Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. TỔNG QUAN VỀ TƯ DUY, TƯ DUY TOÁN HỌC 1.1) Khái niệm tư duy Theo từ điển Tiếng việt, tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lí. [35] Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn Quang Uẩn (1992), đã định nghĩa: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”. Rubinstêin phát biểu rằng: “Tư duy- đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”.
[30] Từ điển Triết học đã viết: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực của thế giới trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp và phản ánh những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong những mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nền tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích, tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm, kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.2) Đặc điểm của tư duy - Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn Luan van 7 cảnh, những tình huống mà với vốn hiểu biết sẵn có, phương pháp hành động cũ, con người không đủ sức giải quyết và rơi vào hoàn cảnh “có vấn đề”.
Vậy nên, con người phải vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết đó và đi tìm cách thức mới để giải quyết nhằm đạt được mục đích nghĩa là phải tư duy. Ví dụ khi học về hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, giáo viên đưa ra bài toán 2x 2 y 4 x giải hệ phương trình và yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải. 2 x 3 y 2 y 5 Đối với nhiều học sinh thì đây là một tình huống có vấn đề mà bản thân cần phải tư duy mới giải quyết được. Học sinh thực hiện bằng cách chuyển vế các ẩn x và y sang phải và thu gọn để đưa về đúng dạng của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, sau đó giải bằng các phương pháp đã học để tìm x và y.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy: Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng. Tu duy có khả năng thoát ly khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiện tượng cần thiết cho quá trình tư duy. Tư duy cho phép con người bao quát chung những thuộc tính bản chất của sự vật, hiện tượng. - Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy là suy nghĩ của con người.
Tư duy phản ánh các sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngôn ngữ nói, viết. Các quy luật, các quy tắc công thức, các sự kiện và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ. Ví dụ như khi suy nghĩ về việc tìm cách giải một bài toán bắt buộc người học phải trình bày các suy nghĩ của mình. Trong quá trình dạy và học giữa giáo viên và học sinh trong lớp học thì tính gián tiếp của tư duy được thể hiện rõ trong các hoạt động.
Ví dụ như khi giáo viên đưa ra những tình huống “có vấn đề” yêu cầu học sinh phải suy nghĩ, khi đó tư duy được phản ánh qua ngôn ngữ. Giáo viên có thể hiểu được học sinh có tư duy hay không qua các câu trả lời hoặc qua phần trình bày bài viết. - Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Ngôn ngữ cố định lại các kết quả, biểu đạt kết quả của tư duy. Ngôn ngữ được xem là phương Luan van 8 tiện của tư duy trong sự diễn biến của quá trình tư duy nhờ sự tham gia của hệ thống tín hiệu thứ hai (ngôn ngữ) mà con người tiến hành các thao tác tư duy, cuối cùng sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy lý được biểu đạt bằng từ, ngữ, câu,.3) Tư duy như một quá trình, tư duy như một hoạt động Tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc.
Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được K.Platonov mô tả theo sơ đồ như sau: Nhận thức vấn đề Xuất hiện các liên tưởng Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết Kiểm tra giả thuyết Chính xác hoá Khẳng định Phủ định Giải quyết vấn đề Hoạt động tư duy mới Sơ đồ 1.1 Như vậy, tư duy là một hoạt động trí óc, là giai đoạn cao nhất của nhận thức và là sản phẩm của bộ não khi con người cần giải quyết một vấn đề để tìm ra ý tưởng cho vấn đề cần giải quyết. Tư duy vận dụng những cái đã biết để đề ra giải pháp giải quyết những cái tương tự. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó và được thể hiện qua ngôn ngữ.1: Giải phương trình sau: x x 2 x 2 3 Quá trình phát triển tư duy của HS để giải bài toán: Luan van 9 * Nhận thức vấn đề, biểu đạt thành nhiệm vụ tư duy: Yêu cầu bài toán đòi hỏi giải phương trình, cần huy động các kiến thức như: định nghĩa căn bậc hai, phương trình tương đương và phương trình hệ quả, hằng đẳng thức đáng nhớ. * Xuất hiện các liên tưởng: Để giải phương trình ta có các cách sau.
- Cách 1: Đặt ẩn phụ. - Cách 2: Bình phương hai vế. - Cách 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương. * Sàng lọc các liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề: Bài toán cho hai vế có cùng căn bậc hai của một biểu thức.
Nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ hoặc bình phương hai vế của phương trình thì đều gây khó khăn cho HS như là không xử lí triệt để căn bậc hai và có cả sử dụng hằng đẳng thức, cách giải dài và tạo tâm lí nặng nề. HS chọn cách sử dụng phép biến đổi tương đương (chuyển vế đổi dấu) sẽ khử được căn bậc hai ở hai vế, tìm được x và kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm. Vậy nên HS chọn cách 3 sẽ giải bài toán thuận lợi hơn. * Kiểm tra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề: Điều kiện của phương trình: x 2 x x2 x2 3 x x2 x2 3 x 3 (nhaä n) Vậy phương trình có nghiệm x 3 1.
Tư duy toán học a) Khái niệm Theo B.V Gen-hex-den-co, trong giáo dục toán học, yêu cầu đối với tư duy toán học bao gồm: Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; sự cô đọng; sự chính xác của các kí hiệu; phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, thói quen lí lẽ và logic.Khin-sin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế, khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục Luan van 10 đích; phân chia rành mạch các bước suy luận; sử dụng chính xác các kí hiệu; tính có căn cứ đầy đủ của lập luận. [21] b) Đặc trưng của tư duy toán học Theo Nguyễn Văn Lộc, tư duy toán học được hiểu: [19] - Thứ nhất, là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các lĩnh vực khoa học khác. - Thứ hai, tư duy toán học có tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. Do đặc thù của tư duy loài người là tư duy biện chứng mà tư duy toán học phải có đầy đủ các tính chất đặc trưng vốn có của tư duy nói chung, do đó tư duy toán học phải là tư duy biện chứng.
Tính biện chứng của tư duy toán học được đặc trưng bởi sự nhận thức tính thay đổi, tính hai mặt, tính mâu thuẫn, sự thống nhất, sự liên hệ tương hỗ và phụ thuộc lẫn nhau của các khái niệm và các quan hệ. Một trong các biểu hiện của tư duy biện chứng là tư duy lý thuyết – khoa học. Tư duy lý thuyết – khoa học bảo đảm sự đạt tới mục đích nhận thức có hiệu quả hơn. Như vậy tư duy toán học biểu lộ ở các giai đoạn “tiền logic”: hình thành giả thuyết lẫn giai đoạn “logic”: chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết, mở rộng giả thuyết, phát hiện các ứng dụng đa dạng của giả thuyết trong các tình huống mới.2: Giải phương trình x 1 x 1 Quá trình tư duy để giải bài toán có thể được thể hiện như sau: - Giai đoạn tiền logic: Tìm nghiệm của phương trình - Giai đoạn logic: Luan van 11 + Nghiệm của phương trình phải thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Do đó trước hết phải tìm điều kiện của phương trình. Sau đó sử dụng phép biến đổi tương đương (nhân hai vế với cùng một biểu thức biểu thức luôn có giá trị khác 0) để khử căn bậc hai, biến đổi phương trình về phương trình đơn giản hơn và giải tìm nghiệm. So sánh với điều kiện để kết luận nghiệm của phương trình.