Khóa luận: Giải phương trình Schrodinger bằng Numerov tìm trạng thái liên kết đơn hạt

Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu tốt nghiệp sư phạm vật lý giải số phương trình schrodinger một chiều bằng thuật toán numerov để tìm, vận dụng lý thuyết vào thực tế, đề xuất giải

• Tác giả: Nguyễn Kiều Việt Đức
• Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Lê Anh
• Trường học: Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Sư phạm Vật lí
• Đề tài: Giải số phương trình Schrodinger một chiều bằng thuật toán Numerov để tìm trạng thái liên kết đơn hạt
• Loại tài liệu: Khóa luận tốt nghiệp
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• Lời cảm ơn
• Danh mục viết tắt
• Danh sách hình vẽ
• Danh sách bảng
• Mục lục
• Mở đầu
• 1. Chương 1: Thuật toán Numerov cho phương trình Schrödinger thường
• 1.1. Trạng thái liên kết: Phương pháp Numerov
• 1.2. Các bước giải số phương trình Schrödinger thường
• 1.2.1. Dao động tử điều hòa
• 2. Chương 2: Thuật toán Numerov cho phương trình Skyrme Hartree-Fock
• 2.1. Phương trình Skyrme Hartree-Fock. Đổi biến hàm sóng và thuật toán Numerov
• 2.1.1. Hạt nhân *He
• 2.1.2. Hạt nhân !?C
• 2.1.3. Hạt nhân !?O
• Kết luận và kiến nghị
• Tài liệu tham khảo

Tóm tắt

I. Giải PT Schrodinger Khám phá thế giới lượng tử qua thuật toán số

Phương trình Schrodinger là nền tảng của cơ học lượng tử, mô tả sự tiến hóa của một hệ lượng tử theo thời gian. Đặc biệt, phương trình Schrodinger độc lập thời gian cho phép xác định các trạng thái liên kết (bound states) và các mức năng lượng rời rạc tương ứng của một hệ. Việc giải phương trình này là chìa khóa để hiểu cấu trúc của nguyên tử, phân tử và các hệ vi mô khác. Tuy nhiên, chỉ một số ít bài toán đơn giản như hạt trong giếng thế vô hạn hay dao động tử điều hòa lượng tử mới có lời giải giải tích chính xác. Đối với các hệ phức tạp hơn, chẳng hạn như hệ nhiều hạt hoặc các thế năng có dạng phức tạp, việc tìm nghiệm giải tích là gần như không thể. Chính vì lý do này, các phương pháp số trong vật lý lượng tử đã ra đời và trở thành công cụ không thể thiếu. Các phương pháp này, bao gồm phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn, cho phép tìm ra nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cao thông qua các thuật toán lặp trên máy tính. Trong số đó, thuật toán Numerov nổi bật lên như một giải pháp cực kỳ hiệu quả và chính xác để giải các phương trình vi phân thường bậc hai không chứa số hạng đạo hàm bậc nhất, một dạng đặc trưng của phương trình Schrodinger một chiều. Sự phát triển của vật lý tính toán và các công cụ lập trình tính toán khoa học như Python với thư viện NumPy/SciPy đã làm cho việc áp dụng các thuật toán này trở nên dễ dàng và mạnh mẽ hơn bao giờ hết, mở ra cánh cửa cho việc mô phỏng lượng tử các hệ phức tạp mà trước đây không thể tiếp cận được.

1.1. Tầm quan trọng của phương trình Schrodinger độc lập thời gian

Phương trình Schrodinger độc lập thời gian là một bài toán eigenvalue, trong đó việc tìm ra các giá trị năng lượng (giá trị riêng) và các hàm sóng (hàm riêng) tương ứng là mục tiêu chính. Các giá trị riêng và hàm riêng này chứa đựng toàn bộ thông tin về các trạng thái dừng của hệ, tức là các trạng thái có năng lượng không đổi theo thời gian. Mỗi giá trị năng lượng cho phép, hay còn gọi là mức năng lượng rời rạc, tương ứng với một trạng thái mà hạt có thể tồn tại bền vững. Hàm sóng, Ψ(x), mô tả biên độ xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí nhất định. Việc giải được phương trình này cho phép các nhà vật lý tiên đoán các tính chất quan sát được của hệ, chẳng hạn như quang phổ vạch của nguyên tử, cấu trúc của phân tử và các đặc tính của chất rắn. Nó là công cụ lý thuyết cốt lõi để xây dựng các mô hình vật lý từ cấp độ nguyên tử đến vật lý hạt nhân.

1.2. Hạn chế của giải tích và sự cần thiết của phương pháp số

Mặc dù có vai trò trung tâm, phương trình Schrodinger chỉ có thể được giải chính xác bằng phương pháp giải tích cho một số ít các thế năng đơn giản (V(x)). Khi thế năng trở nên phức tạp, hoặc khi xét đến tương tác nhiều hạt, phương trình vi phân trở nên quá phức tạp để có thể tìm ra nghiệm dạng hàm tường minh. Đây là lúc các phương pháp số trong vật lý lượng tử phát huy vai trò. Chúng biến đổi phương trình vi phân liên tục thành một hệ các phương trình đại số trên một lưới điểm rời rạc. Bằng cách giải hệ phương trình này, chúng ta có thể thu được giá trị của hàm sóng tại các điểm rời rạc đó, tạo ra một nghiệm xấp xỉ cho bài toán. Các phương pháp như Runge-Kutta hay phương pháp sai phân hữu hạn là những ví dụ tiêu biểu. Sự ra đời của máy tính hiệu năng cao đã thúc đẩy lĩnh vực mô phỏng lượng tử, cho phép giải quyết các bài toán mà trước đây được coi là 'bất khả thi'.

II. Thách thức chính khi tìm trạng thái liên kết và hàm sóng hợp lệ

Việc tìm kiếm trạng thái liên kết không chỉ đơn thuần là giải một phương trình vi phân. Nó là một bài toán eigenvalue phức tạp, đòi hỏi nghiệm tìm được phải thỏa mãn đồng thời nhiều điều kiện vật lý nghiêm ngặt. Một hàm sóng (wave function) hợp lệ không chỉ là nghiệm của phương trình Schrodinger mà còn phải liên tục, đơn trị, hữu hạn và thỏa mãn các điều kiện biên Dirichlet, tức là phải tiến tới không ở vô cùng. Điều này đảm bảo rằng xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian là hữu hạn và có thể chuẩn hóa về 1. Thách thức lớn nhất là năng lượng E không phải là một giá trị tùy ý; nó chỉ có thể nhận một tập hợp các giá trị rời rạc cụ thể. Nếu chọn một giá trị E sai, nghiệm của phương trình sẽ phân kỳ (tiến tới vô cùng) ở một trong hai phía, vi phạm điều kiện biên và không thể là một hàm sóng vật lý. Do đó, bài toán không chỉ là tìm hàm sóng ψ(x) mà là tìm cặp (E, ψ(x)) thỏa mãn cả phương trình và điều kiện biên. Quá trình này thường yêu cầu một phương pháp lặp, trong đó năng lượng E được 'dò' một cách có hệ thống cho đến khi tìm được một giá trị cho ra một hàm sóng 'cư xử tốt'. Đây chính là bản chất của các kỹ thuật như shooting method, một phương pháp cốt lõi thường được sử dụng cùng với thuật toán Numerov.

2.1. Định nghĩa trạng thái liên kết và mức năng lượng rời rạc

Một trạng thái liên kết là một trạng thái mà trong đó một hạt bị 'giam giữ' trong một vùng không gian nhất định bởi một hố thế năng. Về mặt toán học, điều này xảy ra khi tổng năng lượng E của hạt nhỏ hơn giá trị của thế năng ở vô cùng (E < V(∞)). Trong trường hợp này, hạt không có đủ năng lượng để thoát khỏi hố thế. Một hệ quả trực tiếp của các điều kiện biên trong cơ học lượng tử là năng lượng của các trạng thái liên kết không thể nhận giá trị liên tục, mà phải bị lượng tử hóa thành các mức năng lượng rời rạc. Mỗi mức năng lượng này tương ứng với một hàm sóng riêng biệt, mô tả sự phân bố xác suất của hạt trong trạng thái đó. Việc xác định chính xác các mức năng lượng này là mục tiêu cơ bản khi giải phương trình Schrodinger cho các hệ như nguyên tử, phân tử hay giếng thế lượng tử.

2.2. Yêu cầu về điều kiện biên và tính chuẩn hóa của hàm sóng

Để một nghiệm toán học của phương trình Schrodinger có ý nghĩa vật lý, nó phải tuân thủ các điều kiện nghiêm ngặt. Quan trọng nhất là điều kiện biên Dirichlet cho các trạng thái liên kết: hàm sóng ψ(x) phải tiến về 0 khi x tiến đến ±∞. Điều này phản ánh thực tế rằng hạt bị giam giữ và xác suất tìm thấy nó ở rất xa hố thế là bằng không. Ngoài ra, tích phân của |ψ(x)|² trên toàn bộ không gian phải là một số hữu hạn để có thể chuẩn hóa. Quá trình chuẩn hóa đảm bảo rằng tổng xác suất tìm thấy hạt ở mọi nơi trong không gian bằng 1. Việc không thỏa mãn các điều kiện này, đặc biệt là sự phân kỳ của hàm sóng ở vô cùng, là dấu hiệu cho thấy giá trị năng lượng E được chọn ban đầu không phải là một giá trị riêng hợp lệ của hệ.

III. Phương pháp Numerov Giải mã PT Schrodinger với độ chính xác cao

Thuật toán Numerov, được phát triển bởi nhà vật lý người Nga Boris Numerov, là một phương pháp sai phân hữu hạn bậc cao được thiết kế đặc biệt để giải các phương trình vi phân thường bậc hai không có số hạng đạo hàm bậc nhất. Phương trình Schrodinger một chiều độc lập thời gian, ψ''(x) + k(x)ψ(x) = 0 với k(x) = 2m/ħ²[E - V(x)], chính là dạng phương trình lý tưởng cho thuật toán này. Nền tảng của phương pháp dựa trên việc khai triển Taylor hàm sóng ψ(x) đến bậc cao và kết hợp các khai triển tại các điểm x-δ, x, và x+δ để loại bỏ các số hạng đạo hàm bậc lẻ. Kết quả là một công thức lặp ba điểm cực kỳ đơn giản và hiệu quả, cho phép tính giá trị hàm sóng tại điểm tiếp theo ψ(x+δ) dựa trên hai giá trị trước đó. Theo Blatt (1967), độ chính xác của phương pháp Numerov là bậc O(δ⁴), cao hơn đáng kể so với các phương pháp bậc hai như Runge-Kutta bậc hai, cho phép đạt được kết quả chính xác hơn với cùng một kích thước bước δ. Ưu điểm này làm cho thuật toán Numerov trở thành lựa chọn hàng đầu trong các bài toán mô phỏng lượng tử một chiều, từ việc khảo sát dao động tử điều hòa lượng tử đến phân tích cấu trúc hạt nhân phức tạp thông qua phương trình Skyrme Hartree-Fock. Sự hiệu quả và độ chính xác của nó đã được kiểm chứng qua nhiều nghiên cứu, khẳng định vị thế là một công cụ mạnh mẽ trong lập trình tính toán khoa học.

3.1. Cơ sở toán học từ khai triển Taylor đến công thức lặp

Cốt lõi của thuật toán Numerov nằm ở việc xấp xỉ đạo hàm bậc hai một cách thông minh. Bằng cách viết khai triển Taylor cho ψ(x+δ) và ψ(x-δ) rồi cộng chúng lại, các số hạng đạo hàm bậc một và bậc ba bị triệt tiêu. Điều này dẫn đến một biểu thức chính xác cho đạo hàm bậc hai, với sai số bậc O(δ²). Tuy nhiên, Numerov đi một bước xa hơn bằng cách sử dụng chính phương trình vi phân để thay thế đạo hàm bậc bốn bằng một biểu thức liên quan đến hàm sóng và thế năng. Sau khi sắp xếp lại, ta thu được công thức lặp cuối cùng. Công thức này liên kết giá trị hàm sóng tại ba điểm lưới liên tiếp, cho phép 'bước' qua miền không gian và xây dựng nghiệm một cách hiệu quả. Đây là một ví dụ điển hình của phương pháp sai phân hữu hạn, nơi một bài toán liên tục được chuyển thành một bài toán rời rạc có thể giải được bằng máy tính.

3.2. So sánh độ chính xác Numerov và các phương pháp số khác

Trong lĩnh vực giải phương trình vi phân, có nhiều phương pháp khác nhau, nhưng không phải phương pháp nào cũng phù hợp cho phương trình Schrodinger. Phương pháp Euler, mặc dù đơn giản nhất, nhưng có độ chính xác thấp (bậc O(δ)) và không ổn định. Phương pháp Runge-Kutta, đặc biệt là bậc bốn (RK4), rất phổ biến và mạnh mẽ cho các phương trình vi phân tổng quát. Tuy nhiên, đối với dạng phương trình đặc biệt của Schrodinger (không có đạo hàm bậc nhất), thuật toán Numerov tỏ ra vượt trội. Như Sloan (1968) đã chỉ ra, phương pháp Numerov có sai số cục bộ là O(δ⁶) và sai số toàn cục là O(δ⁴), trong khi RK4 có sai số toàn cục O(δ⁴) nhưng đòi hỏi nhiều phép tính hơn tại mỗi bước. Do đó, với cùng một nỗ lực tính toán, Numerov thường cho kết quả chính xác hơn. Điều này đặc biệt quan trọng trong các bài toán mô phỏng lượng tử đòi hỏi sự hội tụ nhanh và sai số tính toán tối thiểu.

IV. Hướng dẫn giải PT Schrodinger bằng thuật toán Numerov Shooting

Triển khai thực tế thuật toán Numerov để giải PT Schrodinger thường được kết hợp với một kỹ thuật mạnh mẽ gọi là shooting method (phương pháp bắn). Quy trình này biến bài toán giá trị biên thành một chuỗi các bài toán giá trị ban đầu, giúp tìm ra các giá trị riêng năng lượng một cách hiệu quả. Đầu tiên, không gian được rời rạc hóa thành một lưới các điểm cách đều nhau một khoảng δ. Sau đó, một giá trị năng lượng E được 'đoán' ban đầu. Thuật toán bắt đầu tính toán hàm sóng từ hai phía: từ một điểm rất xa bên trái (x → -∞, nơi ψ ≈ 0) tiến vào và từ một điểm rất xa bên phải (x → +∞, nơi ψ ≈ 0) tiến vào. Cả hai quá trình tính toán này gặp nhau tại một 'điểm khớp' (matching point) ở giữa, thường là một điểm trong hố thế. Tại điểm khớp này, tính liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó được kiểm tra. Nếu đạo hàm không liên tục (có một 'bước nhảy' tại điểm khớp), điều đó có nghĩa là giá trị năng lượng E đã chọn là sai. Một thuật toán gốc (root-finding algorithm) sau đó sẽ được sử dụng để cập nhật giá trị E một cách thông minh (ví dụ, tăng hoặc giảm E) và toàn bộ quá trình 'bắn' được lặp lại. Vòng lặp này tiếp tục cho đến khi tìm được một giá trị E mà tại đó hàm sóng và đạo hàm của nó khớp với nhau một cách trơn tru tại điểm khớp, thỏa mãn sai số cho phép. Năng lượng E đó chính là một mức năng lượng rời rạc của hệ.

4.1. Kỹ thuật Shooting Method để tìm chính xác giá trị riêng

Bản chất của shooting method là chuyển một bài toán eigenvalue thành bài toán tìm nghiệm của một hàm số. Hàm số này, F(E), được định nghĩa là sự sai khác (không liên tục) của đạo hàm hàm sóng tại điểm khớp, phụ thuộc vào năng lượng E. Mục tiêu là tìm các giá trị E sao cho F(E) = 0. Quá trình bắt đầu với một phỏng đoán năng lượng E. Sử dụng thuật toán Numerov, hàm sóng được tính từ hai phía vào điểm khớp. Sau khi chuẩn hóa để đảm bảo hàm sóng liên tục, sự chênh lệch của đạo hàm được tính. Nếu chênh lệch này khác không, giá trị E sẽ được điều chỉnh (ví dụ, bằng phương pháp chia đôi hoặc phương pháp Newton-Raphson) và quá trình được lặp lại. Kỹ thuật này rất mạnh mẽ vì nó tự động hóa quá trình 'dò' năng lượng cho đến khi tìm thấy một trạng thái liên kết hợp lệ.

4.2. Quy trình lập trình với Python và thư viện NumPy SciPy

Việc lập trình tính toán khoa học để giải bài toán này trở nên thuận tiện với các ngôn ngữ như Python. Thư viện NumPy cung cấp các cấu trúc mảng hiệu quả để lưu trữ lưới không gian và giá trị hàm sóng. Vòng lặp chính của thuật toán Numerov có thể được triển khai một cách súc tích. Thư viện SciPy cung cấp các công cụ mạnh mẽ hơn, chẳng hạn như các hàm tìm nghiệm (root-finding) có sẵn (ví dụ: scipy.optimize.brentq) để tự động hóa shooting method, giúp tìm các giá trị riêng năng lượng một cách hiệu quả mà không cần phải tự viết mã cho thuật toán tìm kiếm. Quy trình điển hình bao gồm: định nghĩa hàm thế năng V(x), viết một hàm tính toán sự không liên tục của đạo hàm F(E), và cuối cùng sử dụng một hàm tìm nghiệm của SciPy để tìm các giá trị E làm cho F(E) bằng không.

V. Kết quả thực tiễn Ứng dụng Numerov cho các hệ lượng tử

Hiệu quả của thuật toán Numerov được chứng minh rõ ràng nhất khi áp dụng vào việc giải PT Schrodinger cho các hệ lượng tử kinh điển có lời giải giải tích. Tài liệu nghiên cứu của Nguyễn Kiều Việt Đức (2023) đã thực hiện các mô phỏng lượng tử chi tiết cho nhiều hệ khác nhau. Đối với bài toán dao động tử điều hòa lượng tử, kết quả tính toán số cho các mức năng lượng rời rạc trùng khớp gần như hoàn hảo với công thức lý thuyết E_n = ħω(n + 1/2). Tương tự, khi áp dụng cho nguyên tử Hydrogen (trường hợp l=0), thuật toán đã tái tạo thành công các mức năng lượng theo công thức Rydberg, với sai số rất nhỏ. Các mô phỏng cho hố thế Morse và chấm lượng tử cũng cho thấy sự phù hợp cao giữa giá trị riêng năng lượng tính toán và giá trị lý thuyết. Việc so sánh hình dạng của hàm sóng (wave function) tính toán số với hàm giải tích cũng cho thấy sự trùng khớp ấn tượng. Những kết quả này không chỉ xác thực độ chính xác của phương pháp số trong vật lý lượng tử mà còn khẳng định thuật toán Numerov là một công cụ đáng tin cậy để khảo sát các hệ phức tạp hơn, nơi không có lời giải chính xác để so sánh. Đây là tiền đề quan trọng để mở rộng ứng dụng của nó sang các lĩnh vực như vật lý hạt nhân và hóa học lượng tử.

5.1. Phân tích giếng thế lượng tử và dao động tử điều hòa

Bài toán dao động tử điều hòa lượng tử là một ví dụ kiểm chứng kinh điển. Thế năng có dạng parabol V(x) = ½mω²x². Khi áp dụng thuật toán Numerov và shooting method, chương trình tính toán có thể xác định các mức năng lượng rời rạc (0.5ħω, 1.5ħω, 2.5ħω,...) và các hàm sóng tương ứng (đa thức Hermite nhân với hàm Gauss). Sự đối xứng của thế năng cũng cho phép kiểm tra tính chẵn-lẻ của các hàm sóng, một đặc tính quan trọng của nghiệm. Tương tự, đối với giếng thế lượng tử (hữu hạn hoặc vô hạn), thuật toán có thể dễ dàng tìm thấy các trạng thái liên kết bị giam giữ bên trong giếng, và mô tả sự 'rò rỉ' của hàm sóng vào vùng cấm cổ điển trong trường hợp giếng thế hữu hạn. Các kết quả này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết.

5.2. Mô phỏng nguyên tử Hydrogen và các thế năng phức tạp khác

Mặc dù bài toán nguyên tử Hydrogen là bài toán 3D, nhưng khi xét các trạng thái có moment động lượng l=0, phương trình Schrodinger cho hàm bán kính có thể được đưa về dạng phương trình 1D, phù hợp để giải bằng thuật toán Numerov. Các tính toán số đã tái tạo thành công các mức năng lượng E_n ∝ -1/n² và hình dạng của các hàm sóng bán kính. Ngoài ra, thuật toán còn được áp dụng thành công cho các thế năng phức tạp hơn như thế Morse, một mô hình thực tế hơn cho liên kết hóa học trong phân tử hai nguyên tử. Khả năng xử lý các dạng thế năng đa dạng này chứng tỏ tính linh hoạt và sức mạnh của phương pháp Numerov, biến nó thành một công cụ khảo sát quan trọng trong vật lý tính toán.

VI. Mở rộng thuật toán Numerov cho vật lý hạt nhân và kết luận

Sức mạnh của thuật toán Numerov không chỉ giới hạn ở các bài toán cơ bản. Nó có thể được mở rộng để giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong vật lý hiện đại, tiêu biểu là trong lĩnh vực vật lý hạt nhân. Nghiên cứu của Nguyễn Kiều Việt Đức (2023) đã áp dụng thành công thuật toán này để giải phương trình Skyrme Hartree-Fock. Đây là một phương trình phức tạp mô tả trạng thái của một nucleon (proton hoặc neutron) chuyển động trong trường thế trung bình do tất cả các nucleon khác tạo ra. Mặc dù phương trình gốc có chứa số hạng đạo hàm bậc nhất, một phép biến đổi hàm sóng thông minh (theo Dover & Van Giai, 1972) có thể loại bỏ số hạng này, đưa phương trình về dạng lý tưởng cho Numerov. Bằng cách này, nghiên cứu đã tính toán thành công các mức năng lượng rời rạc và sự phân bố mật độ của proton và neutron trong các hạt nhân như ⁴He, ¹²C, và ¹⁶O. Kết quả này cho thấy tiềm năng to lớn của phương pháp Numerov trong việc mô phỏng lượng tử cấu trúc hạt nhân. Tóm lại, thuật toán Numerov là một công cụ số học mạnh mẽ, chính xác và hiệu quả. Nó không chỉ là phương pháp lý tưởng để giải PT Schrodinger và tìm trạng thái liên kết, mà còn có khả năng mở rộng sang các lĩnh vực nghiên cứu tiên tiến, khẳng định vai trò không thể thiếu trong bộ công cụ của vật lý tính toán hiện đại.

6.1. Giải phương trình Skyrme Hartree Fock trong cấu trúc hạt nhân

Phương pháp Hartree-Fock là một phương pháp trường tự hợp, trong đó bài toán nhiều hạt được đơn giản hóa thành một tập các bài toán đơn hạt. Trong vật lý hạt nhân, tương tác Skyrme được sử dụng để xây dựng thế năng hiệu dụng. Phương trình Skyrme Hartree-Fock thu được là một phương trình vi phân phức tạp. Thách thức là nó chứa một thành phần đạo hàm bậc nhất do khối lượng hiệu dụng của nucleon phụ thuộc vào vị trí. Tuy nhiên, bằng cách thực hiện một phép đổi biến thích hợp cho hàm sóng, phương trình có thể được chuyển đổi thành một phương trình Schrodinger-like không có đạo hàm bậc nhất. Lúc này, thuật toán Numerov có thể được áp dụng trực tiếp để tìm các trạng thái đơn hạt của nucleon. Đây là một ví dụ điển hình cho thấy sự linh hoạt và khả năng thích ứng của thuật toán trong các bài toán nghiên cứu tiên tiến.

6.2. Triển vọng tương lai và các hướng nghiên cứu mở rộng

Thuật toán Numerov, dù rất mạnh mẽ cho các bài toán 1D, vẫn có những giới hạn. Việc mở rộng nó cho các bài toán nhiều chiều là không tầm thường. Tuy nhiên, các ý tưởng cốt lõi của nó về phương pháp sai phân hữu hạn bậc cao vẫn tiếp tục truyền cảm hứng cho việc phát triển các thuật toán mới. Hướng nghiên cứu trong tương lai có thể bao gồm việc kết hợp Numerov với các kỹ thuật khác để giải các bài toán tán xạ (trạng thái không liên kết), nghiên cứu các kích thích tập thể trong hạt nhân, hoặc tích hợp vào các mã mô phỏng lượng tử lớn hơn trong hóa học lượng tử và vật lý chất rắn. Sự phát triển không ngừng của năng lực tính toán sẽ tiếp tục mở ra những ứng dụng mới và thú vị cho các phương pháp số trong vật lý lượng tử như Numerov, giúp chúng ta khám phá sâu hơn những bí ẩn của thế giới vi mô.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Thuật toán Numerov cho phương trình Schrödinger thường Trong chương này, tôi sẽ trình bày về thuật toán Numerov cho việc giải số phương trình Schrödinger dừng một chiều không chứa thành phẫn vi phân bậc nhất: các bước thực hiện giải số phương trình Schrédinger sử dụng phương pháp Numerov; ket quả tính toán vẻ năng lượng và hình dang hàm sóng của dao động tử điều hòa, nguyên tử hydrogen, hạt chuyển động trong hỗ thé Morse và cham lượng tử.1 Trạng thái liên kết: Phương pháp Numerov Một hạt có khối lượng m chuyển động trong một hỗ thé V(x) có tọa độ x € [a,b] cho trước, với mức năng lượng liên kết E, phương trình Schrodinger đừng một chiều của hạt có dạng tổng quát w(x) + P(x) w(x) = 0, (1.1) trong đó, ta đặt \/ 2m |E — V(3)] (1.055 x 10°34 J s là hằng số Planck rút gọn. Phương pháp giải số Numerov cho phép ta xác định được hàm sóng w(x) ứng với các mức nang lượng liên kết E của hạt. Để tính toán giá trị hàm sóng tại mỗi tọa độ. ban dau can hai giá trị hàm sóng cho trước: w(x — ở) và w(x), với ð là con số nhỏ tùy ý hay được gọi là bước nhảy trong chương trình tính toán.

Việc ta cần làm là tim được giá trị hàm số tại điểm tiếp theo V(x + ồ). khai triển Taylor W{x — 5) và w(x + 8) đến dao hàm bậc thứ 4 yx 6) =F Pyne) n=O 2 3 4 =V()~ðW/()+ Fwy) + Fwy, d3) vor+3)= YOM yin „=0 ° 8? 5s - 4 = W()+ðW'(x)+ Swix) + v(x) + Sy), (1. Công về theo về hai phương trình (1.4), các thành phan hàm sóng dao ham bậc lẻ sẽ triệt tiêu, ta được &4 w(x — 5) + w(xt 5)= 2y(x) + Py?) (x) + Ta) + 6(6°), hay (x) + ồ” 20a yx) _ W(x~ ð)+ vớ ổ) - 2y(x) + (8%.5) 12 dx* ồ? ô? 4° Từ phương trình (1.1), tác động toán tử ( 1+ aa) dé dua vé dang phuong trinh thuận tiện hơn cho việc lập biểu thức a d* :_ w(x) + aasw) (x) + k (x)W(x) + +s se ()w(@)]=0. 46) Thẻ phương trình (1.6) ta được ô! a w(x— 5) + w(x + ð) - 2w(x) + ðÊ#*(x)ự(x) + — (K(x) w(x)| + Ø(ð5) = 0, de (1.10) Như vậy, kết hợp giữa (1.10) ta được biểu thức tính giá trị hàm sóng tại điểm tiếp theo {x + 5) với sai số @(ð5) gy.2 Các bước giải sô phương trình Schrödinger thường Van dé ta cần giải quyết chính là tim được giá trị năng lượng E và từ đó tìm ra hàm sóng ⁄{x) tại mức năng lượng đó.

Việc chọn giá trị nang lượng dau vào trong chương trình tính toán Ej, mang tính ngẫu nhiên, nhưng ta luôn biết rằng năng lượng liên kết của hạt luôn mang giá trị lớn hơn giá trị nhỏ nhất của hàm thé V(x). Vì thé ta sẽ chọn Ein = Vinin + AE với AE là một số dương nhỏ. Năng lượng E V(x) Em O | Xright Hình 1. Điểm giao nhau giữa đường cong thé nang V(x) với giá trị năng lượng ban đầu Ein.

Tiệp dén là việc chọn 2 cận toa độ (turning points) x¿ Va Xr;zp sao cho tại đó năng 7 lượng của hạt có giá trị bằng với năng lượng hồ thế (hình 1. Hạt sẽ chỉ chuyển động trong vùng thé có tọa độ x € [Xterts Xright | „ nơi ma mức nang lượng hat lớn hơn hoặc bằng mức năng lượng hồ thế. Ở vùng ngoài x < xXjeq và x > Xrighi được gọi là vùng câm cổ điển, nơi mà hàm sóng tại đó w(x) = 0. Phương trình Schrödinger ứng với mỗi giá trị năng lượng sẽ cho ra một hàm riêng w(x) tương ứng, nhưng sẽ không thỏa được các điểu kiện khác của hàm sóng như điều kiện chuẩn hóa hàm sóng và điều kiện biên.

Chính vì vậy, ở đây ta cần chọn một điểm khớp Xmach (matching point) chia [x. Việc giải số phương trình Schrödinger dừng một chiều sẽ được thực hiện theo các bước như sau Chọn giá trị năng lượng đầu vào Ej, = Vinin + AE (AE < Vina), cho trước hai giá trị hàm sóng tại hai điểm liền kẻ, bắt đầu ten, yich (Xieq) —0. wh xen +6) " @kt (set 4 1) ‹ sau đó sử dụng biểu thức (1.11) để tìm ra các giá trị hàm sóng tiếp theo cho đến WF (Ymaen). « Giải số cho miễn bên phải (x € [xmwn.Xaghi, ) Tương tự như miễn bên trái, cho trước hai giá trị hàm sóng tại hai điểm liên kẻ, nen (Xnght) =0, yee xung _ 5) = ôn‡ht (net < 1) ‹ sau đó sử dụng biểu thức (1.11) để tìm ra các giá trị hàm sóng tiếp theo cho đến yreht (Xmatch ) k Như vậy, với cách cho trước giá trị yw!" (jen) = ## (xu; +) = O thì hàm sóng thỏa mãn được điều kiện biên.

Tuy nhiên, tính liên tục của hàm sóng chưa được thỏa nêu VỀ (ven) và WE (ach) có giá trị không trùng khớp nhau. Vì thé để đảm bảo tính liên tục của hàm sóng, ta điều chỉnh các giá trị hàm sóng ở miền bên trái !°(x) bằng cách yrent (Xmatch ) ự'°“(x) _> ự!°(y) VER(xaaen) A R S < X m a t c h ) (1. ta cần kiểm tra tính liên tục về đạo hàm bậc nhất của hàm sóng w#!#P!( y) và hàm sóng w⁄**#(x) vừa được điều chính lại bởi công thức (1. Sử dụng khai triển Taylor dén đạo ham bậc 1, ta được 4 - etic-“tmatcach ) = Wl (v en ¿ i= yl Xnu eh 1) h) = ———— ””””” TQ tì eh ae yrieh(, (1.13) — right (x ) = y Ama tch +1 ma tc h1 ; dx match —— Bề ồ.

Nếu sự sai lệch vẻ hai giá trị này nhỏ hơn mức sai số £ tự cho trước (£ thông thường là từ 0.001) thì hàm sóng tìm được ứng với mức nang lượng E đó sẽ được nhân, với các giá trị hàm sóng tương ứng wiley), (Xtet € X < Xmatch}. #Eh(v), ÍXmatch SX € Xright)- Nếu như điều kiện liên tục (1.13) không được thỏa man, quá trình lặp lại các bước giải từ đầu sẽ được thực hiện, với mỗi lan lặp thì mức năng lượng đầu vào sẽ tăng dẫn E = Ej, + dE, cho đến khi tìm được giá trị năng lượng phù hợp và cho ra hàm sóng tương ứng tại mức năng lượng ấy.3 Kết quả và thảo luận Trong phan này sẽ trình bày các kết quả tính toán được về mức năng lượng hạt và hàm sóng ở từng loại hỗ thế, các giá trị đầu vào được thay đổi tương ứng được thể hiện ở mỗi phan. Chương trình tính toán đều thực hiện giải số các mức năng lượng va dang “right — Fett hàm sóng trong vùng (x¿r.x„¡gur| với N = 6000 điểm chia, tức rang 5 = m 1.1 Dao động tử điều hòa Dao động tử điều hòa là một bài toán trọng tâm trong cơ học lương tử. Đây là một bài toán về chuyển động của một hạt trong hỗ thể có hình dạng parabol và nằm trong số ít các bài toán có nghiệm giải tích chính xác.

Phương trình Schrödinger dừng không thứ nguyên cho dao động tử điều hòa có dang L/£ | Năng lượng của đao động tử điều hòa ở dạng không thứ nguyên được tính bởi | E,=n+>5, (1. Trị riêng năng lượng tìm thay băng thuật toán Numeroy so với nghiêm giải tích của dao động tử điều hòa ở các mức năng lượng n = 0, 1,2. n Nang lượng (Numerov) Giá trị giải tích 0 0.5 10 với w là mức năng lượng của hat. Hàm sóng với mức năng lượng thứ ø của dao động tử điều hòa được biểu diễn dưới dang giải tích - (- 1)"e?2 d® ñ W(x) = ow te (1.16) Để giải số, ta can chuyển phương trình (1.17) Do ham thé nang có dang là một parabol đỗi xứng, nên ta chọn khoảng tọa độ xét sé là Xí = —5.

fe) day ta chọn £;,, > 0 do ham the nang của dao động tử điều hòa có Vinin = 0, với sai số £ tự chọn là 0.0001 và độ tăng giá trị năng lượng sau mỗi vòng lip dE = 0.05, khi đó kết quả tính toán vẻ năng lượng thu được được thể hiện ở bảng 1. Ta thay rang, giá trị năng lượng liên kết được tim thay trùng khớp với giá trị năng lượng như ở biểu thức (1. Ứng với các mức năng lượng được tìm thấy, hàm sóng (đã được chuẩn hóa) trong đao động tử điều hòa được thể hiện ở hình 1.2 được so sánh với nghiệm hàm sóng giải tích ở biểu thức (1. Để kiểm chứng sự sai lệch vé giá trị hàm sóng giải số so với giá tri hàm sóng giải tích, hình 1.3 được thể hiện với trục hoành là giá trị hàm sóng giải tích, trục tung là giá trị hàm sóng giải số.

Đường thẳng vẻ tỉ số trùng khớp với đường thẳng có dạng y =x cho ta thay rang không có sự chênh lệch ve giá trị giữa việc giải số hay giải tích. Qua đó ta thấy rằng việc giải số phương trình Schrodinger đừng một chiều mang tính khả thi trong việc giải quyết những dang hỗ thé khác.2 Nguyên tử hydrogen Bài toán khảo sát nguyên tử hydrogen cũng nằm trong số ít các bài toán cơ học lượng tử có nghiệm giải tích. Ở đây, ta chỉ xét trường hợp của electron chuyển động Il Ngbitre pm och —— Nghịng xế as 1. Ham sóng dao đông tử điều hòa ứng với các mức năng lượng n = 0,1,2,3 được so sánh với nghiệm hàm sóng giải tích.

trong nguyên tử hydrogen. Phương trình Schrödinger dừng không thứ nguyên của hàm bán kính hydrogen có dạng yi" (x) + [E — Wua(x)Ì w(x) = 0, (1.18) với Vag là hàm thé năng hiệu dụng được xác định bởi biểu thức Vha(x) = —— + = : 2.19) x Xét ƒ = 0, mức năng lượng trong đơn vi Rydberg ứng với trạng thai thứ n se được tính bằng công thức (1.20) Hàm sóng bán kính với ứng mức năng lượng n = 1,2,3 với £ = 0 của electron 12 0,3 ˆ 7% ú 0.68 OS -D25 0 O25 OS 075 16 D4 -02 G@ 02 04 06 W: ge tích Ws wei tích Hình 1. Tí số giá trị ham sóng dao động tử điều hòa giải số so với giá tri hàm sóng giải tích ứng với các mức nang lượng nm = 0. chuyển động trong nguyên tử hydrogen được biểu diễn dưới dạng giải tích W(x) = 2xe”*, l l 9 W2(x) = =E (1 7 =) xe", (121) (1 — git 2 (1 Wa(x)y == Nó, at ) x xe? : 244 2x?) Dua vào ham thé năng hiệu dụng với £ = 0 (1.19), ta thay khi x > 0 thì Vgg(x) —> —% và khi x > œ thì Via(v) > 0, chính vì vậy ta sẽ chon Xen, > 0 gan 0 và giá trị Ein < 0.

Ở đây, ta chọn khoảng tọa độ xét sẽ là x}en = 0.