CHƯƠNG 1 Dạng 1. Công thức xác suất cổ điển, công thức cộng, nhân xác suất. Bài tập mẫu. Thang máy của một toà nhà 7 tầng xuất phát từ tầng một với 3 khách.Tìm xác suất để: a/ Tất cả cùng ở tầng bốn.
b/ Tất cả cùng ra ở một tầng. c/ Mỗi người ra ở một tầng khác nhau. Hướng dẫn: Vì thang máy xuất phát từ tầng một nên mỗi người khách có 6 cách chọn để ra khỏi thang máy. Vậy số các biến cố sơ cấp đồng khả năng là: n(S) A63 63 a.
Gọi A = “Cả 3 khách cùng ra ở tầng 4” n(A) 1 n(A) 1 P( A) 0,0046 n(S) 63 b, Gọi B = “ Cả 3 khách cùng ra ở một tầng” n(B) 6 n(B) 6 P( B) 0,0278 n(S) 63 c, Gọi C = “ Mỗi người ra một tầng khác nhau” n(C) A63 4 lOMoARcPSD|11598335 n(C) A63 P(C ) 0,556 n(S) 63 Bài tập tương tự: Bài 2. Xếp ngẫu nhiên 4 khách lên 9 toa tầu hỏa. Tìm xác suất để: a/ 4 người lên toa đầu. b/ 4 người lên cùng một toa.
c/ 4 người lên 4 toa khác nhau. Bài tập mẫu. Một nhóm 8 người ngồi trên một ghế dài gồm 8 chỗ. Tìm xác suất để: a/ Hai người xác định trước luôn ngồi cạnh nhau.
b/ Hai người đó luôn ngồi cách nhau 2 người. Hướng dẫn: Có 8 người được sắp xếp ngồi trên một ghế dài gồm 8 chỗ nên số các biến cố sơ cấp đồng khả năng là 8! a, Gọi A = “Hai người xác định luôn ngồi cạch nhau” Có 2! cách sắp xếp hai người xác định luôn ngồi cạnh nhau vào 2 vị trí, Có 6! cách sắp xếp 6 người còn lại vào 6 vị trí, Có 7 cách xếp hai người xác định luôn ngồi cạnh nhau vào 8 chỗ trên ghế dài. Theo quy tắc nhân: n(A) 2!.7! P( A) 0, 25 n(S) 8! b, Gọi B = “ Hai người xác định luôn ngồi cách nhau 2 người” Có 2! cách sắp xếp hai người xác định vào 2 vị trí, Có 6! cách sắp xếp 6 người còn lại vào 6 vị trí, Có 7 cách xếp hai người xác định luôn ngồi cách nhau 2 người. Theo quy tắc nhân: n( B) 2!.
Bài tập mẫu. Có 2 lô hàng, lô 1 có 90 chính phẩm và 10 phế phẩm, lô 2 có 80 chính phẩm và 20 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để: a/ Lấy được 1 chính phẩm; b/ lấy được 2 chính phẩm.
c/ Lấy được ít nhất 1 chính phẩm. Hướng dẫn: - Gọi Ai = “Lấy được một chính phẩm từ lô thứ i”, i = 1; 2. - Gọi A = “Trong 2 sản phẩm lấy ra có 1 chính phẩm”, B = “cả 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm”, C = “Biến cố trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm” 5 lOMoARcPSD|11598335 Biểu diễn các biến cố: A; B; C qua các biến cố Ai. C A1 A2 A1 A2 A1 A2 1 1 C90 C20 C101 C80 1 1 C90 1 C80 P(C) P( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ) 1 1 1 1 1 1 0,98 C100 C100 C100 C100 C100 C100 Cách 2: C A B P(C) P( A) P(B) 0,26 0,72 0,98 Cách 3: C = “ Cả 2 sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm” C101 C20 1 P(C ) 1 1 0,02 P(C) 1 P( B) 0,98 C100C100 Bài tập tương tự: Bài 5.
Có 2 chuồng lợn giống, chuồng 1 có 7 con cái và 3 con đực, chuồng 2 có 6 con cái và 4 con đực. Bắt ngẫu nhiên từ mỗi chuồng ra 1 con. Tính xác suất để: a/ Cả 2 con bắt ra đều là con cái. b/ Bắt được 1 con cái, 1 con đực.
c/ Bắt được ít nhất 1 con đực. Hướng dẫn: Tương tự như bài trên, ta gọi Ai = “Bắt được 1 con lợn đực từ chuồng thứ i”, i = 1; 2. A = “Cả 2 con bắt ra đều là con cái”. B = “Bắt được 1 con cái, 1 con đực”.
C = “Bắt được ít nhất 1 con đực”. Ta biểu diễn các biến cố A, B, C qua các biến cố Ai: A A1 A2 B A1 A2 A1 A2 C A1 A2 A1 A2 A1 A2 Bài 6. Một kĩ sư nông nghiệp có hai hộp hạt giống cùng loại: Hộp 1 có 12 hạt giống trong đó 8 hạt đủ tiêu chuẩn, hộp 2 có 12 hạt giống trong đó có 9 hạt đủ tiêu chuẩn. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 hạt giống.
Tìm xác suất để trong hai hạt lấy ra: a/ Có một hạt đủ tiêu chuẩn, một hạt không đủ tiêu chuẩn. b/ Có 2 hạt đạt tiêu chuẩn. c/ Có ít nhất 1 hạt đủ tiêu chuẩn. Hướng dẫn: Tương tự: Gọi Ai = “ Lấy được 1 hạt đạt tiêu chuẩn từ hộp thứ i ” , i = 1, 2.
A = “ Lấy được 1 hạt đạt, 1 hạt không đạt tiêu chuẩn”, B = “ Lấy được 2 hạt đạt tiêu chuẩn” 6 lOMoARcPSD|11598335 C = “Lấy được ít nhất 1 hạt đủ tiêu chuẩn”, Ta biểu diễn các biến cố A, B, C qua các biến cố Ai: A A1 A2 A1 A2 B A1 A2 C A1 A2 A1 A2 A1 A2 4. Bài tập mẫu. Trong một hòm đựng 8 chi tiết là chính phẩm và 5 chi tiết là phế phẩm. Lấy đồng thời ra 3 chi tiết.
Tính xác suất để: a/ Cả 3 chi tiết lấy ra là chính phẩm. b/ Trong 3 chi tiết lấy ra có 2 chính phẩm. c/ Trong 3 chi tiết lấy ra có ít nhất 1 chính phẩm. Hướng dẫn: Phép thử ở đây là cách lấy theo nghĩa tổ hợp, tức là chọn ngẫu nhiên cùng một lúc 3 phần tử từ 13 phần tử, không quan tâm đến thứ tự các phần tử nên số các biến cố sơ cấp đồng khả năng là: n(S) C13 3.
a, Gọi A = “ Cả 3 chi tiết đều là chính phẩm” n(A) C83 n(A) C83 P( A) 0,196 n(S) C133 b, Gọi B = “ Trong 3 chi tiết có 2 chính phẩm” n(B) C82C51 n(B) C82C51 P( B) 3 0, 489 n(S) C13 c, Gọi C = “ Biến cố trong 3 chi tiết có ít nhất 1 chính phẩm” C = “ Biến cố cả 3 chi tiết đều là phế phẩm” n(C ) C53 C53 P(C ) 3 0,035 P(C ) 1 p(C ) 0,965 C13 Bài tập tương tự: Phép thử ở những bài sau đều là cách lấy theo nghĩa tổ hợp, tức là chọn ngẫu nhiên cùng một lúc k phần tử từ n phần tử, không quan tâm đến thứ tự. Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Gọi ngẫu nhiên 4 sinh viên lên bảng làm bài tập. tính xác suất để: a/ Có 2 học sinh nam.
c/ Có ít nhất 2 học sinh nam. b/ Có cả nam và nữ. Trong một thùng hàng có 100 sản phẩm trong đó có 20 sản phẩm kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên ra 10 sản phẩm.
Tìm xác suất trong 10 sản phẩm lấy ra có: a/ 2 sản phẩm kém chất lượng? b/ nhiều nhất 2 sản phẩm kém chất lượng? c/ đúng 2 sản phẩm cùng loại? 7 lOMoARcPSD|11598335 Bài 10. Một hộp đựng 7 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen cùng kích cỡ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 quả cầu. Tìm xác suất để: a/ trong 4 quả lấy ra có 3 quả trắng? b/ có 4 quả cùng màu? c/ có ít nhất 1 quả màu đen? Bài 11.
Lấy ngẫu nhiên 3 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất trong 3 quân lấy ra có: a/ 1 quân át. Trong một hộp bút có 10 chiếc bút bi cùng kích cỡ, trong đó có 6 chiếc bút mực đen và 4 chiếc bút mực xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 3 chiếc bút.
Tìm xác suất để trong 3 chiếc lấy ra có: a/ 2 chiếc bút mực xanh? b/ ít nhất 2 chiếc bút mực xanh? c/ 2 chiếc cùng màu? Bài 13. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên ra 6 quả cầu. Tìm xác suất để trong 6 quả lấy ra có: a/ 3 quả trắng, 2 quả đỏ và 1 quả đen? b/ 4 quả đỏ? c/ không có quả nào màu trắng? Bài 14.
Một hộp đựng 12 quả bóng bàn trong đó có 5 quả màu trắng, 4 quả màu vàng và 3 màu hồng. Rút ngẫu cùng lúc 3 quả. Tìm xác suất để: a/ được 3 quả cùng màu trắng. b/ cả 3 quả cùng màu.
c/ ít nhất 2 quả mầu trắng. Một hộp đựng 15 quả cầu cùng kích thước, trong đó có 3 cầu xanh, 5 cầu đen và 7 cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 4 cầu. Tìm xác suất để trong 4 cầu chọn được có: a/ 4 cầu cùng màu.
b/ 1 cầu trắng, 1 cầu đen. Một lớp học có 20 sinh viên, trong đó có 6 giỏi, 4 khá, 8 trung bình và 2 yếu. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 người. Tìm xác suất để trong 3 sinh viên đó: a/ Có học lực khác nhau.
b/ Có đúng 2 học sinh giỏi. c/ Cả 3 đều học giỏi. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 7 quả màu trắng và 8 quả màu hồng. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 quả.
Tìm xác suất để: a/ Có đúng 1 quả màu hồng. 8 lOMoARcPSD|11598335 b/ Có ít nhất 2 quả màu hồng. c/ Cả 3 quả cùng màu. Trong một hòm đựng 10 chi tiết đạt tiêu chuẩn và 5 chi tiết là phế phẩm.
Lấy đồng thời 3 chi tiết. Tính xác suất: a/ Cả 3 chi tiết lấy ra thuộc loại đạt tiêu chuẩn. b/ Trong số 3 chi tiết lấy ra có 2 chi tiết đạt tiêu chuẩn. c/ Trong số 3 chi tiết lấy ra có ít nhất 1 chi tiết đạt tiêu chuẩn.
Bài tập mẫu. Có 7 cây đậu trong đó có 3 cây hoa trắng và 4 cây hoa vàng. Lấy ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại 2 lần mỗi lần 1 cây đậu. Tìm xác suất để: a Cả 2 đều là hoa trắng; b.
Có 1 cây hoa vàng, 1 cây hoa trắng; c. Có ít nhất 1 cây hoa trắng. Hướng dẫn: Phép thử ở bài toán trên là cách chọn k phần tử từ n phần tử đã cho một cách lần lượt không hoàn lại nên ta áp dụng định lý nhân xác suất để tìm xác suất của tích các biến cố phụ thuộc.