mở đầu Ta đã biết về các số thực và các phép toán trên tập các số thực. Khi nhiều số thực được sắp xếp lại với nhau theo một trật tự được quy định nào đó, ta sẽ có các đối tượng tổng quát hơn. Một trong số đó là các ma trận, được định nghĩa ngay sau đây.1 Có m × n số thực aij , được sắp thành một bảng hình chữ nhật gồm m dòng, n cột như sau a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = . am1 am2 · · · amn Khi đó, bảng này được gọi là một ma trận cỡ m × n.
Số aij gọi là phần tử nằm ở giao của dòng thứ i và cột thứ j (i = 1, m, j = 1, n) của ma trận A. • Ta thường dùng kí hiệu rút gọn: A = (aij )m×n. • Ma trận −A = (−aij )m×n gọi là ma trận đối của A. • Ma trận cỡ m×n có mọi phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không cỡ m × n, kí hiệu là O hoặc chi tiết hơn là Om×n.
3 • Ma trận chuyển vị của A là ma trận có kí hiệu A0 (hoặc AT ), nhận được từ A bằng cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột và giữ nguyên thứ tự các dòng, các cột. a1n a2n · · · amn Quan hệ "bằng" giữa các ma trận Định nghĩa 1.2 Hai ma trận cùng cỡ A = (aij )m×n và B = (bij )m×n được gọi là bằng nhau nếu các cặp phần tử tương ứng của chúng đôi một bằng nhau: A = B ⇔ aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Trong chương trình ta không đưa vào các phép so sánh ma trận: A > B, A < B; A > 0,. và cũng không so sánh các ma trận khác cỡ.2 Ma trận vuông Các ma trận có dạng đặc biệt sau đây là rất quan trọng trong các nội dung tiếp theo.
• Ma trận cỡ n × n còn được gọi là ma trận vuông cấp n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = . an1 an2 · · · ann Các phần tử a11 , a22 , ., ann là phần tử nằm trên đường chéo chính. Còn các phần tử an1 , a(n−1)2 , ., a1n là phần tử nằm trên đường chéo phụ. • Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm về a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n phía dưới của đường chéo chính đều bằng 0: A = .
0 0 · · · ann 4 a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · 0 Tương tự, ma trận tam giác dưới: A = . an1 an2 · · · ann • Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. 0 0 · · · ann • Ma trận đơn vị cấp n: 1 0 ··· 0 0 1 · · · 0 En := . 0 0 · · · 1 n×n Nếu không có khả năng nhầm lẫn, nhiều khi ta kí hiệu En một cách đơn giản là E.3 Các phép toán trên ma trận 1.
Phép cộng, trừ hai ma trận và phép nhân ma trận với một số Định nghĩa 1.3 Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij )m×n và B = (bij )m×n. • Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cùng cỡ, kí hiệu là A+B, được xác định như sau: A + B = (aij + bij )m×n. • Hiệu của A và B là ma trận A − B = A + (−B) = (aij − bij )m×n. • Tích của ma trận A với số thực α là một ma trận cùng cỡ với ma trận 5 A, kí hiệu là αA, được xác định như sau: αA = α(aij )m×n = (αaij )m×n.
Một vài tính chất thường dùng. Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cỡ, α, β là hai số thực bất kỳ, khi đó: • A + B = B + A. Các tính chất này đều có thể kiểm tra nhờ các định nghĩa về các phép toán ở trên. Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 1.4 Cho A là một ma trận cỡ m × p: A = (aij )m×p và B là một ma trận cỡ p × n: B = (bij )p×n.
Tích của A và B là một ma trận cỡ m × n, kí hiệu AB := C = (cij )m×n , trong đó p X cij = aik bkj (i = 1, 2,. 1) Phép nhân ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. 2) Nếu A là ma trận vuông thì có thể dùng kí hiệu An = AA. Tính chất của phép nhân ma trận Khi A, B, C có cỡ phù hợp để các phép tính thực hiện được, ta có thể chứng minh các tính chất sau của phép nhân ma trận: 1.
Đặc biệt, nếu A là ma trận vuông cùng cấp với ma trận E thì AE = EA = A. Ngoài ra, ta sẽ cần đến các tính chất sau của phép chuyển vị ma trận: 1) (A0 )0 = A. Có thể chứng minh các tính chất này bằng cách tính toán trực tiếp. b) Phép nhân BA có thực hiện được không? Lời giải.
a) Số cột của A và số dòng của B đều là p = 2 nên phép nhân AB thực hiện được. Cỡ của C là 3 × 4. c31 c32 c33 c34 4 4 −4 8 b) Phép nhân BA không thực hiện được vì số cột của B khác với số dòng của A. 1) Cần phân biệt hai kí hiệu AB 6= BA và AB 6≡ BA.
2) Các tích AB và BA không nhất thiết cùng thực hiện được. Ngay cả khi cả hai đều thực hiện được, có thể chúng vẫn không bằng nhau.4 Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ta sẽ thường xuyên dùng đến các phép biến đổi sau đây trên các dòng hoặc các cột của các ma trận (và tương tự cho một số đối tượng khác về sau). Giao hoán hai dòng (hoặc hai cột) khác nhau của ma trận. Nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với cùng một số thực khác 0.
Nhân một dòng (hoặc một cột) với một số rồi cộng vào một dòng (hoặc cột) khác. Ta có thể chỉ ra rằng các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thực chất chỉ là các phép nhân vào bên phải hoặc bên trái ma trận đó với một trong ba loại ma trận có hình dáng đặc biệt, được kí hiệu S (k) (i, j), k = 1, 2, 3 sau đây. Với i 6= j, p nào đó: (1) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó ( 1 khi i 6= h = k 6= j; h = i và k = j; h = j và k = i shk = 0 trong các trường hợp khác. 0 trong các trường hợp khác.
1 khi h = k (3) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó shk = α khi h = i và k = j 0 trong các trường hợp khác. 8 Đề nghị bạn đọc tự viết các ma trận trên với các phần tử cụ thể. Ta có thể kiểm tra được rằng các cặp phép toán sau đây thực chất là như nhau: (1) 1) Giao hoán dòng i và dòng j của Am×n ; Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n. (1) 2) Giao hoán cột i và cột j của Am×n ; Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n.
(2) 3) Nhân các phần tử của dòng i của Am×n với số α (α 6= 0); Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n. (2) 4) Nhân các phần tử của cột i của Am×n với số α (α 6= 0); Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n. (3) 5) Nhân dòng j của Am×n với số α rồi cộng vào dòng i; Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n. (3)0 6) Nhân cột j của Am×n với số α rồi cộng vào cột i; Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n .2 Định thức Các ma trận là các bảng của các số thực chứ không phải là các số thực.
Tuy nhiên, chúng có thể có một số đặc trưng số. Với các ma trận vuông, đặc trưng số quan trọng nhất là "định thức", một khái niệm được định nghĩa ngay dưới đây. Định nghĩa này được xây dựng bằng phương pháp quy nạp theo cấp của ma trận vuông.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.5 Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij )n×n. Định thức của ma trận A là một số thực có ký hiệu là |A| hoặc det(A), và độ lớn được xác định theo cách dưới đây.
Định thức của ma trận vuông cấp một A = (a11 ) là số thực được xác định như sau: |A| = |(a11 )| := a11. Giả sử đã có công thức tính định thức đến cấp n − 1. Khi đó, độ lớn của định thức của ma trận vuông cấp n: A = (aij )n×n được xác định như sau a11 a12 , ., ann 9 trong đó: Mij là định thức cấp n − 1, nhận được từ |A| bằng cách xóa đi dòng thứ i và cột thứ j; và i là một dòng tuỳ ý của ma trận A. Định thức cấp hai: a11 a12 = a11 a22 − a12 a21.
a21 a22 Quả vậy, phân tích theo dòng 1, ta có: a11 a12 = a11 (−1)1+1 |(a22 )| + a12 (−1)1+2 |(a21 )| = a11 a22 − a12 a21. Định thức cấp ba (Công thức Sarraut). Quả vậy, phân tích theo dòng 1, ta có a11 a12 a13 a a a21 a22 a23 = a11 (−1)1+1 22 23 a32 a33 a31 a32 a33 a21 a23 a a +a12 (−1)1+2 + a13 (−1)1+3 21 22 a31 a33 a31 a32 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32. Đẳng thức này có tên gọi "Công thức Sarraut".
Tổng này có 6 số hạng, gồm 3 số hạng mang dấu "+" và 3 số hạng mang dấu "-". Mỗi số hạng là tích của ba phần tử ở các dòng, các cột khác nhau. Dấu của các số hạng có thể nhớ theo nhiều cách, chẳng hạn: - Ba số hạng mang dấu cộng gồm có: Tích các phần tử nằm trên đường chéo chính và tích các phần tử nằm trên ba đỉnh của tam giác có một cạnh song song với đường chéo chính (có hai tam giác như vậy).
