Chương 1 Mô hình tuyến tính nhiều mức 1.1 Dữ liệu nhiều mức Khi thu thập số liệu trong các ngành khoa học xã hội, chúng ta thường gặp cấu trúc số liệu có thứ bậc hay cấu trúc số liệu lồng nhóm. Nói cách khác số liệu được thu thập ở các mức khác nhau của đơn vị quan sát. Ví dụ khi xem xét đặc điểm của trẻ em, số liệu về chiều cao và trí thông minh được thu thập ở từng cá nhân trẻ em, nhưng kết luận có thể đưa ra cho các gia đình và khu vực. Người ta nhận xét rằng những đứa trẻ được sinh ra trong cùng một gia đình có xu hướng giống nhau về ngoại hình và tính cách hơn những đứa được chọn ngẫu nhiên từ quần thể nói chung.
Chúng ta đề cập đến sự phân cấp, trong đó các đơn vị được nhóm lại ở các mức khác nhau. Lúc đó, trẻ em là đơn vị mức 1 được xếp trong phạm vi gia đình, gia đình là đơn vị mức 2 được xếp lồng nhóm trong phạm vi khu dân cư (đơn vị mức 3) và khu dân cư được lồng nhóm trong phạm vi các phường (đơn vị mức 4). 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.2 Sự cần thiết sử dụng mô hình phân tích nhiều mức Một nghiên cứu về khả năng “học đọc” của trẻ em trường tiểu học được thực hiện ở nước Anh năm 1970 chỉ ra rằng nhóm học sinh “chuộng hình thức” có khả năng đọc tốt hơn. Dữ liệu được phân tích sử dụng các kỹ thuật hồi quy truyền thống nhận các cá nhân là đơn vị phân tích, bỏ qua ảnh hưởng của sự ghép nhóm theo các mức giáo viên và các lớp học.
Cách phân tích đó cho thấy ảnh hưởng của đặc tính “chuộng hình thức” lên khả năng học đọc của học sinh là có ý nghĩa thống kê. Sau đó, Aitkin và đồng sự (1981) lại chứng minh rằng khi phân tích mà có tính đến việc phân trẻ em theo nhóm vào các lớp học riêng biệt, thì hoàn toàn không có sự khác biệt mang tính thống kê giữa hai nhóm học sinh “chuộng hình thức” và “không chuộng hình thức” về khả năng học đọc. Kết quả phân tích này có ý nghĩa thống kê. Cách phân tích này là một ví dụ quan trọng đầu tiên của phân tích dữ liệu nhiều mức trong dữ liệu khoa học xã hội.
Thực chất những gì đang xảy ra ở đây là những trẻ em trong cùng một lớp học có xu hướng tương tự nhau trong hoạt động của chúng. Cách lý giải khác là kỹ năng học đọc có thể phụ thuộc nhiều vào khả năng truyền thụ của giáo viên hơn là vào tính cách của học sinh. Kết quả là thông tin được cung cấp ít hơn rõ rệt so với trường hợp cũng những học sinh đó được giảng dạy bởi các giáo viên khác nhau một cách riêng biệt. Nói cách khác, những đơn vị cơ bản cho mục đích so sánh là giáo viên chứ không phải học sinh .Vậy cần chuyển sang nghiên cứu kỹ năng giảng dạy của giáo viên.
7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong những bài toán như trên, chỉ dùng cách phân tích riêng rẽ ở từng nhóm nhỏ mà không cần sử dụng mô hình nhiều mức có được không? 1.3 Mức độ chính xác của các kết luận thống kê Nếu tăng số lượng học sinh (được chọn vào mẫu) trong mỗi lớp sẽ làm tăng độ chính xác cho các kết luận thống kê đối với hiệu quả giảng dạy của mỗi giáo viên, nhưng lại khó tăng được số giáo viên được đưa vào xét trong nghiên cứu. Do vậy không tăng được tính chính xác trong kết luận thống kê về hiệu quả giảng dạy của các giáo viên khác nhau. Nếu tăng số giáo viên đưa vào mẫu nghiên cứu thì chúng ta sẽ tăng độ chính xác của các phép so sánh về hiệu quả giảng dạy của các giáo viên, nhưng lại làm giảm số học sinh xét đến trong mỗi lớp, do đó làm giảm tính chính xác của các ước lượng đối với từng giáo viên. Do vậy chúng ta cần phát triển các kỹ thuật phân tích nhiều mức.4 Ưu thế của mô hình nhiều mức Thứ nhất, mô hình nhiều mức cho phép thu được các ước lượng hiệu quả đối với các hệ số hồi quy, khắc phục được hạn chế của giả thiết về tính độc lập giữa các quan sát và giả thiết phương sai không đổi.
Thứ hai, với các thông tin được tổ chức theo “chùm”, sẽ thu được giá trị chính xác hơn của các độ lệch tiêu chuẩn , khoảng tin cậy cũng như xác suất ý nghĩa của các phép kiểm định. Thứ ba, với các hiệp biến, có thể so sánh độ biến động của số liệu tại các nhóm thuộc các mức khác 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Thứ tư, với số lượng quan sát tương đối nhỏ ở các nhóm “cơ sở”, vẫn có thể thu được các kết luận thống kê tốt cho mỗi nhóm bằng cách kết hợp khai thác các thông tin ở các mức cao hơn hoặc từ toàn bộ số liệu.5 Mô hình tuyến tính nhiều mức và các ước lượng Phần này giới thiệu mô hình hai mức cùng với các khái niệm cơ bản sẽ được sử dụng trong các phần tiếp theo. Chúng ta xem xét những cách khác nhau trong việc xây dựng và phát triển mô hình cũng như giới thiệu các thủ tục ước lượng các tham số, thiết kế và kiểm tra các hàm của các tham số và xây dựng dựng khoảng tin cậy.
Để làm rõ vấn đề, chúng ta xét dữ liệu gồm 728 học sinh trong 50 trường cấp 1 ở London. Chúng ta xem xét hai thời điểm đo lường: Thời điểm đầu là khi học sinh học lớp 4 của trường, tương ứng với năm các em lên 8 tuổi và thời điểm thứ hai 3 năm sau đó, khi các em học năm cuối ở trường tiểu học. Chúng ta sử dụng điểm số bài kiểm tra môn Toán được thực hiện tại hai thời điểm kể trên cùng với thông tin được sưu tập về lai lịch xã hội và giới tính của học sinh.1 là biểu đồ sự phân tán điểm kiểm tra môn toán của học sinh 11 tuổi với học sinh 8 tuổi. Trong biểu đồ này không cho thấy sự khác biệt giữa học sinh thuộc các trường khác nhau.
Chú ý rằng đồ thị trên đây cho thấy có một khuynh hướng chung, điểm số năm 8 tuổi có mối quan hệ hầu như đồng biến với điểm số năm 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.1: Sự phân tán điểm kiểm tra môn toán. Cũng cần chú ý rằng độ biến động của điểm số năm 11 tuổi sẽ giảm đi nếu điểm số năm 8 tuổi của học sinh tăng lên.2 điểm số của 2 trường khác nhau đã được lựa chọn, miêu tả bởi các ký hiệu khác nhau.2: Có hai điều thấy rõ ngay lập tức. So với trường được miêu tả bởi hình tam giác, trường được miêu tả bởi hình tròn có độ dốc lớn hơn và điểm 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com số năm 11 tuổi có xu hướng thấp hơn tại hầu hết các nhóm học sinh có cùng điểm số năm 8 tuổi. Những mối liên hệ này có thể được mô hình hóa như sau: Đầu tiên chúng ta xét mô hình đơn giản của một trường, liên kết điểm năm 11 tuổi với điểm năm 8 tuổi.
Ta viết yi = α + βxi + ei (1.1) trong đó, α là hệ số chặn, β là hệ số dốc, ei là sai số ngẫu nhiên. Đây là mô hình chính thức mô tả mối liên hệ đơn lẻ. Để miêu tả đồng thời những mối liên hệ trong vài trường, ví dụ cho trường j , ta viết yij = αj + βj xij + eij (1.2) Đây là mô hình chính thức cho hình 2 ở đó j quy ước cho đơn vị mức 2 và i quy ước cho đơn vị mức 1.2) vẫn là mô hình đơn giản, mặc dù đã miêu tả mối liên hệ tách rời của mỗi trường. Trong một số trường hợp, ví dụ có vài trường và các điều quan tâm chính là các trường trong mẫu, chúng ta có thể phân tích bằng cách sử dụng tất cả 2n + 1 tham số, cụ thể là: (αi , βj ), j = 1,.
, n với phần dư của các trường có phương sai chung là σ 2 .6 Mô hình 2 mức với hệ số ngẫu nhiên Để chính thức sử dụng (1.2) như một mô hình 2 mức, chúng ta coi αj , βj là các biến ngẫu nhiên, và để thuận tiện, thay thế các ký hiệu αj bởi β0j và βj bởi β1j. Khi đó ta có 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com yij = β0j + β1j xij + eij (1.3) ở đó, β0j là hệ số chặn, β1j là hệ số dốc, eij là sai số ngẫu nhiên. Sự khác biệt của mô hình này so với mô hình hồi quy thông thường là chúng ta đã giả sử rằng mỗi trường được đặc trưng bởi một hệ số chặn β0j khác nhau và hệ số dốc β1j khác nhau. Các sai số ngẫu nhiên eij có kỳ vọng 0 và phương sai σj2.
Các mô hình nhiều mức thường giả sử phương sai của các sai số ngẫu nhiên giống nhau ở tất cả các trường bằng σ 2. Qua tất cả các trường, các hệ số hồi quy β.j có một phân bố với kỳ vọng 0 và phương sai nào đó. Giả sử β0j = β0 + u0j β1j = β1 + u1j trong đó u0j , u1j là các sai số ngẫu nhiên (còn gọi là phần dư) , thể hiện độ lệch giữa các trường, với các tham số E(u0j ) = E(u1j ) = 0 2 V ar(u0j ) = σu0 2 V ar(u1j ) = σu1 cov(u0j , u1j ) = σu01 Nói chung hiệp phương sai của các sai số ở mức trường không được giả thiết bằng 0.3) có dạng yij = β0 + β1 xij + (u0j + u1j xij + e0ij ) (1.4) 2 var(e0ij ) = σe0 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Các hệ số β0 , β1 không thay đổi giữa các trường nên chúng không có chỉ số j để biểu thị cho 1 trường nào mà chúng được áp dụng cho tất cả các trường. Vì vậy các hệ số này được nói đến như các hệ số cố định, sự biến đổi còn lại của tất cả các trường được thể hiện bởi β0j , β1j.
Các hệ số β0j , β1j được giả thiết thay đổi giữa các trường và được xác định qua các phần dư u0j , u1j. Trong công thức (1.4) phần β0 + β1 xij bao gồm tất cả các hệ số cố định, nên phần này được gọi là phần cố định của mô hình.