Chương 1 NHẬP MÔN XÁC SUẤT 1. Không gian mẫu và biến cố 1. Phép thử Trong thực tế có nhiều thí nghiệm có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện như nhau nhưng chúng ta không thể biết chắc chắn kết quả sẽ xảy ra khi thực hiện thí nghiệm đó. Những thí nghiệm đó ta gọi là phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử).
Nói chung, 1 phép thử phải thỏa mãn 2 điều kiện: - Có thể lặp vô hạn lần trong cùng một điều kiện giống nhau; - Kết quả của mỗi lần thực hiện phép thử là hoàn toàn ngẫu nhiên. - Gieo một con xúc xắc. Mặc dù làm đi làm lại nhiều lần nhưng mỗi lần gieo lại cho ta kết quả nói chung là khác nhau. - Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên.
- Đo chiều cao của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên. Không gian mẫu. Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu. Kí hiệu không gian mẫu là Ω.
Khi tung một đồng xu, có hai kết quả có thể xảy ra: xuất hiện mặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngữa (N). Không gian mẫu trong trường hợp này là Ω = {S; N }. Lê Văn Dũng Ví dụ 1. Gieo một con xúc xắc.
Nếu ta quan tâm đến số chấm xuất hiện trên mặt ngửa của con xúc xắc thì không gian mẫu sẽ là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Nhưng nếu ta chỉ quan tâm đến sự suất hiện mặt chẵn hay mặt lẻ thì không gian mẫu sẽ là Ω = {chẵn; lẻ}. Đo chiều cao của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học (đơn vị: mét). Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học.
Định nghĩa Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Biến cố chỉ có 1 phần tử được gọi là biến cố sơ cấp, biến cố rỗng (∅) gọi là biến cố không thể, không gian mẫu (Ω) gọi là biến cố chắc chắn. Một biến cố xảy ra khi thực hiện phép thử nếu kết quả của thực hiện phép thử rơi vào biến cố đó. Hỏi tháng sinh của một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học.
- Biến cố sinh viên đó sinh vào tháng chẵn là A = {2,4,6,8,10,12}. - Biến cố sinh viên có tháng sinh 32 ngày là ∅. - Biến cố sinh viên có tháng sinh bé hơn 32 ngày là Ω. Cho không gian mẫu tuổi thọ (năm) của một thiết bị điện tử là Ω = {x ∈ R : x ≥ 0}.
Biến cố thiết bị điện tử bị hỏng trước 5 năm là A = {x ∈ R : 0 ≤ x < 5}. 4 Giáo trình thống kê thực hành 2. Các phép toán trên biến cố Cho 2 biến cố A và B của không gian mẫu Ω. a) Giao: A ∩ B (còn có kí hiệu là: A.B ), là biến cố xảy ra khi đồng thời hai biến cố A và B cùng xảy ra.
Nếu hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra thì ta nói rằng A và B xung khắc và kí hiệu A ∩ B = ∅. b) Hợp: A ∪ B , là biến cố xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. c) Biến cố đối: Biến cố A = {ω ∈ Ω : ω 6∈ A} được gọi là biến cố đối của biến cố A. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Biểu đồ Ven minh họa biến cố giao, biến cố hợp và biến cố đối. Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, khi đó có thể xuất hiện mặt 1chấm, 2 chấm, 3 chấm,. + Không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. + biến cố sơ cấp {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} + biến cố A = {số chấm của mặt xuất hiện bé hơn 4} = {1; 2; 3} + biến cố B = {xuất hiện mặt chẵn} = {2; 4; 6} Tìm các biến cố A ∪ B , A ∩ B , A.
Lê Văn Dũng Ví dụ 1. Đo chiều cao một sinh viên được chọn ngẫu nhiên trong lớp học (đơn vị: mét) Ω = R+ = {x ∈ R|x > 0}. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, kí hiệu A là biến cố xạ thủ 1 bắn trúng mục tiêu, B là sự kiện xạ thủ 2 bắn trúng mục tiêu. Hãy biểu diễn qua A và B các biến cố sau: a) Cả hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu.
b) Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu. c) Có đúng một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. d) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. Xác suất biến cố Xác suất của một biến cố là một số thuộc đoạn [0; 1] dùng để đo lường khả năng xảy ra biến cố đó.
Xác suất của một biến cố càng lớn thì khả năng xảy ra biến cố đó càng cao. Kí hiệu P (A) là xác suất biến cố A. Định nghĩa xác suất cổ điển Định nghĩa. Cho không gian mẫu Ω gồm n biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra bằng nhau và A là một biến cố.
Xác suất biến cố A được tính bằng công thức |A| P (A) = , |Ω| trong đó |A| là số phần tử của A. Một hộp đựng 3 viên bi xanh (X1, X2, X3) và 2 viên bi đỏ (D1, D2), các viên bi này giống nhau hoàn toàn về kích thước và khối lượng. a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi.Tính xác suất lấy được bi xanh. b) Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi.
Tính xác suất lấy được 2 bi xanh. 6 Giáo trình thống kê thực hành Giải. a) Không gian mẫu: Ω = {X1, X2, X3, D1, D2} Biến cố lấy được viên bi xanh: A = {X1, X2, X3}. 5 b) Không gian mẫu Ω = {(X1, X2), (X1, X3),.
Biến cố lấy được 2 viên bi xanh B = {(X1, X2), (X1, X3), (X2, X3)} ⇒ |B| = 3. 10 Từ định nghĩa ta có các tính chất sau: 1) 0 ≤ P (A) ≤ 1; 2) P (∅) = 0, P (Ω) = 1; 3) Nếu E1 và E2 xung khắc (E1 ∩ E2 = ∅) thì P (E1 ∪ E2 ) = P (E1 ) + P (E2 ); Tổng quát: Nếu E1 , E2 , ., En đôi một xung khắc thì P (E1 ∪ E2 ∪. Định nghĩa xác suất bằng tần số tương đối Nếu không gian mẫu Ω là một tập vô hạn hoặc hữu hạn nhưng các biến cố sơ cấp không đồng khả năng thì ta không thể áp dụng công thức tính xác suất cổ điển. Giả sử phép thử C có thể thực hiện lặp đi lặp lại vô hạn lần trong một điều kiện giống hệt nhau.
Nếu trong n lần thực hiện phép thử C có kn lần xuất hiện biến cố A thì tỉ số fn (A) = knn được gọi là tần số tương đối xuất hiện biến cố A trong n lần thực hiện phép thử. Người ta nhận thấy rằng khi số phép thử 7 TS. Lê Văn Dũng tăng ra vô hạn thì tần số tương đối fn (A) dao động rất ít xung quanh 1 hằng số. Hằng số đó được định nghĩa là xác suất của biến cố A.
Như vậy, với n đủ lớn ta có P (A) ≈ fn (A) = knn. Đại số tổ hợp 1. Quy tắc nhân Nếu một công việc được thực hiện qua k bước. Bước 1 có n1 cách thực hiện, Bước 2 có n2 cách thực hiện,.
Bước k có nk cách thực hiện. × nk cách thực hiện công việc đó. Hoán vị Số cách sắp xếp n phần tử vào n vị trí sao cho mỗi vị trí có đúng 1 phần tử là n!. Tổ hợp Số tập con k phần tử của một tập n phần tử là n! Cnk = (0 ≤ k ≤ n).
Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Các viên bi đồng chất, giống nhau hoàn toàn về kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất các biến cố sau: a) A: lấy được 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 2 bi vàng.
b) B : lấy được 3 bi xanh. c) C : lấy được ít nhất 4 bi đỏ. d) D: lấy được ít nhất 1 bi vàng. 273 8 Giáo trình thống kê thực hành 226 c) |C| = C54 C10 1 + C 5 suy ra P (C) = 5 ≈ 0, 075.
Công thức cộng xác suất Cho A và B là hai biến cố bất kì, ta có P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Ví dụ 1. Một lớp có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên biết tiếng Pháp và 7 sinh viên biết cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Tìm xác suất sinh viên đó biết ít nhất 1 ngoại ngữ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp.
Gọi A là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Anh, B là biến cố chọn được sinh viên biết tiếng Pháp. Xác suất có điều kiện Xét ví dụ: Ở một lớp học phần môn Triết gồm 17 sinh viên nam và 13 sinh viên nữ. Trong số đó có 12 sinh viên nam và 11 sinh viên nữ thi qua môn Triết. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên, xác suất sinh viên đó thi qua môn Triết là 23/30.
Nhưng nếu chọn ngẫu nhiên một sinh viên nam thì xác suất sinh viên đó thi qua môn Triết sẽ là 12/17. Rõ ràng 2 xác suất trên không bằng nhau. Để phân biệt 2 xác suất trên ta kí hiệu A là biến cố sinh viên đó thi qua môn Triết, B là điều kiện sinh viên được chọn là sinh viên nam. Khi đó P(A/B)=12/17 được gọi là xác suất của biến cố A với điều kiện B.
Lê Văn Dũng Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0, xác suất của A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu P (A/B), xác định bởi P (A ∩ B) P (A/B) =. Một hộp đựng 20 bóng đèn tốt, 7 bóng đèn sẽ hỏng sau 1 giờ sử dụng và 3 bóng đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên một chiếc sử dụng thấy rằng nó không phải là bóng đèn hỏng. Tính xác suất đó là chiếc bóng đèn tốt.
Gọi A là biến cố lấy được bóng đèn tốt, B là biến cố lấy được bóng đèn không phải là bóng đèn hỏng. Trong một vùng dân cư tỉ lệ người hút thuốc là 60%, tỉ lệ người vừa hút thuốc vừa bị viêm phổi là 35%. Chọn ngẫu nhiên một người của vùng dân cư đó thấy người này hút thuốc. Tìm xác suất để người này bị viêm phổi.
Gọi A là biến cố người được chọn hút thuốc, B là biến cố người được chọn bị viêm phổi.