Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ và ứng dụng trong lý thuyết điều khiển" do nghiên cứu sinh Dương Thị Hồng thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Mai Viết Thuận và PGS. Đinh Công Hướng, chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số: 9 46 01 12) tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên (bảo vệ năm 2022).

          HỆ ĐỘNG LỰC PHÂN THỨ CAPUTO (BẬC α ∈ (0, 1))
                 Áp dụng Khung phân tích Định tính
             Chuyển hóa & Giải thuật toán học

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Giải tích phân thứ (vi tích phân bậc tùy ý) là sự mở rộng tự nhiên của phép tính vi tích phân cổ điển, đóng vai trò mô hình hóa các quá trình vật lý có hiệu ứng "trí nhớ" và tính chất di truyền (như biến dạng cơ học polyme, tính chất lưu biến của đá, truyền sóng điện từ, quá trình điện hóa, cũng như mô hình dịch bệnh lan truyền). Trong lý thuyết điều khiển, các hệ phương trình vi phân phân thứ không sinh ra toán tử có tính chất nửa nhóm, khiến nghiệm của hệ không có tính chất cục bộ theo thời gian mà phụ thuộc vào toàn bộ lịch sử biến thiên trong quá khứ. Do đó, các công cụ giải tích áp dụng cho phương trình vi phân bậc nguyên thông thường không thể sử dụng trực tiếp.

Bên cạnh đó, việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov gặp trở ngại lớn do quy tắc đạo hàm tích Leibniz thông thường không còn nghiệm đúng đối với đạo hàm phân thứ. Mặt khác, các yếu tố thực tế như độ trễ thời gian (trễ rời rạc và trễ phân bố), sai số mô hình hóa (tính không chắc chắn tổ hợp lồi, nhiễu bên ngoài bị chặn), và sự hạn chế trong việc đo lường đầy đủ các biến trạng thái (đòi hỏi điều khiển phản hồi đầu ra) làm tăng độ phức tạp trong phân tích ổn định, thụ động và tiêu hao. Việc xây dựng các tiêu chuẩn định tính dưới dạng giải được bằng thuật toán số là yêu cầu cấp thiết mà luận án đặt ra.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án tập trung giải quyết 4 nhóm nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể:

  1. Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov và thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo không chắc chắn tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp (trễ rời rạc và trễ phân bố).
  2. Xây dựng tiêu chuẩn bị chặn trong thời gian hữu hạn và tiêu chuẩn thụ động trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ mạng nơ-ron phân thứ chứa tham số không chắc chắn.
  3. Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của bộ điều khiển phản hồi đầu ra (phụ thuộc véc-tơ quan sát) đảm bảo hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến không chắc chắn đạt tính tiêu hao trong thời gian hữu hạn.
  4. Nghiên cứu tính ổn định và tính tiêu hao $(R, T, S)$ cho lớp hệ mạng nơ-ron tĩnh phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp hệ phương trình vi phân phân thứ theo nghĩa Caputo có bậc $\alpha \in (0, 1)$ trong không gian Euclide $n$ chiều $\mathbb{R}^n$, bao gồm: hệ tuyến tính bất định tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp; hệ nơ-ron động phân thứ không chắc chắn; hệ điều khiển phi tuyến có tham số bất định chuẩn; hệ nơ-ron tĩnh phân thứ.
  • Phạm vi không gian và thời gian: Nghiên cứu phân tích định tính trên trục thời gian vô hạn $[0, \infty)$ đối với bài toán ổn định Lyapunov và trên khoảng thời gian hữu hạn $[0, T]$ đối với các bài toán bị chặn, thụ động và tiêu hao trong thời gian hữu hạn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được điểm lại trong văn bản

Tác giả đã hệ thống hóa lịch sử phát triển của giải tích phân thứ và lý thuyết ổn định điều khiển qua các giai đoạn:

  • Nền tảng giải tích phân thứ: Bắt đầu từ câu hỏi năm 1695 giữa L'Hospital và Leibniz về đạo hàm bậc $1/2$, qua các đóng góp của Euler, Laplace, Fourier, Abel, Riemann, Liouville và Caputo (1969). Các chuyên khảo tiêu chuẩn gồm: K. Spanier (1974), Miller và Ross (1993), Samko, Kilbas và Marichev (1993), Kiryakova (1994), Podlubny (1999), Hilfer (2000), Kilbas, Srivastava, Trujillo (2006), Diethelm (2010). Ứng dụng mô hình hóa thực tế được dẫn chứng qua mô hình kiểm soát dịch bệnh Covid-19 phân thứ Caputo của Jaouad Danane và cộng sự (2021).
  • Tính ổn định Lyapunov của hệ phân thứ: Khởi đầu từ công trình của D. Matignon (1996) cho hệ tuyến tính với tiêu chuẩn góc argument $|\arg(\lambda(A))| > \alpha\pi/2$; các nghiên cứu mở rộng cho hệ phi tuyến của Li, Chen, Podlubny (2009, 2010); hệ có trễ của Deng (2007); hệ chuyển mạch của Zhang (2016). Đối với hệ không chắc chắn tổ hợp lồi, các tác giả Ahn, Truong (2012), Farges (2010), Lu, Chen (2013), Lien, Yu (2008) đã công bố một số kết quả dựa trên ma trận LMI nhưng chưa tính đến sự hiện diện đồng thời của trễ thời gian rời rạc và trễ phân bố.
  • Tính ổn định và bị chặn trong thời gian hữu hạn: Khái niệm xuất phát từ thập niên 1950. Lazarević (2006) lần đầu nghiên cứu ổn định thời gian hữu hạn cho hệ phân thứ tuyến tính có trễ bằng bất đẳng thức Gronwall. Y. Ma và cộng sự (2014) lần đầu công bố kết quả về tính bị chặn thời gian hữu hạn cho hệ tuyến tính phân thứ.
  • Tính thụ động và tính tiêu hao: Khởi xướng bởi Willems (1972) và mở rộng bởi Hill, Moylan (1976, 1980). Các công trình về thụ động trong thời gian hữu hạn của Liu, He, Wang, và mạng nơ-ron của Xu, Liu (2017) hầu như chỉ dừng lại ở hệ phương trình vi phân bậc nguyên. Tương tự, bài toán tiêu hao thời gian hữu hạn của Song (2015), Shen (2016), Ma (2017) chủ yếu khảo sát hệ bậc nguyên và điều khiển phản hồi trạng thái.
Hướng nghiên cứu Các tác giả tiêu biểu được điểm luận Giới hạn của các nghiên cứu trước
Ổn định hệ tổ hợp lồi Ahn, Truong (2012), Farges (2010), Lu, Chen (2013) Chưa xét đồng thời trễ rời rạc và trễ tích phân phân bố
Thụ động thời gian hữu hạn hệ nơ-ron Liu (2012), He (2014), Xu, Liu (2017) Hầu hết kết quả chỉ áp dụng cho hệ động lực bậc nguyên
Tiêu hao thời gian hữu hạn hệ phi tuyến Song (2015), Shen (2016), Ma (2017) Chủ yếu dùng phản hồi trạng thái, chưa giải quyết phản hồi đầu ra cho hệ phân thứ
Tiêu hao hệ nơ-ron tĩnh Các công trình nghiên cứu hệ bậc nguyên Chưa xét hệ nơ-ron tĩnh phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án trực tiếp giải quyết các khoảng trống học thuật:

  • Thiết lập điều kiện ổn định tiệm cận cho hệ phân thứ tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp bằng cách phối hợp định lý Razumikhin phân thứ với kỹ thuật ma trận phụ trợ.
  • Mở rộng khái niệm thụ động thời gian hữu hạn sang lớp hệ mạng nơ-ron phân thứ chứa tham số bất định.
  • Giải quyết bài toán tổng hợp bộ điều khiển phản hồi đầu ra phụ thuộc biến quan sát cho hệ phân thứ phi tuyến để đảm bảo tính tiêu hao trong thời gian hữu hạn.
  • Đưa ra tiêu chuẩn tiêu hao cho hệ nơ-ron tĩnh phân thứ với lớp hàm kích hoạt có điều kiện nới lỏng hơn các công bố trước đó.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm nền tảng

  • Giải tích phân thứ: Tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp $\alpha > 0$ của hàm khả tích $x(t)$: $$_aI_t^\alpha x(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t (t-s)^{\alpha-1} x(s) ds, \quad t \in (a, b]$$ Đạo hàm phân thứ Caputo cấp $\alpha \in (0, 1)$ của hàm $x(t) \in AC[a, b]$: $$_a^C D_t^\alpha x(t) = _a^R D_t^\alpha [x(t) - x(a)] = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)} \int_a^t (t-s)^{-\alpha} x'(s) ds$$
  • Lý thuyết nghiệm: Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu phân thứ Caputo tương đương với phương trình tích phân Volterra. Do hạt nhân tích phân $(t-s)^{\alpha-1}$, nghiệm không có tính chất địa phương theo thời gian mà mang tính chất nhớ toàn cục.
  • Tính ổn định Lyapunov và ổn định hóa: Khảo sát điểm cân bằng, tính ổn định tiệm cận và sự tồn tại của luật điều khiển phản hồi trạng thái $u(t) = Kx(t)$.
  • Tính ổn định và bị chặn trong thời gian hữu hạn: Định nghĩa theo bộ thông số $(c_1, c_2, T, R)$ và $(c_1, c_2, T, R, d)$ với ma trận trọng số $R > 0$, yêu cầu quỹ đạo trạng thái không vượt quá giới hạn $c_2$ trong khoảng thời gian $[0, T]$ khi giá trị đầu bị chặn bởi $c_1$ ($c_1 < c_2$).
  • Lý thuyết tiêu hao và thụ động: Tỉ lệ cung cấp dạng Hill–Moylan $\omega(u, y) = y^T R y + 2y^T S u + u^T T u$. Tính thụ động là trường hợp riêng với $\omega(u, y) = y^T u$, được định lượng thông qua mức độ thụ động đầu vào $\gamma$ và mức độ thụ động phản hồi đầu ra $\delta$.
           CÁC CÔNG CỤ BỔ ĐỀ BỔ TRỢ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH

Phương pháp nghiên cứu thực tế

Luận án áp dụng phương pháp nghiên cứu toán học giải tích kết hợp mô phỏng số:

  1. Phương pháp hàm Lyapunov – Razumikhin phân thứ: Xây dựng các hàm thế năng toàn phương dạng $V(t, x(t)) = x^T(t)P(\xi)x(t)$ phụ thuộc tham số không chắc chắn, áp dụng kỹ thuật Razumikhin để xử lý các số hạng trễ rời rạc và trễ phân bố.
  2. Kỹ thuật Bất đẳng thức Ma trận Tuyến tính (LMI): Biến đổi các điều kiện vi phân phi tuyến và điều kiện triệt tiêu năng lượng thành các bất đẳng thức ma trận lồi. Kỹ thuật đưa vào các biến ma trận tự do giúp giảm bớt độ bảo thủ của tiêu chuẩn.
  3. Mô phỏng và kiểm chứng thuật toán: Thuật toán tối ưu điểm trong được hiện thực thông qua hộp công cụ LMI Control Toolbox (LMI-Lab) tích hợp trong phần mềm tính toán khoa học MATLAB để giải số các ma trận ẩn và vẽ quỹ đạo trạng thái kiểm chứng.

Nguồn tư liệu và dữ liệu nghiên cứu

Luận án sử dụng nguồn tư liệu từ các công trình toán học giải tích phân thứ, lý thuyết điều khiển tự động được công bố trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành (IEEE Transactions on Automatic Control, Automatica, Applied Mathematics and Computation, Nonlinear Dynamics, v.v.). Dữ liệu thực nghiệm trong luận án là các bộ dữ liệu tham số mô phỏng số được thiết lập cho các hệ động lực bậc 2, bậc 3 và bậc cao.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Cơ sở toán học

Chương 1 cung cấp toàn bộ nền tảng lý thuyết phục vụ cho việc phát triển các kết quả ở các chương sau:

  • Trình bày tường minh định nghĩa và tính chất đại số, giải tích của tích phân Riemann–Liouville, đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm Caputo; phân tích lý do ưu tiên sử dụng đạo hàm Caputo trong các bài toán kỹ thuật do điều kiện ban đầu chứa đạo hàm bậc nguyên mang ý nghĩa vật lý trực quan.
  • Trình bày các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục đối với bài toán giá trị ban đầu của hệ vi phân phân thứ không trễ và hệ có trễ trong không gian hàm liên tục $C([0, T]; \mathbb{R}^n)$ và $C([-r, \infty); \mathbb{R}^n)$.
  • Khảo sát các tiêu chuẩn ổn định Lyapunov cổ điển: Định lý Matignon cho hệ tuyến tính $^C_0D_t^\alpha x(t) = Ax(t)$ dựa trên phổ giá trị riêng ma trận $A$; tiêu chuẩn đại số ma trận tồn tại $P > 0$ thỏa mãn $(A^{1/\alpha})^T P + P (A^{1/\alpha}) < 0$; định lý hàm Lyapunov cho hệ phi tuyến và định lý ổn định Razumikhin cho hệ có trễ.
  • Thiết lập khái niệm toán học về bài toán ổn định hóa, bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn, bài toán bị chặn trong thời gian hữu hạn, bài toán tiêu hao theo nghĩa Hill–Moylan và tính thụ động của hệ động lực.
  • Trình bày cấu trúc toán học của hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) và 5 bổ đề bổ trợ cốt lõi: bất đẳng thức ma trận Cauchy, bổ đề đánh giá đạo hàm Caputo của hàm toàn phương, bổ đề khử ma trận chứa tham số phụ trợ, bất đẳng thức tích phân bảo toàn ma trận trọng số và bổ đề bù Schur.

Chương 2: Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ tổ hợp lồi có trễ

Chương này tập trung giải quyết bài toán phân tích ổn định và thiết kế bộ điều khiển phản hồi cho hệ vi phân phân thứ Caputo chứa trễ rời rạc $h$ và trễ phân bố $\tau$: $$^C_0 D_t^\alpha x(t) = A(\xi)x(t) + D(\xi)x(t - h) + W(\xi) \int_{t-\tau}^t x(s)ds + B(\xi)u(t), \quad t \ge 0$$ với điều kiện ban đầu $x(t) = \phi(t)$ trên đoạn $[-\kappa, 0]$ ($\kappa = \max{h, \tau}$). Các ma trận hệ thống thuộc đa diện lồi $\Omega$ sinh bởi $p$ đỉnh ${A_i, D_i, W_i, B_i}$ với trọng số $\xi_i \ge 0, \sum_{i=1}^p \xi_i = 1$.

  • Tiêu chuẩn ổn định tiệm cận: Xét hệ tự nhiên ($u(t) = 0$). Dựa trên hàm Lyapunov phụ thuộc tham số $V(t, x(t)) = x^T(t)P(\xi)x(t)$ với $P(\xi) = \sum_{i=1}^p \xi_i P_i$ ($P_i > 0$), tác giả chứng minh Định lý 2.1: Hệ ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương $P_i \in \mathbb{R}^{n \times n}$, ma trận nửa xác định dương $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ và số thực $\epsilon > 1$ thỏa mãn hệ $p^2$ bất đẳng thức ma trận: $$M_i(A_i, D_i, W_i, P_j) < -S, \quad i, j = 1, \dots, p$$ trong đó ma trận khối $M_i$ chứa các khối thành phần $\Gamma_{ij} = A_i^T P_j + P_j A_i + (1 + \tau)\epsilon P_j$, $P_j D_i$, $\tau P_j W_i$, và $\Sigma_j = \text{diag}{P_j, \tau P_j}$.
  • Tiêu chuẩn ổn định hóa: Tác giả xây dựng thuật toán thiết kế luật điều khiển phản hồi trạng thái $u(t) = K(\xi)x(t)$. Bằng cách áp dụng phép đổi biến ma trận và bổ đề Schur, bài toán tìm ma trận khuếch đại $K_i$ tại các đỉnh được chuyển thành hệ LMI giải được tường minh.
  • Mô phỏng số: Tác giả cung cấp ví dụ số với hệ bậc hai có 2 đỉnh ma trận đa diện lồi, trễ rời rạc $h = 0.5$, trễ tích phân $\tau = 0.8$, bậc phân thứ $\alpha = 0.7$. Kết quả mô phỏng trên MATLAB minh chứng các biến trạng thái hội tụ về gốc tọa độ khi thỏa mãn điều kiện LMI đề xuất.
                  CẤU TRÚC MA TRẬN KHỐI M_i TRONG ĐỊNH LÝ 2.1

Chương 3: Tính bị chặn và bài toán thụ động trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ-ron phân thứ không chắc chắn

Chương 3 mở rộng nghiên cứu sang lớp hệ mạng nơ-ron động phân thứ Caputo có cấu trúc: $$^C_0 D_t^\alpha x(t) = -[A + \Delta A(t)]x(t) + [D + \Delta D(t)]f(x(t)) + W\omega(t), \quad t \ge 0$$ với phương trình quan sát đầu ra $y(t) = M f(x(t)) + N\omega(t)$, trong đó $\omega(t)$ là tín hiệu nhiễu ngoài thỏa mãn $\omega^T(t)\omega(t) \le d$, các ma trận $\Delta A(t), \Delta D(t)$ biểu diễn sai số tham số mô hình, và $f(x)$ là hàm kích hoạt phi tuyến thỏa mãn điều kiện khu vực (sector-bounded condition).

  • Tiêu chuẩn bị chặn trong thời gian hữu hạn: Xây dựng điều kiện đủ để hệ thống bị chặn tương ứng với bộ tham số $(c_1, c_2, T, R, d)$. Luận án sử dụng kỹ thuật chặn trên đạo hàm Caputo của hàm Lyapunov, kết hợp bất đẳng thức Cauchy và bổ đề ma trận phụ trợ để tách các ma trận bất định thời gian ra khỏi các biến ma trận cần tìm.
  • Tiêu chuẩn thụ động trong thời gian hữu hạn: Tác giả định nghĩa tính thụ động thời gian hữu hạn cho mạng nơ-ron phân thứ khi thỏa mãn đồng thời tính bị chặn thời gian hữu hạn và chỉ số tiêu tán năng lượng $\int_0^T y^T(t)\omega(t)dt \ge -\gamma \int_0^T \omega^T(t)\omega(t)dt$. Điều kiện đủ được thiết lập dưới dạng một hệ LMI duy nhất, cho phép xác định trực tiếp mức độ thụ động cực đại mà hệ thống có thể duy trì.
  • Ví dụ kiểm chứng: Áp dụng cho mô hình mạng nơ-ron phân thứ 2 nơ-ron và 3 nơ-ron; kết quả tính toán số khẳng định tính khả thi của hệ LMI và kiểm tra quỹ đạo trạng thái bị chặn nghiêm ngặt trong miền quy định trước $c_2$ trong suốt khoảng thời gian $T$.

Chương 4: Bài toán tiêu hao của một số lớp hệ phương trình vi phân phân thứ

Chương 4 khảo sát bài toán tiêu hao cho 2 lớp hệ động lực phức tạp:

  • Hệ phân thứ phi tuyến điều khiển phản hồi đầu ra: Khảo sát hệ vi phân phân thứ Caputo chứa thành phần phi tuyến $f(t, x(t))$ và bất định ma trận: $$^C_0 D_t^\alpha x(t) = [A + G_a F_a(t) H_a]x(t) + f(t, x(t)) + [W + G_w F_w(t) H_w]\omega(t) + Bu(t)$$ với tín hiệu đầu ra đo được $y(t) = Cx(t)$ và tín hiệu đầu ra cần điều khiển $z(t) = Dx(t) + M\omega(t)$. Tác giả đề xuất cấu trúc bộ điều khiển phản hồi đầu ra $u(t) = K y(t) = KCx(t)$. Bằng cách sử dụng bổ đề de Oliveira và kỹ thuật phân rã ma trận, tác giả đưa ra tiêu chuẩn mới đảm bảo hệ kín đạt tính tiêu hao trong thời gian hữu hạn đối với tỉ lệ cung cấp $(R, T, S)$.
  • Hệ nơ-ron tĩnh phân thứ (Static Neural Networks): Khảo sát mô hình: $$^C_0 D_t^\alpha x(t) = -Ax(t) + g(Dx(t)) + \omega(t), \quad y(t) = g(Dx(t))$$ với $g(\cdot)$ là véc-tơ hàm kích hoạt phi tuyến tổng quát. Luận án thiết lập các điều kiện đủ dạng LMI cho tính ổn định tiệm cận và tính $(R, T, S)$-tiêu hao trên khoảng thời gian vô hạn $[0, \infty)$, cho phép bao hàm các kết quả về thụ động và tính ổn định $H_\infty$ như các trường hợp đặc biệt.
Chương Lớp đối tượng hệ động lực Vấn đề định tính nghiên cứu Công cụ / Kỹ thuật chính Kết quả đầu ra chính
Chương 1 Hệ vi phân phân thứ tổng quát Cơ sở lý thuyết toán học Giải tích phân thứ, Bổ đề LMI Hệ thống định nghĩa & 5 bổ đề bổ trợ
Chương 2 Hệ tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp Ổn định Lyapunov & Ổn định hóa Razumikhin, Hàm Lyapunov $P(\xi)$ Tiêu chuẩn ổn định & bộ điều khiển $K(\xi)$
Chương 3 Mạng nơ-ron phân thứ bất định Bị chặn & Thụ động thời gian hữu hạn Sector condition, Bổ đề ma trận Điều kiện đủ LMI cho tính thụ động $(c_1, c_2, T, R, d)$
Chương 4 Hệ phi tuyến & Hệ nơ-ron tĩnh Tiêu hao $(R, T, S)$ thời gian hữu hạn Phản hồi đầu ra $u=KCX$, LMI Bộ điều khiển phản hồi quan sát & tiêu chuẩn tiêu hao

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các đóng góp khoa học mới về mặt lý luận giải tích và thực tiễn kỹ thuật điều khiển:

Đóng góp về mặt lý luận

  1. Thiết lập tiêu chuẩn ổn định tiệm cận và ổn định hóa cho hệ tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp: Đưa ra phương pháp tiếp cận mới kết hợp định lý ổn định Razumikhin cho hệ phân thứ và kỹ thuật LMI, giải quyết đồng thời ảnh hưởng của trễ rời rạc và trễ phân bố trên miền tham số bất định đa diện lồi mà không đòi hỏi tính khả vi của độ trễ.
  2. Xây dựng lý thuyết thụ động thời gian hữu hạn cho mạng nơ-ron phân thứ: Mở rộng thành công khái niệm thụ động thời gian hữu hạn từ hệ động lực bậc nguyên sang hệ mạng nơ-ron phân thứ Caputo chứa tham số không chắc chắn; thiết lập tiêu chuẩn bị chặn và thụ động dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải được.
  3. Giải quyết bài toán điều khiển phản hồi đầu ra cho tính tiêu hao thời gian hữu hạn: Đề xuất tiêu chuẩn tồn tại bộ điều khiển phản hồi phụ thuộc véc-tơ quan sát $y(t) = Cx(t)$ đảm bảo hệ kín đạt tính $(R, T, S)$-tiêu hao trong thời gian hữu hạn, khắc phục rào cản kỹ thuật khi không thể đo lường trực tiếp toàn bộ véc-tơ trạng thái.
  4. Mở rộng tiêu chuẩn tiêu hao cho hệ nơ-ron tĩnh phân thứ: Xây dựng tiêu chuẩn tiêu hao với hàm kích hoạt nơ-ron thỏa mãn điều kiện tổng quát hơn, bao quát các tiêu chuẩn ổn định $H_\infty$ và thụ động truyền thống.

Đóng góp về mặt thực tiễn và tính toán

  • Toàn bộ các điều kiện đủ trong luận án đều được biểu diễn dưới dạng hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI). Các hệ LMI này tương thích hoàn toàn với thuật toán tối ưu lồi (thuật toán điểm trong), cho phép giải số tự động và hiệu quả thông qua phần mềm MATLAB (LMI Control Toolbox), cung cấp công cụ tính toán khả thi cho các kỹ sư điều khiển hệ thống.
  • Các công trình khoa học của tác giả được công bố trong 04 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành thuộc danh mục ISI và được báo cáo tại 6 hội nghị, hội thảo khoa học chuyên ngành trong nước.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào phạm vi và nội dung được trình bày trong văn bản luận án, các hạn chế và hướng mở rộng nghiên cứu bao gồm:

  • Bậc phân thứ: Luận án giới hạn khảo sát các hệ vi phân phân thứ Caputo có bậc $\alpha \in (0, 1)$. Chưa mở rộng cho các hệ có bậc cao hơn $1 < \alpha < 2$ hoặc hệ có bậc phân thứ biến thiên theo thời gian $\alpha(t)$.
  • Đặc trưng độ trễ: Trễ rời rạc $h$ và trễ phân bố $\tau$ trong luận án được giả định là các hằng số. Chưa xét bài toán với độ trễ biến thiên theo thời gian $h(t)$ hoặc trễ phụ thuộc trạng thái.
  • Dạng bất định: Cấu trúc bất định được giới hạn ở dạng đa diện tổ hợp lồi hoặc bất định chuẩn bị chặn bởi ma trận $F(t)^T F(t) \le I$.
  • Hướng nghiên cứu tiếp: Mở rộng phương pháp LMI và hàm Lyapunov sang các lớp hệ phân thứ phức tạp hơn như hệ chuyển mạch phân thứ, hệ phân thứ ngẫu nhiên (stochastic fractional-order systems), và hệ phân thứ suy biến (singular fractional systems).

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo có giá trị chuyên môn cao đối với:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán ứng dụng, Toán giải tích: Tham khảo phương pháp phân tích định tính phương trình vi phân phân thứ, kỹ thuật tính toán đạo hàm phân thứ của hàm toàn phương và cách sử dụng định lý Razumikhin phân thứ.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết điều khiển, Tự động hóa và Robot: Ứng dụng kỹ thuật tổng hợp bộ điều khiển phản hồi trạng thái và phản hồi đầu ra cho các đối tượng kỹ thuật thực tế có chứa trễ, bất định và hiệu ứng nhớ.
  • Kỹ sư và nhà khoa học tính toán: Khai thác các đoạn mã thuật toán thiết lập và giải hệ LMI trên phần mềm MATLAB được trình bày qua các ví dụ số minh họa trong Chương 2, Chương 3 và Chương 4.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao nghiệm của phương trình vi phân phân thứ không có tính chất địa phương theo thời gian?

Khác với phương trình vi phân thường bậc nguyên (nghiệm tại thời điểm tương lai chỉ phụ thuộc vào trạng thái tại thời điểm hiện tại), nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tương đương với một phương trình tích phân Volterra chứa hạt nhân kỳ dị $(t-s)^{\alpha-1}$. Do đó, để xác định nghiệm tại thời điểm $t > t_0$, hệ thống đòi hỏi thông tin về giá trị của véc-tơ trạng thái trên toàn bộ đoạn quá khứ $[0, t_0]$. Đây chính là tính chất nhớ toàn cục (memory effect) của toán tử phân thứ.

2. Trở ngại toán học cốt lõi khi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ vi phân phân thứ là gì?

Quy tắc vi phân tích Leibniz thông thường $(fg)' = f'g + fg'$ không còn đúng đối với toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo. Do đó, việc tính đạo hàm phân thứ cấp $\alpha$ của một hàm Lyapunov toàn phương $V(x) = x^T P x$ không thể khai triển trực tiếp thành biểu thức tuyến tính của đạo hàm trạng thái. Để vượt qua trở ngại này, tác giả phải sử dụng bổ đề đánh giá bất đẳng thức: $$^C_0 D_t^\alpha (x^T(t) P x(t)) \le 2 x^T(t) P , ^C_0 D_t^\alpha x(t)$$

3. Điểm khác biệt căn bản giữa ổn định trong thời gian hữu hạn và ổn định tiệm cận Lyapunov là gì?

Ổn định tiệm cận Lyapunov khảo sát tính chất hội tụ của quỹ đạo trạng thái khi thời gian tiến ra vô cùng ($t \to \infty$) và yêu cầu đạo hàm của hàm Lyapunov phải xác định âm. Ngược lại, ổn định trong thời gian hữu hạn khảo sát hành vi của hệ thống trên một khoảng thời gian cố định $[0, T]$ cho trước, đòi hỏi biến trạng thái không vượt quá ngưỡng biên độ $c_2$ khi trạng thái ban đầu nằm trong ngưỡng $c_1$. Một hệ thống có thể ổn định trong thời gian hữu hạn nhưng không ổn định tiệm cận Lyapunov, và ngược lại.

4. Luận án đã giải quyết bài toán ổn định hệ tổ hợp lồi có trễ hỗn hợp ở Chương 2 bằng công cụ nào?

Tác giả đã kết hợp hàm Lyapunov phụ thuộc tham số đỉnh $V(t, x(t)) = x^T(t)P(\xi)x(t)$ với Định lý ổn định Razumikhin phân thứ, bất đẳng thức ma trận Cauchy và bất đẳng thức tích phân bảo toàn ma trận trọng số. Kết quả được chuyển hóa thành hệ $p^2$ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) đối với các ma trận đỉnh ${A_i, D_i, W_i}$, giải được một cách hiệu quả bằng hộp công cụ LMI-Lab trong MATLAB.

5. Tại sao điều khiển phản hồi đầu ra ở Chương 4 lại phức tạp hơn điều khiển phản hồi trạng thái?

Điều khiển phản hồi trạng thái giả định toàn bộ các biến trạng thái $x(t)$ đều đo được ($u(t) = Kx(t)$). Tuy nhiên, trong thực tế nhiều biến trạng thái nội tại không thể đo trực tiếp mà chỉ có thể thu thập tín hiệu đầu ra qua cảm biến $y(t) = Cx(t)$. Bộ điều khiển phản hồi đầu ra $u(t) = KCx(t)$ làm xuất hiện các tích phi tuyến giữa ma trận khuếch đại $K$ và ma trận đo lường $C$ trong biểu thức ma trận hệ kín, đòi hỏi phải áp dụng các bổ đề ma trận phụ trợ và phép chiếu ma trận phức tạp để chuyển đổi về dạng LMI.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Dương Thị Hồng đã giải quyết có hệ thống các bài toán ổn định tiệm cận Lyapunov, ổn định và bị chặn trong thời gian hữu hạn, tính thụ động và tính tiêu hao cho các lớp hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo chứa trễ hỗn hợp, bất định tổ hợp lồi và phi tuyến. Bằng sự kết hợp giữa phương pháp hàm Lyapunov – Razumikhin phân thứ và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ dạng số giải được trực tiếp trên phần mềm MATLAB. Các kết quả đạt được thể hiện đóng góp học thuật rõ ràng trong chuyên ngành Toán ứng dụng và lý thuyết điều khiển hệ động lực, được minh chứng qua 04 công trình công bố trên các tạp chí quốc tế ISI uy tín.