Giáo Trình Toán Cao Cấp Dùng Cho Sinh Viên Hệ Kinh Tế

Giáo trình toán cao cấp cung cấp kiến thức cần thiết cho sinh viên các hệ kinh tế, giúp nâng cao khả năng phân tích và giải quyết vấn đề.

• Tác giả: Nguyễn Sinh Bảy
• Trường học: Trường Đại học Thương mại
• Chuyên ngành: Toán Cao Cấp
• Đề tài: Giáo Trình Toán Cao Cấp Dành Cho Sinh Viên Kinh Tế
• Loại tài liệu: giáo trình
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• Lời nói đầu
• 1. Chương 1: Ma trận và định thức
• 1.1. Khái niệm mở đầu
• 1.1.2. Ma trận vuông
• 1.1.3. Các phép toán trên ma trận
• 1.1.4. Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
• 1.2. Tính chất của định thức
• 1.2.3. Cách tính định thức
• 1.2.4. Phương trình đặc trưng và giá trị riêng
• 1.3. Hạng của ma trận
• 1.3.1. Định nghĩa, tính chất
• 1.3.2. Cách tính hạng của ma trận
• 1.4. Ma trận nghịch đảo
• 1.4.1. Định nghĩa, tính khả nghịch
• 1.4.2. Các tính chất của ma trận nghịch đảo
• 1.4.3. Cách tính ma trận nghịch đảo
• 1.4.4. Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận
• 2. Chương 2: Vectơ và không gian vectơ
• 2.1. Khái niệm và các phép toán trên vectơ
• 2.1.2. Các phép toán trên các vectơ n chiều
• 2.2. Hệ vectơ và sự độc lập, phụ thuộc tuyến tính
• 2.2.2. Dấu hiệu nhận biết
• 2.3. Hạng và cơ sở
• 2.3.1. Cơ sở và hạng của một hệ vectơ
• 2.3.2. Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vectơ
• 2.4. Không gian vectơ
• 2.4.1. Cơ sở của không gian Rn
• 2.4.2. Phép đổi cơ sở
• 2.4.3. Không gian tuyến tính sinh bởi một hệ vectơ
• 2.4.4. Biểu diễn tuyến tính
• 3. Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính
• 3.1. Cách biểu diễn hệ
• 3.2. Hệ có hình dáng đặc biệt
• 3.2.1. Hệ thuần nhất
• 3.3. Biện luận về tập nghiệm
• 3.4. Cách giải hệ phương trình tuyến tính
• 3.4.1. Phương pháp biến đổi sơ cấp
• 3.4.2. Phương pháp Cramer
• 3.4.3. Phương pháp ma trận nghịch đảo
• 4. Chương 4: Dạng toàn phương
• 4.1. Các khái niệm cơ bản
• 4.1.1. Mở đầu về dạng toàn phương
• 4.1.2. Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc
• 4.1.3. Phép biến đổi tuyến tính
• 4.1.4. Giá trị riêng và vectơ riêng
• 4.2. Đưa về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc
• 4.2.1. Phương pháp giá trị riêng
• 4.2.2. Phương pháp Jacobi
• 4.2.3. Phương pháp Lagrange
• 4.2.4. Định luật quán tính
• 4.3. Tính xác định dấu, tính không xác định dấu
• 4.3.1. Định nghĩa và hệ quả
• 4.3.2. Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu
• 4.4. Một vài ứng dụng của dạng toàn phương
• 4.4.1. Nhận dạng đường, mặt bậc hai
• 4.4.2. Tìm cực trị hàm số nhiều biến số
• 5. Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục
• 5.1. Số thực và hàm số một biến số
• 5.1.1. Tập số thực
• 5.1.2. Hàm số một biến số
• 5.2. Giới hạn của hàm số
• 5.2.1. Một số giới hạn dạng vô định
• 5.2.2. Hai giới hạn quan trọng
• 5.2.3. Vô cùng bé và vô cùng lớn
• 5.4. Sự liên tục của hàm số một biến số
• 5.4.2. Các phép tính về hàm liên tục
• 6. Chương 6: Đạo hàm và vi phân hàm một biến
• 6.2. Tính đạo hàm bằng công thức
• 6.2.3. Đạo hàm bậc cao
• 6.3. Một số ứng dụng của đạo hàm, vi phân
• 6.3.1. Tính gần đúng bằng vi phân
• 6.3.2. Tính các giới hạn dạng vô định
• 6.3.3. Tìm cực trị của hàm số
• 7. Chương 7: Hàm hai biến
• 7.1. Các khái niệm mở đầu
• 7.1.1. Giới hạn và tính liên tục của hàm hai biến
• 7.1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm hai biến
• 7.3. Bài toán cực trị
• 7.3.1. Cực trị tự do
• 7.3.2. Cực trị có điều kiện
• 8. Chương 8: Phép tính tích phân
• 8.1. Tích phân bất định
• 8.1.1. Nguyên hàm và định nghĩa tích phân
• 8.1.2. Các tính chất của tích phân bất định
• 8.1.3. Bảng các công thức tính tích phân
• 8.1.4. Các phương pháp tính tích phân bất định
• 8.2. Tích phân xác định
• 8.2.1. Định nghĩa tích phân xác định
• 8.2.2. Các tính chất của tích phân xác định
• 8.2.3. Công thức Newton - Leibnitz
• 8.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định
• 8.3. Tích phân suy rộng
• 8.3.1. Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn
• 8.3.2. Trường hợp hàm số có điểm gián đoạn vô cực
• 9. Chương 9: Phương trình vi phân
• 9.1. Các khái niệm mở đầu
• 9.2. Phương trình vi phân cấp một
• 9.2.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân cấp một
• 9.2.2. Phương trình cấp một biến số phân li
• 9.2.3. Phương trình đẳng cấp cấp một
• 9.2.4. Phương trình tuyến tính cấp một
• 9.2.5. Phương trình Bernoulli
• 9.3. Phương trình vi phân cấp hai
• 9.3.1. Giới thiệu về phương trình vi phân cấp hai
• 9.3.2. Các trường hợp giảm cấp được
• 9.3.3. Phương trình tuyến tính cấp hai
• 9.4. Ôn lại về Số phức (phần phụ lục)
• 10. Chương 10: Phương trình sai phân
• 10.1. Sai phân và phương trình sai phân
• 10.1.1. Lưới thời gian và sai phân
• 10.1.2. Khái niệm phương trình sai phân
• 10.1.3. Tính chất của phương trình dạng tuyến tính
• 10.2. Phương trình tuyến tính cấp 1
• 10.2.1. Phương trình thuần nhất hệ số hằng
• 10.2.2. Phương trình không thuần nhất hệ số hằng
• 10.2.3. Phương trình thuần nhất hệ số biến thiên
• 10.2.4. Phương trình không thuần nhất hệ số biến thiên
• 10.3. Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
• 10.3.1. Phương trình thuần nhất
• 10.3.2. Phương trình không thuần nhất
• 10.4. Phần tham khảo
• 10.4.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng
• 10.4.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 2 hệ số biến thiên
• 10.4.3. Phương trình sai phân dạng phi tuyến
• 10.4.4. Một vài ứng dụng của phương trình sai phân
• 10.4.5. Một vài bài toán trong thực tiễn
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Tổng quan về Giáo Trình Toán Cao Cấp Dành Cho Sinh Viên Kinh Tế

Giáo trình Toán Cao Cấp là tài liệu quan trọng dành cho sinh viên khối Kinh tế. Nó cung cấp kiến thức nền tảng về toán cao cấp, giúp sinh viên áp dụng vào các lĩnh vực kinh tế. Nội dung giáo trình được biên soạn từ nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với chương trình học hiện hành.

1.1. Mục tiêu của giáo trình Toán Cao Cấp

Giáo trình nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về toán học ứng dụng trong kinh tế. Sinh viên sẽ hiểu rõ hơn về các khái niệm như ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính.

1.2. Đối tượng sử dụng giáo trình

Giáo trình này được thiết kế dành riêng cho sinh viên các ngành kinh tế, giúp họ nắm vững các khái niệm toán học cần thiết cho việc học tập và nghiên cứu.

II. Những Thách Thức Khi Học Toán Cao Cấp Trong Kinh Tế

Học toán cao cấp không chỉ đơn thuần là việc tiếp thu lý thuyết mà còn là khả năng áp dụng vào thực tiễn. Sinh viên thường gặp khó khăn trong việc hiểu và vận dụng các khái niệm phức tạp. Những thách thức này cần được giải quyết để nâng cao hiệu quả học tập.

2.1. Khó khăn trong việc hiểu các khái niệm trừu tượng

Nhiều sinh viên gặp khó khăn trong việc hình dung các khái niệm như ma trận và định thức. Việc thiếu thực hành có thể làm giảm khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.

2.2. Thiếu kỹ năng giải quyết vấn đề

Kỹ năng giải quyết vấn đề là rất quan trọng trong toán học. Sinh viên cần được hướng dẫn để phát triển kỹ năng này thông qua các bài tập thực hành và dự án nghiên cứu.

III. Phương Pháp Giải Quyết Vấn Đề Trong Toán Cao Cấp

Để vượt qua những thách thức trong việc học toán cao cấp, sinh viên cần áp dụng các phương pháp học tập hiệu quả. Các phương pháp này không chỉ giúp hiểu sâu hơn mà còn nâng cao khả năng áp dụng kiến thức vào thực tiễn.

3.1. Phương pháp học tập chủ động

Sinh viên nên tham gia vào các hoạt động học tập chủ động như thảo luận nhóm và giải quyết bài tập thực hành. Điều này giúp củng cố kiến thức và phát triển tư duy phản biện.

3.2. Sử dụng công nghệ trong học tập

Công nghệ có thể hỗ trợ sinh viên trong việc học toán học. Các phần mềm mô phỏng và ứng dụng trực tuyến giúp sinh viên hình dung và thực hành các khái niệm phức tạp.

IV. Ứng Dụng Thực Tiễn Của Toán Cao Cấp Trong Kinh Tế

Kiến thức từ toán cao cấp có thể được áp dụng vào nhiều lĩnh vực trong kinh tế như phân tích dữ liệu, tối ưu hóa quy trình và dự báo tài chính. Việc hiểu rõ các ứng dụng này sẽ giúp sinh viên có cái nhìn tổng quan hơn về vai trò của toán học trong kinh tế.

4.1. Phân tích dữ liệu và ra quyết định

Toán học giúp sinh viên phân tích dữ liệu và đưa ra quyết định chính xác hơn. Các mô hình toán học có thể dự đoán xu hướng và hỗ trợ trong việc lập kế hoạch kinh doanh.

4.2. Tối ưu hóa quy trình sản xuất

Sử dụng các phương pháp toán học để tối ưu hóa quy trình sản xuất giúp doanh nghiệp tiết kiệm chi phí và nâng cao hiệu quả. Điều này rất quan trọng trong bối cảnh cạnh tranh hiện nay.

V. Kết Luận Về Giáo Trình Toán Cao Cấp Dành Cho Sinh Viên Kinh Tế

Giáo trình Toán Cao Cấp là một tài liệu thiết yếu cho sinh viên khối Kinh tế. Nó không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn giúp sinh viên phát triển kỹ năng thực hành. Việc áp dụng kiến thức vào thực tiễn sẽ giúp sinh viên tự tin hơn trong công việc tương lai.

5.1. Tương lai của toán học trong kinh tế

Toán học sẽ tiếp tục đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các mô hình kinh tế và phân tích dữ liệu. Sinh viên cần chuẩn bị tốt để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của thị trường lao động.

5.2. Khuyến khích nghiên cứu và phát triển

Nghiên cứu và phát triển trong lĩnh vực toán học ứng dụng sẽ mở ra nhiều cơ hội mới cho sinh viên. Việc tham gia vào các dự án nghiên cứu sẽ giúp sinh viên nâng cao kiến thức và kỹ năng.

Nội dung chính

Tổng quan về giáo trình

Giáo trình Toán cao cấp (Dùng cho sinh viên học các hệ kinh tế) do tập thể giảng viên Bộ môn Toán Kinh tế, Trường Đại học Thương mại biên soạn, gồm các tác giả: Nguyễn Sinh Bảy, Nguyễn Văn Pứ, Nguyễn Ngọc Hiền, Nguyễn Sỹ Thìn, Nguyễn Khánh Toàn, Lê Ngọc Tú và Đinh Thị Nhuận; Nhà xuất bản Thống Kê phát hành (tái bản lần 2 năm 2017). Môn học Toán cao cấp giữ vị trí học phần đại cương bắt buộc trong khung chương trình đào tạo cử nhân các khối ngành Kinh tế, Quản trị kinh doanh, Tài chính - Ngân hàng và Thương mại. Học phần cung cấp nền tảng toán học nền tảng nhằm phục vụ trực tiếp cho các môn học chuyên ngành như Kinh tế vi mô, Kinh tế vĩ mô, Kinh tế lượng, Lý thuyết xác suất và Thống kê toán, Toán kinh tế.

Mục tiêu học tập của giáo trình hướng đến việc trang bị cho người học hệ thống công cụ định lượng cơ bản thuộc hai phân môn: Đại số tuyến tính và Giải tích toán học. Sau khi hoàn thành giáo trình, người học có khả năng thực hiện thành thạo các thuật toán ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, phân tích dạng toàn phương, tính toán đạo hàm, vi phân, tích phân hàm một biến và hai biến, đồng thời giải được các phương trình vi phân và phương trình sai phân ứng dụng trong kinh tế.

Giáo trình được cấu trúc thành 10 chương logic kết hợp phần phụ lục và danh mục tài liệu tham khảo. Cách tiếp cận của tài liệu tập trung vào tính ứng dụng và thuật toán tính toán, tinh giản các chứng minh lý thuyết phức tạp nhưng vẫn cung cấp đầy đủ các định hướng và gợi ý phương pháp luận khoa học, đáp ứng yêu cầu chuẩn đầu ra theo hệ thống tín chỉ hiện hành.

---

Nội dung kiến thức cốt lõi

Các chương/chủ đề chính

Nội dung giáo trình được triển khai qua 10 chương có tiến trình học tập chặt chẽ:

• Chương 1: Ma trận và định thức: Trình bày định nghĩa ma trận chữ nhật, các dạng ma trận vuông đặc biệt (ma trận tam giác, ma trận đường chéo, ma trận đơn vị $E$), ba phép biến đổi sơ cấp dòng/cột biểu diễn qua các ma trận $S^{(k)}(i, j)$. Định nghĩa định thức quy nạp, công thức Sarraut cho định thức cấp 3, phương pháp định thức con bao, phương trình đặc trưng $|\lambda E - A| = 0$ để tìm giá trị riêng, hạng ma trận và phương pháp nghịch đảo ma trận bằng ma trận phụ hợp $A^*$ hoặc ma trận bổ sung $(A|E)$.
• Chương 2: Vectơ và không gian vectơ: Khảo sát vectơ $n$ chiều, tổ hợp tuyến tính, hệ vectơ độc lập/phụ thuộc tuyến tính, hạng và cơ sở của hệ vectơ. Xây dựng không gian vectơ $\mathbb{R}^n$, cơ sở không gian, ma trận đổi cơ sở $S$ và không gian tuyến tính sinh bởi một hệ vectơ.
• Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính: Biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận, phân loại hệ thuần nhất/không thuần nhất, định lý biện luận số nghiệm Kronecker - Capelli, cùng các kỹ thuật giải: phương pháp biến đổi sơ cấp Gauss, phương pháp định thức Cramer và phương pháp ma trận nghịch đảo.
• Chương 4: Dạng toàn phương: Dạng chính tắc, chuẩn tắc; kỹ thuật biến đổi đưa về dạng chính tắc bằng phương pháp giá trị riêng, phương pháp Jacobi, phương pháp Lagrange và định luật quán tính; nhận biết tính xác định dấu và ứng dụng phân loại mặt bậc hai, bài toán cực trị.
• Chương 5, 6, 7: Giải tích hàm một biến và hàm hai biến: Khảo sát giới hạn, vô cùng bé/lớn; đạo hàm, vi phân, ứng dụng tính gần đúng và quy tắc L'Hospital; khảo sát hàm nhiều biến, cực trị tự do và cực trị có điều kiện thông qua hàm Lagrange.
• Chương 8, 9, 10: Phép tính tích phân, Phương trình vi phân và Phương trình sai phân: Tích phân xác định (công thức Newton - Leibnitz), tích phân suy rộng; phương trình vi phân cấp 1 (phân ly biến số, đẳng cấp, tuyến tính, Bernoulli), phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp và hệ số hằng; phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2 trên lưới thời gian.

Kiến thức nền tảng được xây dựng

Giáo trình thiết lập ba hệ thống lý thuyết nền tảng:

1. Lý thuyết cấu trúc đại số tuyến tính: Bản chất không gian vectơ $\mathbb{R}^n$, tính độc lập tuyến tính, phép biến đổi tuyến tính qua ma trận đổi cơ sở và các bất biến số học (định thức, hạng, giá trị riêng).
2. Lý thuyết giải tích vi tích phân cổ điển: Khái niệm giới hạn, tính liên tục, phép tính vi phân đa biến và giải tích tích phân trên khoảng hữu hạn/vô hạn.
3. Lý thuyết động học phương trình vi phân - sai phân: Cơ sở giải phương trình vi phân (thời gian liên tục) và phương trình sai phân (thời gian rời rạc) để biểu diễn các quy luật biến động.

Kỹ năng phát triển

• Kỹ năng kỹ thuật tính toán (Technical skills): Thao tác chính xác các phép biến đổi sơ cấp ma trận, tính định thức cấp $n$, nghịch đảo ma trận, tính đạo hàm riêng và giải tích phân đa dạng.
• Kỹ năng phân tích logic (Analytical skills): Biện luận hệ số tham số $m, \lambda, \alpha$ trong hệ phương trình, xác định số chiều không gian và tính xác định dấu của dạng toàn phương.
• Năng lực ứng dụng định lượng (Practical competencies): Xử lý bài toán tối ưu hóa có ràng buộc trong kinh tế và thiết lập mô hình cân bằng động học thông qua sai phân và vi phân.

---

Phương pháp giảng dạy và học tập

Giáo trình áp dụng phương pháp sư phạm định hướng thuật toán và mô hình hóa (algorithmic and modeling approach). Thay vì phát triển sâu các chứng minh trừu tượng thuộc phạm trù toán học thuần túy, nội dung tập trung làm rõ bản chất của các định nghĩa, định lý và chuyển hóa chúng thành các quy trình tính toán cụ thể. Các mệnh đề lý thuyết được tinh giản chứng minh, đi kèm gợi ý logic để người học hiểu rõ nguồn gốc công thức.

Hệ thống bài tập và ví dụ mẫu được xây dựng bám sát cấu trúc từng đề mục lý thuyết:

• Mỗi khái niệm mới đều có ví dụ số học minh họa từng bước giải chi tiết (chẳng hạn ví dụ biến đổi sơ cấp tìm hạng của ma trận cỡ $4 \times 5$, hay tìm ma trận nghịch đảo cấp 3 bằng thuật toán ghép ma trận đơn vị $(A|E)$).
• Bài tập cuối mỗi chương được phân tầng: bài tập tính toán cơ bản, bài tập chứng minh tính chất, bài tập chứa tham số yêu cầu biện luận và các bài toán mô hình ứng dụng thực tế.

Phương pháp đánh giá học phần được thiết kế tương thích với phương thức thi tự luận hoặc trắc nghiệm khách quan định lượng. Thang đánh giá tập trung vào mức độ hiểu định nghĩa, kỹ năng tính toán chuẩn xác và khả năng lựa chọn phương pháp giải tối ưu (ví dụ: lựa chọn dòng có nhiều số 0 để khai triển định thức thay vì áp dụng máy móc công thức định nghĩa).

Đối với người học tự nghiên cứu, giáo trình định hướng quy trình học tập ba giai đoạn:

1. Nắm vững định nghĩa và xem xét kỹ ví dụ mẫu giải mẫu trong bài học.
2. Thực hành độc lập hệ thống bài tập cuối chương.
3. Đối chiếu kết quả tính toán với phần đáp án số học được cung cấp ở cuối giáo trình.

---

Điểm nổi bật và cập nhật

Giáo trình Toán cao cấp của Bộ môn Toán Kinh tế, Trường Đại học Thương mại sở hữu các điểm cải tiến học thuật và cập nhật qua các lần tái bản:

• Lịch sử hoàn thiện qua nhiều ấn bản: Khởi đầu từ giáo trình xuất bản năm 2000, tài liệu được biên soạn lại năm 2008, tái bản có sửa chữa và cấu trúc lại năm 2015, và tiếp tục chỉnh lý toàn diện vào năm 2017. Các lỗi chế bản, công thức số học và cấu trúc chương được chuẩn hóa qua ý kiến phản biện của hội đồng chuyên môn.
• Tối ưu hóa theo chuẩn chương trình tín chỉ: Nội dung được lược bỏ các chứng minh giải tích cồng kềnh nhằm phù hợp với việc cắt giảm thời lượng tín chỉ chung của Bộ Giáo dục và Đào tạo, tạo điều kiện tăng thời lượng cho luyện tập thuật toán tính toán.
• Tích hợp sâu mảng kiến thức Phương trình sai phân (Chương 10): Giáo trình dành riêng một chương hoàn chỉnh để khảo sát lý thuyết sai phân trên lưới thời gian, giải phương trình tuyến tính cấp 1, cấp 2 hệ số hằng và hệ số biến thiên, cùng các mô hình kinh tế động học thời gian rời rạc.
• Phụ lục hỗ trợ Số phức: Đưa phần ôn tập về tập số phức vào cuối Chương 9, cung cấp công cụ toán học cần thiết cho việc giải phương trình đặc trưng có nghiệm phức trong phương trình vi phân và phương trình sai phân.

---

Đối tượng sử dụng giáo trình

Giáo trình được biên soạn phục vụ các nhóm đối tượng học thuật cụ thể:

• Sinh viên đại học và cao đẳng: Sinh viên năm thứ nhất và năm thứ hai thuộc các khối ngành Kinh tế, Kinh doanh quốc tế, Tài chính - Kế toán, Thương mại điện tử, Marketing, Quản trị kinh doanh và Hệ thống thông tin quản lý.
• Yêu cầu kiến thức tiên quyết (Prerequisites): Người học cần hoàn thành chương trình Toán trung học phổ thông, bao gồm đại số sơ cấp, lượng giác, hình học tọa độ, cùng các kiến thức mở đầu về giới hạn, đạo hàm và tích phân hàm một biến.
• Giảng viên các trường đại học khối kinh tế: Tài liệu sử dụng làm giáo trình giảng dạy chính thức hoặc tài liệu tham khảo để biên soạn đề cương chi tiết học phần Toán cao cấp 1 (Đại số tuyến tính) và Toán cao cấp 2 (Giải tích toán học).
• Học viên sau đại học và người tự học: Phục vụ nghiên cứu sinh, học viên cao học cần ôn tập, củng cố các công cụ giải tích ma trận và phương trình vi phân - sai phân phục vụ xây dựng mô hình định lượng trong luận văn kinh tế.

---

Câu hỏi thường gặp

1. Giáo trình này phù hợp với đối tượng người học nào?
Giáo trình được biên soạn chuyên biệt cho sinh viên bậc đại học, cao đẳng theo học khối ngành Kinh tế, Tài chính, Kế toán và Quản trị kinh doanh cần trang bị công cụ toán học ứng dụng.

2. Cần kiến thức nền nào để học giáo trình này hiệu quả?
Người học cần nắm vững kiến thức toán phổ thông gồm đại số cơ bản, lượng giác, phương pháp giải hệ phương trình và các khái niệm sơ cấp về đạo hàm, tích phân.

3. Điểm khác biệt của giáo trình này so với các tài liệu Toán cao cấp khối kỹ thuật?
Giáo trình tinh giản tối đa các chứng minh lý thuyết trừu tượng, tăng cường các thuật toán xử lý ma trận số học và tích hợp trọng tâm phần Phương trình sai phân cùng các bài toán cực trị có điều kiện ứng dụng trực tiếp trong kinh tế.

4. Làm sao để tự học giáo trình đạt kết quả cao?
Người học nên bám sát cấu trúc từng bài học, giải lại các ví dụ mẫu có sẵn lời giải, sau đó hoàn thành toàn bộ bài tập cuối chương và đối chiếu đáp số ở phần hướng dẫn giải cuối sách.

5. Có tài liệu bổ trợ nào kèm theo trong sách không?
Giáo trình tích hợp phần Phụ lục ôn tập Số phức (Chương 9), phần đọc tham khảo về phương trình sai phân cấp cao, sai phân phi tuyến (Chương 10) và danh mục tài liệu tham khảo học thuật chọn lọc.

---

Kết luận

Giáo trình Toán cao cấp (Dùng cho sinh viên học các hệ kinh tế) của Bộ môn Toán Kinh tế, Trường Đại học Thương mại cung cấp hệ thống kiến thức toàn diện, chuẩn xác về Đại số tuyến tính, Giải tích toán học, Phương trình vi phân và Phương trình sai phân. Lộ trình học tập được thiết kế khoa học: xây dựng kỹ thuật tính toán ma trận, mở rộng không gian vectơ, tiếp cận giải tích đa biến và hoàn thiện kỹ năng mô hình hóa phương trình động học. Kết hợp cùng hệ thống bài tập tự luyện và các chuyên đề tham khảo, giáo trình đáp ứng đầy đủ yêu cầu đào tạo toán đại cương cho khối ngành kinh tế theo chuẩn tín chỉ hiện hành.

Trích đoạn nội dung tài liệu

mở đầu Ta đã biết về các số thực và các phép toán trên tập các số thực. Khi nhiều số thực được sắp xếp lại với nhau theo một trật tự được quy định nào đó, ta sẽ có các đối tượng tổng quát hơn. Một trong số đó là các ma trận, được định nghĩa ngay sau đây.1 Có m × n số thực aij , được sắp thành một bảng hình chữ nhật gồm m dòng, n cột như sau   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A = .  am1 am2 · · · amn Khi đó, bảng này được gọi là một ma trận cỡ m × n.

Số aij gọi là phần tử nằm ở giao của dòng thứ i và cột thứ j (i = 1, m, j = 1, n) của ma trận A. • Ta thường dùng kí hiệu rút gọn: A = (aij )m×n. • Ma trận −A = (−aij )m×n gọi là ma trận đối của A. • Ma trận cỡ m×n có mọi phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không cỡ m × n, kí hiệu là O hoặc chi tiết hơn là Om×n.

3 • Ma trận chuyển vị của A là ma trận có kí hiệu A0 (hoặc AT ), nhận được từ A bằng cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột và giữ nguyên thứ tự các dòng, các cột.  a1n a2n · · · amn Quan hệ "bằng" giữa các ma trận Định nghĩa 1.2 Hai ma trận cùng cỡ A = (aij )m×n và B = (bij )m×n được gọi là bằng nhau nếu các cặp phần tử tương ứng của chúng đôi một bằng nhau: A = B ⇔ aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Trong chương trình ta không đưa vào các phép so sánh ma trận: A > B, A < B; A > 0,. và cũng không so sánh các ma trận khác cỡ.2 Ma trận vuông Các ma trận có dạng đặc biệt sau đây là rất quan trọng trong các nội dung tiếp theo.

• Ma trận cỡ n × n còn được gọi là ma trận vuông cấp n   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A = .  an1 an2 · · · ann Các phần tử a11 , a22 , ., ann là phần tử nằm trên đường chéo chính. Còn các phần tử an1 , a(n−1)2 , ., a1n là phần tử nằm trên đường chéo phụ. • Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả  các phần tử nằm  về a11 a12 · · · a1n  0 a22 · · · a2n  phía dưới của đường chéo chính đều bằng 0: A = .

 0 0 · · · ann 4   a11 0 · · · 0  a21 a22 · · · 0  Tương tự, ma trận tam giác dưới: A = .  an1 an2 · · · ann • Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0.  0 0 · · · ann • Ma trận đơn vị cấp n:   1 0 ··· 0 0 1 · · · 0 En := .  0 0 · · · 1 n×n Nếu không có khả năng nhầm lẫn, nhiều khi ta kí hiệu En một cách đơn giản là E.3 Các phép toán trên ma trận 1.

Phép cộng, trừ hai ma trận và phép nhân ma trận với một số Định nghĩa 1.3 Cho hai ma trận cùng cỡ A = (aij )m×n và B = (bij )m×n. • Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cùng cỡ, kí hiệu là A+B, được xác định như sau: A + B = (aij + bij )m×n. • Hiệu của A và B là ma trận A − B = A + (−B) = (aij − bij )m×n. • Tích của ma trận A với số thực α là một ma trận cùng cỡ với ma trận 5 A, kí hiệu là αA, được xác định như sau: αA = α(aij )m×n = (αaij )m×n.

Một vài tính chất thường dùng. Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cỡ, α, β là hai số thực bất kỳ, khi đó: • A + B = B + A. Các tính chất này đều có thể kiểm tra nhờ các định nghĩa về các phép toán ở trên. Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 1.4 Cho A là một ma trận cỡ m × p: A = (aij )m×p và B là một ma trận cỡ p × n: B = (bij )p×n.

Tích của A và B là một ma trận cỡ m × n, kí hiệu AB := C = (cij )m×n , trong đó p X cij = aik bkj (i = 1, 2,. 1) Phép nhân ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. 2) Nếu A là ma trận vuông thì có thể dùng kí hiệu An = AA. Tính chất của phép nhân ma trận Khi A, B, C có cỡ phù hợp để các phép tính thực hiện được, ta có thể chứng minh các tính chất sau của phép nhân ma trận: 1.

Đặc biệt, nếu A là ma trận vuông cùng cấp với ma trận E thì AE = EA = A. Ngoài ra, ta sẽ cần đến các tính chất sau của phép chuyển vị ma trận: 1) (A0 )0 = A. Có thể chứng minh các tính chất này bằng cách tính toán trực tiếp. b) Phép nhân BA có thực hiện được không? Lời giải.

a) Số cột của A và số dòng của B đều là p = 2 nên phép nhân AB thực hiện được. Cỡ của C là 3 × 4. c31 c32 c33 c34 4 4 −4 8 b) Phép nhân BA không thực hiện được vì số cột của B khác với số dòng của A. 1) Cần phân biệt hai kí hiệu AB 6= BA và AB 6≡ BA.

2) Các tích AB và BA không nhất thiết cùng thực hiện được. Ngay cả khi cả hai đều thực hiện được, có thể chúng vẫn không bằng nhau.4 Ba phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ta sẽ thường xuyên dùng đến các phép biến đổi sau đây trên các dòng hoặc các cột của các ma trận (và tương tự cho một số đối tượng khác về sau). Giao hoán hai dòng (hoặc hai cột) khác nhau của ma trận. Nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với cùng một số thực khác 0.

Nhân một dòng (hoặc một cột) với một số rồi cộng vào một dòng (hoặc cột) khác. Ta có thể chỉ ra rằng các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thực chất chỉ là các phép nhân vào bên phải hoặc bên trái ma trận đó với một trong ba loại ma trận có hình dáng đặc biệt, được kí hiệu S (k) (i, j), k = 1, 2, 3 sau đây. Với i 6= j, p nào đó: (1) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó ( 1 khi i 6= h = k 6= j; h = i và k = j; h = j và k = i shk = 0 trong các trường hợp khác.  0 trong các trường hợp khác.

  1 khi h = k  (3) Sp×p (i, j) = (shk )p×p , trong đó shk = α khi h = i và k = j  0 trong các trường hợp khác.  8 Đề nghị bạn đọc tự viết các ma trận trên với các phần tử cụ thể. Ta có thể kiểm tra được rằng các cặp phép toán sau đây thực chất là như nhau: (1) 1) Giao hoán dòng i và dòng j của Am×n ; Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n. (1) 2) Giao hoán cột i và cột j của Am×n ; Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n.

(2) 3) Nhân các phần tử của dòng i của Am×n với số α (α 6= 0); Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n. (2) 4) Nhân các phần tử của cột i của Am×n với số α (α 6= 0); Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n. (3) 5) Nhân dòng j của Am×n với số α rồi cộng vào dòng i; Nhân Sm×m (i, j) vào bên trái ma trận Am×n. (3)0 6) Nhân cột j của Am×n với số α rồi cộng vào cột i; Nhân Sn×n (i, j) vào bên phải ma trận Am×n .2 Định thức Các ma trận là các bảng của các số thực chứ không phải là các số thực.

Tuy nhiên, chúng có thể có một số đặc trưng số. Với các ma trận vuông, đặc trưng số quan trọng nhất là "định thức", một khái niệm được định nghĩa ngay dưới đây. Định nghĩa này được xây dựng bằng phương pháp quy nạp theo cấp của ma trận vuông.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.5 Cho ma trận vuông cấp n: A = (aij )n×n. Định thức của ma trận A là một số thực có ký hiệu là |A| hoặc det(A), và độ lớn được xác định theo cách dưới đây.

Định thức của ma trận vuông cấp một A = (a11 ) là số thực được xác định như sau: |A| = |(a11 )| := a11. Giả sử đã có công thức tính định thức đến cấp n − 1. Khi đó, độ lớn của định thức của ma trận vuông cấp n: A = (aij )n×n được xác định như sau a11 a12 , ., ann 9 trong đó: Mij là định thức cấp n − 1, nhận được từ |A| bằng cách xóa đi dòng thứ i và cột thứ j; và i là một dòng tuỳ ý của ma trận A. Định thức cấp hai: a11 a12 = a11 a22 − a12 a21.

a21 a22 Quả vậy, phân tích theo dòng 1, ta có: a11 a12 = a11 (−1)1+1 |(a22 )| + a12 (−1)1+2 |(a21 )| = a11 a22 − a12 a21. Định thức cấp ba (Công thức Sarraut). Quả vậy, phân tích theo dòng 1, ta có a11 a12 a13 a a a21 a22 a23 = a11 (−1)1+1 22 23 a32 a33 a31 a32 a33 a21 a23 a a +a12 (−1)1+2 + a13 (−1)1+3 21 22 a31 a33 a31 a32 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32. Đẳng thức này có tên gọi "Công thức Sarraut".

Tổng này có 6 số hạng, gồm 3 số hạng mang dấu "+" và 3 số hạng mang dấu "-". Mỗi số hạng là tích của ba phần tử ở các dòng, các cột khác nhau. Dấu của các số hạng có thể nhớ theo nhiều cách, chẳng hạn: - Ba số hạng mang dấu cộng gồm có: Tích các phần tử nằm trên đường chéo chính và tích các phần tử nằm trên ba đỉnh của tam giác có một cạnh song song với đường chéo chính (có hai tam giác như vậy).