Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản của phương trình Maxwell và phương trình Schrödinger.1 Hệ phương trình Maxwell 1.1 Sơ lược về lịch sử các phương trình Maxwell Những phương trình Maxwell được nghiên cứu bởi James Clerk Maxwell, một nhà toán học và nhà vật lý người Scotland. Năm 1864, Maxwell trình bày lý thuyết hợp nhất giữa điện trường và từ trường trước Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn. Năm 1865, ông đưa ra một báo cáo đầy đủ cho lý thuyết trường điện từ, đặt nền tảng cho những thành tựu lớn về sau trong các lĩnh vực vật lý, viễn thông, và kỹ thuật điện tử. Ban đầu, Maxwell tổng quát hóa các định luật thực nghiệm do những người đi trước phát hiện ra: Định luật Gauss, định luật Faraday, định luật Ampere.
Kết quả của nghiên cứu này thể hiện qua 20 phương trình với 20 ẩn số. Các phương trình toán học này vẫn còn hết sức phức tạp và khó hiểu đến mức nó gần như bị lãng quên sau khi được giới thiệu. Mất hơn 20 năm sau đó, lý thuyết của Maxwell mới có thể đứng vững nhờ sự giúp đỡ của một nhóm nhỏ các nhà vật lý đam mê lý thuyết điện từ. Các nhà vật lý này là những người đã tìm kiếm các bằng chứng thực nghiệm để xác thực rằng ánh sáng được tạo thành bởi các sóng điện từ.
Và họ cũng là những người đã đưa ra các phương trình Maxwell mà ngày nay chúng ta đang dùng. Mối liên hệ Nguyễn Thị Kiều Ân 1 Khóa 2017-2019 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng giữa điện trường và từ trường, cùng với tính chất sóng của ánh sáng và sự lan truyền của trường điện từ nói chung, được thu gọn trong bốn phương trình Maxwell dưới đây: ∇ · D = ρ, (1.4) ∂t Ý nghĩa của bốn phương trình Maxwell vừa nêu ra lần lượt là: Định luật Gauss cho trường điện, định luật Gauss cho trường từ, định luật Faraday, định luật Ampere. Ngoài bốn phương trình Maxwell cơ bản (1.4), còn cócác phương ~ D, trình diễn tả mối quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng cho trường E, ~ B~ với các đại lượng đặc trưng cho tính chất của môi trường (µ, ε, σ), cụ thể: ~ = εE • Môi trường điện môi: D ~, • Môi trường điện dẫn: J~ = σ E ~, ~ = µH • Môi trường từ hóa: B ~.2 Phương trình Maxwell và sự truyền sóng trong các môi trường Bốn phương trình Maxwell gồm: Phương trình Maxwell-Gauss cho điện tích, phương trình Maxwell-Gauss cho từ trường, phương trình Maxwell- Faraday, phương trình Maxwell-Ampere. Để hiểu rõ hơn về mỗi phương trình, chúng ta có thể phân tích cụ thể như sau: Phương trình Maxwell-Gauss cho điện tích Phương trình Maxwell-Gauss được chỉnh sửa từ định lí Gauss cho điện tích.
Phương trình này mô tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một Nguyễn Thị Kiều Ân 2 Khóa 2017-2019 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó. Dạng vi phân của phương trình Maxwell-Gauss là ~ = ρ.5) Phương trình (1.5) được viết ở dạng tích phân như sau I Z − D · dA = ρdV.6) S V Phương trình Maxwell-Gauss (1.6) cho thấy: Mật độ điện tích là nguồn của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (vế phải) sẽ gây nên một điện trường có điện cảm D ở vế trái. Phương trình Maxwell-Gauss cho từ trường Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không và có dạng phương trình vi phân là ~ = 0.7) Phương trình (1.7) được viết ở dạng tích phân như sau I B · dS = 0.8) S Phương trình (1.8) chỉ ra sự không tồn tại của đơn cực từ.
Tương tự như điện tích điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường là các thanh nam châm. Một thanh nam châm là một lưỡng cực từ gồm cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và cực bắc riêng biệt.
Phương trình Maxwell-Faraday Phương trình Maxwell-Faraday hay định luật cảm ứng Faraday cho biết mối liên hệ biến thiên từ thông trong diện tích mặt cắt của một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó. Phương trình Maxwell-Faraday dạng vi phân là ∂B ∇×E =− .9) ∂t Nguyễn Thị Kiều Ân 3 Khóa 2017-2019 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Phương trình (1.9) được viết ở dạng tích phân như sau dΦB I E · ds = − , S dt dΦB với E là điện trường cảm ứng, ds là vi phân của vòng kín S , và là biến dt thiên từ thông. Phương trình Maxwell-Ampere Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự lan truyền từ trường trong mạch kín với dòng điện đi qua đoạn mạch ∂D ∇×H = + J.1: Dòng điện dịch sinh ra từ trường. Sự truyền sóng trong môi trường điện môi Để mô phỏng sự truyền sóng trong môi trường khác môi trường chân không, ta thêm hằng số điện môi tương đối εr vào phương trình Maxwell ∂E 1 = ∇ × H, (1.
∂t µ0 Phương trình (1.10) mô tả sự tương tác của sóng điện trường trong các vật liệu điện môi. Chương trình fdtd1dielectric.m ở chương 3 sẽ mô phỏng cho phương trình (1. Nguyễn Thị Kiều Ân 4 Khóa 2017-2019 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng Sự truyền sóng trong môi trường hao tổn điện môi Để thiết lập phương trình Maxwell mô tả sự truyền sóng trong môi trường hao tổn điện môi, chúng ta bắt đầu từ công thức Maxwell tổng quát mô tả sự truyền sóng trong môi trường có tính dẫn điện như sau: ∂E ε = ∇ × H − J, (1.11) ∂t ∂H 1 = − ∇ × E, ∂t µ0 trong đó J là mật độ dòng điện và có liên hệ với điện trường E qua công thức J = σE, (1.12) với σ là độ dẫn điện. Thay phương trình (1.12) vào phương trình (1.11) và chia hằng số điện môi [2], ta nhận được phương trình ∂E 1 σ = ∇×H − E.13) ∂t ε0 εr ε0 εr Phương trình (1.13) mô tả sự biến đổi của điện trường E theo thời gian trong môi trường có điện môi suy hao.
Trong thực tế, khi sóng điện trường truyền trong môi trường hao tổn điện môi, năng lượng sóng sẽ bị giảm nhanh chóng. Nguyễn Thị Kiều Ân 5 Khóa 2017-2019 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng 1.2 Phương trình Schrödinger Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số tính chất cơ bản của phương trình Schrödinger phi tuyến. Phương trình Schrödinger phi tuyến là một trong những phương trình đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực quang học và vật lý plasma được quan tâm trong thời gian gần đây. Phương trình này có một lớp nghiệm mô tả sự truyền tải của các sóng đơn (solitary wave) có biên độ và hình dạng không đổi trong quá trình truyền sóng và va chạm với nhau, gọi là các soliton.
Bên cạnh việc mô tả nhiều hiện tượng vật lý quan trọng trong sóng đơn, phương trình Schrödinger còn có nhiều tính chất toán học đáng chú ý. Phương trình này hoàn toàn khả tích và thuộc về phương trình vi phân lớp Hamil- tonian nên có vô số đại lượng bảo toàn. Nhờ những bất biến toán học này, phương trình Schrödinger bảo toàn điện tích, động lượng, năng lượng và các đại lượng khác với số hạng đạo hàm không gian bậc cao. Bằng phép chuyển đổi Legendre, bài toán Cauchy của phương trình Schrödinger có thể được đưa về các phương trình chính tắc Hamiltanion [12], [13].
Trong vật lý chất rắn, nhiều bài toán cần có một nghiệm chính xác của phương trình Schrödinger với hằng số Planck khá nhỏ. Vì vậy, một lược đồ hiệu quả để giải phương trình Schrödinger bán cổ điển (tức là, với hằng số Planck nhỏ) là vô cùng quan trọng. Thách thức tính toán này thúc đẩy Sheu và Le Lin phát triển một lược đồ sai phân ổn định giảm thiểu sai số khuếch tán để giải phương trình Schrödinger bán cổ điển. Chủ đề này cũng sẽ được thảo luận trong luận văn.
Mô tả phương trình và các tính chất toán học Phần này mô tả tính chất của phương trình Schrödinger khi được khuếch √ đại bởi hệ số ε, đồng thời trình bày quá trình tìm nghiệm của phương trình này theo thế năng V = 2 |ψ|2. Thêm vào đó, chúng tôi đi chứng minh điện tích được bảo toàn theo thời gian từ phương trình NLS. Phương trình sóng sau đây mô tả cơ học lượng tử phi thực tế của hạt Nguyễn Thị Kiều Ân 6 Khóa 2017-2019 Luận văn Thạc sĩ Chuyên ngành Toán Ứng dụng spinless khối lượng m chuyển động trong một trường chịu sự tác động của hàm thế năng V0 ~2 2 i~ψt = − O ψ + V0 (x, t) ψ.14) 2m Trong phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (1.14), ~ biểu thị hằng số Planck và ψ là hàm sóng. Phương trình Schrödinger không thứ nguyên tương ứng được suy ra là 2 iψt + ψxx + V x, t, |ψ| ψ = 0, (1.
Bằng cách đổi biến từ ψ (x, t) sang u (x∗ , t∗ ), ta có thể viết lại phương trình (1.15) thành một dạng của phương trình Schrödinger bán cổ điển. Phương trình biến đổi này liên quan đến hằng số Planck ε, trong đó 0 < ε 1, như sau ε2 ∗ ∗ 2 iεut∗ + ux∗ x∗ + V x , t , |u| u = 0.16) 2 √ √ Trong phương trình (1. Thông qua ánh xạ từ (x, t) đến (x∗ , t∗ ), miền không gian đã tìm thấy được khuếch đại √ bởi hệ số ε. Phương trình Schrödinger được biểu thị bằng các tọa độ (x∗ , t∗ ) tạo điều kiện cho chúng ta giải số và nắm bắt các hiện tượng lan truyền sóng một cách tinh tế.
Dấu của thành phần phi tuyến V trong phương trình (1.15) tương ứng cho phương trình NLS hội tụ (focusing NLS) với V > 0 và phân kỳ (defocusing NLS) với V < 0. Phương trình (1.15) là một mô hình chung được sử dụng để mô tả sự phát triển của trường sóng trong môi trường khuếch tán phi tuyến. Việc mô phỏng sóng điện từ trong ống quang dẫn, sóng nước sâu, và sóng Langmuir trong các plasma liên quan đến việc giải phương trình NLS. Nhiều ứng dụng khác của phương trình NLS có thể được tìm thấy trong trích dẫn [15].
Trong nghiên cứu này, nghiệm của phương trình Schrödinger một chiều được tìm theo thế năng V = 2 |ψ|2. Từ đó ta thu được phương trình Schrödinger không thứ nguyên với số hạng phi tuyến như sau iψt + ψxx + 2 |ψ|2 ψ = 0.
