chương I, I, III, IV, V, VI, VH va VIL - TS. TRAN THÁI NINH : Viết các chương IX va X. Trong lần xuất bản này chúng tôi đã nhận được nhiều ý biến đóng góp quý báu của các đồng nghiệp ở Bộ môn Điều khiển bình tế- trường Đại học Kinh tế Quốc dân va ở nhiều trường Đại học khác. Chúng tôi chân thành cảm ơn tất cả những đóng góp đó.
Tuy uậy chắc chẵn giáo trình không tránh khối những hạn chế uà thiếu sót. Chúng tôi mong tiếp tục nhận được các ý kiến nhận xét, phê bình của bạn đọc để tiểu tục hoàn thiện nội dung của giáo trình.COM Tìm kiếm tải liệu miễn phí Phần thứ nhất LY THUYET XAC SUAT Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học xác lập những quy luật tất nhiên ẩn đấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên khi nghiên cứu một số lớn lần lặp lại cùng các hiện tượng ấy. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào. Các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế - xã hôi.
Chương Ï BIẾN bố NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT §1. PHÉP THỦ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CO nhi ên và xã hội , mỗi hiệ n tượ ng đều gắn liể n Trong tự một nh óm các điể u kiệ n cơ bản và các hiệ n tượ ng đó chỉ với xảy ra khi nh óm các điề u kiệ n cơ bản gắn liề n với nó có thể c thự c hiệ n. Do đó, khi mu ốn ng hi ên cứu một hiệ n tượ ng, đượ cần thự c hiệ n nh óm các điề u kiệ n cơ bản ấy. Ch ẳn g hạn, ta ửa của riếu muốn quan sát việc xuất hiện mặt sấp hay mặt ng m một đồng xu, ta phải tung đồng xu xuống đất; còn để xét xe viên đạn trú ng bia hay trư ợt, ta phả i bắn các viê n đạn ; khi cứu chấ t lượ ng của một lô sản ph ẩm , ta phả i muốn nghiên n một hoặ c một số sản ph ẩm của lô sản ph ẩm lấy ngẫu nhiê đó v.
Việc thự c hiệ n một nhó m. các điê u biệ n cơ bản để qua n hiệ n tượ ng nào đó có xảy ra hay khô ng đượ c gọi là sát một thực hiện một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thủ đó được gọi là biến cố: Thí dụ 1. Tung một con xúc xắc xuống đất là một phép thử, còn việc lật lên một mặt nào đó là biển cố. Bắn một phát súng vào bia.
Việc bắn súng là n phép thử, còn việc trúng vào một miền nào đó của bia là biế cố. Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Vi ệc lấy sản phẩm là phép thử, còn việc lấy được chính phẩm hay phế phẩm là biến cố. Như vậy, ta thấy rằng một biến cố chỉ có thể xây ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hi ện.
Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cế sau đây: + Biển cố chắc chắn: Là biến cố nhất đị nh sẽ xảy ra khi thực hiện một phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là U. Thực biện phép thủ tung một con xúc xắc. Goi U là biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6", U là biến cố chắc chấn.
: + Biển cố không thể có: Là biến cố nhất đị nh không xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố không thể có được ký hiệu là V. Tung một con xúc xắc, gọi V là biến cố "Xuất hiện mặt có 7 chấm", V là biến cố không th ể có. + Biển cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xả y ra hoặc không xây ra khi thực hiện một phép thử.
Các biến cố ngẫu nhiên được ký hiệu là A, B, C., B nh Thí dụ 6. Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố "Xuất hiện mặt 1 chấm", A là biến cổ ngẫu nhiên. Bắn một phát đạn vào bia, gọ i B là biến cố "Trúng vòng 10", B là biến cố ngẫu nhiên. Tất cá các biến cố mà chúng ta gặp trong thực tế đều thuộc về một trong ba loại biến cố kể trên.
Tuy nhiên, các biển cố ngẫu nhiên là các biến cố th ường gap hơn cá. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Như trên đã thấy, việc biến cố ngẫu nhiên xảy ra hay không xảy ra trong kết quả của phép thử là điểu không thể đoán trước được. Tuy nhiên, bằng trực quan ta có thể nhận thấy các biến cố ngẫu nhiên khác nhau có những khả năng xây ra khác nhau. Chẳng hạn biến cố "Xuất hiện mặt sấp" khi tung một đồng xu sẽ có khả năng xảy ra lớn hơn nhiều so với biến cố "Xuất hiện mặt một chấm" khi tung một con xúc xắc.
Hơn nữa, khi lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một phép thử trong những điều kiện như nhau, người ta thấy tính chất ngẫu nhiên của biến cố mất dần đi và khả năng xảy ra của biến cố sẽ được thể hiện theo những quy luật nhất định. Từ đó ta thấy có khả năng định lượng (đo lường), khả năng khách quan xuất hiện một biến cố nào đó. Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biển. cố đó khi thực hiện phép thử.
Ta chú ý rằng đây là khả năng khách quan, do những điều kiện xảy ra của phép thử quy định chứ không tùy thuộc | vào ý muốn chủ quan của con người. Như vậy, bản chất xác suất của một biến cố là, một con số xác định. Để tính xác suất của một biến cố, , người ta xây dựng các định nghĩa. và định lý sau đây: §3.
ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT 3. Thí dụ Giá sử thực hiện một 'phép thử là tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất. Gọi A là biến cố "Xuất hiện mặt chan chấm". Ta phải xác định xác suất của biến cố A.
Khi tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất, ta thấy có 6 trường hợp có thể xảy ra là: Xuất hiện các mặt 1 chấm, 9 chấm,. Những trường hợp này thỏa mãn hai diéu kiện: Trước hết chúng duy nhất, tức là trong kết quả của phép thử xảy ra một và chỉ một trong các trường hợp đó. Sau nữa đây là những trường hợp có khả năng xảy ra như nhau. Các trưởng hợp thỏa mãn hai điều kiện nói trên được gọi là các trường hợp (kết cục) đuy nhất đồng khá năng.
Trong số 6 kết cục duy nhất đồng khả năng đó ta thấy chỉ có 3 kết cục mà nếu xảy ra thì biến cố A sẽ xảy ra, đó là những kết cục được mặt 2 chấm. 4 chấm và 6 chấm. Những kết cục làm cho biến cố xảy ra được gọi là các kết cục thuận lợi cho biến cố. Như vậy đứng về mặt trực quan ta thấy khả năng xảy ra của biến cố A là 3 phần 6, tức là 1 phần9.
Đó chính là cách xác định xác suất của biến cố theo quan điểm cổ điển. Định nghĩa Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thu la ti sd” giữa số kết cục thuận lợi cho A tà tổng số các kết cuc duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó. Nếu ký hiệu P(A) là xác suất của biến cố A. m là số kết cục thuận lợi cho biến cố A, n là số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử, ta có công thức sau: P(Aj=^ (1.
Cac tinh chất của xác suất Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta có thể suy ra các tính chất sau đây: ø. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một. số dương nằm trong khoảng giữa O và 1. Xác suất của biến cố chắc chắn bằng một.
P(U) = 1 Thật vậy, nếu U là biến cố chắc chắn thì tất cả các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử đều thuận lợi cho biến cố xảy ra. Do đó m = n và ta có: P(Œ)= — =1. Xác suất của biến cố không thể có bằng không. P(h=0 That vay, nếu V là biến cố không thể có thì trong số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử không có kết cục nào thuận lợi cho biến cố xay ra.
Nhu vay m = 0, do dé: P(V) = m =0 n Như vậy, xác suất của một biến cố bất kỳ luôn thỏa mãn điều kiện: 0<P(A)<1 ˆ (1.2) Đối với các tính chất trên ta chú ý rằng mệnh để đảo của hai tính chất b và c chưa chắc đã đúng. Tức là, nếu một biến cố có xác suất bằng 1 thì chưa chắc đã là biến cố chắc chắn và nếu một biến cố có xác suất bang 0 thi chưa chắ c đã là biến cố không thể có. Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển : 1. Phương pháp suy luận trực tiếp: Nếu số các kết cục trong phép thử là khá nhỏ và việc suy đo án là khá đơn giản thì có thé sử dụng phương pháp suy luận trực tiếp.
Trong bình có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Tìm xác suất để lấy được quả cầu trắng. Gọi A là biến cố "Lấy được quả cầu trắng".
Khi lấy “ ngẫu nhiên từ bình ra một quả cầu, ta có thể lấy được bất kỳ quá nào trong sốa + b quả cầu có trong bình. Như vậy số kết cục duy nhất déng khả năng có thể xảy ra trong phép thử n= a#+b. Biến cố A sẽ xảy ra khi ta lấy được một trong số a quả cầu trắng. Như vậy số kết cục thuận lợi m = a.
Từ đó theo định nghĩa cổ điển về xác suất, ta có: m a P(A)=—= (A) n a+b 9. Phương pháp dùng sơ đồ Venn: Khi số kết cục là khá lớn và việc suy đoán phức tạp hơn thì có thể dùng sơ đồ Vemn, tức là mô tả các kết cục của phép thử đưới dạng sơ đề để dễ nhận biết hơn. Trong thực tế có thể dùng các loại sơ để sau: a. So dé hinh céy Con thứ hai Con thứ ba Hình †.cây Thi du 2.
Gia st xác suất sinh con trai và con gái là như nhau. Một gia đình có 3 con. Tìm xác suất để gia đình đó có 2 con gái. Gọi A là biến cố “Gia đình đó có 2 con gai".