P(#)-0+r—r. ‘lrong trường hợp nảy phần dư trong phép chia P(x) cho (x ø)là r=P() "Nếu r@)=0 thì P(x)=(x—ø)q(x). Khi đó P@ầ+)=M œ—ø) - Hé qud: Cho PQ) KIx,@cK.

Khi dé: P(x) chia hét cho (x—a@) khi và chỉ khi œ là nghiệm của P(x) trong K 114. Nghiệm bội Dinh nghia: Cho da this P(x)= a,x" tax +.+4, x+ ay 6 4x] Néu P(x) cé biéu dign dang PCx)— Ge BY BY Ge A trong đỏ "/,/,./,là những đôi một khác nhau.rm, là những số tự nhiên và + m +.ơ, gọi là hội tương ứng của cáo nghiệm A, f,,.f, Người ta gợi nghiêm œ của da thức P(x) là nghiêm bội bậc m khi và chí khi P(x) chia hết chơ (x— #)“ nhưng không chia hết (xa) mì Nhận xét:eC .1là nghiệm bội m của đa thức ƒ(x)C 4[x] nếu vả chỉ nếu ZG)~Œ~e}”" gồ) với (g9,x—e)=1. sử A là miễn nguyên thế thì số nghiệm của một đa thức 67 /(x)< .4|x|, mỗi nghiệm tính với số bội của nó không vượt quá bậc cia f(x). = Néu hai da thie f(x), (x) € [x] có bậc n va lây giá trị bằng nhau tại t1 phần tử khác nhau của miền nguyên 4 thé thi chimg bing nhau.

Một số định H về sự tân tại nghiệm của đa thức Dinh kí 1. Mới đa thúc bậc lá với hệ số thực có ft nhất một nghiệm thực. (Định lí cơ ban) Moi da hức ƒ(x) bậc n>] trên trường sỐ phức (hay thực) đều có ding n nghiệm phức, mỗi nghiệm tính với bội số của nó, Dinh li 3. Ching minh Gid st f(x) chia hét cho g(x), khi dé ƒ(Œ)~— #@Œ).

Nếu gœ)—Œ #)'z@thì ƒ@)— h@Mx a) a6) Suy ra z là nghiêm bội k của ø(x) thì œ là nghiệm bôi kì của ƒ(%) (#'>E), Ngược lại, néu tat ca cde nghiém cia g(x) ld m0. Suy ra ax” ax" — ba, = (— OVE NO? +x" — 4B, y+ F(@) So sinh các hệ tử của các lũy thừa giống nhau của x trong hệ thức trên ta lập được bảng sau 2| b,=a,| b=a+ab, b,,=a,,+@,. Nghiệm cia da thivc 1. Định nghĩa: Giả sử K là một trường nào đó, A là trường cơn của K.

Một phần tử œCK gọi là nghiệm của đa thức ƒ(x)c 4x] nếu và chỉ nếu #(œ)=0. Ta cũng nói œ là nghiệm của phương trình đại số /(x)— 9 trong K. Nếu dep ƒ(x)— n thì phương trình ƒ(x)—9 gọi là phương trình đại số bậc n,m>l 1. Giả sứ 4 là một trường, œ c A,P(+)c A|x].

Khi đó, dự trong phép chia P(x) cho (x-— a) chinh la P(a). Ching minh Giả sử P(£)— (x— #). Suy ra r#)=r€ 4 ‘La c6 P(#)-0+r—r. ‘lrong trường hợp nảy phần dư trong phép chia P(x) cho (x ø)là r=P() "Nếu r@)=0 thì P(x)=(x—ø)q(x).

Khi đó P@ầ+)=M œ—ø) - Hé qud: Cho PQ) KIx,@cK. Khi dé: P(x) chia hét cho (x—a@) khi và chỉ khi œ là nghiệm của P(x) trong K 114. Nghiệm bội Dinh nghia: Cho da this P(x)= a,x" tax +.+4, x+ ay 6 4x] Néu P(x) cé biéu dign dang PCx)— Ge BY BY Ge A trong đỏ "/,/,./,là những đôi một khác nhau.rm, là những số tự nhiên và + m +.ơ, gọi là hội tương ứng của cáo nghiệm A, f,,.f, Người ta gợi nghiêm œ của da thức P(x) là nghiêm bội bậc m khi và chí khi P(x) chia hết chơ (x— #)“ nhưng không chia hết (xa) mì Nhận xét:eC .1là nghiệm bội m của đa thức ƒ(x)C 4[x] nếu vả chỉ nếu ZG)~Œ~e}”" gồ) với (g9,x—e)=1. Phản chia da thức 1.

Phép chía với ẫn thức Dinh lí. Giả sử⁄1 ià một trường, ƒ(x) và g(x) khác không là hai ẩa thúc của vành A[x], thé thi bao giờ cũng có hai da thức chờ nhất là q(x) va r(x} thuộc A|x| saa cho: #()= g()4@)+r(s), với dcgr(x) < dcg g(x) néu r(x) #0 r{x) gọi là số dụ. Hệ quất f(x) chia hél cho g(x) khi và chỉ khi trong phép chia f(x) cho g(x) cd sé du bang 0. Luge dé Horner Cho đa thức f(x) c [x] FQ) a" * —ax' cD"+.

+a, x ta, aCA Giả sử thương của phép chia f(x) cho (x— #) trong 4[x] là gx)= bx" Bx? 448, BCA =n) ‘La c6 P(#)-0+r—r. ‘lrong trường hợp nảy phần dư trong phép chia P(x) cho (x ø)là r=P() "Nếu r@)=0 thì P(x)=(x—ø)q(x). Khi đó P@ầ+)=M œ—ø) - Hé qud: Cho PQ) KIx,@cK. Khi dé: P(x) chia hét cho (x—a@) khi và chỉ khi œ là nghiệm của P(x) trong K 114.

Nghiệm bội Dinh nghia: Cho da this P(x)= a,x" tax +.+4, x+ ay 6 4x] Néu P(x) cé biéu dign dang PCx)— Ge BY BY Ge A trong đỏ "/,/,./,là những đôi một khác nhau.rm, là những số tự nhiên và + m +.ơ, gọi là hội tương ứng của cáo nghiệm A, f,,.f, Người ta gợi nghiêm œ của da thức P(x) là nghiêm bội bậc m khi và chí khi P(x) chia hết chơ (x— #)“ nhưng không chia hết (xa) mì Nhận xét:eC .1là nghiệm bội m của đa thức ƒ(x)C 4[x] nếu vả chỉ nếu ZG)~Œ~e}”" gồ) với (g9,x—e)=1. Mục đích nghiên cứu Bước dầu lam quen với công việc nghiên cửu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về phương trình bậc ba. Nhiệm vụ nghiên cứu -_ Giải được phương trình bậc ba tổng quát - Tim mét sé phương pháp giải phương trình bậc ba thường đứng 4, Đối Lượng và phạm vỉ nghiên cứu -_ Đối tượng nghiền cửu: Phương trình bậc ba. -_ Phạm vi nghiên cứu + Kiến thức về đa thức ! Phương trình bậc ba tổng quát và một số phương trình bậc ba thường gặp 5.

Phương pháp nghiên cứu -_ Phương pháp nghiên cứu tài liệu -_ 8o sánh, phân tích, tổng hợp. - Phương pháp đánh giá. Cầu trúc khóa luận Ngoài mở dầu, kết luận, danh mục tải liệu tham khảo, khóa luận của em gam ba chương: Chương ï: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương trình bậc ba đặc biệt. Chương 3: Phương trình bậc ba tông quát CIIVONG 1: KIEN TIUC CHUAN BI 1.

Vành đa thức mộtẫn 1. Xây đựng nành đa thức một an Cho vành A là một vành giao hoán có đơn vị. 'Ta gọi đa thức (rên A) bậc n biến x là một biển thức có dạng PX) = aux” + đụ ;x”® +.