Chương 1 trình bày tổng quan về khai triển đa cực trong tán xạ electron-hạt nhân. Trước tiên, cách thức khai triển cho tiết diện tán xạ theo thừa số dạng đa cực sử dụng phép gần đúng Born được làm rõ dựa trên nghiên cứu của Weigert- Rose [109]. Tiếp theo, phương pháp tính toán các thừa số dạng đa cực điện từ được phân tích dựa trên nghiên cứu của Willey [110] và một số tác giả. Sau cùng, việc má rộng phương pháp khai triển đa cực áp dụng cho tán xạ á năng lượng cao [37-40, 41-44, 55, 62, 71-74] cũng được trình bày cụ thể.
Chương 2 mô tả cách thức tính toán cho tán xạ electron-hạt nhân á năng lượng cao, xét với các electron phân cực và hạt nhân không định hướng. Trước tiên là khai triển đa cực cho tiết diện tán xạ trong khuôn khổ lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu và suy ra biểu thức độ bất đối xứng xác định qua các thừa số dạng. Tiếp theo là xây dựng biểu thức cụ thể của các toán tử đa cực trong khuôn khổ 9 mẫu lớp nhiều hạt, từ đó dùng phương pháp hệ số dòng họ suy ra công thức tính trực tiếp cho các thừa số dạng. à phần cuối chương là áp dụng tính thừa số dạng đa cực của hạt nhân 6Li, 7Li và 7Be trong tán xạ đàn hồi á trạng thái cơ bản và của hạt nhân 7Li trong tán xạ tựa đàn hồi tương ứng với sự dịch chuyển từ trạng thái cơ bản lên trạng thái gần nhất.
Bộ ba gồm hai hạt nhân bền và một hạt nhân không bền được chọn để khảo sát vì đều là các hạt nhân nhẹ tuân theo mẫu lớp và có nhiều dữ liệu thực nghiệm cùng với dữ liệu lý thuyết sẵn có để kiểm chứng các kết quả tính toán khi xét á năng lượng thấp. Ngoài ra, sự sai khác nhau bái một nucleon á lớp ngoài cùng có khả năng dẫn đến những đặc trưng mà có thể được tìm thấy khi so sánh một số đại lượng vật lý tính được cho chúng. Chương 3 nêu ra các tính toán bằng số tương ứng với các trưßng hợp đã xét á Chương 2, áp dụng lý thuyết Weinberg-Salam. Cụ thể là tiết diện tán xạ toàn phần của hạt nhân với electron không phân cực được khảo sát theo năng lượng và góc tán xạ.
Bên cạnh đó, mức độ đóng góp của tương tác yếu trong tương tác hợp nhất được ước tính thông qua tỉ số tiết diện tán xạ. Ngoài ra, mức độ vi phạm chẵn lẻ cũng được đánh giá thông qua độ bất đối xứng. TỔNG QUAN VÀ KHAI TRIỂN ĐA CþC TRONG TÁN X¾ ELECTRON-H¾T NHÂN Chương này trình bày tổng quan về khai triển đa cực trong tán xạ electron- hạt nhân và phương pháp tính các thừa số dạng đa cực, trước tiên là trong khuôn khổ lý thuyết điện từ và sau đó là trong lý thuyết hợp nhất điện từ-yếu. Các thừa số d¿ng đa cÿc Nghiên cứu liên quan đến tán xạ electron-hạt nhân á năng lượng thấp đã thực hiện hoàn chỉnh về nhiều mặt vào cuối những năm 1950 đến đầu những năm 1960 [59, 97, 109-110].
Với các hạt nhân nhẹ, kết quả thí nghiệm phù hợp với các trạng thái kích thích đơn hạt, trong đó đóng góp của tương tác điện và tương tác từ có cùng bậc độ lớn như đóng góp của tương tác Coulomb. Trong nghiên cứu lý thuyết, thông tin về quá trình tán xạ có thể thu được nhß tính toán đại lượng gọi là tiết diện tán xạ. Khi xét tán xạ của electron với các hạt nhân nhẹ, phương pháp khai triển đa cực thưßng được sử dụng. Các tính toán dùng phép gần đwng Born cho kết quả khá chính xác khi hạt nhân th漃ऀa mãn điều kiện Zñ ü 1 ( ñ là hằng số tương tác điện từ, Z là số prôton) và electron được mô tả bái sóng phẳng hoặc sóng phẳng biến dạng [5, 36, 68, 94].
Trong khai triển đa cực, các dòng chuyển dßi bên trong hạt nhân được khai triển thành các thành phần có mômen động lượng góc xác định gọi là các thừa số dạng và từ đó tiết diện tán xạ cũng được biểu diễn qua chwng. Các thừa số dạng đa cực là thành phần cơ bản nhất mà qua đó có thể thu được thông tin chi tiết về tính chất của hạt nhân. Phương pháp khai triển đa cực được Weigert-Rose [109] thực hiện đầu tiên cho tán xạ điện từ của electron phân cực và hạt nhân định hướng. Theo Weigert-Rose, tiết diện tán xạ của quá trình được xác định bái: ó (k, kò, ξ) = Sp[A(k, kò) ò (ξ) A+ (k, kò)] , (1.1) 11 trong đó kí hiệu Sp biểu thị lấy vết của ma trận.
Biên độ tán xạ được tính bái kò A(k, k ò) = [ ]1/2 [(õ + 1)T11 + T12 σ.k ] , trong đó ma trận T (k, kò) cho k (õ + 1)(õ ò + 1) phép biến đổi biên độ spinơ electron từ trạng thái đầu sang trạng thái cuối theo hệ thức u(kò) = T (k, kò)u(k ). Kí hiệu õ , õ ò là năng lượng của electron trước và sau tán xạ và k, kò là xung lượng của electron trong không gian ba chiều. Ma trận mật độ phân cực của electron phi tương đối tính có biểu thức ò (ξ) = (1+ ξ.σ)/2 , với ξ là vectơ phân cực và σ là vectơ có các thành phần là ma trận Pauli. Biên độ tán xạ trong (1.1) được xác định từ phương trình Schrödinger của bài toán tán xạ: (H − E) = 0 , (1.2) trong đó H = He + HN + Hint là Hamiltonian và E là năng lượng chung của hệ.
Hàm sóng electron có dạng sóng phẳng và He là Hamitonian Dirac của hạt chuyển động tự do. Hamiltonian hạt nhân HN phụ thuộc vào mô hình cấu trwc của hạt nhân và cần xác định cụ thể khi tính toán các thừa số dạng đa cực. Trong phép gần đwng Born, Hamiltonian Hint mô tả tương tác điện từ trễ của electron và hạt nhân tương ứng với số hạng bậc thấp nhất của hằng số liên kết. Hàm sóng của hệ được sử dụng á dạng tiệm cận: eikò.3) r trong đó ù i và ù f là hàm sóng mô tả trạng thái đầu và trạng thái cuối của hạt nhân.
Từ đó, biên độ tán xạ được xác định qua mật độ dòng chuyển dßi điện từ của hạt nhân trong không gian xung lượng. Trong không gian xung lượng, mật độ dòng chuyển dßi được suy ra nhß vào phép biến đổi Fourier: ò (q) = ò ò (r)eiq.4) trong đó ò (r) , J (r) là thành phần tọa độ thßi gian và thành phần tọa độ không gian của mật độ dòng của hạt nhân trong không-thßi gian bốn chiều. 12 Khi tính toán biên độ tán xạ, các thành phần của mật độ dòng chuyển dßi (1.4) được khai triển theo đa cực trong hệ tọa độ chu trình. à đây, các đại lượng được kí hiệu theo quy ước chung của luận án để thuận tiện cho tính toán sau này.
Trước tiên, chọn hệ tọa độ Descartes có các vectơ đơn vị e z = q, e y = k kò, e x = e ye z , tức là trục OZ dọc theo chiều của xung lượng truyền, trục OY vuông góc với mặt phẳng tán xạ và trục OX nằm trong mặt phẳng này. Kí hiệu a a/|a| biểu thị vectơ đơn vị theo hướng của a. Hệ tọa độ chu trình [3, 105-106] là hệ tọa độ có các vectơ đơn vị xác định bái ζ0 = e z , ζ1 =− ( e x + ie y )/ 2. Chúng th漃ऀa mãn điều kiện trực giao ζúp.
Một vectơ bất kì có thể được biểu diễn qua các vectơ đơn vị trong hệ tọa độ chu trình, trong đó thành phần tương ứng với ζ 0 gọi là thành phần dọc và thành phần tương ứng với ζ 1 gọi là thành phần ngang. Liên hệ giữa xung lượng truyền với xung lượng trước và sau tán xạ của electron được minh họa như Hình 1.1, với θ là góc tán xạ. ez k q θ O ey k’ ex Hình 1. Hệ tọa độ mô tả quá trình tán xạ đang xét Sử dụng biểu thức khai triển của sóng phẳng theo sóng cầu quen thuộc trong cơ học lượng tử, có thể suy ra khai triển đa cực cho mật độ dòng hạt nhân trong hệ tọa độ chu trình có dạng: ò (q) = 4ð (2 L +1) D0Lmú ( , ò ,0) S Lm C (q) , (1.5b) Lmp 13 L Hàm Wigner có dạng Dpm ( , ò ,ñ) , với biến số là các góc Euler.
Vì chọn k và k ò nằm trong mặt phẳng (e x ,e z ) nên ñ = 0. Đa cực ngang liên hệ với đa cực điện và đa cực từ bái hệ thức S Lm 1 (q) = − (S Lm E S Lm M )/ 2. Biểu thức ngược của các đa cực là: C S Lm (q) = i L ò ò (r)ALm C (q, r)d 3r , (1.6d) với ALm C (q, r) = jL (qr)YLm(r) , A Lm(q, r) = [ALm C (q, r)]/ q , A ELm(q, r) =− i[A MLm(q, r)]/ q và A MLm(q, r) = jL (qr)YLm L (r) là các trưßng đa cực cơ sá của một trưßng vectơ [3, 74, 80] và i là thừa số ảo.7) mòp Trong lý thuyết lượng tử, mật độ dòng chuyển dßi là toán tử nên các biểu thức (1.6) đều là toán tử. Để tính toán tiết diện tán xạ, trước tiên cần tính các biên độ chuyển dßi của dòng (1.5), hay tương đương với yếu tố ma trận của các thành phần đa cực (1.6), giữa trạng thái đầu |iñ |JMñ và trạng thái cuối |fñ |J'M'ñ, tức là cần tính các biểu thức J òM ò|Jˆý |JM ñ hay J òM ò|SˆLm X |JM ñ.
Vì SˆLm X là toán tử tenxơ cầu hay tenxơ đa cực bậc Lm nên theo định lý Wigner- Eckart các số lượng tử hình chiếu M, m, M' có thể được gom lại trong hệ số Clebsch-Gordan và thừa số còn lại không chứa chwng: (−1) 2 L J òM ò J òM ò|SˆLm X |JM ñ = CJM LmJ ò||SˆLX ||J ñ .8) 2 J ò +1 14 Thừa số S LX J ò||SˆLX ||J ñ là yếu tố ma trận rwt gọn và được gọi là thừa số dạng đa cực, trong đó X = C, ||, E, M. Ngoài ra, vì dòng điện từ bảo toàn nên mật độ dòng th漃ऀa mãn phương trình liên tục: ò + div J = 0 .9) t Theo đó, thành phần dọc được xác định thông qua thành phần Coulomb nhß hệ thức S Lm = ÷ S Lm C /q. Khai triển đa cực cho dòng chuyển dßi của hạt nhân trong hệ tọa độ chu trình dẫn đến hệ quả là tiết diện tán xạ được khai triển theo các thừa số dạng đa cực gồm thừa số dạng Coulomb, thừa số dạng điện và thừa số dạng từ.
