Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Ngưng tụ Bose-Einstein (Bose-Einstein Condensate - BEC) là trạng thái vật chất đặc biệt được Satyendra Nath Bose và Albert Einstein tiên đoán trên lý thuyết từ năm 1924. Do đòi hỏi kỹ thuật làm lạnh nguyên tử xuống thang nhiệt độ cực thấp gần độ không tuyệt đối, phải đến thập niên 1980 khi công nghệ laser phát triển và đến năm 1995, hiện tượng ngưng tụ này mới được xác nhận bằng thực nghiệm trên chất khí. Trong vật lý hiện đại, BEC là môi trường lý tưởng để quan sát các hiện tượng lượng tử vĩ mô vốn không thể xuất hiện trong vật chất thông thường, tiêu biểu như sự hình thành xoáy Abrikosov, các vách ngăn pha, trạng thái soliton, dao động mặt tiếp xúc dạng ripplon và các đơn cực từ.

Cùng với bước tiến công nghệ, các hệ khí lượng tử siêu lạnh hai thành phần được chế tạo thành công, cho phép can thiệp và điều khiển cường độ tương tác giữa các thành phần nguyên tử khác nhau. Tại Việt Nam vào thời điểm năm 2017, lĩnh vực vật lý khí siêu lạnh BEC vẫn là một hướng nghiên cứu còn khá mới mẻ đối với sinh viên đại học. Do điều kiện cơ sở vật chất, trang thiết bị chuyên dụng và kinh phí phục vụ nghiên cứu thực nghiệm ở nhiệt độ nanoKelvin trong nước còn nhiều khó khăn, việc tiếp cận nghiên cứu BEC chủ yếu được triển khai trên phương diện mô hình hóa lý thuyết và tính toán giải tích.

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Trần Thị Ngọc Thúy tập trung nghiên cứu động lực học lượng tử của hệ BEC hai thành phần trong cấu trúc hình học giam giữ đặc thù.

Mục đích nghiên cứu của đề tài là:

  • Tìm hệ thức tán sắc của phonon trong hệ ngưng tụ Bose-Einstein bằng phương pháp Hydrodynamics (thủy động lực học lượng tử).

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu được xác định cụ thể trong văn bản:

  • Đối tượng nghiên cứu: Các tính chất ở bề mặt tiếp giáp, tính chất nhiệt động và tính chất thống kê của hệ BEC hai thành phần.
  • Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong trường hợp hai chất lỏng ngưng tụ hoàn toàn không trộn lẫn vào nhau (pha tách biệt), được giam giữ trong cấu trúc hình học đối xứng trụ.

Nhiệm vụ nghiên cứu của khóa luận được phân chia thành 4 nội dung cụ thể:

  1. Tổng quan được các nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm về BEC.
  2. Trình bày hệ phương trình Gross-Pitaevskii.
  3. Xây dựng phương trình liên tục.
  4. Áp dụng phương pháp gần đúng Hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của phonon trong hệ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp

Khóa luận sử dụng hệ thống lý thuyết lượng tử nhiều hạt, cơ học thống kê lượng tử và lý thuyết trường trung bình để mô tả hệ ngưng tụ, bao gồm:

  • Thống kê Bose-Einstein: Mô tả hệ hạt boson có spin nguyên tuân theo thống kê Bose-Einstein và không bị chi phối bởi nguyên lý loại trừ Pauli. Khi nhiệt độ hạ thấp xuống dưới nhiệt độ tới hạn $T_c \approx 3{,}6124 \frac{\hbar^2 n^{2/3}}{m k_B}$, bước sóng de Broglie $\lambda_B = (2\pi\hbar^2/mk_BT)^{1/2}$ trở nên tương đương với khoảng cách giữa các hạt, dẫn đến sự suy biến lượng tử và hình thành trạng thái ngưng tụ vĩ mô tại mức năng lượng cơ bản $E = 0$.
  • Toán tử Hamilton và tương tác tiếp xúc: Mô hình hóa tương tác giữa các hạt ngưng tụ ở năng lượng thấp thông qua thế tiếp xúc dạng hàm delta $U_0 \delta(\vec{r}i - \vec{r}j)$, với hằng số tương tác $U_0 = \frac{4\pi\hbar^2 a}{m}$ (trong đó $a$ là độ dài tán xạ sóng $s$). Đối với hệ hai thành phần, các tham số tương tác nội thành phần $g{11}, g{22}$ và tương tác chéo $g_{12} = g_{21}$ được xác định qua khối lượng rút gọn $m_{ij} = \frac{m_i m_j}{m_i + m_j}$ và các độ dài tán xạ tương ứng $a_{ij}$.
  • Hệ phương trình Gross-Pitaevskii (GP): Đóng vai trò là phương trình chuyển động phi tuyến mô tả hàm sóng trạng thái ngưng tụ $\psi(\vec{r}, t)$, được suy dẫn từ nguyên lý tác dụng tối thiểu thông qua hàm mật độ Lagrangian lượng tử.
  • Phương pháp gần đúng Hydrodynamics (Thủy động lực học lượng tử): Biến đổi hàm sóng phức qua biểu diễn biên độ và pha (phép biến đổi Madelung) dưới dạng $\psi_j(\vec{r}, t) = \sqrt{n_j(\vec{r}, t)} e^{i\Phi_j(\vec{r}, t)}$. Phương pháp này quy chuyển phương trình GP thành hai phương trình có dạng tương tự thủy động lực học cổ điển:
    • Phương trình liên tục cho mật độ hạt: $\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n\vec{v}) = 0$, với trường vận tốc không xoáy $\vec{v} = \frac{\hbar}{m}\nabla\Phi$.
    • Phương trình chuyển động dạng Euler đối với dòng thế chất lỏng lý tưởng, trong đó xuất hiện thêm số hạng "áp suất lượng tử" $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$. Số hạng này chi phối các quá trình biến thiên mật độ ở thang không gian nhỏ hơn độ dài kết hợp $\xi = \frac{\hbar}{\sqrt{mnU_0}}$ và giảm dần vai trò ở thang sóng dài.
  • Phương pháp giải tích vi phân: Sử dụng phép khai triển nhiễu loạn tuyến tính bậc một đối với các dao động nhỏ của mật độ $\delta n_j$ và pha $\delta\Phi_j$, kết hợp phương pháp tách biến trong hệ tọa độ trụ để đưa về phương trình vi phân Bessel biến đổi.
  • Nguồn dữ liệu tham chiếu: Toàn bộ dữ liệu lý thuyết và hệ số tương tác kế thừa từ các công trình nghiên cứu chuẩn mực đã công bố quốc tế, tiêu biểu là nghiên cứu của Sasaki, Suzuki, Saito (2011) về bất ổn định mao dẫn và nghiên cứu của Hoàng Văn Quyết, Trần Hữu Phát về mốt ripplon trong hình học giam giữ.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein

Chương 1 hệ thống hóa toàn diện quá trình phát triển lý thuyết và thực nghiệm của hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein từ năm 1924 đến thời điểm nghiên cứu:

  1. Lịch sử hình thành và cơ sở thống kê: Trình bày sự khác biệt bản chất giữa hạt Boson (spin nguyên) và hạt Fermion (spin bán nguyên). Ở nhiệt độ không tuyệt đối $T = 0\text{ K}$, toàn bộ các hạt boson đều rơi vào trạng thái cơ bản có mức năng lượng bằng không, trong khi các fermion phải lấp đầy các mức năng lượng từ 0 đến mức Fermi do nguyên lý Pauli. Bằng việc phân tích phân bố Gibbs suy rộng và tính chất toán học của thế hóa học ($\mu \le 0$ và $\partial\mu/\partial T \le 0$), chương này chứng minh khi nhiệt độ hạ đến giá trị tới hạn $T_0$, thế hóa đạt cực đại bằng không ($\mu = 0$). Khi $T < T_0$, tỷ lệ số hạt trên các mức kích thích tuân theo công thức $N'/N = (T/T_0)^{3/2}$, phần hạt còn lại chuyển sang pha ngưng tụ. Điển hình đối với chất lỏng $^4He$ có khối lượng riêng $120\text{ kg/m}^3$, nhiệt độ tới hạn tính được là $T_0 \approx 2{,}19\text{ K}$.

  2. Tổng quan các mốc thực nghiệm nổi bật: Tác giả tổng hợp các thành tựu thực nghiệm tạo lập BEC trên các hệ nguyên tử và giả hạt:

Năm Nhóm tác giả / Phòng thí nghiệm Hệ vật chất nghiên cứu Điều kiện / Kết quả nổi bật
1995 Eric Cornell và Carl Wieman (JILA/NIST, ĐH Colorado ở Boulder) Khí Rubidi ($^{87}Rb$) Làm lạnh khí nguyên tử đạt nhiệt độ 170 nK; nhận giải Nobel Vật lý năm 2001
1995 Wolfgang Ketterle (Học viện Công nghệ MIT) Khí Natri ($^{23}Na$) Tạo và duy trì ngưng tụ hệ 2000 nguyên tử; đồng nhận giải Nobel Vật lý 2001
2002 Rudolf Grimm và cộng sự (ĐH Innsbruck) Khí Cesium ($Cs$) Hiện thực hóa ngưng tụ Cesium sau nhiều năm nghiên cứu
2009 Florian Schreck (ĐH Innsbruck) Khí Strontium ($Sr$) Tạo thành công trạng thái ngưng tụ đầu tiên của Strontium
- Francesca Ferlaino (ĐH Innsbruck) Khí Erbium ($Er$) Làm lạnh bẫy laser và bay hơi tạo BEC từ tính từ 70.000 nguyên tử Erbium
2006 Jacek Kasprzak và cộng sự (ĐH Joseph Fourier) Giả hạt Polariton Đạt biểu hiện kết hợp BEC trong vi cầu bán dẫn ở nhiệt độ 19 K
- David Snoke (ĐH Pittsburgh) và Bell Labs Giả hạt Polariton Dùng ghim 50 $\mu m$ tạo bẫy ứng suất trên vi cầu GaAs, đạt BEC từ 4,2 K đến 32 K
- Nhóm các nhà vật lý Đức Hạt Photon ("siêu photon") Giam giữ photon giữa hai gương cách nhau 1 $\mu m$ chứa thuốc nhuộm, ngưng tụ ở nhiệt độ phòng
2001 Lene Vestergaard Hau và cộng sự (ĐH Harvard) Xung ánh sáng trong BEC Natri Làm chậm ánh sáng dừng lại, ghi nhớ vào dao động spin và khôi phục ở đám mây thứ hai cách 1,6 mm / 160 $\mu m$
  1. Hình thức luận Gross-Pitaevskii và Hydrodynamics: Dẫn xuất tường minh phương trình GP cho hệ đơn thành phần và hệ hai thành phần (phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian). Từ nguyên lý biến phân của Lagrangian lượng tử, chương 1 thiết lập chi tiết phương trình liên tục cho mật độ dòng hạt $\vec{j} = n\vec{v}$ và phương trình Euler lượng tử, làm tiền đề trực tiếp cho các phép tính toán ở chương tiếp theo.

Chương 2. Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tìm hệ thức tán sắc của hệ Bose-Einstein hai thành phần bị giới hạn bởi cấu trúc trụ

Chương này tập trung giải quyết bài toán động lực học của hệ BEC hai thành phần trong hệ tọa độ trụ:

  1. Mô hình hình học và điều kiện biên cân bằng: Xét hai thành phần ngưng tụ không hòa lẫn: thành phần 1 nằm ở lõi bên trong hình trụ có bán kính tiếp xúc $R_0$, thành phần 2 nằm ở lớp vỏ bao bọc bên ngoài. Mặt phân cách giữa hai chất lỏng lượng tử có phương trình bề mặt $r = R(z, t) = R_0 + \eta(z, t)$, với độ dịch chuyển vi phân $\eta(z, t) = \epsilon \sin(kz - \omega t)$ ($\epsilon \ll 1$). Tại bề mặt phân cách, sự chênh lệch áp suất giữa hai thành phần được cân bằng bởi phương trình Laplace-Young: $$P_1(R, z, t) - P_2(R, z, t) = \alpha \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$$ trong đó $\alpha$ là hệ số suất căng bề mặt, $R_1, R_2$ là các bán kính cong chính của mặt phân cách.

  2. Khai triển phương trình hydrodynamics tuyến tính: Áp dụng biến đổi $\psi_j = \sqrt{n_j}e^{i\Phi_j}$ với các dao động nhỏ quanh giá trị cân bằng: $n_j = n_{j0} + \delta n_j$ và $\Phi_j = \Phi_{j0} + \delta\Phi_j$. Vận tốc vi phân $\vec{v}_j = \frac{\hbar}{m_j}\nabla\delta\Phi_j$ thỏa mãn điều kiện không nén được $\nabla \cdot \vec{v}_j = 0$, dẫn đến phương trình vi phân dạng Laplace đối với pha dao động: $$\frac{d^2 R_j}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{dR_j}{dr} - k^2 R_j = 0$$ Nghiệm của phương trình bán kính được xác định thông qua các hàm Bessel biến đổi (modified Bessel functions) cấp 0:

    • Thành phần 1 (vùng trong, hữu hạn tại gốc $r = 0$): $\delta\Phi_1 = A_1 I_0(kr)\cos(kz - \omega t)$.
    • Thành phần 2 (vùng ngoài, triệt tiêu tại vô cực $r \to \infty$): $\delta\Phi_2 = A_2 K_0(kr)\cos(kz - \omega t)$.

  3. Thiết lập hệ thức tán sắc và điều kiện bất ổn định mao dẫn:

    • Trường hợp hệ tĩnh ($V = 0$): Kết hợp điều kiện biên động học tại mặt tiếp xúc: $$\frac{\partial R}{\partial t} = \frac{\hbar}{m_1}\left(\frac{\partial \delta\Phi_1}{\partial r}\right){r=R_0} = \frac{\hbar}{m_2}\left(\frac{\partial \delta\Phi_2}{\partial r}\right){r=R_0}$$ và phương trình hiệu áp suất mao dẫn tuyến tính hóa: $$g_{11}n_{10}\delta n_1 - g_{22}n_{20}\delta n_2 = -\frac{\alpha\epsilon}{R_0^2}(k^2 R_0^2 - 1)\sin\sigma$$ kết quả chỉ ra rằng hiện tượng bất ổn định mao dẫn (capillary instability) của mặt trụ xảy ra khi số sóng kích thích thỏa mãn điều kiện $k < R_0^{-1}$.
    • Trường hợp thành phần 1 chuyển động tương đối: Mở rộng cho trường hợp thành phần lõi 1 chảy dọc theo trục $z$ với vận tốc không đổi $V$, thành phần vỏ 2 đứng yên. Trạng thái cơ bản của pha nhận thêm số hạng động lượng $\frac{m_1}{\hbar}Vz$. Điều kiện biên động học được sửa đổi tương ứng: $$\left(\frac{\partial}{\partial t} + V\frac{\partial}{\partial z}\right) R(\sigma) = \frac{\hbar}{m_1}\left(\frac{\partial\delta\Phi_1}{\partial r}\right)_{r=R_0}$$ Từ đó, tác giả giải hệ phương trình và xác định được các hệ số biên độ $A_1, A_2$, đồng thời thiết lập phương trình tán sắc của phonon sóng dài chứa các tham số $A$ và $B$ liên quan đến tỷ số các hàm Bessel biến đổi $I_0(kR_0)/I_1(kR_0)$ và $K_0(kR_0)/K_1(kR_0)$. Phân tích hệ thức tán sắc tổng quát khẳng định: sự bất ổn định mao dẫn luôn xảy ra tại dải số sóng $k < \frac{1}{R_0}$, và giới hạn này hoàn toàn độc lập với vận tốc dòng chảy $V$. Khi cho $V = 0$, hệ thức trở về chính xác kết quả của trường hợp hệ đứng yên.

Kết quả và đóng góp

Khóa luận đạt được các kết quả giải tích cụ thể sau:

  • Thiết lập tường minh hệ thức tán sắc phonon sóng dài: Dẫn ra phương trình tán sắc giải tích cho sóng âm tại mặt tiếp giáp của hai chất lỏng BEC bị giam giữ trong cấu trúc trụ khi có dòng chảy tương đối với vận tốc $V$.
  • Xác định điều kiện mất ổn định bề mặt: Chứng minh điều kiện kích hoạt hiện tượng bất ổn định mao dẫn là $k < R_0^{-1}$ (tương ứng với bước sóng nhiễu loạn $\lambda > 2\pi R_0$). Kết quả chứng minh về mặt giải tích rằng ngưỡng mất ổn định này phụ thuộc vào hình học bán kính trụ $R_0$ mà không phụ thuộc vào giá trị vận tốc chảy dọc trục $V$.
  • Khôi phục tính nhất quán lý thuyết: Chứng minh rằng trong trường hợp giới hạn khi vận tốc dòng $V \to 0$, toàn bộ hệ phương trình động học và hệ thức tán sắc đều suy biến chính xác về kết quả tĩnh đã được Sasaki, Suzuki, Saito công bố năm 2011.
  • Đóng góp học thuật tự đánh giá: Hệ thống hóa bức tranh toàn cảnh về thực nghiệm và lý thuyết BEC, đồng thời cung cấp một tài liệu tham khảo chi tiết về mặt toán học và vật lý lý thuyết cho sinh viên ngành vật lý khi tiếp cận mô hình thủy động lực học lượng tử.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và nội dung trình bày trong văn bản, đề tài có các hạn chế và hướng mở sau:

  • Hạn chế:
    • Nghiên cứu dừng lại ở mức độ lý thuyết thuần túy, chưa có tính toán mô phỏng số hoặc đối chứng thực nghiệm trong phòng thí nghiệm.
    • Áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics trong giới hạn tuyến tính (chỉ giữ lại các số hạng nhiễu loạn bậc nhất $\delta n, \delta\Phi$), bỏ qua các tương tác phi tuyến bậc cao.
    • Mô hình hóa giả định bề mặt tiếp giáp có độ dày mỏng bằng không và hai thành phần hoàn toàn không hòa lẫn, đồng thời môi trường bên ngoài được giả định trải rộng vô hạn mà chưa tính đến ảnh hưởng của thành bình cứng bên ngoài.
  • Hướng nghiên cứu tiếp:
    • Mở rộng khảo sát hệ thức tán sắc cho các cấu trúc hình học bẫy giam giữ khác ngoài hình trụ đối xứng.
    • Nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến khi biên độ dao động bề mặt lớn, khảo sát các trạng thái cấu trúc phức tạp như mốt ripplon phi tuyến, soliton bề mặt hoặc sự phát sinh các xoáy lượng tử khi vận tốc dòng vượt ngưỡng vận tốc tới hạn.

Giá trị tham khảo

Tài liệu này có giá trị tham khảo học thuật trực tiếp cho các nhóm đối tượng:

  • Sinh viên và học viên cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết: Là tài liệu tham khảo từng bước về kỹ thuật áp dụng phép biến đổi Madelung để chuyển phương trình Gross-Pitaevskii thành các phương trình thủy động lực học lượng tử.
  • Người nghiên cứu về khí lượng tử siêu lạnh và chất siêu chảy: Cung cấp phương pháp thiết lập điều kiện biên động học tại bề mặt tiếp xúc biến dạng của hai chất lỏng lượng tử, kỹ thuật áp dụng phương trình Laplace-Young lượng tử và kỹ năng giải phương trình biên bằng các hàm Bessel biến đổi $I_0, I_1, K_0, K_1$ trong hệ tọa độ trụ.

Câu hỏi thường gặp

1. Phép gần đúng Hydrodynamics quy đổi phương trình Gross-Pitaevskii thành những phương trình nào?

Phương pháp hydrodynamics sử dụng biến đổi Madelung $\psi = \sqrt{n}e^{i\Phi}$ để tách phần thực và phần ảo của phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc thời gian, quy đổi về hai phương trình chuyển động tương tự thủy động lực học cổ điển: phương trình liên tục cho mật độ hạt $\frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n\vec{v}) = 0$ và phương trình Euler cho dòng thế không xoáy ($\vec{v} = \frac{\hbar}{m}\nabla\Phi$), trong đó có bổ sung số hạng áp suất lượng tử $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$.

2. Tại sao nghiệm của phương trình thế vận tốc trong cấu trúc trụ lại sử dụng đồng thời hai hàm Bessel biến đổi khác nhau là $I_0(kr)$ và $K_0(kr)$?

Do tính chất biên của cấu trúc hình học trụ hai thành phần: thành phần thứ nhất nằm ở vùng lõi bao gồm tâm đối xứng $r = 0$, do đó cần nghiệm biểu diễn qua hàm Bessel biến đổi loại một $I_0(kr)$ để bảo đảm thế vận tốc hữu hạn tại gốc tọa độ; thành phần thứ hai nằm ở vùng ngoài mở rộng tới vô cực ($r \to \infty$), do đó bắt buộc phải sử dụng hàm Bessel biến đổi loại hai $K_0(kr)$ để nghiệm triệt tiêu khi bán kính tiến ra vô cùng.

3. Điều kiện xảy ra bất ổn định mao dẫn (capillary instability) tại bề mặt tiếp xúc là gì và có phụ thuộc vào vận tốc $V$ của dòng chảy không?

Theo kết quả giải tích của khóa luận, hiện tượng bất ổn định mao dẫn xảy ra khi số sóng kích thích thỏa mãn điều kiện $k < \frac{1}{R_0}$ (tức $k R_0 < 1$, ứng với bước sóng dao động lớn hơn chu vi mặt trụ $2\pi R_0$). Điều kiện mất ổn định này phụ thuộc vào bán kính mặt trụ $R_0$ và hoàn toàn độc lập với vận tốc chảy tương đối $V$ dọc trục của chất lỏng bên trong.

4. Thực nghiệm ngưng tụ Bose-Einstein trên chất khí đầu tiên trên thế giới được tiến hành trên nguyên tố nào và vào thời gian nào?

Thực nghiệm ngưng tụ BEC đầu tiên được thực hiện vào năm 1995 bởi nhóm nghiên cứu của Eric Cornell và Carl Wieman tại phòng thí nghiệm JILA (thuộc NIST và Đại học Colorado ở Boulder) khi làm lạnh khí nguyên tử Rubidi ($^{87}Rb$) xuống 170 nK. Cùng thời gian đó, Wolfgang Ketterle tại Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) cũng thực hiện thành công ngưng tụ trên nguyên tử Natri ($^{23}Na$) với hệ 2000 nguyên tử; ba nhà khoa học này đã được trao giải Nobel Vật lý năm 2001.

5. Số hạt nằm ngoài pha ngưng tụ biến thiên theo nhiệt độ như thế nào khi $T < T_0$?

Trong khuôn khổ thống kê Bose-Einstein đối với khí lý tưởng, khi nhiệt độ hệ hạ xuống dưới nhiệt độ tới hạn ($T < T_0$), thế hóa học đạt giá trị cực đại bằng không ($\mu = 0$). Lúc này, số hạt phân bố trên các mức năng lượng kích thích $N'$ tuân theo quy luật tỷ lệ $N'/N = (T/T_0)^{3/2}$. Số hạt còn lại bắt buộc phải tập trung tại mức năng lượng thấp nhất ($E = 0$) để hình thành pha ngưng tụ Bose-Einstein.

Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Trần Thị Ngọc Thúy đã trình bày một cách có hệ thống cơ sở lý thuyết về thống kê Bose-Einstein, toán tử Hamilton tương tác tiếp xúc và hệ phương trình Gross-Pitaevskii cho khí lượng tử siêu lạnh hai thành phần. Bằng việc áp dụng phương pháp gần đúng hydrodynamics tuyến tính trong hệ tọa độ trụ, công trình đã giải quyết thành công bài toán tìm hệ thức tán sắc giải tích của phonon sóng dài tại bề mặt phân cách giữa hai pha không trộn lẫn. Kết quả nghiên cứu xác định rõ ngưỡng xuất hiện bất ổn định mao dẫn phụ thuộc vào bán kính hình học trụ và không bị chi phối bởi vận tốc dòng chảy tương đối. Công trình là một tài liệu học tập và tham khảo giải tích chuẩn mực cho sinh viên chuyên ngành vật lý lý thuyết tiếp cận lĩnh vực vật lý nhiệt độ siêu thấp.