Phương Pháp R-Matrix Trong Nghiên Cứu Hiệu Ứng Phi Định Xứ Của Thế Quang Học Nucleon Hạt Nhân

Phương pháp R-Matrix là một công cụ toán học quan trọng trong nghiên cứu tán xạ hạt nhân, đặc… 47 trang · Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh · 2018.

• Tác giả: Võ Thị Hải Nhật
• Người hướng dẫn: CN. Nguyễn Lê Anh
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Sư phạm Vật lí
• Đề tài: Phương Pháp R-Matrix Cho Nghiên Cứu Hiệu Ứng Phi Định Xứ Của Thế Quang Học Nucleon – Hạt Nhân
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp đại học
• Năm xuất bản: 2018
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: LÍ THUYẾT TÁN XẠ
• 1.1. Lí thuyết tán xạ cổ điển
• 1.2. Lí thuyết tán xạ lượng tử
• 1.3. Mối liên hệ giữa S-matrix và R-matrix
• 1.4. THẾ TƯƠNG TÁC PHI ĐỊNH XỨ (NONLOCAL POTENTIAL)
• 1.4.1. Thế quang học (Optical Model Potential)
• 1.4.2. Thế Perey–Buck (Perey–Buck Potential)
• 1.4.3. R-matrix tính toán
• 1.4.4. Phương pháp Lagrange-mesh
• 1.4.5. Thuật toán R-matrix
• 2. CHƯƠNG 2: KẾT QUẢ
• 2.1. Tán xạ proton lên hạt nhân
• 2.2. Tán xạ neutron lên hạt nhân
• 2.3. Tiết diện tán xạ phân bố theo xung lượng chuyển
• KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI
• PHỤ CHÚ DANH SÁCH CÁC HÀM VÀ THÔNG SỐ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Phương pháp R Matrix và Hiệu ứng Phi Định Xứ

Phương pháp R-Matrix là một công cụ toán học quan trọng trong nghiên cứu tán xạ hạt nhân, đặc biệt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hiệu ứng phi định xứ. Phương pháp này chia không gian thành hai vùng: vùng trong và vùng ngoài, với ranh giới là bán kính kênh. Hiệu ứng phi định xứ được mô tả thông qua thế quang học phi định xứ (NLOMP), nơi tương tác giữa nucleon và hạt nhân không chỉ phụ thuộc vào khoảng cách mà còn vào vị trí tương đối. Phương pháp R-Matrix cho phép giải phương trình Schrödinger một cách hiệu quả, đặc biệt khi sử dụng thế Perey-Buck, một mô hình thế quang học phi định xứ nổi tiếng.

1.1. Mô hình R Matrix

Mô hình R-Matrix được phát triển để giải quyết các bài toán tán xạ hạt nhân, đặc biệt là tán xạ đàn hồi. Phương pháp này sử dụng các thông số được điều chỉnh từ thực nghiệm để mô tả các thành phần cộng hưởng và không cộng hưởng trong tán xạ. R-Matrix là nghịch đảo đạo hàm logarithm của hàm sóng tại biên, giúp xác định các trạng thái liên kết của hệ. Phương pháp này đã chứng minh được ưu thế trong việc giải phương trình Schrödinger liên kênh và mô tả các hiện tượng tán xạ phức tạp.

1.2. Thế Quang Học và Hiệu ứng Phi Định Xứ

Thế quang học là một mô hình quan trọng trong nghiên cứu tán xạ hạt nhân, mô tả tương tác hiệu dụng giữa nucleon và hạt nhân. Hiệu ứng phi định xứ được đặc trưng bởi thế Perey-Buck, nơi tương tác không chỉ phụ thuộc vào khoảng cách mà còn vào vị trí tương đối. Thế này bao gồm các thành phần thực và ảo, được điều chỉnh để phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Thế Perey-Buck đã được sử dụng rộng rãi trong các nghiên cứu tán xạ nucleon lên hạt nhân, đặc biệt ở các mức năng lượng từ 10 đến 30 MeV.

II. Tương tác Hạt Nhân và Cấu Trúc Hạt Nhân

Tương tác hạt nhân giữa nucleon và hạt nhân là một chủ đề trung tâm trong vật lý hạt nhân. Cấu trúc hạt nhân được nghiên cứu thông qua các mô hình tán xạ, đặc biệt là tán xạ đàn hồi. Phương pháp R-Matrix cho phép phân tích chi tiết các tương tác này, đặc biệt khi sử dụng thế quang học phi định xứ. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, tương tác giữa nucleon và hạt nhân phụ thuộc vào mật độ nucleon trong hạt nhân, spin của nucleon, và trường Coulomb. Các thông số này được điều chỉnh để phù hợp với dữ liệu thực nghiệm, giúp mô tả chính xác các hiện tượng tán xạ.

2.1. Tương tác Nucleon Hạt Nhân

Tương tác nucleon-hạt nhân được mô tả thông qua thế quang học, bao gồm các thành phần thực và ảo. Thế này phụ thuộc vào mật độ nucleon trong hạt nhân, spin của nucleon, và trường Coulomb. Các thông số của thế quang học được điều chỉnh để phù hợp với dữ liệu thực nghiệm, giúp mô tả chính xác các hiện tượng tán xạ. Phương pháp R-Matrix cho phép giải phương trình Schrödinger một cách hiệu quả, đặc biệt khi sử dụng thế Perey-Buck.

2.2. Cấu Trúc Hạt Nhân và Tán Xạ

Cấu trúc hạt nhân được nghiên cứu thông qua các mô hình tán xạ, đặc biệt là tán xạ đàn hồi. Phương pháp R-Matrix cho phép phân tích chi tiết các tương tác giữa nucleon và hạt nhân, đặc biệt khi sử dụng thế quang học phi định xứ. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, tương tác giữa nucleon và hạt nhân phụ thuộc vào mật độ nucleon trong hạt nhân, spin của nucleon, và trường Coulomb. Các thông số này được điều chỉnh để phù hợp với dữ liệu thực nghiệm, giúp mô tả chính xác các hiện tượng tán xạ.

III. Nghiên Cứu Hiệu Ứng và Tính Toán R Matrix

Nghiên cứu hiệu ứng trong tán xạ hạt nhân là một phần quan trọng của vật lý hạt nhân. Tính toán R-Matrix được sử dụng để giải phương trình Schrödinger trong các bài toán tán xạ, đặc biệt khi sử dụng thế quang học phi định xứ. Phương pháp này cho phép xác định các trạng thái liên kết của hệ và mô tả các hiện tượng tán xạ phức tạp. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, phương pháp R-Matrix có thể được sử dụng để mô tả các tán xạ đàn hồi của nucleon lên hạt nhân có số khối lớn hơn 27, với độ chính xác cao.

3.1. Phân Tích Hạt Nhân và Năng Lượng

Phân tích hạt nhân là một phần quan trọng trong nghiên cứu tán xạ hạt nhân. Năng lượng hạt nhân được xác định thông qua các mô hình tán xạ, đặc biệt là tán xạ đàn hồi. Phương pháp R-Matrix cho phép phân tích chi tiết các tương tác giữa nucleon và hạt nhân, đặc biệt khi sử dụng thế quang học phi định xứ. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, tương tác giữa nucleon và hạt nhân phụ thuộc vào mật độ nucleon trong hạt nhân, spin của nucleon, và trường Coulomb. Các thông số này được điều chỉnh để phù hợp với dữ liệu thực nghiệm, giúp mô tả chính xác các hiện tượng tán xạ.

3.2. Tính Toán R Matrix và Ứng Dụng

Tính toán R-Matrix được sử dụng để giải phương trình Schrödinger trong các bài toán tán xạ, đặc biệt khi sử dụng thế quang học phi định xứ. Phương pháp này cho phép xác định các trạng thái liên kết của hệ và mô tả các hiện tượng tán xạ phức tạp. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng, phương pháp R-Matrix có thể được sử dụng để mô tả các tán xạ đàn hồi của nucleon lên hạt nhân có số khối lớn hơn 27, với độ chính xác cao. Phương pháp này cũng được sử dụng để giải phương trình Schrödinger liên kênh và mô tả các hiện tượng tán xạ phức tạp.

Nội dung chính

Bối cảnh và vấn đề nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp "Phương pháp R-matrix cho nghiên cứu hiệu ứng phi định xứ của thế quang học nucleon – hạt nhân" do sinh viên Võ Thị Hải Nhật thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cử nhân Nguyễn Lê Anh tại Khoa Vật lí, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (tháng 4 năm 2018), thuộc chuyên ngành Sư phạm Vật lí. Đề tài tập trung giải quyết bài toán mô tả vi mô tương tác tán xạ giữa nucleon và hạt nhân thông qua lý thuyết tán xạ lượng tử và phương pháp giải tích số hiện đại.

Trong vật lí hạt nhân, việc nghiên cứu và dự đoán dữ liệu phản ứng hạt nhân đóng vai trò then chốt kể từ sau các thí nghiệm tán xạ Rutherford. Để mô tả trạng thái của hệ nucleon – hạt nhân trong quá trình tán xạ, phương trình Schrödinger với thế tương tác phi định xứ (nonlocal potential) cần phải được giải quyết. Mặc dù các mô hình như gần đúng Hartree-Fock hay gần đúng khối lượng hiệu dụng đã được đề xuất, việc giải phương trình Schrödinger vi tích phân vẫn gặp nhiều trở ngại về thời gian tính toán và độ hội tụ. Mẫu thế quang học phi định xứ (NLOMP) do Perey và Buck xây dựng năm 1962 đã khắc phục được nhược điểm phụ thuộc năng lượng của mô hình thế định xứ KD03 trên dải năng lượng 10 – 30 MeV đối với các hạt nhân từ $^{27}\text{Al}$ đến $^{208}\text{Pb}$. Tuy nhiên, khi giải bằng phương pháp lặp truyền thống, tốc độ hội tụ của hàm sóng lại phụ thuộc chặt chẽ vào từng dạng thế cụ thể. Việc kết hợp bộ thông số hiệu chỉnh từ Perey–Buck với phương pháp R-matrix tính toán (calculable R-matrix) mở ra giải pháp giải trực tiếp thế phi định xứ mà không cần lặp, đảm bảo tính ổn định và chính xác cao.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của khóa luận được xác định cụ thể như sau:

1. Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết tán xạ cổ điển và tán xạ lượng tử, thiết lập phương trình vi tích phân Schrödinger cho hệ nucleon – hạt nhân dưới tác dụng của thế quang học phi định xứ.
2. Xây dựng hình thức luận phương pháp R-matrix tính toán kết hợp kỹ thuật lưới Lagrange (Lagrange-mesh method) để giải phương trình sóng tán xạ đơn kênh.
3. Ứng dụng chương trình tính toán số viết bằng ngôn ngữ Fortran để xác định độ lệch pha và tiết diện tán xạ đàn hồi phân bố theo góc tán xạ và xung lượng chuyển.
4. Kiểm chứng độ chính xác của mô hình bằng cách so sánh kết quả tính toán với dữ liệu thực nghiệm thu thập từ cơ sở dữ liệu EXFOR của Cơ quan Năng lượng Nguyên tử Quốc tế (IAEA).

Về đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Đối tượng nghiên cứu: Tán xạ đàn hồi của các nucleon (gồm proton và neutron) lên các hạt nhân bia chẵn – chẵn có số khối $A \ge 40$, cụ thể là bốn đồng vị: Canxi-40 ($^{40}\text{Ca}$), Sắt-56 ($^{56}\text{Fe}$), Thiếc-120 ($^{120}\text{Sn}$) và Chì-208 ($^{208}\text{Pb}$). Việc chọn hạt nhân chẵn – chẵn cho phép triệt tiêu mômen từ và spin của hạt nhân bia ở trạng thái cơ bản, đơn giản hóa tương tác spin – spin.
• Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong bài toán tán xạ đàn hồi đơn kênh, bỏ qua các hiệu ứng kích thích hạt nhân bia, phản ứng chuyển kênh và phản ứng trực tiếp. Năng lượng hạt tới khảo sát tập trung chủ yếu trong vùng năng lượng trung bình từ 10 MeV đến 40 MeV, đồng thời mở rộng so sánh ở một số mốc năng lượng thấp (từ 2,5 MeV) và năng lượng cao (đến 65 MeV đối với proton và 96 MeV đối với neutron).

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp tính toán

Nghiên cứu được xây dựng trên nền tảng lý thuyết tán xạ lượng tử phi tương đối tính và mô hình quang học hạt nhân:

• Khung lý thuyết tán xạ và ma trận tán xạ: Tán xạ lượng tử mô tả chuyển động của nucleon bằng hàm sóng tiệm cận gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ: $\psi(r, \theta) \sim e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r}$, với $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ là số sóng và $f(\theta)$ là biên độ tán xạ. Bằng phép phân tích sóng từng phần trong hệ tọa độ cầu sử dụng đa thức Legendre $P_l(\cos\theta)$, hàm sóng hướng tâm $u_l(r)$ được xác định qua phương trình vi phân bán kính. Ma trận tán xạ cơ sở ($S$-matrix) $S_l = e^{2i\delta_l}$ biểu diễn độ lệch pha $\delta_l$ của sóng thành phần thứ $l$. Tiết diện tán xạ đàn hồi vi phân được tính thông qua biểu thức: $$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2 = \frac{1}{4k^2} \left| \sum_{l=0}^{\infty} (2l+1) P_l(\cos\theta) (S_l - 1) \right|^2$$

• Thế quang học phi định xứ (NLOMP) Perey–Buck: Thế tương tác giữa nucleon và hạt nhân bia gồm ba thành phần chính: thế khối trung tâm $V_{\text{vol}}(r)$, thế tương tác spin – quỹ đạo $V_{\text{SO}}(r)$ và thế tĩnh điện Coulomb $V_C(r)$ đối với proton. Dạng hàm Woods–Saxon được sử dụng cho các phân bố không gian với bán kính $R = r_0 A^{1/3}$ và độ nhòe bề mặt $a$. Thành phần phi định xứ xuất hiện dưới dạng tích phân nhân vi phân trong phương trình Schrödinger: $$\left[ \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + E - V_C(r) - V_{\text{SO}}(r) \right] \psi(\mathbf{r}) = \int V(\mathbf{r}, \mathbf{r}') \psi(\mathbf{r}') d\mathbf{r}'$$ Hạt nhân phi định xứ được phân tích theo mô hình Perey–Buck với hàm tương tác phụ thuộc khoảng cách tương đối và độ phi định xứ $\beta$: $$V(\mathbf{r}, \mathbf{r}') = \frac{1}{\pi^{3/2} \beta^3} U\left(\frac{|\mathbf{r}+\mathbf{r}'|}{2}\right) \exp\left( - \frac{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^2}{\beta^2} \right)$$ Tổng số thông số cần xác định trong mô hình thế quang học đầy đủ là 12 thông số (bao gồm độ sâu thế thực, thế ảo, bán kính, bề dày bề mặt và thông số Coulomb $R_C$).

• Lý thuyết R-matrix tính toán và phương pháp lưới Lagrange: Không gian tương tác được phân chia thành hai miền độc lập qua bán kính kênh $a$:

  • Vùng ngoài ($r > a$): Tương tác hạt nhân triệt tiêu, chỉ còn thế Coulomb tầm xa, hàm sóng có nghiệm giải tích tiệm cận theo các hàm Coulomb hoặc hàm Bessel/Neumann.
  • Vùng trong ($r \le a$): Tương tác phi định xứ chiếm ưu thế. Toán tử biến phân Bloch $\mathcal{L}(B) = \frac{\hbar^2}{2\mu} \delta(r-a) \left(\frac{d}{dr} - \frac{B}{r}\right)$ được đưa vào để đảm bảo tính Hermite của toán tử vi phân trên đoạn hữu hạn $[0, a]$. Hàm sóng vùng trong được khai triển trên cơ sở $N$ hàm lưới Lagrange liên kết với các nghiệm của đa thức Legendre bậc $N$: $P_N(2r_n/a - 1) = 0$. Nhờ tính chất trực giao của phép cầu phương Gauss–Legendre, tích phân thế phi định xứ phức tạp được quy giản trực tiếp thành các phần tử ma trận đại số: $$\langle \phi_n | V | \phi_m \rangle = a \lambda_n^{1/2} \lambda_m^{1/2} V(a x_n, a x_m)$$ Ma trận nghịch đảo $C_{ij}^{-1}(E, B)$ giúp xác định giá trị $R_l(E)$ tại biên, từ đó suy ra ma trận tán xạ $S_l$ qua công thức: $$S_l = \frac{I_l(ka) - a R_l I'_l(ka)}{O_l(ka) - a R_l O'_l(ka)}$$

• Phương pháp nghiên cứu thực tế: Nghiên cứu áp dụng phương pháp giải tích số. Tác giả sử dụng chương trình nguồn Fortran do nhóm nghiên cứu tại Viện Khoa học và Kỹ thuật hạt nhân (Hà Nội) phát triển dựa trên tài liệu chuyên khảo. Dữ liệu tính toán đầu ra được trích xuất để phân tích và vẽ đồ thị trên phần mềm Origin.

• Nguồn dữ liệu đối chứng: Toàn bộ điểm số liệu thực nghiệm được lấy từ hệ thống thư viện dữ liệu phản ứng hạt nhân thực nghiệm EXFOR thuộc Cơ quan Năng lượng Nguyên tử Quốc tế (IAEA).

---

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Lí thuyết tán xạ

Chương 1 thiết lập toàn bộ cơ sở toán học và cơ học lượng tử cho bài toán va chạm đàn hồi nucleon – hạt nhân:

• Trình bày biểu thức hình học của tán xạ cổ điển, định nghĩa thông số va chạm $b$, góc lệch $\theta$, mối liên hệ giữa vi phân tiết diện tán xạ $d\sigma$ và góc khối $d\Omega$.
• Phát triển phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian trong hệ tọa độ cầu, thực hiện tách biến hàm sóng thành phần góc (các hàm cầu $Y_l^m(\theta, \varphi)$ và đa thức Legendre $P_l(\cos\theta)$) và phương trình vi phân bán kính cho $u_l(r)$.
• Thiết lập nghiệm tự do thông qua các hàm cầu Bessel $j_l(kr)$ và hàm cầu Neumann $n_l(kr)$, định nghĩa độ lệch pha $\delta_l$ và ma trận tán xạ $S$-matrix.
• Xây dựng biểu thức liên hệ giải tích giữa $S$-matrix và $R$-matrix thông qua bán kính kênh $a$ cùng các đạo hàm hàm sóng tới $I_l$ và sóng phản xạ $O_l$.
• Khảo sát mô hình thế quang học (OPM), cơ chế hấp thụ và tán xạ biểu diễn qua thế phức $V_{\text{opt}} = -(U + iW)f(r)$, tương tác spin – quỹ đạo dạng Thomas và thế Coulomb của quả cầu điện tích đồng nhất bán kính $R_C = 1{,}2 A^{1/3}$.
• Phân tích chi tiết dạng thế phi định xứ Perey–Buck với nhân phi định xứ Gauss, hàm hình dạng thể tích thực $f_V(p)$ và bề mặt ảo $f_D(p)$.
• Trình bày hình thức luận R-matrix tính toán: đưa vào toán tử Bloch $\mathcal{L}(B)$, giải phương trình thông qua hàm Green $G_l(r, r')$, xây dựng ma trận $C_{ij}(E, B)$.
• Ứng dụng kỹ thuật lưới Lagrange (Lagrange-mesh): công thức nghiệm đa thức Legendre, trọng số Gauss–Legendre $\lambda_n$, thiết lập phần tử ma trận động năng và phần tử ma trận thế phi định xứ hai chiều $V(ax_n, ax_m)$.
• Trình bày quy trình thuật toán R-matrix viết bằng Fortran với cấu trúc tệp dữ liệu đầu vào gồm 6 dòng thông số (năng lượng tới, điện tích và số khối hạt đạn/bia, bán kính Coulomb $R_C$, các thông số R-matrix như $l_{\text{max}}$, số điểm lưới $N_R$, số khoảng chia $N_S = 1$, bán kính kênh $a$, và các bộ tham số thế thực, thế ảo khối, thế ảo bề mặt, thế spin – quỹ đạo).

Chương 2: Kết quả

Chương 2 trình bày các kết quả tính toán số và đánh giá tương quan với dữ liệu thực nghiệm EXFOR của IAEA:

• Tán xạ proton lên hạt nhân: Đồ thị tiết diện tán xạ vi phân $\frac{d\sigma}{d\Omega}$ theo góc tán xạ $\theta$ cho các phản ứng $^{40}\text{Ca}(p,p)$, $^{56}\text{Fe}(p,p)$, $^{120}\text{Sn}(p,p)$ và $^{208}\text{Pb}(p,p)$. Kết quả từ phương pháp R-matrix tính toán mô tả chính xác các đỉnh dao động nhiễu xạ thực nghiệm ở dải năng lượng 10 – 40 MeV (như $^{56}\text{Fe}$ ở 16 MeV, $^{120}\text{Sn}$ ở 30{,}6 MeV và 36{,}4 MeV, $^{208}\text{Pb}$ ở 39{,}3 MeV). Tuy nhiên, tại các mức năng lượng lớn hơn 40 MeV (như $^{56}\text{Fe}$ ở 65 MeV hay $^{208}\text{Pb}$ ở 45 MeV), đường tính toán bắt đầu có sự sai lệch so với thực nghiệm ở các góc tán xạ lớn.
• Tán xạ neutron lên hạt nhân: Khảo sát các phản ứng $^{120}\text{Sn}(n,n)$, $^{56}\text{Fe}(n,n)$, $^{208}\text{Pb}(n,n)$ và $^{40}\text{Ca}(n,n)$ trên dải năng lượng rộng từ 2{,}5 MeV đến 96 MeV (chi tiết ở các mốc 11, 20, 26, 30{,}4, 40 và 96 MeV). Do không có tương tác Coulomb ($V_C = 0$), số lượng tham số đầu vào giảm đi, giúp kết quả của tán xạ neutron có độ trùng khớp với thực nghiệm cao hơn so với proton. Riêng đối với hạt nhân $^{40}\text{Ca}$ ở 16{,}8 MeV, đường biểu diễn có sự chênh lệch đáng kể do tính chất biến dạng ("mềm") của hạt nhân bia dưới tác động đâm xuyên của neutron.
• Tiết diện tán xạ theo xung lượng chuyển: Tính toán tiết diện tán xạ vi phân theo xung lượng chuyển $q = 2k \sin(\theta/2)$ cho phản ứng tán xạ neutron trên $^{120}\text{Sn}$ ở mức năng lượng $E = 9{,}943\text{ MeV}$. Đồ thị biểu diễn cho thấy sự phù hợp chặt chẽ giữa tính toán lý thuyết và thực nghiệm IAEA trên toàn bộ dải xung lượng chuyển từ $0{,}0$ đến hơn $3{,}0\text{ fm}^{-1}$.

---

Kết quả và đóng góp

Kết quả tính toán chính

Nghiên cứu đã hoàn thiện hệ thống tính toán số giải phương trình vi tích phân Schrödinger bằng phương pháp R-matrix kết hợp lưới Lagrange cho thế phi định xứ Perey–Buck. Các kết quả tính toán định lượng cụ thể được tổng hợp trong các bảng dưới đây:

Hạt tới	Hạt nhân bia	Năng lượng hạt tới khảo sát	Đánh giá độ phù hợp với số liệu thực nghiệm IAEA
Proton ($p$)	$^{40}\text{Ca}$	Dải năng lượng trung bình	Phù hợp tốt ở góc nhỏ và trung bình
	$^{56}\text{Fe}$	16 MeV; 65 MeV	Khớp chính xác ở 16 MeV; lệch ở góc lớn tại 65 MeV
	$^{120}\text{Sn}$	30{,}6 MeV; 36{,}4 MeV	Trùng khớp rất tốt các đỉnh nhiễu xạ trên toàn dải góc
	$^{208}\text{Pb}$	39{,}3 MeV; 45 MeV	Phù hợp cao ở 39{,}3 MeV; bắt đầu sai lệch ở 45 MeV
Neutron ($n$)	$^{120}\text{Sn}$	9{,}943 MeV; dải năng lượng trung bình	Trùng khớp xuất sắc cả theo góc và xung lượng chuyển
	$^{56}\text{Fe}$	2{,}5; 11; 20; 26; 96 MeV	Mô tả chính xác các cực đại, cực tiểu nhiễu xạ
	$^{208}\text{Pb}$	30{,}4 MeV; 40 MeV	Phù hợp rất cao với dữ liệu thực nghiệm
	$^{40}\text{Ca}$	16{,}8 MeV	Xuất hiện độ lệch do hiệu ứng liên kênh của bia nhẹ

So sánh đặc tính tính toán giữa hai kênh tán xạ được phản ánh như sau:

Tiêu chí so sánh	Tán xạ Proton ($p$)	Tán xạ Neutron ($n$)
Thế Coulomb ($V_C$)	Có xét đến ($R_C = 1{,}2 A^{1/3}$ fm)	Bằng không ($V_C = 0$)
Số lượng thông số input	Đầy đủ 12 thông số quang học	Rút gọn (loại bỏ thông số bán kính Coulomb)
Độ trùng khớp thực nghiệm	Tốt ở $10 - 40$ MeV, giảm khi $E > 40$ MeV	Khớp tốt hơn proton, ổn định trên dải năng lượng rộng
Cơ chế gây sai lệch chính	Hiện tượng truyền xuyên qua rào thế Coulomb	Hiệu ứng kích thích liên kênh trên hạt nhân mềm ($^{40}\text{Ca}$)

Đóng góp khoa học của tác giả

1. Khẳng định tính khả thi của R-matrix tính toán: Chứng minh phương pháp R-matrix kết hợp phép cầu phương Gauss–Legendre trên lưới Lagrange giải quyết triệt để bài toán thế phi định xứ mà không gặp hiện tượng phân kỳ hay phụ thuộc bước lặp như các thuật toán giải số trước đây.
2. Kiểm chứng tính độc lập năng lượng của bộ thông số NLOMP hiệu chỉnh: Khẳng định bộ thông số Perey–Buck hiệu chỉnh có khả năng mô tả đồng thời tán xạ đàn hồi của cả proton và neutron trên các hạt nhân có số khối từ $A = 40$ đến $A = 208$ trong dải năng lượng $10 - 40$ MeV mà không cần thay đổi thông số hình học theo từng mức năng lượng.
3. Mở rộng biểu diễn phân bố xung lượng chuyển: Thực hiện thành công phép chuyển đổi và tính toán tiết diện tán xạ theo biến xung lượng chuyển $q$, cung cấp thêm công cụ kiểm tra cấu trúc tán xạ độc lập với hệ quy chiếu góc.

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Khóa luận đã chỉ rõ các giới hạn vật lí và kỹ thuật tính toán tồn tại trong nghiên cứu:

• Sai lệch ở vùng năng lượng cao ($E > 40\text{ MeV}$): Khi năng lượng hạt tới tăng cao, xác suất nucleon truyền xuyên qua rào cản Coulomb và tương tác sâu vào trong lòng hạt nhân tăng mạnh. Hệ xuất hiện các phản ứng phi đàn hồi, phản ứng chuyển nucleon và kích thích các mức năng lượng cao của hạt nhân bia. Bài toán thực tế chuyển thành bài toán liên kênh (coupled-channel), khiến mô hình tán xạ đàn hồi đơn kênh của R-matrix không còn bao quát đầy đủ, dẫn đến sự sai lệch ở các góc tán xạ lớn.
• Hạn chế đối với hạt nhân bia nhẹ hoặc có tính liên kết mềm: Trong trường hợp neutron tán xạ trên $^{40}\text{Ca}$, neutron có khả năng đâm xuyên cao làm biến dạng cấu trúc hạt nhân bia, kích hoạt các kênh phản ứng phụ chưa được tính đến trong Hamiltonian đơn kênh.
• Thiếu hụt dữ liệu thực nghiệm ở góc tán xạ lớn: Một số phản ứng chưa có đầy đủ số liệu đo đạc thực nghiệm ở vùng góc tán xạ lùi ($\theta > 120^\circ$) trong cơ sở dữ liệu EXFOR để đánh giá toàn diện độ chính xác của mô hình.
• Giới hạn hạt nhân bia chẵn – chẵn: Nghiên cứu chỉ áp dụng cho các hạt nhân bia có spin bằng $0$, hoàn toàn bỏ qua tương tác spin giữa nucleon tới và spin nội tại của hạt nhân bia.

Hướng phát triển tiếp theo được đề xuất:

• Tiếp tục tối ưu hóa và hiệu chỉnh các tham số độ sâu thế ($V_R, W_I, W_D, V_S$) và tham số hình học ($r, a$) của thế NLOMP để mở rộng khả năng mô tả chính xác cho các nucleon có năng lượng cao hơn 40 MeV.
• Mở rộng hình thức luận R-matrix tính toán cho bài toán tán xạ có tính đến tương tác spin giữa nucleon và hạt nhân bia có spin khác không ($I \ne 0$).
• Nâng cấp mô hình toán học và mã nguồn Fortran từ bài toán đơn kênh sang bài toán liên kênh (coupled-channel calculations) để mô tả chính xác các trạng thái kích thích và hiện tượng truyền kênh trong phản ứng hạt nhân.

---

Giá trị tham khảo

Bản khóa luận là tài liệu học thuật có giá trị ứng dụng rõ ràng:

• Đối tượng tham khảo: Giảng viên, sinh viên đại học và học viên cao học chuyên ngành Sư phạm Vật lí, Vật lí hạt nhân, Vật lí lý thuyết và Vật lí tính toán.
• Nội dung giá trị nhất:
  • Quy trình toán học chi tiết về việc kết hợp toán tử Bloch và lưới Lagrange để đại số hóa phương trình vi tích phân Schrödinger chứa thế phi định xứ.
  • Hướng dẫn thiết lập cấu trúc file dữ liệu đầu vào (input) và xử lý file đầu ra (output) cho chương trình tính toán R-matrix viết bằng Fortran.
  • Phương pháp luận khoa học trong việc khai thác, chuẩn hóa và đối chiếu số liệu tính toán lý thuyết với cơ sở dữ liệu thực nghiệm quốc tế EXFOR/IAEA.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Vì sao khóa luận chỉ lựa chọn các hạt nhân bia chẵn – chẵn ($^{40}\text{Ca}$, $^{56}\text{Fe}$, $^{120}\text{Sn}$, $^{208}\text{Pb}$)?
Các hạt nhân chẵn – chẵn có số proton và số neutron đều chẵn, dẫn đến mômen động lượng toàn phần (spin) ở trạng thái cơ bản bằng không ($I = 0$). Việc này giúp triệt tiêu số hạng tương tác spin – spin giữa nucleon bắn tới và hạt nhân bia trong toán tử thế năng, cho phép bài toán tập trung hoàn toàn vào tương tác spin – quỹ đạo của nucleon đạn và thế quang học trung tâm.

2. Bán kính kênh $a$ trong phương pháp R-matrix có ý nghĩa gì và được xác định như thế nào?
Bán kính kênh $a$ là mặt biên phân chia không gian thành vùng trong ($r \le a$) và vùng ngoài ($r > a$). Giá trị $a$ được chọn đủ lớn để vượt ra ngoài tầm tác dụng của lực hạt nhân tầm ngắn và tính phi định xứ. Tại vùng ngoài ($r > a$), tương tác hạt nhân triệt tiêu, hệ chỉ còn chịu tác dụng của thế tĩnh điện Coulomb tầm xa (đối với proton) hoặc trở thành hạt tự do (đối với neutron), giúp hàm sóng ngoài có nghiệm giải tích tiệm cận.

3. Phương pháp lưới Lagrange (Lagrange-mesh) giải quyết khó khăn gì của thế phi định xứ Perey–Buck?
Thế phi định xứ Perey–Buck chứa số hạng tích phân hai chiều rất khó giải tích hoặc giải số thông thường. Kỹ thuật lưới Lagrange sử dụng các hàm cơ sở liên kết với nghiệm đa thức Legendre và phép cầu phương Gauss–Legendre. Kỹ thuật này biến tích phân thế năng phi định xứ phức tạp thành phép nhân ma trận đơn giản $\langle \phi_n | V | \phi_m \rangle = a \lambda_n^{1/2} \lambda_m^{1/2} V(ax_n, ax_m)$, loại bỏ hoàn toàn việc giải tích phân số nhiều chiều và loại trừ sự phụ thuộc hội tụ vào bước lặp.

4. Vì sao kết quả tính tán xạ neutron lại khớp với thực nghiệm IAEA tốt hơn so với tán xạ proton?
Neutron là hạt trung hòa điện tích ($z = 0$), do đó trong bài toán tán xạ neutron không xuất hiện thế tĩnh điện Coulomb ($V_C = 0$). Điều này giúp loại bỏ tham số bán kính Coulomb $R_C$ ra khỏi tệp dữ liệu đầu vào, làm giảm số lượng thông số tự do cần hiệu chỉnh. Việc giảm bớt tham số hình học giúp hạn chế các sai số ghép kênh và làm tăng độ khớp giải tích của phương pháp R-matrix so với thực nghiệm.

5. Hiện tượng sai lệch ở năng lượng trên 40 MeV đối với proton được giải thích như thế nào?
Ở năng lượng cao trên 40 MeV, động năng của proton đủ lớn để làm tăng đáng kể hệ số truyền qua rào thế Coulomb. Hạt đạn tương tác sâu vào cấu trúc bên trong của hạt nhân bia, kích hoạt các phản ứng phi đàn hồi hoặc phản ứng chuyển nucleon. Khi đó, giả thiết bài toán đơn kênh không còn bảo toàn, đòi hỏi phải giải hệ phương trình liên kênh phức tạp mới có thể mô tả chính xác.

---

Kết luận

Khóa luận của tác giả Võ Thị Hải Nhật đã ứng dụng thành công phương pháp R-matrix tính toán kết hợp kỹ thuật lưới Lagrange để giải phương trình Schrödinger vi tích phân chứa thế quang học phi định xứ Perey–Buck. Kết quả tính toán số trên chương trình Fortran đã mô tả chính xác các đặc trưng tán xạ đàn hồi của proton và neutron trên các hạt nhân bia chẵn – chẵn $^{40}\text{Ca}$, $^{56}\text{Fe}$, $^{120}\text{Sn}$ và $^{208}\text{Pb}$ trong dải năng lượng 10 – 40 MeV, thể hiện sự phù hợp cao với dữ liệu thực nghiệm EXFOR của IAEA. Công trình khẳng định tính ưu việt của phương pháp R-matrix tính toán về tốc độ và độ ổn định, đồng thời tạo tiền đề phương pháp luận quan trọng cho các nghiên cứu phản ứng hạt nhân liên kênh phức tạp hơn trong tương lai.

Trích đoạn nội dung tài liệu

LỜI MỞ ĐẦU Thế kỉ XX là thời kì bùng nổ của Vật lí hạt nhân, khi những nguyên tố phóng xạ liên tục đƣợc nghiên cứu và công bố rộng rãi. Liên tiếp sau đó là sự xuất hiện của nhiều hạt nhân và các đồng vị phóng xạ không bền của chúng. Do đó, nhu cầu nghiên cứu và dự đoán các dữ liệu phản ứng hạt nhân đóng vai trò vô cùng quan trọng. Kể từ thành công của thí nghiệm tán xạ Rutherford để xác định cấu trúc nguyên tử, rất nhiều thí nghiệm tán xạ đƣợc thực hiện với mục đích khám phá cấu trúc bên trong hạt nhân, trong đó có thí nghiệm tán xạ nucleon lên hạt nhân.

Với mục đích quan trọng ấy, rất nhiều nhà khoa học đã đƣa ra những lí thuyết khác nhau để mô tả sự thay đổi trạng thái của hệ nucleon – hạt nhân trong quá trình tán xạ. Việc giải phƣơng trình Schrodinger đối với thế phi định xứ vẫn là đối tƣợng nghiên cứu vô cùng quan trọng của Vật lí hạt nhân. Mặc dù đã có rất nhiều mô hình đƣợc đƣa ra để mô tả các hệ này nhƣ gần đúng Hartree-Fock, gần đúng khối lƣợng hiệu dụng,… nhƣng các nhà khoa học vẫn không ngừng tìm kiếm những mô hình mới giúp họ tính toán nhanh và đem lại kết quả có độ chính xác cao hơn. Dựa vào mẫu thế quang học phi định xứ (NLOMP) Perey-Buck, một bộ thông số mới đƣợc đề xuất và đã khẳng định đƣợc nhiều ƣu điểm của nó so với KD03 (sử dụng hình thức luận mẫu quang học định xứ).

Bộ thông số này độc lập với năng lƣợng tới của các nucleon trong bài toán tán xạ nucleon lên các hạt nhân từ 27Al đến 208Pb với năng lƣợng nằm trong khoảng 10 – 30 MeV [12]. Trong thế Perey-Buck, tính phi định xứ đƣợc phân tích thành một thế phức, từ đó các thông số đƣợc điều chỉnh sao cho phù hợp với kết quả thu đƣợc từ thực nghiệm. Những kết quả ban đầu từ thế Perey-Buck cho kết quả tốt với tán xạ đàn hồi nucleon lên 208Pb ở hai mức năng lƣợng là 7 và 14. Tuy nhiên, sự phát triển của khoa học thực nghiệm sau đó đã công bố nhiều kết quả mà bộ thông số dựa trên NLOMP của Perey-Buck không còn chính xác nữa.

Thêm một khó khăn nữa trong việc sử dụng bộ thông số NLOMP của Perey- Buck, đó là khi giải phƣơng trình Schrodinger bằng phƣơng pháp vòng lặp, sự hội tụ của hàm sóng lại phụ thuộc vào các thế cụ thể. Udagawa đã đề xuất một phƣơng pháp mới kết hợp giữa NLOMP với một chƣơng trình máy tính cho -1- phép giảm thiểu tối đa số lƣợng các thông số cần thiết [6]. Thông qua một hàm trạng thái phụ đã đƣợc xác định chính xác bằng thế Perey-Buck, bộ thông số mới có khả năng hội tụ tốt hơn, từ đó giúp xác định hàm sóng nhanh chóng và chính xác hơn. Dựa trên những dữ liệu thực nghiệm khi cho các nucleon năng lƣợng từ 7.3 MeV tán xạ lên 27Al, 32S, 120Sn, 208Pb,… bộ các thông số lần lƣợt đƣợc hiệu chỉnh từ bộ NLOMP của Perey-Buck đến trạng thái phù hợp nhất thông qua các vòng lặp.

Sự kết hợp giữa bộ thông số NLOMP, thông số hình học từ KD03 và các dữ liệu thực nghiệm mới đã cho kết quả khả quan. Tuy các giá trị thông số cuối cùng chỉ lệch 5% so với giá trị ban đầu của chúng, nhƣng tốc độ hội tụ của hàm sóng trở nên nhanh chóng, và đặc biệt, khắc phục đƣợc nhƣợc điểm phụ thuộc vào các thế cụ thể của NLOMP. Để kiểm tra tính tin cậy của bộ thông số mới, hàng loạt so sánh với dữ liệu thực nghiệm đƣợc thực hiện, đó là các tán xạ đàn hồi của nucleon lên 60Ni và 100Mo với mức năng lƣợng mở rộng đến 49. Kết quả thu đƣợc đã chứng tỏ rằng bộ thông số này hoàn toàn có thể sử dụng để mô tả các tán xạ đàn hồi của nucleon lên hạt nhân có số khối A > 27.

Năm 1947, phƣơng pháp R-matrix bắt đầu đƣợc nghiên cứu và sử dụng, áp dụng bộ thông số mới đƣợc hiệu chỉnh từ NLOMP của Perey-Buck. Winger và Eisenbud đã đƣa ra những ý tƣởng đầu tiên cho việc giải thế phi định xứ trực tiếp trong phƣơng trình Schrodinger [12], lí thuyết R-matrix đã càng ngày chứng tỏ đƣợc ƣu thế của mình trong nhiều khía cạnh của cơ học lƣợng tử. Ngoài mục đích ban đầu dùng để mô tả các cộng hƣởng trong phản ứng hạt nhân, lí thuyết R-matrix hiện nay còn đƣợc sử dụng để giải phƣơng trình Schrodinger liên kênh (coupled channel) trong các vùng liên tục (continuum region). Bên cạnh đó, với việc sử dụng các thông số đƣợc điều chỉnh từ thực nghiệm, lí thuyết R-matrix cũng đã thành công khi thông số hóa các thành phần cộng hƣởng và không cộng hƣởng năng lƣợng thấp trong tán xạ đàn hồi [12].

Nguyên lí của phƣơng pháp R-matrix là chia không gian thành 2 vùng: vùng trong (internal region) và vùng ngoài (external region). Ranh giới giữa 2 vùng là một thông số gọi là “bán kính kênh” (channel radius). Bán kính này đƣợc chọn đủ lớn sao cho ở vùng ngoài, các thành phần của hệ chỉ tƣơng tác với nhau thông qua các lực tầm xa, bên cạnh đó, các hiệu ứng phi đối xứng cũng đƣợc bỏ qua. Lúc đó, ở vùng ngoài, -2- hàm sóng tán xạ có dạng tiệm cận với biểu thức có chứa e mũ giảm.

Còn ở vùng trong, hàm sóng tại một mức năng lƣợng xác định là tổ hợp các trạng thái riêng của hệ. Khi đó, R-matrix là nghịch đảo đạo hàm logarithm của hàm sóng tại biên. Ngoài ra, phƣơng pháp R-matrix còn dùng để xác định các trạng thái liên kết của hệ. Hiện nay, phƣơng pháp R-matrix vẫn tiếp tục đƣợc phát triển theo 2 hƣớng, đó là R-matrix hiện tƣợng luận (phenomenological R-matrix) và R-matrix tính toán (calculable R-matrix).

Mặc dù nghiên cứu theo 2 khía cạnh khác nhau của R-matrix, nhƣng kết quả của chúng lại bổ sung và làm cơ sở cho khía cạnh còn lại. Trong khóa luận này, chúng tôi sử dụng bộ thông số đƣợc hiệu chỉnh từ mẫu quang học NLOMP Perey-Buck, đƣợc trình bày trong [12]. Khóa luận trình bày những cơ sở lí thuyết của bài toán tán xạ, thiết lập và giải phƣơng trình Schrodinger vi tích phân sử dụng thế quang học phi định xứ (NLOMP) bằng phƣơng pháp R-matrix. Và để đánh giá sự phù hợp so với thực nghiệm, khóa luận so sánh các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp R-matrix với dữ liệu thực nghiệm từ IAEA1.

Đối tƣợng nghiên cứu của khóa luận là tán xạ nucleon lên các hạt nhân bia chẵn – chẵn là 40Ca, 56Fe, 120Sn, 208Pb. Phƣơng pháp nghiên cứu chính trong khóa luận này là phƣơng pháp giải số dựa trên ngôn ngữ lập trình Fortran. Các code sử dụng trong khóa luận đƣợc phát triển bởi nhóm nghiên cứu tại Viện Khoa học và Kỹ thuật hạt nhân – Hà Nội và tài liệu tham khảo [1,3]. Sau đó, tôi tiến hành xử lý số liệu trên phần mềm Origin và nhận xét.

Bố cục khóa luận bao gồm 2 phần chính: Trong phần 1, khóa luận trình bày các cơ sở lí thuyết bao gồm tổng quan về lí thuyết tán xạ, xây dựng thế tƣơng tác phi định xứ cho hệ nucleon – hạt nhân và phƣơng pháp R-matrix. Trong phần 2, khóa luận trình bày kết quả tán xạ đàn hồi nucleon – hạt nhân, nhận xét và đề ra phƣơng hƣớng phát triển cho đề tài. 1 https://www-nds.org/exfor/exfor.htm -3- Chƣơng 1 LÍ THUYẾT TÁN XẠ Trong chƣơng này, tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn những kiến thức cơ bản về lí thuyết tán xạ, các khái niệm cũng nhƣ một số định nghĩa cơ bản trong vật lí hạt nhân. Bên cạnh đó, thế tƣơng tác tôi sử dụng trong khóa luận này cũng đƣợc thể hiện trong phần tiếp theo.

Phần quan trọng nhất của khóa luận là lí thuyết R-matrix đƣợc trình bày chi tiết trong phần cuối của chƣơng. LÍ THUYẾT TÁN XẠ Các phản ứng hạt nhân thông thƣờng xảy ra theo quá trình a  A  b  B, (1. Tuy nhiên, trong một số trƣờng hợp, thành phần và cấu trúc hạt nhân của các hạt tham gia tƣơng tác không thay đổi, đƣợc gọi là tán xạ. Trong thực tế, có một số quá trình tán xạ mà các thành phần tán xạ đàn hồi và phi đàn hồi xảy ra song song.

Điều này có thể làm thay đổi cấu trúc của hệ thông qua các phản ứng chuyển (transfer reaction) hoặc thay đổi năng lƣợng làm cho hạt nhân chuyển sang các trạng thái kích thích. Khóa luận chỉ đề cập đến những tán xạ đàn hồi, có nghĩa là sau tán xạ, cấu trúc của nucleon và hạt nhân đều không đổi, hạt nhân bia luôn ở trạng thái cơ bản. Bên cạnh đó, để bài toán tán xạ trở nên đơn giản, khóa luận cũng bỏ qua các hiệu ứng cộng hƣởng và trạng thái kích thích do phản ứng trực tiếp. Lí thuyết tán xạ cổ điển Xét một hệ đơn giản khi bắn một nucleon mang năng lƣợng E đến hạt nhân bia đang đứng yên.1: Mô tả tán xạ đàn hồi nucleon lên hạt nhân bia bất kì Kết quả sau tán xạ, hạt nucleon bị lệch góc  so với phƣơng ban đầu.

Ta có, khi thông số va chạm b càng nhỏ thì góc lệch  càng lớn. Điều này có nghĩa là trong một phản ứng tán xạ nhất định, ứng với mỗi giá trị b , có một góc tán xạ tƣơng ứng. Hay nói cách khác tƣơng ứng với mỗi vi phân tiết diện tán xạ d (differential scattering cross-section) là một góc khối d [4] (Hình 1. Nucleon Hạt nhân bia Nucleon Hình 1.2: Mô tả tiết diện đàn hồi theo góc tán xạ trong tán xạ nucleon – hạt nhân Thực hiện xây dựng biểu thức liên hệ giữa d và d , ta có d  D( ) d .2) -5- Lấy tích phân theo góc khối  , ta thu đƣợc công thức tính tiết diện tán xạ toàn phần    D( ) d  , (1.4) sin  d  : tiết diện toàn phần (total cross-section).

Tuy nhiên trong các phòng thí nghiệm, thành phần D( ) đƣợc xác định thông qua cƣờng độ chùm tia tới (số hạt trên một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian) đo bằng detector nhƣ sau 1 dN D( ) . Lí thuyết tán xạ lƣợng tử Theo quan điểm lƣợng tử, hạt chuyển động thì tƣơng ứng thể hiện một hàm sóng. Đối với hạt chuyển động tự do, đó là bƣớc sóng De Broglie. Trong suốt quá trình tán xạ, nucleon luôn thể hiện tính chất sóng trƣớc và sau tán xạ.

Do đó, hàm sóng tiệm cận khi r rất lớn có dạng eikr  a (r ,  )  eikz  f ( ) , (1.