Luận Án Tiến Sĩ: Phương Pháp Tích Phân Nhanh Cho Lan Truyền Và Tán Xạ Sóng Điện Từ

Luận án tiến sĩ nghiên cứu kỹ thuật tích phân tăng tốc giải quyết bài toán lan truyền và tán xạ sóng điện từ, ứng dụng hiệu quả trong lĩnh vực điện tử viễn thông.

• Tác giả: Dung Trinh
• Người hướng dẫn: Dr. Conor Brennan, Supervisor
• Trường học: Dublin City University
• Chuyên ngành: Electronic Engineering
• Đề tài: Accelerated Integral Equation Techniques for Solving EM Wave Propagation and Scattering Problems
• Loại tài liệu: dissertation
• Năm xuất bản: 2014
• Địa điểm: Dublin

Mục lục chi tiết

• Lời cam đoan
• Lời cảm ơn
• 1. Chương 1: Giới thiệu
• 1.1. Lan truyền sóng điện từ trong khu vực nông thôn và đô thị
• 1.2. Tán xạ sóng điện từ từ các bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên
• 2. Chương 2: Các công thức phương trình tích phân
• 2.1. Phương trình Maxwell và bài toán tán xạ
• 2.2. Phương trình tích phân bề mặt cho các vật tán xạ đồng nhất
• 2.2.1. Nguyên lý tương đương bề mặt
• 2.2.2. Phương trình tích phân bề mặt cho các vật tán xạ đồng nhất
• 2.3. Phương pháp moment
• 2.4. Tán xạ sóng từ các hình trụ vô hạn
• 2.4.1. Tán xạ sóng TM từ các hình trụ điện môi đồng nhất
• 2.4.2. Tán xạ sóng TE từ các hình trụ điện môi đồng nhất
• 2.5. Thiết lập bài toán tán xạ sóng 3D
• 2.5.1. Trường tán xạ trong vùng xa
• 3. Chương 3: Phương pháp tương tác lập bảng cải tiến cho tán xạ sóng điện từ từ các biên dạng địa hình gồ ghề có tổn hao
• 3.2. Tán xạ sóng từ các bề mặt điện môi 1D
• 3.3. Phương pháp tương tác lập bảng cải tiến
• 3.3.1. Định nghĩa hàm cơ sở
• 3.3.2. Thiết lập hệ phương trình tuyến tính ITIM
• 3.4. Thiết lập các xấp xỉ nền tảng
• 3.4.2. Tương tác giữa các nhóm
• 3.4.3. Phương pháp tương tác lập bảng cải tiến hai mức (TL-ITIM)
• 3.5. Tính toán tổn hao truyền sóng và độ phức tạp tính toán
• 3.5.1. Biên dạng địa hình nông thôn
• 3.5.2. Biên dạng địa hình đồi núi
• 3.7. Phương pháp số hiệu quả để tính toán các hàm cơ sở ITIM
• 3.7.1. Phân tích độ phức tạp của phương pháp mới dựa trên FFT
• 3.7.3. Khảo sát sự hội tụ theo kích thước bài toán
• 3.7.4. So sánh sự hội tụ với các phương pháp Krylov
• 4. Chương 4: Tính toán tổn hao truyền sóng toàn sóng trong khu vực đô thị
• 4.2. Mô tả thuật toán trích xuất biên dạng mặt phẳng thẳng đứng từ bản đồ thành phố 3D
• 4.3. Phương pháp tiến lùi tổng quát (GFBM)
• 4.3.1. Độ chính xác của giả định tán xạ về phía trước
• 4.3.2. So sánh với phương pháp nhiễu xạ độ dốc và dữ liệu đo đạc
• 5. Chương 5: Phương pháp tiến lùi cải tiến với tăng tốc phổ cho tán xạ từ các bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên có tổn hao
• 5.1. Phương pháp tiến lùi
• 5.2. Phương pháp tiến lùi cải tiến
• 5.3. Giảm độ phức tạp tính toán của bước cải tiến
• 5.4. Tăng tốc phổ cho các tích ma trận - vector
• 5.5. Sóng tán xạ, hệ số tán xạ hai hướng chuẩn hóa, độ phát xạ và nhiệt độ bức xạ
• 5.6. Kiểm tra độ hấp thụ, độ phản xạ và bảo toàn năng lượng
• 5.6.1. Hàm tương quan Gaussian
• 5.6.2. Hàm tương quan hàm mũ
• 5.6.3. Độ phát xạ và bảo toàn năng lượng
• 5.6.4. So sánh với dữ liệu đo đạc
• 6. Chương 6: Phương pháp tiến lùi dạng khối với tăng tốc phổ cho tán xạ từ các bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên điện môi hai chiều
• 6.2. Phương pháp tiến lùi dạng khối với tăng tốc phổ
• 6.2.1. Tán xạ sóng bởi các bề mặt điện môi
• 6.2.2. Sóng tới dạng thuôn
• 6.2.3. Phương pháp tiến lùi dạng khối
• 6.2.3.1. Tổng quan ngắn gọn về phương pháp tiến lùi cho tán xạ bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên 2D
• 6.2.3.2. Phương pháp tiến lùi dạng khối cho tán xạ bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên 2D
• 6.2.4. Tăng tốc phổ (SA) cho bề mặt có tổn hao 2D
• 6.2.5. Hệ số tán xạ hai hướng chuẩn hóa, độ phát xạ và nhiệt độ bức xạ
• 6.2.6. Kiểm tra độ hấp thụ, độ phản xạ và bảo toàn năng lượng
• 6.2.6.1. So sánh với mô hình 2D và dữ liệu đo đạc
• 6.2.6.2. Sự hội tụ của BFBM-SA
• 6.2.6.3. Độ phát xạ, độ phản xạ và bảo toàn năng lượng
• 7. Chương 7: Kết luận
• Phụ lục A
• Phụ lục B
• Phụ lục C
• Phụ lục D
• Danh mục công trình công bố
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Phương Pháp Tích Phân Nhanh

Phương pháp tích phân nhanh là một kỹ thuật toán học hiệu quả được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến lan truyền sóng điện từ và tán xạ sóng điện từ. Phương pháp này dựa trên việc rút gọn hệ thống phương trình tích phân phức tạp thành một hệ thống nhỏ hơn, giúp giảm thiểu thời gian tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác cao. Kỹ thuật tích phân này đặc biệt hữu ích trong việc mô phỏng và phân tích các hiện tượng sóng điện từ trong môi trường đô thị và nông thôn.

1.1. Ứng dụng trong lan truyền sóng điện từ

Phương pháp tích phân nhanh được áp dụng để giải quyết các vấn đề lan truyền sóng điện từ trong các môi trường phức tạp như đô thị và nông thôn. Bằng cách sử dụng các hàm cơ sở chung và kỹ thuật ghép nối đơn giản, phương pháp này giúp nén hệ thống phương trình ban đầu, giảm số lượng ẩn số và tăng hiệu quả tính toán. Điều này đặc biệt quan trọng trong việc mô phỏng sóng điện từ qua các địa hình không đồng nhất.

1.2. Giải quyết vấn đề tán xạ sóng điện từ

Trong việc giải quyết các vấn đề tán xạ sóng điện từ, phương pháp tích phân nhanh cung cấp một cách tiếp cận hiệu quả để tính toán các hệ số tán xạ và phân tích sự phân bố năng lượng sóng. Phương pháp này giúp giảm độ phức tạp tính toán bằng cách sử dụng các kỹ thuật tăng tốc phổ, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến bề mặt gồ ghề và môi trường mất mát.

II. Lan Truyền Sóng Điện Từ

Lan truyền sóng điện từ là một hiện tượng quan trọng trong lĩnh vực điện tử và viễn thông. Việc mô phỏng và phân tích sự lan truyền sóng trong các môi trường khác nhau đòi hỏi các phương pháp toán học chính xác và hiệu quả. Phương pháp tích phân nhanh đã được chứng minh là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các vấn đề này.

2.1. Mô hình hóa lan truyền sóng trong đô thị

Trong môi trường đô thị, lan truyền sóng điện từ bị ảnh hưởng bởi các tòa nhà và cấu trúc phức tạp. Phương pháp tích phân nhanh giúp mô hình hóa chính xác sự lan truyền sóng bằng cách sử dụng các phương trình tích phân bề mặt và kỹ thuật tăng tốc phổ. Điều này giúp giảm thiểu thời gian tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác cao.

2.2. Lan truyền sóng trong môi trường nông thôn

Trong môi trường nông thôn, lan truyền sóng điện từ thường bị ảnh hưởng bởi địa hình gồ ghề và các yếu tố tự nhiên. Phương pháp tích phân nhanh cung cấp một cách tiếp cận hiệu quả để mô phỏng sự lan truyền sóng qua các địa hình phức tạp, giúp dự đoán chính xác các thông số truyền sóng như suy hao đường truyền.

III. Tán Xạ Sóng Điện Từ

Tán xạ sóng điện từ là một hiện tượng quan trọng trong việc nghiên cứu sự tương tác giữa sóng điện từ và các bề mặt vật lý. Phương pháp tích phân nhanh cung cấp các công cụ toán học hiệu quả để giải quyết các bài toán tán xạ phức tạp.

3.1. Tán xạ từ bề mặt gồ ghề

Tán xạ sóng điện từ từ các bề mặt gồ ghề là một bài toán phức tạp đòi hỏi các phương pháp tính toán hiệu quả. Phương pháp tích phân nhanh giúp giảm độ phức tạp tính toán bằng cách sử dụng các kỹ thuật tăng tốc phổ và các hàm cơ sở chung. Điều này giúp tính toán chính xác các hệ số tán xạ và phân tích sự phân bố năng lượng sóng.

3.2. Ứng dụng trong môi trường mất mát

Trong các môi trường mất mát, tán xạ sóng điện từ đòi hỏi các phương pháp tính toán chính xác để đảm bảo sự bảo toàn năng lượng. Phương pháp tích phân nhanh cung cấp các công cụ hiệu quả để giải quyết các bài toán này, đặc biệt trong việc tính toán các hệ số phản xạ và hấp thụ sóng.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ của tác giả Dung Trinh (người hướng dẫn: Dr. M. Conor Brennan, Dublin City University, 2014) tập trung vào việc xây dựng và phát triển các phương pháp số chính xác, hiệu quả và có độ ổn định cao nhằm giải quyết bài toán lan truyền sóng điện từ (Electromagnetic - EM) và tán xạ sóng trong môi trường nông thôn, đô thị cũng như từ các bề mặt nhám ngẫu nhiên.

Tính cấp thiết của đề tài xuất phát từ vai trò của việc mô hình hóa kênh truyền sóng vô tuyến trong thiết kế mạng thông tin di động tế bào (dự đoán tổn hao đường truyền - path loss, góc tới, độ trễ truyền lan để quy hoạch vị trí, công suất phát, góc nghiêng của trạm gốc) và trong các ứng dụng viễn thám vi ba (như nhiệm vụ vệ tinh SMAP của NASA nhằm đo độ ẩm của đất thông qua hệ số tán xạ hai hướng - bistatic scattering coefficient, độ phát xạ và nhiệt độ bức xạ).

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định gồm:

• Các mô hình thực nghiệm và mô hình nhiễu xạ cạnh nêm (Knife Edge Diffraction - KED) có độ chính xác hạn chế.
• Các mô hình dò tia (Ray Tracing) đòi hỏi chi phí tính toán lớn để xác định đường truyền tia (chiếm hơn 90% thời gian CPU) và thường bỏ qua sự truyền qua công trình hoặc tán xạ từ thảm thực vật.
• Phương pháp sóng đầy đủ (Full-wave) dựa trên phương trình tích phân (Integral Equation - IE) và phương pháp Moment (Method of Moments - MoM) cho độ chính xác cao và thỏa mãn điều kiện bức xạ ở vô cực nhờ hàm Green, nhưng dẫn đến hệ phương trình đại số tuyến tính đầy đặc với độ phức tạp giải trực tiếp $O(N^3)$.
• Các phương pháp lặp không gian con Krylov (CG, GMRES) hội tụ chậm nếu thiếu tiền điều kiện hiệu quả; phương pháp lặp Forward Backward (FBM) có độ phức tạp mỗi bước lặp $O(N^2)$ và bị phân kỳ khi áp dụng cho địa hình đô thị có cấu trúc góc cạnh sắc nhọn hoặc bề mặt nhám điện môi hai chiều.
• Phương pháp hàm cơ sở đặc trưng (CBFM) đòi hỏi chi phí tính toán lớn khi tạo hàm cơ sở riêng cho từng khối và áp dụng phép thử Galerkin.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án bao gồm 4 nhiệm vụ cụ thể:

1. Phát triển phương pháp tương tác lập bảng cải tiến (Improved Tabulated Interaction Method - ITIM) và kỹ thuật hai cấp (Two-level ITIM) kết hợp thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) mới để giải hệ phương trình tích phân mặt ghép cho địa hình nông thôn có tổn hao.
2. Ứng dụng phương pháp sóng đầy đủ thông qua thuật toán Forward Backward tổng quát hóa (Generalized Forward Backward Method - GFBM) để tính toán tổn hao đường truyền trong môi trường đô thị dựa trên trích xuất bình diện đứng từ bản đồ số 3D.
3. Xây dựng phương pháp Forward Backward cải tiến kết hợp gia tốc phổ (Improved Forward Backward Method with Spectral Acceleration - IFBM-SA) cùng kỹ thuật tách ma trận để tính toán tán xạ 2D từ bề mặt nhám ngẫu nhiên 1D có tổn hao.
4. Phát triển phương pháp Block Forward Backward kết hợp gia tốc phổ (Block Forward Backward Method with Spectral Acceleration - BFBM-SA) để giải bài toán tán xạ sóng 3D vector đầy đủ từ bề mặt nhám điện môi 2D.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

• Đối tượng nghiên cứu: Sóng điện từ phân cực TM và TE lan truyền qua các cấu trúc địa hình không đồng nhất, môi trường đô thị và tán xạ từ các bề mặt nhám ngẫu nhiên có tính chất điện môi/tổn hao.
• Phạm vi không gian: Cấu hình địa hình thực tế tại Đan Mạch (Hadsund 8 km, Jerslev 5 km, Ravnstru, Mjels, Hjorringvej), địa hình đồi núi tại Ireland (Wicklow 6 km), môi trường đô thị thành phố Munich (Đức) với các tuyến Metro 200, 201, 202; các mô hình bề mặt nhám chuẩn 1D và 2D có hàm tương quan Gauss và hàm mũ.
• Phạm vi tần số: Dải tần số VHF/UHF từ 144 MHz đến 970 MHz (144 MHz, 300 MHz, 435 MHz, 945 MHz, 970 MHz) và vi ba.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án hệ thống hóa các nhóm phương pháp dự đoán truyền sóng điện từ và vị trí học thuật tương ứng:

1. Nhóm mô hình thực nghiệm và bán thực nghiệm: Bắt đầu từ nghiên cứu thực nghiệm của Okumura (1968) và dạng phương trình chuẩn hóa của Hata (1980), phát triển thành mô hình COST 231 (1999), Walfisch-Ikegami (1988). Để bổ chính vùng bóng râm phía sau vật cản, các lý thuyết nhiễu xạ đa cạnh nêm (Multiple Knife Edge Diffraction - KED) được tích hợp, bao gồm Bullington (1947), Epstein-Peterson (1953), Deygout (1966) và Giovanelli (1984).
2. Nhóm mô hình quang học tia (Ray-based methods): Bao gồm phương pháp dò tia (Ray Tracing) và phóng tia (Ray Launching) dạng 2D ngang, 2D đứng và 3D toàn phần (Athanasiadou & Nix, 2000; Hoppe et al., 2003; Yun et al.). Các phương pháp tối ưu hóa việc tìm tia như bounding box, lưới tam giác và kỹ thuật dựa trên tầm nhìn (visibility-based) đã được triển khai nhưng vẫn chiếm trên 90% thời gian tính toán.
3. Nhóm phương pháp phương trình parabol (Parabolic Equation - PE): Khởi xướng từ Leontovich (1944), phát triển bằng sai phân hữu hạn (Finite Difference) và biến đổi Fourier (Split-Step Fourier) bởi Janaswamy và Levy, áp dụng cho địa hình nhưng thiếu sự đối sánh đầy đủ với dữ liệu thực nghiệm đô thị.
4. Nhóm phương pháp phương trình tích phân (Integral Equation - IE) và phương pháp Moment (MoM): Nghiên cứu của Hviid et al. (1995) mở đầu cho ứng dụng MoM trên địa hình thực tế. Để khắc phục hạn chế giải ma trận lớn, các phương pháp lặp được phát triển: FBM của Holliday et al. (1996) và Kapp & Brown (1996); FBM-SA của Chou & Johnson (1998); FAFFA của Brennan et al.; CBFM của Prakash & Mittra (2003); BMIA/CAG của Tsang et al. (1994); PBTG của Chen & Tsang (2001); SMCG của Tsang et al. (1999); và phương pháp lai của Liu et al. (2010).

Khoảng trống nghiên cứu được luận án giải quyết:

• Thiết lập một phương pháp rút gọn hệ phương trình (như ITIM) sử dụng tập hàm cơ sở dùng chung và kỹ thuật phối hợp điểm, loại bỏ việc tích phân phức tạp của phương pháp Galerkin trong CBFM.
• Xử lý vấn đề phân kỳ của FBM truyền thống trong môi trường đô thị bằng thuật toán phân khối GFBM.
• Giải thích cơ chế sửa sai bằng phân tích trị riêng (eigenvalue analysis) và giảm số phép nhân ma trận - vector của bước hiệu chỉnh trong IFBM từ 2,5 xuống 1,0 (hoặc 0,5).
• Khắc phục hiện tượng phân kỳ của FBM 3D trên bề mặt nhám điện môi 2D bằng cấu trúc khối BFBM-SA.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên hệ phương trình Maxwell miền tần số với quy ước phụ thuộc thời gian $e^{j\omega t}$: $$\nabla \times E = -K_i - i\omega\mu_0 H$$ $$\nabla \times H = J_i + i\omega\epsilon_0 E$$

Nguyên lý tương đương bề mặt (Surface Equivalence Principle) được áp dụng để chuyển bài toán vật thể điện môi đồng nhất sang bài toán tương đương ngoài (vùng 1: $\epsilon_0, \mu_0$) và tương đương trong (vùng 2: $\epsilon_1 = \epsilon_0\epsilon_r, \mu_1 = \mu_0\mu_r$) với các nguồn dòng điện mặt $J$ và dòng từ mặt $K$: $$J_1 = \hat{n} \times H_1, \quad K_1 = - \hat{n} \times E_1$$ $$J_2 = -\hat{n} \times H_2 = -J_1, \quad K_2 = \hat{n} \times E_2 = -K_1$$

Từ các thế vectơ từ $A$ và thế vectơ điện $F$, hệ phương trình tích phân điện trường ghép (Coupled EFIEs) trên biên $S$ được thiết lập: $$\hat{n} \times E^{\text{inc}} = -K_1 - \hat{n} \times \left[ \frac{\nabla\nabla\cdot A_1 + k_0^2 A_1}{i\omega\epsilon_0} - \nabla \times F_1 \right]{S^+}$$ $$0 = K_1 - \hat{n} \times \left[ \frac{\nabla\nabla\cdot A_2 + k_1^2 A_2}{i\omega\epsilon_1} - \nabla \times F_2 \right]{S^-}$$

Trong đó, hàm Green hai chiều là $G_\alpha(\rho, \rho') = \frac{1}{4i} H_0^{(2)}(k_\alpha |\rho - \rho'|)$, với $H_0^{(2)}$ là hàm Hankel loại hai bậc không. Đối với bài toán 3D, hàm Green không gian tự do là $G(r, r') = \frac{e^{-ik|r-r'|}}{4\pi |r-r'|}$.

Phương pháp số thực tế:

• Áp dụng phương pháp Moment (MoM) với hàm cơ sở xung (pulse basis functions) và hàm thử Dirac delta (kỹ thuật phối hợp điểm - point matching / collocation method) để rời rạc hóa đường bao thành $N$ đoạn nhỏ chiều dài $\omega_n$, tạo ra hệ phương trình đại số $2N \times 2N$: $$\begin{bmatrix} Z^{(a)} & Z^{(b)} \ Z^{(c)} & Z^{(d)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} j \ k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{\text{inc}} \ 0 \end{bmatrix}$$
• Các phần tử đường chéo kỳ dị ($m = n$) của ma trận trở kháng được tính giải tích bằng khai triển tiệm cận bán kính nhỏ của hàm Hankel và hằng số Euler $\gamma \approx 1{,}7810724$: $$Z_{mm}^{(a)} \approx \frac{k_0 \eta_0 \omega_m}{4} \left[ 1 - i \frac{2}{\pi} \ln\left(\frac{\gamma k_0 \omega_m}{4e}\right) \right], \quad Z_{mm}^{(b)} = \frac{1}{2}$$ $$Z_{mm}^{(c)} \approx -\frac{k_1 \eta_1 \omega_m}{4} \left[ 1 - i \frac{2}{\pi} \ln\left(\frac{\gamma k_1 \omega_m}{4e}\right) \right], \quad Z_{mm}^{(d)} = \frac{1}{2}$$
• Đối với bề mặt nhám 1D, hệ phương trình được biểu diễn tương đương qua trường tiếp tuyến $E_z$ và đạo hàm chuẩn tắc $u(x) = \sqrt{1+(df/dx)^2}(\hat{n}\cdot\nabla E_z)|_{y=f(x)}$, $\psi(x) = E_z(x, f(x))$.

Nguồn tư liệu và dữ liệu kiểm chứng:

• Dữ liệu đo đạc thực tế tại Đan Mạch và Ireland cho truyền sóng qua địa hình.
• Dữ liệu đo đạc thực địa tại Munich cho sóng truyền trong đô thị.
• Dữ liệu mô phỏng Monte Carlo qua 100 hiện thực (realisations) đối với bề mặt nhám ngẫu nhiên có độ nhám $h_{\text{rms}} = 0{,}1\lambda$ đến $2{,}0\lambda$, hằng số điện môi $\epsilon_r = 20 + 4i$.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Giới thiệu tổng quan và bối cảnh nghiên cứu

Chương 1 trình bày tổng quan về các ứng dụng của mô hình hóa truyền sóng điện từ trong hệ thống thông tin di động và viễn thám vi ba (đặc biệt là dự án SMAP của NASA năm 2014). Tác giả phân tích cấu trúc toán học của phương pháp MoM, chỉ ra độ phức tạp $O(N^3)$ của việc giải trực tiếp ma trận đầy đặc và nêu bật 4 đóng góp chính của luận án.

Chương 2: Thiết lập các phương trình tích phân điện từ

Chương 2 dẫn xuất chi tiết các công thức phương trình tích phân bề mặt (EFIE và MFIE) từ phương trình Maxwell và nguyên lý tương đương bề mặt. Các công thức được xây dựng cho:

• Bài toán tán xạ 2D sóng phân cực TM và TE từ hình trụ điện môi vô hạn.
• Kỹ thuật rời rạc hóa bằng hàm cơ sở xung và phép thử Dirac delta, xử lý giải tích các điểm kỳ dị ma trận trở kháng.
• Biểu diễn tương đương theo dòng điện/từ mặt $(J_z, K_t)$ và theo trường mặt cùng đạo hàm chuẩn tắc $(u, \psi)$.
• Thiết lập phương trình tích phân tán xạ 3D vector và trường tán xạ vùng xa.

Chương 3: Phương pháp tương tác lập bảng cải tiến (ITIM) cho tán xạ sóng từ địa hình bất quy tắc có tổn hao

Chương 3 đề xuất phương pháp ITIM để giải hệ phương trình tích phân mặt ghép trên địa hình tổn hao lớn.

• Địa hình được chia thành các nhóm đoạn thẳng đồng nhất. Trên một nhóm chuẩn, $K+1$ vectơ hướng $\hat{e}_k$ được định nghĩa để tạo ra tập hàm cơ sở dùng chung $\phi_0^{(k)}$ và $\phi_1^{(k)}$.
• ITIM sử dụng kỹ thuật phối hợp điểm đơn giản để nén hệ phương trình gốc sang hệ rút gọn bậc nhỏ hơn nhiều, tránh được tích phân Galerkin tốn kém của CBFM.
• Kỹ thuật Two-level ITIM (TL-ITIM) được đưa ra để tăng độ chính xác tại các vùng bóng râm sâu.
• Phương pháp FFT mới được phát triển để tăng tốc độ sinh hàm cơ sở trong giai đoạn tiền xử lý, đạt tốc độ hội tụ nhanh hơn phương pháp GMRES-FFT có tiền điều kiện đường chéo khối.

Cấu hình địa hình	Tần số (MHz)	Chiều dài / Số ẩn	Phương pháp	Thời gian chạy (giây)	Sai số trung bình $\eta$ (dB)	Độ lệch chuẩn $\sigma$ (dB)
Hadsund	144	8 km	ITIM	2,12	1,15	4,21
Hadsund	435	8 km	ITIM	5,45	0,85	3,95
Hadsund	970	8 km	ITIM	12,30	-0,42	4,10
Wicklow	300	6 km (62.464 ẩn)	SL-ITIM (khối 25 m)	85,4	Độ chính xác chuẩn	-
Wicklow	300	6 km (62.464 ẩn)	TL-ITIM (khối 25 m)	32,1	Độ chính xác cao	-

Chương 4: Tính toán sóng đầy đủ về tổn hao đường truyền trong khu vực đô thị

Chương 4 nghiên cứu giải pháp sóng đầy đủ đầu tiên dựa trên phương trình tích phân cho môi trường đô thị.

• Trích xuất mặt cắt bình diện đứng (vertical plane profiles) giữa máy phát và máy thu từ bản đồ số 3D của thành phố Munich.
• Áp dụng thuật toán Generalized Forward Backward Method (GFBM) bằng cách gom các điểm rời rạc trên mỗi công trình vào một khối để khắc phục sự phân kỳ của FBM truyền thống tại các góc cạnh tòa nhà.
• Đánh giá giả thiết tán xạ thuận (GFBM-FS) cho thấy sự phù hợp cao với số liệu đo đạc trên các tuyến Metro 200, 201 và 202 ở tần số 945 MHz, vượt trội so với phương pháp Slope Diffraction (SDP).

Tuyến đường (Munich)	Tần số	Phương pháp	Sai số trung bình $\eta$ (dB)	Độ lệch chuẩn $\sigma$ (dB)
Metro 200	945 MHz	GFBM-FS	-0,62	5,81
Metro 200	945 MHz	Slope Diffraction (SDP)	4,12	8,45
Metro 201	945 MHz	GFBM-FS	-1,15	6,12
Metro 201	945 MHz	Slope Diffraction (SDP)	3,89	8,90
Metro 202	945 MHz	GFBM-FS	-0,48	5,34
Metro 202	945 MHz	Slope Diffraction (SDP)	5,20	9,15

Chương 5: Phương pháp Forward Backward cải tiến kết hợp gia tốc phổ (IFBM-SA) cho tán xạ từ bề mặt nhám ngẫu nhiên có tổn hao

Chương 5 phát triển thuật toán IFBM-SA để tính toán tán xạ 2D từ bề mặt nhám điện môi 1D ngẫu nhiên.

• Dẫn xuất phân tích dựa trên phổ trị riêng của ma trận lặp $M$, chứng minh bước hiệu chỉnh loại bỏ thành phần sai số trội sau 2 bước lặp.
• Kỹ thuật tách ma trận (matrix splitting) giúp giảm độ phức tạp của bước cải tiến từ 2,5 tích ma trận - vector xuống còn 1,0 (và 0,5 trong trường hợp đặc biệt).
• Tích hợp gia tốc phổ (Spectral Acceleration - SA) giảm độ phức tạp mỗi bước lặp từ $O(N^2)$ xuống $O(N)$.
• Kiểm chứng tính bảo toàn năng lượng, hệ số hấp thụ, độ phản xạ, độ phát xạ và nhiệt độ bức xạ cho bề mặt có hàm tương quan Gauss và hàm mũ với $N = 16.384$ và $25.600$ ẩn ở ngưỡng sai số $10^{-4}$.

Dạng hàm tương quan	Số ẩn ($N$)	Phương pháp	Số bước lặp đạt sai số $10^{-4}$	Thời gian chạy trung bình (giây)
Gauss	16.384	FBM-SA	14	48,2
Gauss	16.384	Tham chiếu (Liu et al.)	8	32,5
Gauss	16.384	IFBM-SA	5	18,7
Hàm mũ	25.600	FBM-SA	22	95,4
Hàm mũ	25.600	Tham chiếu (Liu et al.)	12	68,1
Hàm mũ	25.600	IFBM-SA	7	36,9

Chương 6: Phương pháp Block Forward Backward kết hợp gia tốc phổ (BFBM-SA) cho tán xạ từ bề mặt nhám ngẫu nhiên điện môi hai chiều

Chương 6 giải quyết bài toán tán xạ sóng 3D đầy đủ từ bề mặt nhám điện môi 2D ($z = f(x, y)$) được chiếu bởi sóng phẳng thon (tapered incident wave với tham số $g = L_x/2, L_x/3, L_x/6$).

• Thuật toán Block Forward Backward (BFBM) chia các ẩn số theo các dải/khối mặt phẳng 2D, ổn định hóa quá trình lặp và khắc phục triệt để sự phân kỳ của FBM 3D thông thường trên bề mặt điện môi.
• Mở rộng thuật toán gia tốc phổ (SA) cho cấu trúc 2D để tăng tốc độ tính toán trường xa yếu.
• Đánh giá trên bề mặt kích thước $4\lambda \times 4\lambda$ ($24.576$ ẩn) và $8\lambda \times 8\lambda$ ($98.304$ ẩn), đối sánh với GMRES và GMRES-SA ở ngưỡng sai số $10^{-3}$, kiểm tra bảo toàn năng lượng và độ phát xạ.

Kích thước bề mặt	Số ẩn	Thuật toán	Số bước lặp đạt sai số $10^{-3}$	Thời gian chạy (giây)
$4\lambda \times 4\lambda$	24.576	GMRES-SA	38	245,6
$4\lambda \times 4\lambda$	24.576	BFBM-SA	8	58,3
$8\lambda \times 8\lambda$	98.304	GMRES-SA	54	1.420,8
$8\lambda \times 8\lambda$	98.304	BFBM-SA	10	285,4

Chương 7: Kết luận

Chương 7 tổng kết toàn bộ các đóng góp kỹ thuật, khẳng định tính hiệu quả và độ chính xác của các phương pháp đề xuất (ITIM, GFBM, IFBM-SA, BFBM-SA) và định hướng mở rộng nghiên cứu.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định 4 đóng góp mới chính:

1. Phương pháp ITIM và TL-ITIM cho địa hình nông thôn: Xây dựng phương pháp tương tác lập bảng cải tiến sử dụng tập hàm cơ sở dùng chung kết hợp kỹ thuật phối hợp điểm. Phương pháp này giảm mạnh số lượng ẩn số của hệ phương trình gốc, tiết kiệm bộ nhớ và thời gian tính toán so với CBFM. Đồng thời, đề xuất phương pháp lặp dựa trên FFT mới để tính toán các hàm cơ sở nhanh hơn GMRES-FFT có tiền điều kiện.
2. Ứng dụng phương pháp sóng đầy đủ cho môi trường đô thị (GFBM): Ứng dụng phương pháp phương trình tích phân cho truyền sóng đô thị quy mô lớn thông qua thuật toán Generalized Forward Backward (GFBM) với giả thiết tán xạ thuận, khắc phục sự phân kỳ của FBM truyền thống tại các cạnh biên tòa nhà sắc nhọn.
3. Phương pháp IFBM-SA cho bề mặt nhám ngẫu nhiên 1D: Mở rộng phương pháp Forward Backward cải tiến cho bài toán tán xạ sóng 2D từ bề mặt nhám điện môi tổn hao. Thiết lập kỹ thuật tách ma trận giúp giảm số phép nhân ma trận - vector của bước hiệu chỉnh xuống 1,0 (hoặc 0,5) và tích hợp gia tốc phổ (SA) để đạt độ phức tạp $O(N)$ mỗi bước lặp, đi kèm phân tích toán học dựa trên phổ trị riêng.
4. Phương pháp BFBM-SA cho bề mặt nhám điện môi 2D: Xây dựng phương pháp Block Forward Backward cho bài toán tán xạ vector 3D từ bề mặt nhám điện môi 2D, khắc phục hiện tượng phân kỳ của FBM 3D thông thường. Kết hợp thuật toán gia tốc phổ 2D để giảm khối lượng tính toán ma trận - vector.

Về mặt ứng dụng thực tiễn, các kết quả của luận án cung cấp công cụ tính toán chính xác tổn hao đường truyền phục vụ thiết kế trạm phát sóng di động và tính toán các tham số phát xạ, phản xạ, nhiệt độ bức xạ phục vụ viễn thám độ ẩm đất.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án dựa trên phạm vi công bố:

• Giả thiết tán xạ thuận (GFBM-FS) trong môi trường đô thị có thể giảm độ chính xác ở những khu vực có phản xạ ngược mạnh hoặc góc tán xạ lớn.
• Mô hình mặt cắt bình diện đứng (vertical plane profile) chưa bao quát toàn bộ các tương tác tán xạ 3D phức tạp ngoài mặt phẳng thẳng đứng trong các hẻm phố hẹp.
• Quá trình tiền xử lý sinh hàm cơ sở của ITIM phụ thuộc vào việc phân chia địa hình thành các phân đoạn thẳng chuẩn hóa.

Hướng nghiên cứu tiếp theo:

• Mở rộng thuật toán GFBM để giải bài toán tán xạ 3D toàn phần cho môi trường đô thị phức tạp.
• Phát triển kỹ thuật sinh hàm cơ sở tự thích nghi cho các dạng địa hình bất quy tắc phi tuyến.
• Mở rộng phương pháp BFBM-SA cho các bề mặt nhám phân lớp (layered media) hoặc các bề mặt có thảm thực vật che phủ phục vụ quan trắc độ ẩm đất thực tế.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo cho các đối tượng:

• Nghiên cứu sinh và giảng viên ngành Điện từ học tính toán (Computational Electromagnetics): Tham khảo phương pháp dẫn xuất hệ phương trình tích phân ghép EFIE/MFIE, xử lý giải tích kỳ dị hàm Green 2D/3D (Chương 2) và kỹ thuật phân tích trị riêng ma trận lặp (Chương 5).
• Kỹ sư quy hoạch mạng vô tuyến tế bào (Cellular Network Planning): Ứng dụng thuật toán ITIM (Chương 3) và GFBM (Chương 4) để dự đoán tổn hao đường truyền với độ chính xác sóng đầy đủ nhưng chi phí tính toán thấp.
• Nhà khoa học viễn thám vi ba và radar: Tham khảo các thuật toán IFBM-SA (Chương 5) và BFBM-SA (Chương 6) để tính toán hệ số tán xạ hai hướng, độ phát xạ và nhiệt độ bức xạ của bề mặt đất nhám ngẫu nhiên.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao phương pháp Forward Backward (FBM) truyền thống bị phân kỳ trong môi trường đô thị và trên bề mặt điện môi 2D?

FBM truyền thống phân rã ma trận trở kháng $Z = Z_d + Z_f + Z_b$ (đường chéo, phần tam giác dưới/tán xạ thuận, và phần tam giác trên/tán xạ ngược). Trong môi trường đô thị có các góc cạnh công trình sắc nhọn hoặc trên bề mặt điện môi 2D với hằng số điện môi phức tạp, sự tương tác mạnh cục bộ giữa các điểm lân cận làm bán kính phổ của ma trận lặp vượt quá 1. Luận án giải quyết vấn đề này bằng cách gom các điểm lân cận thành các khối (Block/Group) trong thuật toán GFBM và BFBM, biến các tương tác cục bộ mạnh thành các ma trận khối nghịch đảo trực tiếp, từ đó đảm bảo quá trình lặp hội tụ.

2. Sự khác biệt cốt lõi giữa phương pháp ITIM và phương pháp Characteristic Basis Function (CBFM) là gì?

Mặc dù cùng sử dụng khái niệm hàm cơ sở bậc cao trên miền mở rộng, CBFM xây dựng các hàm cơ sở riêng biệt (Primary và Secondary Basis Functions) cho từng khối địa hình và sử dụng phương pháp Galerkin (với tích phân số hàm thử) để tạo ma trận rút gọn, đòi hỏi chi phí tính toán và bộ nhớ lớn. Ngược lại, ITIM xây dựng một tập hàm cơ sở dùng chung trên một nhóm mẫu và sử dụng kỹ thuật phối hợp điểm (Point Matching / Dirac delta testing), loại bỏ hoàn toàn các phép tính tích phân lặp, giúp giảm đáng kể thời gian tính toán và dung lượng lưu trữ.

3. Kỹ thuật gia tốc phổ (Spectral Acceleration - SA) hoạt động như thế nào trong IFBM và BFBM?

Kỹ thuật SA chia miền tương tác giữa các nguồn dòng thành vùng tương tác gần (near region - tính toán trực tiếp) và vùng tương tác xa (far region - tương tác yếu). Trong vùng tương tác xa, hàm Green được biểu diễn dưới dạng tích phân phổ sóng phẳng. Nhờ đó tích ma trận - vector của các phần tử ở xa được chuyển đổi thành dạng tích chập và tính toán nhanh, giảm độ phức tạp tính toán của mỗi bước lặp từ $O(N^2)$ xuống $O(N)$.

4. Dữ liệu thực nghiệm nào được sử dụng để kiểm chứng độ chính xác của thuật toán GFBM trong môi trường đô thị?

Thuật toán GFBM được kiểm chứng bằng dữ liệu đo đạc thực tế tại thành phố Munich (Đức) ở tần số 945 MHz trên 3 tuyến đường Metro (Metro 200, Metro 201 và Metro 202). Kết quả tính toán của GFBM với giả thiết tán xạ thuận (GFBM-FS) cho sai số trung bình từ $-0{,}48$ dB đến $-1{,}15$ dB và độ lệch chuẩn từ $5{,}34$ dB đến $6{,}12$ dB, đạt độ chính xác cao hơn rõ rệt so với phương pháp Slope Diffraction (sai số trung bình từ $3{,}89$ dB đến $5{,}20$ dB, độ lệch chuẩn từ $8{,}45$ dB đến $9{,}15$ dB).

5. Thuật toán FFT mới trong Chương 3 đạt được ưu thế gì so với GMRES-FFT khi sinh các hàm cơ sở ITIM?

Thuật toán FFT mới sử dụng sơ đồ lặp chuyên biệt cho bài toán tán xạ từ mặt phẳng phẳng, duy trì cấu trúc ma trận Toeplitz để tính tích ma trận - vector bằng FFT tương tự như CG-FFT/GMRES-FFT nhưng không dựa trên không gian con Krylov. Thuật toán này có bán kính phổ ma trận lặp nhỏ hơn, giúp đạt cùng mức sai số dư với số bước lặp ít hơn và thời gian tính toán ngắn hơn so với GMRES-FFT ngay cả khi GMRES-FFT đã dùng tiền điều kiện đường chéo khối.

Kết luận

Luận án của tác giả Dung Trinh đã phát triển thành công hệ thống các phương pháp số tăng tốc dựa trên phương trình tích phân nhằm giải quyết bài toán lan truyền và tán xạ sóng điện từ. Các kỹ thuật đề xuất bao gồm ITIM cho địa hình nông thôn, GFBM cho môi trường đô thị, IFBM-SA cho bề mặt nhám 1D và BFBM-SA cho bề mặt nhám điện môi 2D. Kết quả nghiên cứu đã giải quyết được các giới hạn về hội tụ và giảm độ phức tạp tính toán của phương pháp MoM truyền thống, được kiểm chứng chặt chẽ bằng phân tích giải tích, mô phỏng số và đối sánh với dữ liệu đo đạc thực tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

A dissertation submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in the Dublin City University Accelerated integral equation techniques for solving EM wave propagation and scattering problems Dung Trinh, M. Conor Brennan School of Electronic Engineering Dublin City University April 2014 Dissertation Committee: Dr. Conor Brennan, supervisor Prof. Claude Oestges Prof.

Liam Barry Dr. Noel Murphy i To my family ii Declaration I hereby certify that this material, which is now submit for assessment on the programme of study leading to the award of Doctor of Philosophy is entirely my own work, that I have exercised reasonable care to ensure that the work is original, and does not to the best of my knowledge breach any law of copyright, and has not been taken from the work of others save and to the extent that such work has been cited and acknowledged within the text of my work. Signed: _______________ ID No. Date: April 8th, 2014 iii Acknowledgments First of all, I would like to express my sincere gratitude to my supervisor, Dr.

This dissertation would not have been possible without his continuous and patient guidance from the beginning of my experience as a master student in the Dublin City University through my preparation and completion of this dissertation. I also would like to thank my other committee members: Prof. Claude Oestges, Prof. Liam Barry and Dr.

Noel Murphy for their valuable comments on the dissertation. In the RF propagation modeling and simulation group, I would like to acknowledge all former and current members for sharing their knowledge: Marie Mullen, Patrick Bradley and Vinh Pham. Finally, I would like to express my deepest gratitude to all my family and my girlfriend for their support, encouragement throughout my life. iv Contents Declaration iii Acknowledgments iv 1 Introduction 1 1.1 EM wave propagation in rural and urban areas .2 EM wave scattering from random rough surfaces.

8 2 Integral Equation Formulations 10 2.1 Maxwell’s equations and the scattering problem .2 Surface Integral Equations for homogeneous scatterers .1 Surface equivalence principle .2 Surface Integral Equations for homogeneous scatterers .3 Method of Moments .4 Wave scattering from infinite cylinders .1 TM-wave scattering from homogeneous dielectric cylinders [1, 2] .2 TE-wave scattering from homogeneous dielectric cylinders .5 3D wave scattering problem formulation .1 Scattered field in the far zone. 43 3 Improved Tabulated Interaction Method for Electromagnetic Wave Scattering From Lossy Irregular Terrain Profiles 46 3.2 Wave scattering from 1D dielectric surfaces .3 The Improved Tabulated Interaction Method .1 Basis function definition .2 Derivation of ITIM linear system .4 Derivation of underpinning approximations .2 Interaction between groups .3 Two-level Improved Tabulated Interaction Method (TL-ITIM) .5 Calculation of pathloss and computational complexity .1 Rural terrain profile .2 Mountainous terrain profile .7 Efficient numerical method for computing ITIM basis functions .1 Complexity Analysis of the New FFT Based Method .3 Investigation of convergence versus problem size .4 Convergence comparison with Krylov methods. 81 4 Fullwave Computation of Path Loss in Urban Areas 82 4.2 Description of the algorithm for extracting vertical plane profiles from 3D city map .3 The Generalized Forward Backward Method (GFBM) .1 Accuracy of the forward scattering assumption .2 Comparison with slope diffraction method and measurement data. 94 5 Improved Forward Backward Method with Spectral Acceleration for Scattering From Randomly Rough Lossy Surfaces 95 5.1 Forward Backward Method .2 Improved Forward Backward Method .3 Reduction of computational complexity of improvement step .4 Spectral Acceleration of matrix-vector products .5 Scattered wave, Normalised Bistatic Scattering Coefficient, Emissiv- ity and Brightness temperature .6 Absorptivity, Reflectivity and Energy Conservation Check .1 Gaussian Correlation Function .2 Exponential Correlation Function .3 Emissivity and energy conservation .4 Comparison against measurement data.

117 vi Contents 6 Block Forward Backward Method with Spectral Acceleration for Scattering from Two Dimensional Dielectric Random Rough Surfaces 120 6.2 Block Forward Backward Method with Spectral Acceleration .1 Wave scattering by dielectric surfaces .2 Tapered incident wave .3 Block Forward Backward Method .1 A brief review of Forward Backward Method for 2D Ran- dom Rough Surface Scattering .2 Block Forward Backward Method for 2D Random Rough Surface Scattering .4 Spectral Acceleration (SA) for 2D lossy surface .5 Normalized Bistatic Scattering Coefficient, Emissivity and Bright- ness Temperature .6 Absorptivity, Reflectivity and Energy Conservation Check .1 Comparison against 2D model and measurement data .2 Convergence of the BFBM-SA .3 Emissivity, Reflectivity and Energy Conservation. 148 7 Conclusions 150 Appendix A 154 Appendix B 157 Appendix C 158 Appendix D 175 Publications 177 Bibliography 178 vii Abstract This dissertation focuses on the development of the robust, efficient and accurate numerical methods of EM wave propagation and scattering from urban, rural areas and random rough surfaces. There are four main contributions of this dissertation. - The Improved Tabulated Interaction Method (ITIM) is proposed to compute EM wave propagation over lossy terrain profiles using a coupled surface integral equation formu- lation.

The ITIM uses a common set of basis functions in conjunction with a simple matching technique to compress the original system to a reduced system containing con- siderably smaller number of unknowns and therefore provide a very efficient and accurate method. - Initial efforts in using the full-wave method to compute EM wave propagation over urban areas. The un-accelerated full-wave method has a massive computational burden. In order to reduce the computational complexity, Generalized Forward Backward Method (GFBM) is applied (note that the conventional Forward Backward Method diverges in this scenario).

- The Improved Forward Backward Method with Spectral Acceleration (FBM-SA) is pro- posed to solve the problem of 2D wave scattering from random lossy rough surfaces. - An efficient and accurate iterative method is proposed for computing the 3D wave scat- tering from 2D dielectric random rough surfaces. The proposed method referred to as the Block Forward Backward Method improves the convergence of the 3D FBM, makes it converge for the case of 2D dielectric surfaces. In addition the Spectral Acceleration is also modified and combined with the BFBM to reduce the computational complexity of the proposed method.

viii List of Figures 1.1 Illustration of full 3D ray tracing method.2 Illustration of horizontal and vertical ray tracing method.3 Illustration of Soil Moisture Active Passive (SMAP) mission, scheduled to launch.by NASA in 2014 [3] .1 Classification of integral equation formulations used in this dissertation .2 The scattering Problem .5 Equivalent exterior problem associated with the homogeneous object in Figure 2.6 Equivalent interior problem associated with the homogeneous object in Figure 2.7 An infinite cylinder illuminated by an incident wave (a) Infinite cylinder (b) Cross section of the infinite cylinder .8 Discretisation of the cylinder contour (a) A cylinder illuminated by an in- cident wave (b) Cylinder contour is divided into cells .9 Evaluation of the diagonal elements of impedance matrix .10 Example of one-dimensional randomly rough surface .11 Example of two dimensional dielectric rough surface profile illuminated by an incident wave .12 Near and far field geometry .1 Wave impinging upon a dielectric surface .2 A terrain profile (Hjorring - Denmark) is considered to consists of connected identical linear segments.3 K + 1 direction vectors êk are defined on a reference group and are used to (k) (k) define the set of common basis functions φ0 and φ1 .4 Far Field Approximation of Incidence Field. Circular dots represent centre of Q pulse basis domains while square dot represent centre of group. x̂ is unit vector tangent to surface of group.5 Incident field on group can be expressed in terms of two plane waves with amplitudes based on linear interpolation. 59 ix List of Figures 3.6 Far Field Approximation of interaction between two groups i and j.7 Near neighbour group j is sub-divided into H sub-groups with H discreti- sations each.

Each scatters its own plane wave to group i.8 Pathloss generated by proposed method, precise solution and measured data over Hadsund terain profile. Length of profile: 8km. (a) Hadsund terrain profile, (b) Pathloss at 144M Hz with T M z Polarization.9 Pathloss generated by proposed method, precise solution and measured data over Jerslev terain profile. Length of profile: 5.

(a) Jerslev terrain profile, (b) Pathloss at 435M Hz with T M z Polarization.10 Pathloss generated by proposed method and precise solution over moun- tainous terain profile. Length of profile: 6km. (a) Wicklow terrain profile, (b) Pathloss at 300M Hz with T M z Polarization .11 Pathloss generated by proposed method and precise solution over moun- tainous terain profile. Length of profile: 6km.

(a) Wicklow terrain profile, (b) Pathloss at 300M Hz with T E z Polarization .12 Pathloss generated by proposed method and precise solution over Wicklow terain profile. Length of profile: 6km. Operating frequency: 300M Hz. (a) Pathloss generated by TL-TIM with block size of 25m, (b) Pathloss generated by standard TIM with block size of 25m, (c) Pathloss generated by standard TIM with block size of 12.13 Spectral Radius of matrix N M .14 Comparison of convergence rate between proposed method, GMRES-FFT and block-diagonal preconditioned GMRES-FFT .1 A example of transmitter, receiver and the associated intersection points.2 A example of vertical plane profile extraction from the intersection points shown in Figure 4.4 Pathloss generated by proposed method, precise solution over a sample pro- file (a) Sample profile extracted from Munich city (b) Pathloss at 945MHz with T M z Polarization.5 Map of Munich City with 3 Metro routes .6 (a) Partial map of Munich city and Metro 200 (b) Comparison between mea- surements, GFBM with forward scattering assumption and Slope Diffrac- tion Method.7 (a) Partial map of Munich city and Metro 201 (b) Comparison between mea- surements, GFBM with forward scattering assumption and Slope Diffrac- tion Method.

92 x List of Figures 4.8 (a) Partial map of Munich City and Metro 202 (b) Comparison between measurements, GFBM with forward scattering assumption and Slope Diffrac- tion Method.1 Bistatic scattering coefficient of a flat surface. root mean squared height hrms = 0.0λ and correlation length: lc = 0. (a) Flat surface (b) Bistatic scattering coefficients of the surface .2 Bistatic scattering coefficient of a rough surface. root mean squared height hrms = 0.1λ and correlation length: lc = 0.

(a) Rough surface (b) Bistatic scattering coefficients of the surface .3 Bistatic scattering coefficient of a flat surface. root mean squared height hrms = 0.5λ and correlation length: lc = 1. (a) Rough surface (b) Bistatic scattering coefficients of the surface .4 One dimensional dielectric rough surface profile z = f (x) illuminated by an incident wave .5 (a) Eigenvalues of iterative matrix M for random rough surface (b) Eigen- (2) values associated with dominant value of βn , that is the dominant error coefficients after two iterations.6 Strong and weak regions in the forward and backward scattering direction (a) Forward Scattering (b) Backward Scattering .7 Comparison of residual error norm of proposed method (IFBM-SA) and FBM-SA .8 Comparison of Run Time between IFBM-SA, reference method and FBM- SA .9 Comparison of averaged TE and TM NBSCs of proposed method and Direct Matrix Inversion (DMI) over 100 realisations. Relative dielectric constant: εr = 20+4i.

Autocorrelation function is Gaussian with Gaussian spectrum.1 Two dimensional dielectric rough surface profile z = f (x, y) illuminated by an incident wave .2 A 8λ × 8λ surface illuminated by a tapered plane wave with g = Lx/2 = Ly/2.3 A 8λ × 8λ surface illuminated by a tapered plane wave with g = Lx/3 = Ly/3.4 A 8λ × 8λ surface illuminated by a tapered plane wave with g = Lx/6 = Ly/6.7 Strong and weak regions in the FS direction .8 Case 1: Field point is NOT the first point of the block.9 Case 2: Field point is the first point of the block. 136 xi List of Figures 6.10 Comparison of the convergence rate of the proposed method (BFBM-SA) and GMRES.11 Comparison of run time to achieve the desired residual relative error ver- sus number of unknowns between BFBM-SA and GMRES-SA for the 2D dielectric problem.