Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN nh của chương này làtìm hiểu vàtrình bày các phương pháp Mục tiêu chí nh toán áp dụng cho phương trình Schrödinger phi tuyến vàxét tí tí nh chất ổn định của các trạng thái. Đồng thời chúng tôi tìm hiểu các khái niệm cơ bản liên quan đến sự phá vỡ đối xứng sẽ áp dụng để nghiên cứu trong Chương 2 và Chương 3. Phương trình đạo hàm riêng môtả một số hệ vật lý Hầu hết các hiện tượng vật lý trong thực tế được mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng. Phương trình cóchứa các đạo hàm riêng của hàm hai hoặc nhiều biến được gọi là phương trình đạo hàm riêng.
Tùy theo cách phân chia mà phương trình đạo hàm riêng được chia làm các loại khác nhau. Nếu phân chia theo mức độ phi tuyến chúng ta có phương trình đạo hàm riêng tuyến tí nh và phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phương trình được viết ở dạng chung như sau [32]: 𝐿𝑢(𝑥⃗) = 𝑓(𝑥⃗), (1.1) ở đây 𝐿 làmột toán tử tuyến tính, nghĩa làthõa mãn tính chất sau: 𝐿(𝑎𝑢 ⃗⃗ + 𝑏𝑣⃗) = 𝑎𝐿𝑢 ⃗⃗ + 𝑏𝐿𝑣⃗, (1.2) 𝑎, 𝑏 làcác hằng số, 𝑢 ⃗⃗ và𝑣⃗ làcác hàm riêng. Ngược lại, phương trình đạo hàm riêng phi tuyến là phương trình không tuyến tính nghĩa là 𝐿 không thõa mãn tính chất trên.
Nếu phân chia theo sự phụ thuộc vào thời gian, chúng ta có phương trình biến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọi là phương trình dừng. Trong tình huống này người ta thường kíhiệu biến thời gian là𝑡, các biến còn lại làbiến không gian. 7 luan an Trong nghiên cứu vật lý, bước đầu tiên chúng ta thường thực hiện đó là toán học hóa các hiện tượng vật lý. Dưới đây làmột số phương trình đạo hàm riêng môtả các hệ vật lýmà chúng ta thường gặp đó là: Phương trình Poisson: ∆𝑢 = 𝑓.
Phương trình này thường xuất hiện khi nghiên cứu thế tĩnh điện, từ trường tĩnh, thủy động lực học, thế hấp dẫn, truyền nhiệt dừng. Đặc biệt, khi 𝑓 = 0 thì phương trình Poisson trở thành phương trình Laplace; 1 𝜕2 𝑢 Phương trinh D’ Alember: ∆𝑢 = , mô tả quá trì nh lan truyền sóng 𝑎2 𝜕𝑡 2 như: sóng đi điện từ, các sóng đàn hồi; Các phương trình Maxwell mô tả các hiện tượng điện từ; 1 𝜕2 𝜓 Phương trình Klein-Gordon: ∆𝜓 − 2 − 𝑘02 𝜓 = 0, mô tả chuyển động 𝑐 𝜕𝑡 2 của vi hạt trong trường hợp tương đối tính. Phương trình lan truyền nhiệt, phương trình Korteweg de Vries (KDV) 𝑢𝑡 + 6𝑢𝑢𝑥 + 𝑢𝑥𝑥𝑥 = 0, miêu tả sóng nước ở vùng nước nông. Phương trình Sine-Gordon 𝑢𝑡𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑢 được ứng dụng trong hì nh học vi phân, trong vật lý (miêu tả trong nhiều bối cảnh lan truyền sóng trên một đường thẳng, không địa phương trong tinh thể, từ trường hóa,…), Trong vật lý siêu dẫn, Ginzburg-Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượng luận về chuyển pha siêu dẫn (1951).
Giả thuyết của Ginzburg-Landau là trạng thái siêu dẫn trật tự hơn trạng thái thường như vậy từ lý thuyết chuyển pha có thể diễn tả được bằng một thông số trật tự (𝜓), phương trì nh này códạng: ℏ2 2 − ⃗⃗ − 𝑖 𝐴⃗] 𝜓(𝑟⃗) + 𝛼𝜓(𝑟⃗) + 𝛽|𝜓(𝑟⃗)|2 𝜓(𝑟⃗) = 0, (1.3) [∇ 2𝑚 𝑐 đây làlần đầu tiên phương trình Schrödinger phi tuyến xuất hiện, đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu vật lý hiện đại sau này. Phương trình Schrödinger phi tuyến và các phương trình dạng của nó (chứa số hạng |𝜓|2 𝜓) được sử dụng để mô tả nhiều hiện tượng vật lýtrong nhiều lĩnh vực khác nhau 8 luan an như trong cơ học lượng tử, trong quang học, trong vật chất ngưng tụ,….có dạng như sau: 𝑖𝜓𝑡 = −Δ𝜓 + 𝑎|𝜓|2 𝜓.4) Một số hệ quang học phi tuyến được mô tả bởi dạng phương trình Schrödinger phi tuyến (1.4) sẽ là đối tượng mà chúng tôi quan tâm trong đề tài này, điển hì nh làphi tuyến kiểu Kerr. Phi tuyến kiểu Kerr và phương trình Schrödinger phi tuyến môtả một số hệ quang học 1. Hiệu ứng phi tuyến Kerr Phi tuyến kiểu Kerr là hiện tượng phi tuyến liên quan đến phân cực phi tuyến bậc ba của cường độ điện trường [33].
Dưới tác dụng của trường ánh sáng mạnh, chiết suất hiệu dụng của môi trường phụ thuộc vào cường độ trường ánh sáng theo hệ thức[33]: 𝑛 = 𝑛0 + 𝑛̅2 〈𝐸̃ (𝑡)2 〉, (1.5) trong đó, 𝑛0 làchiết suất tuyến tính, 𝑛̅2 làhệ số môtả tốc độ tăng chiết suất hiệu dụng với sự tăng của cường độ ánh sáng. Cường độ trường ánh sáng códạng: 𝐸̃ (𝑡) = 𝐸(𝜔)𝑒 −𝑖𝜔𝑡 + 𝑙ℎ𝑝, (1.6) trong đó kí hiệu 𝑙ℎ𝑝 nghĩa là liên hợp phức của số hạng đầu.8) Sự thay đổi chiết suất hiệu dụng mô tả bởi phương trình (1.8) được gọi làhiệu ứng phi tuyến Kerr, trong đó chiết suất của môi trường thay đổi một lượng tỷ lệ với bình phương mô đun của cường độ trường ánh sáng. Như vậy, nếu sự thay đối chiết suất hiệu dụng được gây ra bởi chính ánh sáng đó thì hiệu ứng được gọi làtự điều biến pha, còn sự thay đổi chiết suất hiệu dụng được gây bởi chùm 9 luan an ánh sáng khác thìhiệu ứng được gọi là điều biến pha chéo như được môtả trên Hình 1. Hai cách làm thay đổi chiết suất hiệu dụng của môi trường: (a) tự điều biến pha và (b) điều biến pha chéo [33].
Thành phần phân cực phi tuyến ảnh hưởng đến sự lan truyền của chùm ánh sáng tần số 𝜔 códạng: 𝑃𝑁𝐿 (𝜔) = 3𝜀0 𝜒 (3) (𝜔)|𝐸(𝜔)|2 𝐸(𝜔), (1.85 × 10−12 𝐹/𝑚 là độ điện thẩm của chân không. Độ lớn véctơ phân cực toàn phần của môi trường đối xứng tâm được cho bởi: 𝑃(𝜔) = 𝜀0 𝜒 (1) (𝜔)𝐸(𝜔) + 3𝜀0 𝜒 (3) (𝜔)|𝐸(𝜔)|2 𝐸(𝜔) = 𝜀0 𝜒ℎ𝑑 𝐸(𝜔), (1.10) trong đó, độ cảm hiệu dụng là[33]: 𝜒ℎ𝑑 = 𝜒 (1) + 3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 .11) Để tìm hệ thức giữa độ cảm phi tuyến 𝜒 (3) vàhệ số phi tuyến 𝑛2 , chúng ta viết [33]: 𝑛2 = 1 + 𝜒ℎ𝑑 .12) Thay phương trình (1.8) vào vế trái và phương trình (1.11) vào vế phải của phương trình (1.12), chúng ta được: [𝑛0 + 2𝑛̅2 |𝐸(𝜔)|2 ]2 = 1 + 𝜒 (1) + 3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 .13) Sau khi khai triển vàbỏ qua số hạng bậc cao 𝑛̅22 , chúng ta thu được: 𝑛02 = 4𝑛0 𝑛̅2 |𝐸(𝜔)|2 = (1 + 𝜒 (1) ) + 3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 .14) Từ đây, các hệ thức liên hệ giữa chiết suất tuyến tí nh vàphi tuyến với độ cảm tuyến tính vàphi tuyến, tương ứng được cho bởi: 10 luan an 𝑛0 = √1 + 𝑅𝑒(𝜒 (1) ) , 3𝑅𝑒(𝜒(3) ) 𝑛̅2 = .15) 4𝑛0 Kết quả trên đây thu được đối với trường hợp tự điều biến pha như Hình 1. Tuy nhiên, trong trường hợp điều biến pha chéo như Hình 1.1b, sự có mặt của trường ánh sáng mạnh với biên độ 𝐸(𝜔) dẫn tới sự thay đổi chiết suất đối với trường ánh sáng dòvới biên độ 𝐸(𝜔′ ). Thành phần phân cực phi tuyến tác dụng bởi trường ánh sáng dò được cho bởi [33]: 𝑃𝑁𝐿 (𝜔′ ) = 6𝜀0 𝜒 (3) (𝜔)|𝐸(𝜔)|2 𝐸(𝜔′ ).16) Trong trường hợp này độ phân cực lớn hơn hai lần so với trường hợp tự điều biến pha.
Do đó, chiết suất hiệu dụng điều biến pha chéo được cho bởi: 𝑛 = 𝑛0 + 2𝑛̅2𝑐ℎ |𝐸(𝜔)|2 , (1.18) cho thấy hệ số phi tuyến 𝑛̅2𝑐ℎ trong điều biến pha chéo lớn gấp hai lần hệ số phi tuyến 𝑛2 trong tự điều biến pha. Do đó, trường ánh sáng mạnh ảnh hưởng lên chiết suất hiệu dụng của trường ánh sáng dò có cùng tần số sẽ lớn gấp hai lần so với ảnh hưởng lên chính ánh sáng đó. Mặt khác, sự thay đổi của chiết suất hiệu dụng theo cường độ trường ánh sáng có thể được biểu diễn bởi hệ thức sau đây [33]: 𝑛 = 𝑛0 + 𝑛2 𝐼, (1.19) trong đó, I là cường độ trường ánh sáng tới, 𝑛0 là chiết suất tuyến tính của môi trường và𝑛2 là hệ số phi tuyến Kerr. Cường độ ánh sáng được liên hệ với bình phương của mô đun biên độ theo hệ thức [33]: 𝐼 = 2𝑛0 𝜀0 𝑐|𝐸(𝜔)|2 .20) So sánh các phương trình (1.19), chúng ta rút ra được: 𝑛̅2 𝑛2 = .21) 𝑛0 𝜀0 𝑐 Thay phương trình (1.15) vào phương trình (1.21), chúng ta thu được biểu thức cho hệ số phi tuyến Kerr (trường hợp tự điều biến pha): 11 luan an 3 𝑛2 = 𝑅𝑒(𝜒 (3) ).22) 4𝑛02 𝜀0 𝑐 Do chiết suất hiệu dụng trong biểu thức (1.21) là đại lượng không thứ nguyên nên đơn vị của 𝑛2 phải tỷ lệ nghịch với đơn vị của cường độ.
Thông thường, đơn vị của hệ số phi tuyến Kerr được xác định theo [𝑚2 /𝑊] hoặc [𝑐𝑚2 /𝑊]. Hiện tượng hấp thụ hai photon Hấp thụ hai photon (Two photon absorption - TPA) được định nghĩa là sự hấp thụ đồng thời của hai photon, có cùng năng lượng hoặc năng lượng khác nhau, dẫn đến sự kích thích lên trạng thái điện tử cao hơn. Mặc dù hiện tượng này đã được dự đoán trong lýthuyết vào năm 1931 bởi Maria Göppert - Mayer [34] vàquan sát bằng thực nghiệm năm 1961 [35]. VìTPA làmột quátrình phi tuyến bậc ba, trong đó sự hấp thụ trực tiếp tỷ lệ với bình phương cường độ ánh sáng tới, vìvậy một nguồn sáng mạnh như laser là cần thiết.
Ở cường độ ánh sáng cao, xác suất hấp thụ của hai vànhiều photon cùng một lúc tăng lên. Chúng ta hãy xem xét sự lan truyền ánh sáng thông qua một mẫu có độ dày 𝑙. Nếu 𝐼𝑖𝑛 là cường độ ánh sáng trước một mẫu, thìsau mẫu cường độ là[36], (1−𝑅 2 )𝑒 −𝛼𝑙 𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛 𝛽 , (1.23) 1+ 𝐼𝑖𝑛 (1−𝑅)(1−𝑒 −𝛼𝑙 ) 𝛼 trong đó 𝑅 làhệ số phản xạ của mẫu, 𝛼 làhệ số hấp thụ tuyến tính và𝛽 làhệ số đặc trưng cho sự hấp thụ hai photon được gọi làhệ số hấp thụ hai photon. Bỏ qua sự phản xạ ánh sáng của mẫu vàsự hấp thụ tuyến tính của mẫu người ta có thể viết một phương trình đơn giản cho cường độ đầu ra trong trường hợp chỉ có hấp thụ hai photon: 𝐼𝑖𝑛 𝐼𝑜𝑢𝑡 ≈ .24) 1+𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 Từ đó suy ra được độ hấp thụ hai photon: 𝐼 −𝐼𝑜𝑢𝑡 𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 1 𝑎2𝑝ℎ = 𝑖𝑛 ≈ = .25) 𝐼𝑖𝑛 1+𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 1+(𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 )−1 Độ hấp thụ hai photon phụ thuộc vào cường độ ánh sáng vào.
Khi mà𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛 nhỏ thì độ hấp thụ hai photon tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng, hay nói cách khác là xác suất hấp thụ tỉ lệ thuận với bình phương cường độ, đây là hiện tượng phi tuyến bậc ba.