Chương 1. CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN CH1: Khái niệm tích phân có những cách tiếp cận nào và đặc trưng của những cách tiếp cận này? Trả lời câu hỏi trên là mục tiêu của chương này. Để thực hiện điều đó, chúng tôi rút ra các kết quả dựa trên việc nghiên cứu các tài liệu sau: 1. Trần Bình (2006), Giải tích I: Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến (Dùng cho sinh viên kĩ thuật, cao đẳng, đại học, sau đại học), Nxb Khoa học và Kĩ thuật.
Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004), “Phép tính tích phân và vi phân trong lịch sử”, Tạp chí khoa học ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh, số 4, tr. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của HS khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
Lê Văn Tiến (2000), “Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở trường phổ thông”, Nghiên cứu giáo dục, số chuyên đề (338), tr. Sơ lược lịch sử hình thành và phát triển khái niệm tích phân Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, bài toán tính diện tích của các hình phẳng, thể tích của các vật thể đã được đặt ra từ thời cổ đại. Công thức tính của các hình đơn giản đã sớm được tìm ra và xuất hiện nhu cầu tìm cơ sở lý thuyết cho các công thức này cũng như một quy tắc tổng quát để tính diện tích, thể tích của những hình phức tạp hơn. Nhà bác học Democrite (thế kỉ 5 TCN) đã vận dụng thuyết nguyên tử của ông tính được diện tích của một số hình bằng cách chia nhỏ chúng.
Tuy nhiên các lý luận của ông không thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học. 8 Mặc dù Eudoxe (410 – 356 TCN) là người đầu tiên xây dựng phương pháp vét cạn, phương pháp thỏa mãn các đòi hỏi về tính chặt chẽ toán học, nhưng Archimedes (khoảng 287 – 212 TCN) được xem là người đã dùng thành công phương pháp này để tính diện tích, thể tích. Để tính diện tích một hình B, Archimedes xây dựng một dãy các hình 𝐴𝐾 nội tiếp nó. Dãy 𝐴𝐾 được xây dựng sao cho diện tích chúng tính được, tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn, dần vét cạn hình B.
Bằng việc tính tổng của n hình 𝐴𝐾 đầu tiên cộng với một lượng dư, ông tìm ra giới hạn A của dãy các hình nội tiếp và dùng phản chứng chứng minh A là diện tích của B. Cách làm này đã được một số nhà toán học đời sau kế thừa và một số tích phân đặc biệt đã được tính. Cuối cùng, Valerio (1552 – 1618) đã sửa đổi và tổng quát hóa phương pháp vét cạn, chuỗi tính tổng không dừng lại ở n hình mà có thể bổ sung cho đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa giác nội tiếp nó là đủ bé. Vào đầu thế kỉ XX, người ta khám phá ra rằng thực chất Archimedes đã dùng phương pháp “cơ học” để tìm diện tích rồi sau đó mới dùng phương pháp vét cạn để chứng minh kết quả.
Tư tưởng chính của phương pháp “cơ học” là cắt hình ra thành một số rất lớn các dải mỏng song song (hoặc lớp mỏng song song). Phương pháp này rất gần với phương pháp “bất khả phân” do Cavalieiri (1598 – 1647) xây dựng. Theo Cavalieiri, hình phẳng được xem là tổng vô hạn các đoạn thẳng cùng song song với một đường thẳng nào đó làm chuẩn. Những đoạn thẳng này, nằm giữa hai tiếp tuyến song song với chuẩn, được gọi là các bất khả phân.
Chúng hoàn toàn không có bề rộng. Diện tích của hình phẳng được xem là tổng diện tích của các bất khả phân được lấy đồng thời. Phương pháp của Cavalieiri có nhiều hạn chế về lí luận và tính toán. Nhà toán học Kepler (1571 – 1630) lựa chọn phương pháp trực giác hơn – tính tổng trực tiếp trên các đại lượng vô cùng bé.
Ông chia một vật thành vô hạn các phần tử vô cùng bé có cùng kích thước rồi tính tổng. Mặc dù ông đã tính được nhiều diện tích, thể tích các hình nhưng các lập luận của ông thiếu tính chặt chẽ, còn mang nặng sự hình dung trực quan. Như vậy từ thời cổ đại đến đầu thế kỉ XVII, khái niệm tích phân đã được các nhà toán học nghiên cứu. Nhiều phương pháp đã được đưa ra, một số diện tích, thể tích đã 9 được tính.
Phương pháp của họ phần nhiều mang yếu tố trực quan, phạm vi thuần túy là hình học. Tích phân càng được phát triển thì các nhà toán học càng không thể tránh khỏi phải làm việc với các đại lượng vô hạn và vô cùng bé, đó là một trở ngại lớn. Các khái niệm cần thiết như giới hạn, tổng vô hạn,… chưa được định nghĩa. Do đó họ chưa thành công trong việc xây dựng lý thuyết tích phân tổng quát.
Tuy nhiên, tư tưởng chính khi tính tích phân đã hình thành: chia hình thành từng miếng nhỏ, xấp xỉ trên (hoặc dưới) từng miếng nhỏ rồi lấy tổng các xấp xỉ đó. Đến thế kỉ XVII, dựa trên quan điểm của hình học giải tích, kế thừa phương pháp của trường phái Archimedes, Fermat (1601 – 1665) đã phát triển và xây dựng một phương pháp tổng quát để cầu phương tất cả các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân. Để tính diện tích một hình, Fermat chia hình đó ra thành những dải hẹp bằng các tung độ cách đều, tính các tổng trên, tổng dưới, rồi tăng số điểm chia ra vô hạn và tiến hành cầu phương. Phương thức của Fermat cho phép phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé.
Pascal (1623 – 1662) đã hoàn thiện các phương pháp cầu phương của những người đi trước, đánh giá cao tầm quan trọng của phương pháp giải tích và so sánh phần tử “Không thể phân chia được” trong hình học với số 0 trong số học, từ đó đối chiếu quan điểm hình học và số học. Một bước đánh dấu quan trọng trong tiến trình phát triển và hoàn thiện khái niệm tích phân khi mối liên hệ giữa bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích được tìm ra. Barrow (1630 – 1677) là người đầu tiên nhận rõ mối liên hệ này nhưng Newton (1642- 1727) mới là người thành công trong việc thiết lập mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân. Ông đã liên hệ giữa tích phân và đạo hàm, coi tích phân là phép toán ngược của đạo hàm.
Newton chỉ dùng tích phân bất định và dùng tỉ số biến thiên của diện tích, thể tích để tính chúng. Ông phát triển tích phân dựa trên nghiên cứu các chuyển động và các biến là các đại lượng biến thiên, các kết quả của ông dùng để ứng dụng trong vật lý và thiên văn học,… Song song đó, Leibniz (1646 – 1716) cũng là người phát hiện mối liên hệ này, đưa ra những kí hiệu ngắn gọn và hiệu quả để kí hiệu tích phân. Khác với Newton, Leibniz sử dụng tích phân xác định và xem diện tích lẫn thể tích như tổng các phần tử vô cùng bé. 10 Tuy nhiên phải đợi đến thế kỉ XIX, vào năm 1823, Cauchy (1789-1857) mới là người đầu tiên đưa ra định nghĩa tích phân nhờ hai khái niệm hàm số và khái niệm giới hạn đã được định nghĩa, đặc biệt ông nhấn mạnh sự cần thiết phải chứng minh sự tồn tại của tích phân trước khi làm rõ các tính chất của chúng.
Và Riemann (1826-1866) đã hoàn thiện và xây dựng một lý thuyết tích phân tổng quát. Ngày nay, khái niệm tích phân đã rất phát triển, lý thuyết tích phân hiện đại gồm hai phần chính: Tích phân của các hàm số và độ đo của các tập hợp. Giới hạn trong đề tài này, chúng tôi chỉ quan tâm đến các tích phân đối với các hàm số nhận giá trị thực và không đề cập đến yếu tố độ đo. Các cách tiếp cận khái niệm tích phân và đặc trưng của các cách tiếp cận Dựa vào lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm tích phân, chúng tôi chỉ ra được 3 cách tiếp cận khái niệm này.
Cách tiếp cận thứ nhất – Tiếp cận dựa trên bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân: Tích phân là diện tích của hình phẳng (thể tích của vật thể) Cách tiếp cận này dựa trên nguồn gốc nảy sinh khái niệm tích phân. Nhu cầu tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể đã làm xuất hiện khái niệm này. Tuy nhiên, nếu chỉ giới hạn trong phạm vi hình học thì sẽ không thể xây dựng một khái niệm tích phân tổng quát - điều mà các nhà toán học trước thế kỉ XVII đã gặp phải. Quá trình tìm lời giải tổng quát cho các bài toán trên thúc đẩy sự phát triển, hoàn thiện và xây dựng nên các cách tiếp cận còn lại của khái niệm tích phân.
Cách tiếp cận này thể hiện được nghĩa hình học của khái niệm. Cách tiếp cận thứ hai - Tiếp cận dựa trên việc chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và chuyển qua giới hạn tổng các xấp xỉ đó: Tích phân là giới hạn của tổng vô hạn các vô cùng bé. Tư tưởng chia nhỏ đối tượng cần tính, lấy xấp xỉ các phần chia nhỏ và tính tổng các xấp xỉ đã xuất hiện từ thời cổ đại mà Archimedes là đại diện tiêu biểu. Tư tưởng này đóng vai trò xuyên suốt trong cách thức để giải quyết bài toán tính diện tích, thể tích.
Nó trải qua quá trình lâu dài để hoàn thiện. Trước tiên là việc chấp nhận đối tượng vô hạn và vô cùng bé của các nhà toán học châu Âu trước thế kỉ XVII. Việc 11 Fermat vận dụng quan điểm hình học giải tích để tìm lời giải tổng quát cho các bài toán cầu phương parabol và hypebol giúp phát triển khía cạnh thuật toán của giải tích các vô cùng bé. Đến thế kỉ XVIII, khi khái niệm giới hạn được định nghĩa, việc chuyển qua giới hạn mới chính thức được áp dụng trong định nghĩa tích phân của Cauchy và sau đó được Riemann hoàn thiện.