Giáo Trình Toán Kinh Tế: Hướng Dẫn Học Tại Trường Đại Học Kinh Tế Nghệ An

Giáo trình toán kinh tế tại trường ĐH Kinh tế Nghệ An cung cấp kiến thức cơ bản và ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế, phục vụ học tập hiệu quả.

• Trường học: Trường Đại Học Kinh Tế Nghệ An
• Chuyên ngành: Toán Kinh Tế
• Đề tài: Giáo Trình Toán Kinh Tế Tại Trường Đại Học Kinh Tế Nghệ An
• Loại tài liệu: Giáo Trình

Mục lục chi tiết

• LỜI NÓI ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
• 1.1. Một số ví dụ về bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.1.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất
• 1.1.2. Bài toán phân công lao động
• 1.1.3. Bài toán vận tải
• 1.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát
• 1.2.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc và chuẩn tắc
• 1.2.3. Chuyển đổi dạng bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.3. Thuật toán đồ thị giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai biến
• 1.4. Một số yếu tố hình học trong không gian ∈ n
• 1.4.1. Tập hợp lồi
• 1.4.2. Các tính chất của tập hợp lồi
• 1.5. Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.5.1. Các giả thiết ban đầu
• 1.5.2. Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính
• 1.6. Cơ sở lý luận của phương pháp đơn hình
• 1.6.1. Cơ sở lý luận của phương pháp đơn hình
• 1.6.2. Công thức đổi tọa độ và bảng đơn hình
• 1.6.3. Bài toán suy biến
• 1.7. Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát
• 1.7.1. Bài toán giả tạo
• 1.7.2. Mối quan hệ về phương án tối ưu của bài toán chính tắc và bài toán giả tạo
• 2. CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU
• 2.1. Khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu
• 2.1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng
• 2.1.2. Quy tắc thành lập bài toán đối ngẫu
• 2.1.3. Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu đối xứng
• 2.2. Các định lý đối ngẫu
• 2.3. Phương pháp đơn hình đối ngẫu
• 2.3.1. Nội dung phương pháp
• 2.3.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu
• 3. CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN VẬN TẢI
• 3.1. Các khái niệm và tính chất của bài toán vận tải
• 3.1.1. Nội dung kinh tế và mô hình toán học của bài toán vận tải
• 3.1.2. Mô hình bảng của bài toán vận tải
• 3.1.3. Tính chất của bài toán vận tải cân bằng thu phát
• 3.2. Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát
• 3.2.1. Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát
• 3.2.2. Tiêu chuẩn tối ưu cho một phương án của bài toán vận tải cân bằng thu phát
• 3.2.3. Phương pháp cải tiến phương án
• 3.3. Bài toán vận tải không cân bằng thu phát
• 3.3.1. Phát lớn hơn thu
• 3.3.2. Bài toán phân phối
• 3.4. Phương pháp giải
• 3.5. Bài toán ô cấm
• 4. CHƯƠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
• 4.1. BÀI TOÁN SẢN XUẤT ĐỒNG BỘ
• 4.1.1. Các khái niệm và tính chất của bài toán sản xuất đồng bộ
• 4.1.2. Nội dung kinh tế và các mô hình toán học của bài toán sản xuất đồng bộ
• 4.1.3. Tính chất của bài toán sản xuất đồng bộ
• 4.1.4. Phương pháp nhân tử giải bài toán sản xuất đồng bộ
• 4.1.5. Phương pháp tìm phương án cực biên suy rộng ban đầu
• 4.1.6. Xây dựng hệ thống số kiểm tra và tiêu chuẩn tối ưu
• 4.1.7. Điều chỉnh phương án
• 4.1.8. Thuật toán nhân tử giải bài toán sản xuất đồng bộ
• 4.2. BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN
• 4.2.1. Một số khái niệm mở đầu
• 4.2.2. Ví dụ về trò chơi ma trận
• 4.2.3. Bài toán trò chơi ma trận
• 4.2.4. Hàm thu hoạch của P
• 4.2.5. Điểm yên ngựa và chiến lược tối ưu
• 4.2.5.1. Điểm yên ngựa
• 4.2.5.2. Chiến lược tối ưu
• 4.2.5.3. Trò chơi đối xứng
• 4.2.6. Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho bài toán trò chơi ma trận
• 4.2.6.1. Đưa trò chơi ma trận về bài toán quy hoạch tuyến tính
• 4.2.6.2. Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho bài toán trò chơi ma trận
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về Giáo Trình Toán Kinh Tế Tại Trường Đại Học Kinh Tế Nghệ An

Giáo trình Toán Kinh Tế tại Trường Đại Học Kinh Tế Nghệ An được biên soạn nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản và ứng dụng của toán học trong lĩnh vực kinh tế. Nội dung giáo trình không chỉ tập trung vào lý thuyết mà còn bao gồm các ví dụ thực tiễn, giúp sinh viên dễ dàng tiếp cận và áp dụng vào thực tế.

1.1. Mục tiêu của Giáo Trình Toán Kinh Tế

Giáo trình nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cần thiết về Toán Kinh Tế, từ đó giúp họ có khả năng phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách hiệu quả.

1.2. Cấu trúc của Giáo Trình

Giáo trình được chia thành 4 chương chính, bao gồm các nội dung từ bài toán quy hoạch tuyến tính đến các ứng dụng thực tiễn trong kinh tế, giúp sinh viên có cái nhìn tổng quát và sâu sắc hơn.

II. Những Thách Thức Trong Việc Học Toán Kinh Tế

Học Toán Kinh Tế không chỉ đơn thuần là việc nắm vững lý thuyết mà còn đòi hỏi sinh viên phải có khả năng áp dụng các phương pháp toán học vào các tình huống thực tế. Nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc hiểu và vận dụng các khái niệm phức tạp.

2.1. Khó khăn trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn

Nhiều sinh viên cảm thấy khó khăn khi phải chuyển đổi các lý thuyết toán học thành các mô hình thực tiễn trong Kinh Tế Học.

2.2. Thiếu tài liệu hỗ trợ học tập

Việc thiếu các tài liệu tham khảo chất lượng về Giáo Trình Toán Kinh Tế cũng là một trong những nguyên nhân khiến sinh viên gặp khó khăn trong việc học.

III. Phương Pháp Giải Quyết Vấn Đề Trong Toán Kinh Tế

Để giải quyết các vấn đề trong Toán Kinh Tế, sinh viên cần nắm vững các phương pháp như quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình và các thuật toán tối ưu. Những phương pháp này giúp sinh viên có thể tìm ra giải pháp tối ưu cho các bài toán kinh tế.

3.1. Quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính là một trong những phương pháp quan trọng giúp sinh viên tối ưu hóa các nguồn lực trong sản xuất và kinh doanh.

3.2. Phương pháp đơn hình

Phương pháp đơn hình là một kỹ thuật giải bài toán quy hoạch tuyến tính, giúp tìm ra phương án tối ưu một cách hiệu quả.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Toán Kinh Tế

Toán Kinh Tế có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực như quản lý sản xuất, phân phối hàng hóa và tối ưu hóa chi phí. Những ứng dụng này không chỉ giúp sinh viên hiểu rõ hơn về lý thuyết mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong thực tế.

4.1. Ứng dụng trong quản lý sản xuất

Toán Kinh Tế giúp các nhà quản lý tối ưu hóa quy trình sản xuất, từ đó giảm thiểu chi phí và tăng lợi nhuận.

4.2. Ứng dụng trong phân phối hàng hóa

Các mô hình toán học trong Toán Kinh Tế hỗ trợ việc phân phối hàng hóa một cách hiệu quả, đảm bảo đáp ứng nhu cầu thị trường.

V. Kết Luận và Tương Lai Của Toán Kinh Tế

Toán Kinh Tế sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế trong tương lai. Việc nâng cao chất lượng giáo dục và tài liệu học tập sẽ giúp sinh viên có nền tảng vững chắc hơn trong lĩnh vực này.

5.1. Tương lai của Toán Kinh Tế

Với sự phát triển của công nghệ và dữ liệu lớn, Toán Kinh Tế sẽ ngày càng trở nên quan trọng trong việc ra quyết định kinh doanh.

5.2. Đề xuất cải tiến giáo trình

Cần có những cải tiến trong giáo trình để đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên, bao gồm việc cập nhật các phương pháp và công cụ mới trong Toán Kinh Tế.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1. Nội dung bài toán Một cơ sở sản xuât có thê sản xuât được hai loại sản phâm A và B, từ các nguyên liệu I, II, IH.

Chi phí từng loại nguyên liệu và tiền lãi của một đơn vị sản phẩm, cũng như dự trữ nguyên liệu cho trong Bang 1.1 Nguyên liệu Lãi I Il Ill \. (don vi tién) San pham A 2 0 1 3 B 1 1 0 5 Dự trữ 8 4 3 Hãy lập bài toán thể hiện kế hoạch sản xuất sao cho có tổng số lãi lớn nhất và phù hợp với điều kiện dự trữ nguyên liệu. Mô hình toán học của bài toán Gọi xị, x; lần lượt là số sản phẩm A và B được sản xuất. Khi đó: Tổng số lãi là: 3xị + 5x¿ Tổng số nguyên liệu I cần sử dụng là: 2xị + xạ Tổng số nguyên liệu II cần sử dung la: xz Tổng số nguyên liệu II cần sử dụng là: xị Theo bài ra, ta có mô hình toán học: Tìm X(xạ, x;) sao cho f(X) = 3x, + 5x.

— max TRUONG DAI HQC KINH TE NGHE AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - 2x,+x;<§ ` x, <4 voi diéu kién x, <3° x, 20,j=1,2 J 1. Bài toán phân công lao động 1. Nội dung bài toán Một phân xưởng có 4 dây chuyền sản xuất khác nhau có thể sản xuất 3 loại sản phẩm. Lượng sản phẩm mỗi loại sản xuất ra được khi sử dụng một dây chuyền sản xuất mỗi loại trong một giờ và chỉ phí sản xuất ở dây chuyền đó sau một giờ hoạt động cùng với nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm dugc cho boi Bang 1.2 , Dây chuyên sản xuât Nhu câu Sản phâm (SP) ¬ I II Il IV tôi thiêu SPI 2 3 1 1 1600 SP 2 1 2 3 4 2200 SP 3 3 1 4 5 2000 Chi phí (1000đ) 10 5 13 16 Hãy lập bài toán để bố trí thời gian cho các dây chuyền sản xuất sao cho thỏa mãn nhu cầu tối thiểu về các sản phẩm đồng thời tổng chi phí sản xuất thấp nhất.

Mô hình toán học của bài toán Gọi xị là thời gian (giờ) áp dụng dây chuyền sản xuất thứ j (j = 1,4) khi đó: Tổng chỉ phí sản xuất là: 10x + 5x; + 13x; + 16x; (1000đ) Tổng lượng sản phẩm 1 sản xuất ra là: 2xị + 3x¿+ x3+ Xa Tổng lượng sản phâm 2 sản xuất ra là: xị + 2x¿ + 3x; + 4x„ Tổng lượng sản phẩm 3 sản xuất ra là: 3x + xạ + 4x; + 5x; Theo bài ra, ta có mô hình toán học: Tìm X(xq, xạ, X:, x4) sao cho f@X) = 10xị + 5x; + 13x; + l6x¿ —> min -6- TRUONG DAI HQC KINH TE NGHE AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - 2x¡+3x, +x, +x,>1600 X, +2x, +3x, +4x, 22200 3x, +x,+4x,+5x, 2 2000° j=14 voi diéu kién X,2 0, 1. Bai toan van tai 1. Nội dung bài toán Mot don vi vận tải can van chuyén xi măng từ 3 kho Ky, Ky, K; toi 4 công trường xây dựng Tì, T›, T›, Tạ. Cho biết lượng xi măng có ở mỗi kho, lượng xi măng cần ở mỗi công trường và giá cước vận chuyền (ngàn đồng) 1 tấn xi măng từ mỗi kho tới mỗi công trường như Bảng I.3 Công trường xây dựng Kho xi mang T:: 130 tân T›: 160 tân T3: 120 tan T,: 140 tan K,: 170 tan 20 18 22 25 K;: 200 tân 15 25 30 15 K;: 180 tân 45 30 40 35 Hãy lập bài toán tìm kế hoạch vận chuyền xi măng từ các kho tới các công trường sao cho tổng chỉ phí vận chuyên là nhỏ nhất và mọi kho đều phát hết lượng xi măng có, mọi công trường nhận đủ lượng xi măng cần? 1.

Mô hình toán học của bài toán Gọi x¡ là lượng xi măng cần vận chuyền từ kho 1 (¡ = 1, 2, 3) tới công trường J0=1,2, 3, 4). Khi đó: Kho K, phat hét lugng xi mang co: x}; + X27 +. X13 +X14=170 Kho K, phat hét lượng xi măng c6: x21 + X27 + X23 + X24 = 200 Kho K; phat hét lượng xi măng co: x3, + X32 + X33 + X34 = 180 Céng trudng T, nhan du sé xi mang can: x), + x2) + x3; = 130 Công trường T› nhận đủ số xi măng cần: xị› + X;; + xạa= 160 Công trường T; nhận đủ SỐ xi măng can: x13 + X23 + X33 = 120 -7- TRUONG DAI HQC KINH TE NGHE AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - Công trường Ta nhận đủ SỐ XỈ măng can: Xy4+X04+ X34 = 130 Lượng hàng vận chuyên không âm: xj>0,1= 13,J= L4 Téng chi phi van chuyén: f(X) = 20x); + 18x). Vậy mô hình toán học của bài toán là: Tìm X = [Xjj]3x4 sao cho f(X) > min với X thỏa mãn các điều kiện trên.

Tổng quát: Gọi m là số kho chứa hàng (điểm phát), n là số nơi tiêu thụ hàng (điểm thu). ai là lượng hàng có (cung) ở điểm phát thứ ¡ (¡ = 1m) b¿ là lượng hàng cần (cầu) ở điểm thu thứ j (= I,n) cụ là chỉ phí vận chuyền một đơn vị hàng từ điểm phát ¡ tới điểm thu j x, la lượng hàng vận chuyền cần tìm từ điểm phát ¡ tới điểm thu j. Mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng: f(X)= >> —>min i=l j=l ` m với điêu kiện + > Xu =b. BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (QHTT) 2.

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tống quát Định nghĩa 1. Từ các bài toán thực tế đã nêu cùng rất nhiều bài toán khác, ta có thé thay bai toán QHTT dạng tổng quát có đạng sau: Tìm véctơ X(xị, Xa, ., Xa) sao cho hàm sô f(X) =c¡Xịi+Ẵ©;X, +.1) jel -8- TRUONG DAI HQC KINH TE NGHE AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - days sb, i=l (1.3) với điêu kiện: 4 j= 37a x,=b ,uI=q+Lm (1.5) J trong đó: p, q, m, k, n, r là các s6 nguyén thoa man: 0< p<q<m;0<k<r<n. xị là biển số, các hệ số cụ, aj, b; G = 1,n; i= 1m). Khi đó: * Hàm số f(X) = 3 cX, được gọi là hàm mục tiêu.

jel * Cac bat phuong trinh (1.5) được gọi là hệ ràng buộc của bai toán.4) được gọi là các ràng buộc chính (hay ràng buộc cưỡng bức).5) gọi là ràng buộc về dấu (hay ràng buộc tự nhiên) của bài toán. Véc tơ X(xị, xạ, ., xạ) thỏa mãn hệ ràng buộc (1.5) được gọi là phương án cua bai toan. Ký hiệu tập hợp các phương án cua bai toan QHTT 1a Q. Ta có 3 khả năng: - Bài toán (1.5) có vô số phương án, tức là tập O có vô số phần tử.5) chỉ có 1 phương án, tức là tập © chỉ có I phần tử.5) không có phương án nào, tức là tập © = ©.

Phương án X" (xp Xp yo X,) cua bai toan (1.5) duge gọi là phương án tối wu (PATU) cua bài toán nếu: f(X*) < f(ÄX), V Xe © (đối với bài toán f(X) —> min) f(X*) > f(X), V Xe © (đối với bài toán f(X) > max) Chi ý: Tập PATƯ của bài toán QHTT hoặc một điểm hoặc vô số điểm hoặc không có điêm nào. -9- TRUONG DAI HQC KINH TE NGHE AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - Định nghĩa 1. Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là giải được (hay bài toán có lời giải) và phương án tối ưu của bài toán còn gọi là lời giải của bài toán. Nếu bài toán QHTT không có phương án tối ưu thì bài toán được gọi là khong giải được (hay bài toán không có lời giải).

Nếu phương án X(%X\, X¿, ., xạ) của một bài toán QHTTT làm thỏa mãn 3 a/X, =b,thì phương án X được gọi là thoa mãn chặt ràng buộc ¡ tương ứng jel (1. Nếu phương án X(X\, Xa, ., Xn) CO xj = 0 thi phương án X được gọi là /hỏa mãn chặt ràng buộc về dầu tương ứng (nếu có ràng buộc loại x; > 0 hoặc x; < 0). Nếu phương án X(xị, xạ,. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc và chuẩn tắc 2.

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc Bài toán QHTT chính tắc có dạng: Tìm X(xi, xạ, ., xạ) sao cho n f(X) =¢,x, +0,x, +.7) với điêu kiện 4 x¡>0,j=l,n (1.8) ân ân; ân Koya pen _ | 421 a9 aon | an ak ca a Nêu ký hiệu A = là ma tran cap m x n, gọi là ma tran ant m2 Aion ràng buộc của bài toán; -10- TRUONG DAI HQC KINH TE NGHE AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - X, b, 0 x b 0 X=} *| ; B=] ?] ; O= nnxl m_lmxI 0 nxl Khi đó bài toán QHTT chính tắc (1.8) viết được dưới dạng ma trận sau: f(X) =CX > min. {[AX=B voi diéu kién X20 a;. a,; Nêu ký hiệu: A; = ? |là véctơ cột thứ j (¡ =1l,n) của ma tran A. Khi do bai a mj toán QHTT chính tắc (1.8) viết được dưới dạng véctơ sau đây: f(X)=_c,x, > min jel n > x A.=B re *À TA Joo) với điêu kiện4 x¡>0,j=l,n Ma tran A = (A | B) được gọi là ma đrận bổ sung (hay còn gọi là ma trận mở rộng) của bài toán QHTTT dạng chính tắc (1.

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc. Bài toán QHTT chuẩn tắc có dạng: Tìm X(xị, Xa, ., xạ) sao cho f(X) =¢,x, +0,x, +.10) với điêu kiện 4 1 x,20,j=Ln (1.11) -11- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - Bài toán QHTT dạng chuẩn tắc (1.11) viết được dưới dạng ma trận như sau: fX)=CX — min AX>B với điều kiện X20 Bai toan QHTT dang chuan tac (1.11) viét duge dudi dang vécto sau day: f(X)= Dex, —> min n > x,A.>B re PN tA Jd voi diéu kién 4 j= x, 20,j=1n 2. Chuyển đối dạng bài toán quy hoạch tuyến tính Bằng cách thực hiện các phép biến đổi nêu dưới đây, ta có thể chuyển bài toán QHTT bất kỳ về bài toán QHTT chính tắc, chuẩn tắc. a) Nếu ràng buộc có dạng dan >b, thì ta thêm bién phu x,+; 20 để có Xj Yan — Xá: b) Nếu ràng buộc có đạng 3 a/X, <b, thì ta thêm biến phụ x;.¡ >0 để có »)c c) Nếu có ân x¡ nào đó không có ràng buộc về dấu thì ta thay x¡ bởi hai biến phụ không âm x; >0 vax; 20 sao cho: xj = x; — X;.