CHƯƠNG 1: MOT SO LÝ THUYET CƠ BAN I. TONG QUAN VE SO PHUC 1. Biéu dién số phức trên mặt phẳng tọa độ. Xét số phức z = # + iy (z,€ R).
Trong mặt phăng cho hai trục tọa độ Ox, Oy vudng góc nhau./} được gọi là điểm biểu điễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z. Ngược lại, với mỗi điểm thực Z,(z,.,) trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất một số phức z, = x, + iy,, z, được gọi là toa độ phức của điểm Z,. Mặt phẳng ma trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức được gọi là mặt phăng Gauss, mat phăng Cauchy, hoặc là mặt phăng biên phức. Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực.
Trục Oy là quỹ tích ảnh của các số do. Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của mặt phăng Gauss. Số —z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua góc tọa độ O. Tọa độ liên hợp.
Số phức liên hợp với z = 2 + ty luôn xác định và được kí hiệu z = #— iự đọc la“ z ngang”. Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Or. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức. Cho một số phức z = x + iy, ta có thé viết z ở dang lượng giác z = r{(cosf + ?sin 0), trong đó r = yz" + y’ €{0,se) được gọi là mođun của z và 9 € Í0,2)là số đo của — góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z.
* Sử dụng công thức Euler cos8 + isin@ = e” Số phức z = x + iy có thê được viết như sau z = re" được gọi là dạng ma của z. Khi z = 0, ta chọn r= 0 và 8 tùy ý. Vectơ và số phức. Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ , tọa độ vectơ của Z đối với cực O.
Khi đó nói rang z được biểu diễn bởi vectơ này. Số phức và vectơ có Trang 2 GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai môđun bằng nhau và ta có thé nói rằng argument của số phức cũng chính là argument của vectơ. Các phép toán số phức.
Nếu n số phức z, = +, + iy, (k = 1,2.n) có n ảnh Z, thì tong của chứng là z=2,+2,+.4+2, (1) có ảnh Z được xác định bởi phương trình hình học OZ = OZ, + OZ, +.Ta tìm tọa độ của Z dựa vào phương trình (2). Bang cách lay đại số trên trục Ox, sau đó trên trục Oy, ta có được hai phương trình đại số z = » y =>, Ye Do đó x + iy = $> (a, + iy,) , đây chính là phuong trinh (1). Nếu các số phức z,, z, được biểu thị bởi các vectơ OZ,l 02, thi hiệu số =2,—-%, được biểu thị bởi hiệu số hình học của những vector tong Ứng. Điểm Z; đối xứng với Z, qua O.1, ta có OZ = 02, + OZ; = 02, ~ 02, (3).
Phương trinh (3) được viết lai OZ — ZZ, , VÌ vay 2⁄2; giong như OZ biéu thị hiệu z, —z,. Trang 3 GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai Nêu các so phức z,, 2, được biêu thị bởi các vectơ OZ,, OZ, thi tich ~ cn “\~9 được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ Vectơ OZ, theo cach như sau: 1°. Quay veetơ OZ, quanh O một góc bằng với argument của vecto’ OZ,.
0 ˆ ` ae v 2 Nhan vectơ vừa thu được với modun của vecta OZ,. ES Neu r,, r, và §,, 0 là modun va argument của z,, z, thì ta có z= ae re” z= ree 324 '2 = 2 ,2 , = ne 174 ) Vi vay z a6, 0 , v à mo đ u n c ủ a z l à r r , = O Z ,. aiid arg(z) = 0, + Ta lay điểm U trên trục Ox có hoành độ +1, Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là đỉnh thứ ba trong tam giác OZ,Z đồng dạng với tam giác OUZ, với (0z,02)=0,+0, 22 =_—“^—, OZ, OU =1 5. Nếu các số phức z,, z, được biểu thị bởi các vectơ 0Z, i OZ.
thì tỉ số z — em : = z được biểu thị bởi vectơ OZ được tạo ra từ vec tơ OZ, như sau: 1°. Quay OZ, quanh O một góc bằng với ~arg(OZ,); 2". Chia vectơ vừa thu được cho — modun của vecto OZ,. Trang 4 GVHD: Ths.
Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải Sử dụng mục 5.3, dựng điểm Z là ảnh hình học của z và z = ¬ẹ/t Sh T1 Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ,Z đồng dang với tam giác OZU. Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân. Căn bậc n của đơn vị.1 Dinh nghĩa can bậc n của sô phức. Xét số nguyên đương n > 2 và một số phức z„ # 0.
Phương trình Z"-z¿=0 (1) được dùng định nghĩa căn bậc n của sd phức z,. Ta gọi nghiệm Z của phương trình (1) là một căn bậc n của z,. Đặt z„ = r(cos0 + isin 0) là một số phức với r > 0 và 0 € [0. Căn bậc n của z,„ gồm 1ì nghiệm phân biệt được cho bởi công thức 'Ẳ.= t(cosŠ SUẾ L1, + fdas ast k= 0,1,.2 Can bậc n của đơn vị.
Một nghiệm của phương trình Z" = 1 = 0 gọi là một căn bậc của don vị. Vì 1= cos0 + isinO, từ công thức tìm căn bậc n của số phức ta suy ra căn bậc n của đơn vi là Qhn. NHỮNG PHÉP BIEN HÌNH CƠ BAN 1. Phép biến hình.
Phép đặt tương ứng với mỗi diém Z cho duy nhất một điểm Z’ trong mặt phẳng Gauss tạo thành một phép biển hình trong mặt phăng và được kí hiệu là ‹›. Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó 1°. với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z; 2°, mỗi điểm Z” là sự tương ứng của một điểm Z. Như vậy phép biến hình w là mor - mộ; điểm Z' là tương ứng của điểm Z.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z' với điểm Z được gọi là phép biến hình ngược của w, kí hiệu wm’. Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của điểm Z tùy ý trong mặt phăng và tọa độ phức z” của điểm Z” tương ứng với Z. Trang Š GVHD: Ths. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai 2.
Phép tịnh tiễn. Dat A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phang và đặt a và z là các tọa độ phức của chúng. Điểm Z’ ma Z2 = OA được gọi là anh của Z trong phép tinh tién theo vecto OA. Khi đó, phương trình của phép tịnh tiến là z =z+.
Goi A là một điểm cho trước với tọa độ phức là ø, và ; đặt œ là một số thực cho trước, đương, bằng 0, hoặc rs âm. Phép quay quanh A một góc có giá trị đại số a, mỗi điểm Z trong mặt phẳng cho ta một điểm Z7. Các vectơ Az’, AZ biểu thị các số phức z'—a, z-a, khi đó Az! thu được tử AZ bang phép quay. Khi đó, phương trình của phép quay góc oœ quanh điểm có toa độ phức a là 2’ = ze" + a(l—-e") Hệ qua.
Khi ta quay một góc w= % (hoặc « = —®) quanh A, ta có phép doi xứng tâm A khi đó bas €” =cost+isinaz = —Ì, Phương trình của nó là 2’ = —z + 2a. Phép vị tự. Một điểm A cho trước của tọa độ phức a và một số thực & + 0, âm hoặc dương. Nếu ta đặt một trục tùy ý trên đường thăng chứa điểm A và Trang 6 GVHD: Ths.
Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hai một diém Z bat kì, lay điểm Z” bat kì trên trục sao cho ta có hệ thức AZ'_ AZ thì Z” gọi là anh của Z qua phép vị tự tâm A rỉ số È. Khi đỏ phương trình của phép vị tự là z” = k¿ + a(1 = È) Chú ý. Giá trị 1, — 1 của & cho ta phép đồng nhất và phép đôi xứng tâm A. Hệ thức giữa ba điểm.
Ba diém cho trước A, B, C voi các toa độ phức lan lượt là a, b, e nếu AB, AC là giá trị đại số của các đoạn trên trực a,, a, được đặt mot cách tày ý trên đường thắng AB, AC ta có c—a=(b—a)}e th AABC ở Hơn số : trong đó (a,,a,) là góc định hưởng có a, là cạnh đâu và đ„ là canh cuối, 6. Đối xứng trục Trên một đường thang cho trước lấy hai điểm A,B , gọi điểm Z' là điểm đối xứng với điểm Z qua đường thang này trong mặt phăng tọa độ. Gọi d,, d, là các trục được đặt một cách tùy ý trên đường thing 4Z và BZ, và đặt d và di là các trục đối xứng với đ,, đ, qua đường thăng AB. Ta có phương trình của phép doi xứng có dang hoặc Trang 7 GVHD: Ths.
Lê Ngô Hữu Lạc Thiện SVTH: Võ Thanh Hải 7. Phép nghịch đảo. Đặt p là phương tích của phép nghịch đảo cực M có tọa độ phức m; gọi d là một trục được đặt một cách tùy ý trên đường thăng chứa điềm M và một điểm Z nào đó trong mặt phẳng: đặt Z“là nghịch dao của Z .MZ' = „ (7) và phương trình của phép nghịch dao cực ÀÍ phương tích p là (z'— m)(z — m) =p hoặc #= mz + p—mm Z—ïT Chú ý. Khi M trùng O và p= 1, phương trình của pc phép nghịch đáo là §.
Điểm vô tan trong mặt phẳng Gauss. Mặt phẳng Gauss (được gắn với hệ toa độ phức) chỉ chứa một điểm tại vô tận tương ứng với z bằng vô cực. Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bô sung cho mặt phang Gauss một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M. Tích của các phép biến hình.
Xét phép biến hình w, biến điểm Z thành điểm Z,, ta viết Z, = w,[Z] và phép biến hình w, biến điểm Z, thành một điểm Z, ta viết Z, = «,(Z,] Khi đó, ta có Z, = w, {w,[Z]} hay ta có thé viết Z, = w,w,[Z] (I) Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z, được gọi là tích các phép biến hình GÓI, được thực hiện theo thứ tự này, Phương trình (11) và Z, = w(Z)cho phép ta quy ước w = w,u,. Trong kí hiệu tích o,.2,, thừa số thứ hai w, được thực hiện đâu tiên trong phép biển đổi.