CHƯƠNG 1. XÁC SUẤT Định nghĩa 1. Cho hai biến cố A và B với P (B) 6= 0, xác suất của A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu P (A|B), xác định bởi P (A ∩ B) P (A|B) = P (B) Ví dụ 1. Một hộp đựng 20 bóng đèn tốt, 7 bóng đèn sẽ hỏng sau 1 giờ sử dụng và 3 bóng đèn hỏng.
Lấy ngẫu nhiên một chiếc sử dụng thấy rằng nó không phải là bóng đèn hỏng. Tính xác suất đó là chiếc bóng đèn tốt. Gọi A là biến cố lấy được bóng đèn tốt, B là biến cố lấy được bóng đèn không phải là bóng đèn hỏng. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người hút thuốc là 60%, tỉ lệ người vừa hút thuốc vừa bị viêm phổi là 35%.
Chọn ngẫu nhiên một người của vùng dân cư đó thấy người này hút thuốc. Tìm xác suất người này bị viêm phổi. Gọi A là biến cố người được chọn hút thuốc, B là biến cố người được chọn bị viêm phổi. Xác suất để người này bị viêm phổi là: P (A ∩ B) 0, 35 P (B|A) = = ≈ 0, 583 P (A) 0, 6 Tính chất 1.
3) Nếu A1 và A2 xung khắc thì: P (A1 ∪ A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) 4) Nếu P (B) 6= 0 thì P (A ∩ B) = P (B)P (A|B). P (A) 19 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ 1. Công thức nhân xác suất Định lý 1., An là các biến có của không gian mẫu Ω thỏa mãn P (A1 A2 .An−1 ) Chứng minh. Một hộp đựng 4 chiếc bút mới và 6 chiếc bút cũ.
Mỗi ngày lấy ngẫu nhiên một chiếc ra sử dụng, cuối ngày trả bút đó lại hộp. Tính xác suất: a) Sau 3 ngày sử dụng hộp còn đúng 1 bút mới. b) Sau 2 ngày sử dụng hộp còn đúng 3 bút mới. Kí hiệu Ak là biến cố ngày thứ k lấy được bút mới.
10 10 10 b) Biến cố sau 2 ngày sử dụng hộp còn đúng 3 bút mới là (A1 A2 ) ∪ (A1 A2 ), nên: P ((A1 A2 ) ∪ (A1 A2 )) = P (A1 A2 ) + P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) 4 7 6 4 =. Trong một trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học tiếng Pháp, trong số sinh viên học tiếng Anh có 55% sinh viên học tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, biết sinh viên đó học tiếng Pháp. Tính xác suất để sinh viên đó học tiếng Anh.
Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Pháp. Các biến cố độc lập Hai biến cố A và B độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. Tức là: P (A|B) = P (A) hoặc P (B|A) = P (B) Khi đó ta có: P (A ∩ B) = P (A)P (B) Từ đó ta định nghĩa hai biến cố độc lập như sau. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu P (A ∩ B) = P (A)P (B) Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau.
Một tập hữu hạn các biến cố {A1 ; A2 ; ., An } (n ≥ 2) được gọi là độc lập nếu với mọi k (2 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì An1 , An2 ,., Ank ta có: P (An1. Nếu A và B độc lập thì A và B , A và B , A và B là những cặp biến cố độc lập. 21 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ví dụ 1. Hộp I có 3 bi đỏ và 7 bi xanh, hộp II có 6 bi đỏ và 4 bi xanh.
Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tìm xác suất: a) Lấy được hai viên bi cùng màu đỏ. b) Lấy được 1 bi xanh và 1 bi đỏ. Gọi A là biến cố lấy từ hộp I được viên bi màu đỏ, B là biến cố lấy từ hộp II được viên bi màu đỏ.
A và B là 2 biến cố độc lập. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes 1. Hệ đầy đủ Định nghĩa 1. Một hệ gồm n biến cố E1 , E2 ,.
, En được gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện: (i) Ei ∩ Ej = ∅ nếu i 6= j (các biến cố đôi một xung khắc); (ii) E1 ∪ E2 ∪. Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: nếu E1 , E2 ,. , En là hệ đầy đủ thì: P (E1 ) + P (E2 ) +. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên.
Kí hiệu: E1 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào quý 1; E2 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào quý 2; E3 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào quý 3; E4 là biến cố sinh viên được hỏi sinh vào quý 4. Khi đó E1 , E2 , E3 , E4 là hệ đầy đủ. Một hộp đựng 5 bi xanh, 6 bi đỏ và 7 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi.
Hãy chỉ ra một số hệ đầy đủ. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Định lý 1. Giả sử {Ei ; 1 ≤ i ≤ n} là một hệ đầy đủ sao cho P (Ei ) > 0, A là biến cố bất kì. 2) Nếu thêm điều kiện P (A) > 0 thì P (Ei )P (A|Ei ) P (Ei |A) = P (A) P (Ei )P (A|Ei ) = P (E1 )P (A|E1 ) + P (E2 )P (B|E2 ) +.
Hộp I đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ và 2 bi vàng, hộp II đựng 5 bi xanh 2 bi đỏ và 3 bi vàng. Từ hộp I lấy ngẫu nhiên ra một viên bi bỏ vào hộp II, sau đó từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất hai viên bi lấy ra ở lần thứ hai là 2 bi xanh. Gọi E là biến cố viên bi lấy từ hộp I bỏ vào hộp II là bi xanh, A là biến cố 2 viên bi lấy lần 2 là 2 viên bi xanh.
Một nhà máy có 3 phân xưởng sản xuất. Phân xưởng I sản xuất 50% sản phẩm, phân xưởng II sản xuất 30% sản phẩm, phân xưởng III sản xuất 20% sản phẩm. Biết rằng tỉ lệ phế phẩm do phân xưởng I, phân xưởng II, phân xưởng III sản xuất ra tương ứng là 2%, 1% và 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm. b) Giả sử sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất. Gọi E1 , E2 , E3 lần lượt là các biến cố sản phẩm lấy ra là của phân xưởng I, II và III.
Khi đó: {E1 , E2 , E3 } là hệ đầy đủ. 23 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ a) Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Theo công thức xác suất toàn phần: P (A) = P (E1 ). Một công ty sử dụng hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm.
Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 3% và của máy II là 2%. Số lượng sản phẩm do máy I sản xuất là 2/3 và máy II sản xuất là 1/3 tổng sản phẩm của công ty. Tính tỉ lệ phế phẩm của công ty đó. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm.
Gọi E là biến cố chọn được sản phẩm của nhà máy I, A là biến cố chọn được phế phẩm.0, 02 ≈ 0, 027 3 3 Vậy tỉ lệ phế phẩm của công ty là 2,7%. Công thức Bernoulli Định lý 1. Cho Ω là không gian mẫu của một phép thử và A là một biến cố thỏa mãn P (A) = p ∈ (0; 1). Thực hiện phép thử n lần độc lập, xác suất có đúng k lần xuất hiện biến cố A là: pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k Ví dụ 1.
Tung 10 lần một con xúc xắc cân đối đồng chất. a) Tính xác suất có đúng 6 lần xuất hiện mặt một chấm. b) Tính xác suất có ít nhất 9 lần xuất hiện mặt một chấm. c) Tính xác suất có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt một chấm.
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm ở mỗi lần tung xúc xắc, p = P (A) = 1/6. Hàm số pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−1 với k ∈ {0, 1, 2., n} đạt giá trị lớn nhất tại [(n + 1)p] nếu (n + 1)p 6∈ Z k= (n + 1)p − 1 và (n + 1)p nếu (n + 1)p ∈ Z Ví dụ 1. Xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ là 0, 6. Cho xạ thủ này bắn độc lập 20 phát vào mục tiêu.
Tìm số lần bắn trúng mục tiêu có xác suất lớn nhất.0, 6 = 12, 6 6∈ Z nên số lần bắn trúng mục tiêu có xác suất lớn nhất là k = 12. BÀI TẬP CHƯƠNG 1. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất: a) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con là 7.
b) Số chấm xuất hiện trên 2 con hơn kém nhau 2. Một nhà khách có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn 6 người.
Tính xác suất: a) Cả 6 người đều là nam. b) Có 4 nam và 2 nữ. Một hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu.
Tìm xác suất để chọn được 3 quả trắng, 2 đỏ và 1 đen. 25 GIÁO TRÌNH XÁC SUẤT THỐNG KÊ. Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ.
Tìm xác suất: a) Tất cả 10 tấm đều mang số chẵn. b) Có đúng 5 tấm mang số chia hết cho 3. Ở một nước có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 đại biểu Quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một ủy ban.
Tính xác suất: a) Trong ủy ban có ít nhất 1 đại biểu của thủ đô. b) Mỗi tỉnh đều có đúng 1 đại biểu của ủy ban. Viết các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 lên các tấm phiếu, sau đó sắp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. a) Tính xác suất để được một số chẵn.
b) Cũng từ 9 tấm phiếu trên chọn ngẫu nhiên 4 tấm rồi xếp thứ tự thành hàng, tính xác suất để được 1 số chẵn. Bộ bài có 52 lá, trong đó có 4 lá Át. Lấy ngẫu nhiên 3 lá. Một bình có 10 bi, trong đó có 3 bi đỏ, 4 bi xanh, 3 bi đen.