CHƯƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Năng lực toán học cần hình thành cho học sinh THCS 1. Khái niệm năng lực Từ lâu trên thế giới cũng như ở Việt Nam đã có rất nhiều nhà khoa học, trong nhiều lĩnh vực quan tâm và có khá nhiều cách hiểu khái niệm NL. Trước đây trên thế giới, có nhiều quan điểm khác nhau về NL, thậm chí trái ngược nhau.
Một số nhà nghiên cứu phương Tây đã đưa ra quan điểm về NL trong lĩnh vực nghiên cứu của họ. Chẳng hạn theo quan điểm di truyền học, A. Binet cho rằng : NL phụ thuộc tuyệt đối vào tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Các quan điểm này chủ yếu nghiên cứu NL từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con người, xem nhẹ yếu tố giáo dục.
Các nhà nghiên cứu Xô viết với quan điểm NL là những thuộc tính tâm lí cá nhân trong hoạt động (HĐ), đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL trí tuệ. Chieplôv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan với kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành một HĐ nào đó. Gardner đã đề cập đến khái niệm NL qua việc phân tích 8 lĩnh vực trí năng của con người, đó là : ngôn ngữ, lôgíc-toán học, âm nhạc, không gian, vận động cơ thể, giao tiếp, tự nhận thức, hướng tới thiên nhiên. Để giải quyết một vấn đề trong cuộc sống thì con người không thể huy động duy nhất một mặt trí năng nào đó mà kết hợp các mặt trí năng liên quan với nhau.
OECD (Tổ chức Hợp tác và phát triển kinh tế) đưa ra khái niệm về NL : “NL là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể”. Ở Việt Nam khái niệm NL cũng được nhiều nhà nghiên cứu đưa ra. Tác giả Phạm Minh Hạc nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, tác giả đưa ra định nghĩa : “NL chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một HĐ nào đẩy”. Với cách tiếp cận tích hợp các tác giả Trần Trọng Thuỷ và Nguyễn Quang Uẩn lại cho rằng : NL là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá 12 nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một HĐ nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực HĐ ấy [7] [26].
Như vậy, từ những cách tiếp cận khác nhau, các nhà nghiên cứu đã cho ta một cái nhìn toàn diện và hệ thống về nội hàm của khái niệm NL. Tổng hợp lại, chúng ta có thể khẳng định rằng : NL của mỗi người là tổ hợp đặc điểm tâm lí cá nhân thể hiện trong một hoạt động nào đó đáp ứng yêu cầu thực hiện một nhiệm vụ đặt ra. Năng lực toán học Đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL Toán học từ những phương diện khác nhau. Sau đây chúng tôi xin nêu ra một số ví dụ : Tác giả A.
Kôlmôgôrôv đã xem xét NL Toán học trên cơ sở 3 thành tố có liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgíc đó là : 1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các phương pháp xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình; 2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”; 3) Nghệ thuật suy luận lôgíc được phân nhỏ hợp lí, tuần tự. Cruchetxki nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và xử lí thông tin đã phân chia NL Toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là : 1) Thu nhận thông tin toán học : Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán; 2) Chế biến thông tin Toán học : Năng lực tư duy lôgíc trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng các kí hiệu Toán học. 3) Lưu trữ thông tin toán học : Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phương pháp giải Toán; nguyên tắc đường lối giải Toán).
Xét ở góc độ rèn luyện NL tư duy trong NL Toán học, Nguyễn Thái Hoè đưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập Toán [8]. Nghiên 13 cứu rèn luyện NL giải toán, nhiều tác giả đã đi theo hướng tìm hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS. Có nhiều người tiếp cận NL này từ quan điểm “GQVĐ một cách sáng tạo”. Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy : NL Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán.
NL Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (gắn liền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán : xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán. Năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho HS THCS Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (năm 2018) đã xác định chương trình môn Toán giúp HS đạt các mục tiêu chủ yếu là : - Hình thành và phát triển NL toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau : NL tư duy và lập luận toán học ; NL mô hình hoá toán học ; NL giải quyết vấn đề toán học ; NL giao tiếp toán học ; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán. - Góp phần hình thành và phát triển ở HS các phẩm chất chủ yếu và NL chung theo các mức độ phù hợp với môn học, cấp học được quy định tại Chương trình tổng thể. Ở cấp trung học cơ sở (THCS) thì môn Toán giúp HS đạt các mục tiêu chủ yếu, đó là góp phần hình thành và phát triển NL toán học với yêu cầu cần đạt : nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề, thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải quyết vấn đề, chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp; sử dụng được các mô hình toán học (công thức toán học, phương trình đại số, hình biểu diễn,.) … Để thực hiện được mục tiêu phát triển các NL toán học trong DH nhất thiết phải đưa các em vào các hoạt động toán học.
Thông qua hoạt động HS 14 mới suy nghĩ, tìm tòi, phân tích để tìm ra con đường đi. Từ những bài toán cụ thể các em có thể khái quát được lên những bài toán tổng quát trong phạm vi kiến thức của mình. Cũng nhờ được làm việc nhiều học sinh có thể rút ra được những thuật toán để giải quyết một loạt các bài toán có cùng dạng. Năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho HS lớp 6 cấp THCS thông qua DH số nguyên 1.
Sơ lược về số nguyên Trong Toán học, tập hợp số nguyên ℤ bao gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm. Số tự nhiên ra đời là do nhu cầu nhận biết về số lượng của sự vật. Chẳng hạn khi đi làm việc, muốn biết có đủ dụng cụ hay không thì người ta đem phân phát dụng cụ cho từng người. Từ đó nảy sinh nhu cầu đếm.
Ban đầu loài người chỉ biết đếm trong tập hợp chỉ có ít phần tử. Sau đó, do nhu cầu cần dùng các số ngày càng lớn vì phải đếm số lượng phần tử nhiều hơn, các kí hiệu ghi số xuất hiện và phát triển. Các số thì lập thành các hệ thống. Dãy số tự nhiên cứ ngày một dài ra.
Việc con người biết trừu tượng hóa các số đếm bằng các chữ số để thuận tiện trong việc ghi chép những số tự nhiên đã có từ lâu. Việc trừu tượng hóa này giống như khi ta nhỏ tuổi, được đố : mẹ cho con 3 quả cam, bà cho con thêm 5 quả cam nữa thì con có tất cả mấy quả cam ? Lớn hơn, ta được học 3 + 5 = 8 mà không cần phải thêm quả cam vào phép tính. Bảo tàng Louvre ở Paris (Pháp) hiện lưu trữ một mẫu đá khắc thu được từ Karnak, xác định niên đại khoảng 1500 trước Công nguyên, đã thể hiện số 276 như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị, như cách chúng ta hiểu ngày nay. Vào khoảng 700 năm trước Công nguyên, người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ đếm, nhưng chỉ dùng chữ số không ở giữa các con số (như số 104) và chữ số không đã không được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số (như số 140).
Để biểu thị số 104, người ta viết giữa số 1 và 4 một dấu móc (có 15 thời kỳ dùng ba dấu móc), còn để biểu thị số 200, người ta viết số 2 kèm chú thích bằng lời ở dưới. Hai nền văn minh Olmec và Maya cùng lúc độc lập nhau đã biết dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 trước Công nguyên. Tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng Trung Mỹ. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số từ thời Trung cổ (dùng để tính ngày Phục sinh) mà khởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số La Mã nào được dành riêng để viết số không.
Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ Latinh là nullae, có nghĩa là "không có gì", để chỉ số không. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng được cho là xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Nó gồm hai nghĩa là "không có gì" và "giá trị không". Ví dụ nhà bạn không nuôi mèo, biểu hiện nghĩa "không có gì".
Trước tôi có 1 con mèo nhưng đã cho người khác, biểu thị nghĩa "giá trị không". Phải đến thế kỷ XIX, khi lý thuyết tập hợp của nhà toán học Peano ra đời, số 0 mới chính thức được coi là số tự nhiên và được sử dụng rộng rãi đến ngày nay. Việc hình thành và phát triển số tự nhiên là bước tiến dài của lịch sử loài người nhưng vẫn chưa đủ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trong cuộc sống.