Luận án tính toán số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số của Phan Quang Tuyển tại ĐHKHTN

Luận án tiến sĩ nghiên cứu tính toán số mũ Lyapunov cho hệ phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn của Phan Quang Tuyển tại ĐHKHTN Hà Nội.

• Tác giả: Phan Quang Tuyển
• Người hướng dẫn: GS. Vũ Hoàng Linh
• Trường học: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Tính toán số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn
• Loại tài liệu: Luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2026
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng quan tính số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số

Số mũ Lyapunov là đại lượng toán học quan trọng trong lý thuyết hệ động lực. Đại lượng này đo lường tốc độ phân kỳ hoặc hội tụ của các quỹ đạo lân cận. Nghiên cứu số mũ Lyapunov giúp xác định tính ổn định và hành vi hỗn loạn của hệ thống. Phương trình vi phân đại số xuất hiện phổ biến trong kỹ thuật, vật lý và kinh tế. Dạng phương trình này kết hợp giữa phương trình vi phân và các ràng buộc đại số phi tuyến. Luận án tiến sĩ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đã tập trung nghiên cứu sâu về chủ đề này. Đề tài mở rộng các định lý cổ điển của Oseledets và Lyapunov sang lớp hệ vi phân đại số. Việc phân tích phổ Lyapunov cung cấp công cụ định lượng chính xác về mặt lý thuyết. Hệ vi phân đại số có cấu trúc phức tạp hơn nhiều so với hệ vi phân thông thường. Ma trận hệ số của đạo hàm thường suy biến và có chỉ số lớn hơn không. Vì vậy, các định nghĩa toán học truyền thống cần được hiệu chỉnh lại cẩn thận. Mô hình hóa động lực học thông qua hệ ràng buộc đòi hỏi các kỹ thuật giải tích chuyên sâu. Các kết quả nghiên cứu tại Khoa Toán - Cơ - Tin học mang lại nền tảng khoa học vững chắc.

1.1. Khái niệm cơ bản về số mũ Lyapunov trong hệ động lực

Số mũ Lyapunov đặc trưng cho tốc độ tăng trưởng tiệm cận của nghiệm theo thời gian. Giá trị dương thể hiện tính nhạy cảm đối với điều kiện ban đầu. Quỹ đạo nghiệm phân kỳ hàm mũ khi xuất hiện số mũ mang dấu dương. Hệ thống rơi vào trạng thái hỗn loạn nếu tồn tại ít nhất một số mũ dương. Ngược lại, giá trị âm phản ánh sự co lại của thể tích không gian pha. Hệ thống tiến dần về trạng thái cân bằng hoặc chu trình giới hạn ổn định. Ma trận nghiệm cơ bản đóng vai trò cốt lõi trong công thức tính toán. Các giá trị riêng tiệm cận biểu diễn phổ số mũ đặc trưng một cách tường minh. Định lý Lyapunov đảm bảo tính bất biến của phổ dưới các phép biến đổi tương đương.

1.2. Đặc thù của phương trình vi phân đại số tại ĐHKHTN Hà Nội

Phương trình vi phân đại số bao gồm thành phần vi phân kết hợp phương trình đại số. Ma trận trước số hạng đạo hàm bị suy biến khiến hệ thống không thể giải tường minh. Nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội phân tích chi tiết chỉ số kỳ dị. Chỉ số này phản ánh mức độ khó khăn khi giải số và tính ổn định. Không gian trạng thái bị giới hạn trên một đa tạp đại số trơn. Mọi quỹ đạo nghiệm bắt buộc phải thỏa mãn nghiêm ngặt các ràng buộc ban đầu. Các nhà khoa học tại cơ sở đã thiết lập khung lý thuyết mới cho hệ thống này. Công trình giúp chuẩn hóa việc xác định phổ Lyapunov trên đa tạp ràng buộc.

II. Khó khăn khi tính số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số

Việc tính toán số mũ Lyapunov cho hệ vi phân đại số gặp nhiều trở ngại lớn. Trở ngại đầu tiên xuất phát từ tính suy biến của ma trận đạo hàm. Phương pháp vi phân thông thường không thể áp dụng trực tiếp cho hệ có ràng buộc. Không gian nghiệm bị thu hẹp đáng kể trên các đa tạp đại số phức tạp. Nghiệm số dễ phát sinh sai số trôi dạt khỏi mặt cong nghiệm lý thuyết. Sai số này tích lũy nhanh chóng theo thời gian tích phân kéo dài. Tính bất ổn định số học làm biến dạng hoàn toàn phổ Lyapunov thực tế. Ngoài ra, việc xác định cơ sở chuẩn tắc đòi hỏi khối lượng tính toán khổng lồ. Hệ số suy biến làm cho các ma trận chuyển đổi trở nên kém ổn định. Hiện tượng cứng xuất hiện phổ biến trong nhiều mô hình thực tế. Các thang đo thời gian khác biệt làm tăng độ nhạy cảm của thuật toán. Sự thiếu hụt các công cụ xấp xỉ đáng tin cậy từng là rào cản lớn. Các nhà toán học cần kiểm soát đồng thời điều kiện đại số và phương trình vi phân. Sai số cắt cụt có thể dẫn đến việc kết luận sai về trạng thái hỗn loạn.

2.1. Hiện tượng suy biến ma trận và sự trôi dạt ràng buộc đại số

Tính suy biến khiến đạo hàm của một số biến trạng thái không xuất hiện trực tiếp. Ma trận khối suy biến ngăn cản việc nghịch đảo ma trận theo cách thông thường. Thuật toán số tích phân từng bước dễ khiến quỹ đạo lệch khỏi ràng buộc đại số. Hiện tượng này được gọi là sai số trôi dạt nghiệm trong phương pháp số. Sai số trôi dạt làm sai lệch hoàn toàn hướng phân kỳ của các vectơ tiếp xúc. Khi đó, các số mũ Lyapunov tính toán được không còn phản ánh đúng bản chất vật lý. Việc chiếu nghiệm trở lại đa tạp đòi hỏi chi phí tính toán rất cao. Sự mất ổn định này là bài toán kỹ thuật cần được khắc phục triệt để.

2.2. Khó khăn trong xây dựng cơ sở chuẩn tắc cho hệ suy biến

Xây dựng ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc là yêu cầu cốt lõi của lý thuyết. Tuy nhiên, hệ vi phân đại số không có không gian pha đầy đủ như hệ vi phân thường. Các cột nghiệm độc lập tuyến tính dễ bị suy giảm trực giao trong quá trình tích phân. Ma trận chuyển vị gặp hiện tượng gần suy biến sau một khoảng thời gian ngắn. Sự suy giảm này gây ra sai số lớn khi lấy giới hạn logarit tiệm cận. Việc duy trì tính độc lập đòi hỏi các phép tái trực giao hóa liên tục. Các kỹ thuật đại số tuyến tính cổ điển thường thất bại trước cấu trúc khối phức tạp. Đây chính là nút thắt lớn trong nghiên cứu tính toán lý thuyết.

III. Phương pháp tính số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số

Để giải quyết các thách thức toán học, luận án đề xuất các thuật toán hiện đại. Phương pháp phân tích QR đóng vai trò chủ đạo trong việc tính toán phổ. Thuật toán chia thành hai hướng tiếp cận chính gồm QR gián đoạn và QR liên tục. Phương pháp QR gián đoạn thực hiện tích phân song song cùng quá trình trực giao hóa từng bước. Phép phân tích ma trận tại mỗi mắt lưới giúp duy trì sự độc lập tuyến tính của các vectơ nghiệm. Ngược lại, kỹ thuật QR liên tục thiết lập hệ phương trình vi phân đại số bổ sung cho ma trận trực giao. Cấu trúc tam giác trên của ma trận R bảo đảm việc trích xuất số mũ ổn định. Các phần tử trên đường chéo cung cấp giá trị tích lũy trực tiếp theo thời gian. Bên cạnh đó, kỹ thuật tự động điều chỉnh bước lưới được tích hợp chặt chẽ. Cơ chế này kiểm soát sai số cục bộ và tối ưu hóa thời gian tính toán. Thuật toán bảo toàn tính chất ràng buộc trên toàn bộ khoảng thời gian tích phân. Phương pháp mang lại độ chính xác cao cho cả hệ vi phân đại số chỉ số một và chỉ số cao.

3.1. Thuật toán QR gián đoạn với bước lưới tự điều chỉnh

Phương pháp QR gián đoạn tích phân hệ thống qua các khoảng thời gian hữu hạn. Tại mỗi điểm chia lưới, ma trận nghiệm được phân tích thành tích của ma trận Q và R. Ma trận trực giao Q bảo toàn phương trực giao của không gian tiếp xúc. Ma trận tam giác trên R lưu trữ các hệ số khuếch đại biên độ. Các phần tử chéo của R được lấy logarit để tính toán tổng tích lũy. Bước lưới tích phân tự động co giãn dựa trên ước lượng sai số cục bộ. Kỹ thuật này ngăn chặn hiện tượng tràn số và suy giảm bậc ma trận. Thuật toán bảo đảm độ hội tụ vững chắc của phổ Lyapunov.

3.2. Phương pháp QR liên tục trên đa tạp ràng buộc đại số

Phương pháp QR liên tục chuyển đổi bài toán tìm phổ thành hệ vi phân mở rộng. Đạo hàm của ma trận nghiệm được thay thế trực tiếp vào phương trình tuyến tính hóa. Ma trận trực giao Q thỏa mãn một hệ phương trình vi phân phi tuyến trên nhóm Lie. Kỹ thuật nhân tử Lagrange hoặc phép chiếu trực giao loại bỏ hoàn toàn sai số trôi dạt. Các phương trình vi phân đại số bổ sung giữ cho quỹ đạo nằm nghiêm ngặt trên đa tạp. Phương pháp này thích hợp cho các bài toán có tính liên tục cao. Độ ổn định số học được duy trì ngay cả khi chuỗi thời gian tiến tới vô cùng.

IV. Đánh giá ứng dụng tính số mũ Lyapunov phương trình vi phân đại số

Nghiên cứu về số mũ Lyapunov cho hệ vi phân đại số mang giá trị khoa học to lớn. Kết quả từ Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đóng góp quan trọng cho ngành Toán ứng dụng. Các thuật toán đề xuất mở ra khả năng mô phỏng chính xác nhiều hệ thống thực tế. Trong kỹ thuật điện, phương pháp hỗ trợ đánh giá độ ổn định của mạng lưới điện phức hợp. Trong cơ học nhiều vật, thuật toán phân tích dao động hỗn loạn của các liên kết cơ học cứng. Lĩnh vực kỹ thuật hóa học áp dụng mô hình để tối ưu hóa quá trình phản ứng động lực học. Sự kết hợp giữa lý thuyết giải tích và thuật toán số tạo nên công cụ chẩn đoán mạnh mẽ. Các nhà nghiên cứu có thể dự báo sớm các phân nhánh nguy hiểm trong hệ thống động lực. Hơn nữa, phương pháp còn mở rộng thành công cho các phương trình sai phân ẩn. Luận án khẳng định vị thế tiên phong của các nhà toán học Việt Nam trong lĩnh vực toán tính toán. Công trình cung cấp tài liệu tham khảo giá trị cho các nghiên cứu chuyên sâu tiếp theo.

4.1. Ứng dụng trong phân tích ổn định hệ thống điện và cơ học

Mạng lưới điện hiện đại thường được mô tả bởi các hệ vi phân đại số phức tạp. Dao động công suất và điện áp phụ thuộc chặt chẽ vào các ràng buộc lưới truyền tải. Việc tính toán chính xác số mũ Lyapunov giúp phát hiện sớm hiện tượng mất đồng bộ. Trong ngành kỹ thuật cơ khí, các cơ cấu tay máy nhiều khâu có nhiều ràng buộc hình học. Số mũ Lyapunov đóng vai trò tiêu chí đánh giá dao động phi tuyến và chuyển động hỗn loạn. Nhờ thuật toán mới, kỹ sư có thể thiết kế bộ điều khiển bền vững hơn. Mô phỏng số xác nhận tính hiệu quả cao của phương pháp trong thực tiễn.

4.2. Triển vọng mở rộng cho phương trình sai phân ẩn và hệ ngẫu nhiên

Thành công trên hệ vi phân đại số tạo tiền đề mở rộng sang hệ rời rạc. Phương trình sai phân ẩn xuất hiện khi rời rạc hóa các phương trình đạo hàm riêng. Thuật toán QR tiếp tục phát huy hiệu quả cao trên mô hình sai phân thời gian. Bên cạnh đó, hướng nghiên cứu hệ vi phân đại số ngẫu nhiên đang thu hút nhiều sự quan tâm. Việc bổ sung nhiễu ngẫu nhiên vào mô hình phản ánh sát hơn các dao động môi trường. Nhóm nghiên cứu tại Hà Nội tiếp tục hoàn thiện các ước lượng phổ lý thuyết. Các công bố khoa học quốc tế khẳng định tiềm năng ứng dụng rộng rãi của đề tài.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Việc nghiên cứu các hệ động lực, bao gồm hệ liên tục (phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đại số) và hệ rời rạc (phương trình sai phân thường, phương trình sai phân ẩn), đã có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học như toán học, vật lý, sinh học, hóa học. Trong lý thuyết định tính của hệ phương trình vi phân (PTVP), bên cạnh các vấn đề về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán ổn định là một trong những nội dung nghiên cứu quan trọng nhất. Một cách trực quan, một hệ được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nếu những nhiễu nhỏ trong điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ chỉ gây ra những biến đổi nhỏ của trạng thái hệ so với trạng thái cân bằng đó. Để nghiên cứu tính ổn định, đã có nhiều phương pháp được phát triển, tiêu biểu như phương pháp xấp xỉ, phương pháp so sánh, phương pháp số mũ đặc trưng (còn gọi là phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ hai của Lyapunov), v.

Đối với các hệ tuyến tính, các khái niệm khác nhau về phổ như phổ Lyapunov, phổ Bohl, phổ Sacker-Sell đã được nghiên cứu sâu rộng trong nhiều năm qua; chúng cung cấp những công cụ hữu hiệu để phân tích và đánh giá tính ổn định của hệ. Xét trường hợp đơn giản nhất là hệ PTVP tuyến tính hệ số hằng x′ (t) = Ax(t), A ∈ Rn×n , t ∈ I = [t0 , ∞). (1) Việc kiểm tra sự ổn định của hệ (1) khá đơn giản thông qua các giá trị riêng của ma trận hệ số A. Một hệ PTVP với hệ số hằng (1), trong đó A ∈ Rn×n , là ổn định tiệm cận nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A có phần thực âm.

Tuy nhiên, sự ổn định của PTVP với hệ số biến thiên lại khá khác biệt. Thậm 5 chí nếu với mọi t ∈ R, ma trận A(t) có các giá trị riêng với các phần thực âm thì hệ PTVP x′ = A(t)x vẫn có thể không ổn định. Chúng ta xét một phản ví dụ sau để thấy rõ điều đó. Xét PTVP dạng x′ = A(t)x với ma trận hệ số   −1 + 23 cos2 (t) 1 − 32 sin(t) cos(t) A(t) =  .

2 −1 − 32 sin(t) cos(t) 3 −1 + 2 sin (t) Tính toán một số bước đơn giản trong đại số tuyến tính, ta có thể chỉ ra được 1 các giá trịriêng  âm là− 4. Với điều kiện ban  của ma trận A(t) đều có phần thực 1 cos(t) đầu x0 =  , thì nghiệm của hệ là x(t) = et/2  . Ta thấy rằng nghiệm 0 − sin(t) này không bị chặn khi t → ∞, và như vậy hệ đã cho không ổn định. Để nghiên cứu tính ổn định của các hệ tuyến tính, các khái niệm khác nhau về phổ như phổ Lyapunov, phổ Bohl, và phổ Sacker-Sell trong nhiều năm qua đã được nghiên cứu, bắt đầu từ luận án của A.

Lyapunov [52] về số mũ đặc trưng (phương pháp thứ nhất Lyapunov) được xuất bản lần đầu tiên năm 1892. Tiếp theo các ý tưởng từ luận án của Lyapunov, số mũ Lyapunov cùng với lý thuyết ổn định của nó đã được phát triển bởi nhiều tác giả như Perron, Bohl, Bylov, Izobov, Millionshchikov. , xem [1, 11, 15, 23, 31, 39, 53] và các trích dẫn trong đó. Số mũ Lyapunov, hay số mũ đặc trưng Lyapunov, mô tả tốc độ tăng trưởng của nghiệm của các PTVP tuyến tính phụ thuộc thời gian và bằng cách tuyến tính hóa theo các quỹ đạo nghiệm để xác định tốc độ hội tụ hoặc phân kỳ của các quỹ đạo gần đó đối với các PTVP dạng phi tuyến.

Xét PTVP tuyến tính dạng: x′ (t) = A(t)x(t), t ≥ 0, (2) trong đó A : [0, ∞) → Rn×n là một hàm liên tục và bị chặn. Với nghiệm không tầm thường x(t), chúng ta định nghĩa số mũ Lyapunov trên 1 λu (x) = lim sup ln ∥x(t)∥.1′ trong [1], vì A(t) bị chặn nên các số mũ Lyapunov là hữu hạn. Số mũ Lyapunov có thể sử dụng để chỉ ra sự ổn định của hệ thông qua định lý sau 6 Định lý 0. [52, Lyapunov] Nếu số mũ Lyapunov lớn nhất cho tất cả các nghiệm của hệ (2) là âm, thì hệ đó ổn định tiệm cận.

Các khái niệm cùng các tính chất của số mũ đặc trưng Lyapunov, cũng như sự ổn định của số mũ Lyapunov được trình bày trong sách chuyên khảo của Adrianova, và cuốn sách này được sử dụng như một phần giới thiệu dễ tiếp cận về việc sử dụng số mũ Lyapunov trong lý thuyết ổn định, xem [1]. Trái ngược với sự phát triển mạnh mẽ của các kết quả lý thuyết, các phương pháp số nhằm tính toán số mũ Lyapunov cũng như các khoảng phổ Lyapunov và phổ Sacker–Sell chỉ mới được quan tâm nghiên cứu trong thời gian tương đối gần đây. Từ những năm 1980, Benettin và các cộng sự đã đề xuất một trong những hướng tiếp cận phương pháp số cơ bản đầu tiên để xấp xỉ số mũ Lyapunov (xem [12]). Phương pháp này được xây dựng dựa trên nền tảng của định lý nhân Ergodic [57].

Tuy nhiên, cách tiếp cận này tồn tại những hạn chế nhất định về mặt lý thuyết: thứ nhất, yêu cầu hệ đang xét phải là các hệ chính quy theo nghĩa giới hạn trên (lim sup) trong định nghĩa số mũ Lyapunov trở thành giới hạn thực sự (lim); thứ hai, tính toán số mũ Lyapunov theo phương pháp của Benettin và cộng sự dựa vào các cột của ma trận nghiệm cơ bản của hệ (2), điều này dẫn đến việc tăng chi phí và độ ổn định khi phải tính toán chuẩn của các cột ma trận nghiệm cơ bản. Nhằm khắc phục việc phải tính toán trực tiếp trên các ma trận nghiệm cơ bản và tăng độ chính xác, nhóm tác giả Dieci và Van Vleck đã nghiên cứu các kỹ thuật tính toán ổn định dựa trên phép phân tích QR. Bằng cách áp dụng phân tích QR cho ma trận nghiệm cơ bản, bài toán xấp xỉ số mũ Lyapunov được đưa về việc giải quyết trên các hệ tam giác trên. Trong một loạt các công trình của mình, xem [26, 28, 30, 31, 32, 34, 35], Dieci và Van Vleck đã giả thiết tính chất tách được tích phân của ma trận nghiệm cơ bản để đảm bảo tính ổn định khi xấp xỉ các số mũ Lyapunov.

Chúng ta chú ý rằng trong việc tính toán số thì số mũ Lyapunov cần phải ổn định, do đó tính chất tách được tích phân sẽ là điều kiện đủ cho các số mũ Lyapunov của hệ tuyến tính là ổn định, xem [1, Chương 5], trong khi đó hệ có tính chính quy không đảm bảo cho sự liên tục hay ổn định của các số mũ Lyapunov. Đặc biệt hơn, trong [32], các tác giả đã chỉ ra rằng nếu hệ tam giác trên có đường chéo với tính chất tách được tích phân, thì đường chéo này có thể sử dụng để xấp 7 xỉ số mũ cũng như khoảng phổ Lyapunov. Đối với bài toán n chiều dạng (2) với ma trận hệ số A(t) bị chặn thì phổ của hệ sẽ có nhiều nhất n phần tử, và có lẽ tự nhiên hơn khi chúng ta nghĩ rằng phổ của hệ PTVP tuyến tính không tự trị là một thể liên tục. Ta xét ví dụ sau Ví dụ 0.

Cho PTVP vô hướng tuyến tính dạng x′ = (sin (ln t) + cos (ln t))x, với t ≥ t0 > 0. Nghiệm của hệ trên là x(t) = exp (t sin (ln t))x0 , với x0 = x(t0 ) exp (−t0 sin (ln t0 )) và tốc độ tăng trưởng của nghiệm sẽ nằm trong khoảng [−1, 1]. Trong các công trình của Dieci và Van Vleck, giả thiết về tính chất tách được tích phân của hệ nhằm đảm bảo tính ổn định của các số mũ Lyapunov. Tuy nhiên, đối với nhiều bài toán mà hệ (2) không chính quy theo nghĩa Lyapunov, ta thường thu được các khoảng phổ Lyapunov có dạng [λli , λui ], trong đó giá trị được xác định 1 bởi λli = lim inf ln ∥x(t)∥ luôn được định nghĩa tốt.

Để xấp xỉ số mũ Lyapunov t→∞ t kỹ thuật khai triển kì dị (SVD) của ma trận nghiệm cơ bản có thể được sử dụng. Trong mục 7 (xem [32]), các tác giả đã chỉ ra rằng phương pháp SVD khả thi khi ma trận nghiệm cơ bản X của (2) có tính chất tách được tích phân và giả thiết tồn tại một khai triển SVD trơn với các giá trị kì dị khác nhau. Hơn nữa, chi phí cho phương pháp khai triển SVD cũng đắt hơn so với phân tích QR nên chúng ta chủ yếu nghiên cứu về việc sử dụng phương pháp phân tích QR. ˆ Phương pháp QR rời rạc.

Phương pháp phổ biến nhất để tính toán số mũ Lyapunov là thuật toán QR rời rạc. Phương pháp này xuất phát từ các công trình của Benettin và cộng sự, trong đó các tác giả sử dụng thuật toán Gram-Schmidt để thực hiện phân tích QR. Về sau, phương pháp này đã được cải tiến thông qua việc áp dụng phép biến đổi Householder nhằm nâng cao độ ổn định và hiệu quả của phép phân tích QR. Ý tưởng chính của thuật toán này là đi tính toán gián tiếp ma trận nghiệm cơ bản X(t) của (2) tại các điểm t0 < t1 < · · · < tj < tj+1 < · · ·.

Tại các đoạn con [tj , tj+1 ] ′ ta đi giải PTVP Xj = A(t)Xj với điều kiện ban đầu (ĐKBĐ) X(tj ) = Qj và sau đó thực hiện một phân tích QR: X(tj+1 ) = Qj+1 Rj+1. Trong đó ma trận trực giao 8 Qj+1 được sử dụng là ĐKBĐ mới để tích phân cho đoạn tiếp theo và việc tính toán số mũ Lyapunov dựa vào các phần tử đường chéo của ma trận Rj+1. ˆ Phương pháp QR liên tục. Phương pháp này sẽ thu được PTVP trực tiếp đối với Q và R.

Thay vì tính tích phân hệ PTVP sau đó phân tích QR như phương pháp QR rời rạc, thì ở đây thuật toán sẽ đi phân tích QR trước và sau đó mới đi giải số PTVP. Giả sử ma trận nghiệm cơ bản X(t) được phân tích X(t) = Q(t)R(t), trong đó Q(t) là ma trận trực giao và R(t) là ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo là dương. Tính đạo hàm của X : X ′ = Q′ R + QR′ , thay vào PTVP X ′ = A(t)X ta thu được các PTVP đối với thành phần Q và R là Q′ = QS(Q), R′ = [Q⊤ AQ − S(Q)]R, trong đó S(Q) = Q⊤ Q′ là ma trận phản đối xứng.