Luận án về dáng điệu tiệm cận của mô hình sinh thái ngẫu nhiên tại Đại học Vinh

Luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của một số mô hình sinh thái trong môi trường ngẫu nhiên, phân tích mô hình dịch tễ và mô hình thú mồi tại Đại học Vinh.

• Tác giả: Nguyễn Đức Toàn
• Người hướng dẫn: Nguyễn Thanh Diệu
• Trường học: Đại học Vinh
• Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
• Đề tài: Dáng điệu tiệm cận của một số mô hình sinh thái trong môi trường ngẫu nhiên
• Loại tài liệu: Luận văn tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2026
• Địa điểm: Nghệ An

Tóm tắt

I. Tổng quan dáng điệu tiệm cận mô hình sinh thái tại Đại học Vinh

Mô hình toán học giữ vai trò quan trọng trong việc lượng hóa các cơ chế động lực học sinh thái. Tại Trường Đại học Vinh, các nhà khoa học tập trung làm rõ dáng điệu tiệm cận của hệ sinh thái chịu nhiễu ngẫu nhiên. Các nghiên cứu truyền thống thường dựa trên mô hình tất định. Môi trường tự nhiên luôn biến động không ngừng. Tiếng ồn trắng và các yếu tố ngoại cảnh làm sai lệch dự báo nếu bỏ qua tính bất định. Luận án tiến sĩ toán học chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học đã mở rộng lý thuyết này. Công trình xây dựng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên để mô tả biến động quần thể sinh vật và sự lây lan bệnh truyền nhiễm. Mục tiêu chính là phân tích hành vi dài hạn của nghiệm khi thời gian tiến ra vô cùng. Nghiên cứu xác lập cơ sở toán học chặt chẽ cho các hiện tượng sinh thái phức tạp. Nghiên cứu chỉ ra sự chuyển pha giữa trạng thái tuyệt chủng và trạng thái tồn tại bền vững. Những phát hiện này khẳng định vị thế học thuật nổi bật của cụm nghiên cứu xác suất tại Đại học Vinh. Các mô hình cung cấp luận cứ khoa học tin cậy cho công tác bảo tồn đa dạng sinh học và kiểm soát dịch tễ học thực tiễn.

1.1. Bối cảnh nghiên cứu toán sinh học tại Đại học Vinh

Trường Đại học Vinh là trung tâm đào tạo và nghiên cứu toán học uy tín tại Việt Nam. Nhóm nghiên cứu xác suất tập trung giải quyết các bài toán động lực học phi tuyến chịu tác động của môi trường. Sinh thái học hiện đại đòi hỏi sự kết hợp chặt chẽ giữa toán học lý thuyết và thực tiễn sinh học. Các mô hình toán học cần phản ánh rủi ro từ sự bất định của ngoại cảnh. Hướng nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận mở rộng từ các hệ động lực cổ điển. Các nhà khoa học đã tích hợp quá trình Wiener vào hệ vi phân để lượng hóa các biến động ngẫu nhiên. Công trình tạo nền tảng vững chắc cho việc đánh giá độ bền của hệ sinh thái.

1.2. Khái niệm cơ bản về dáng điệu tiệm cận ngẫu nhiên

Dáng điệu tiệm cận mô tả hành vi giới hạn của hệ thống khi thời gian kéo dài vô hạn. Trong mô hình tất định, hệ thường hội tụ về điểm cân bằng cố định. Trong môi trường ngẫu nhiên, quỹ đạo nghiệm dao động liên tục do tác động của tiếng ồn trắng. Dáng điệu tiệm cận được xác định thông qua phân phối dừng, tính ergod và tốc độ suy giảm nghiệm. Phân phối dừng biểu thị sự phân bố xác suất ổn định lâu dài của các trạng thái quần thể. Tính ergod cho phép tính trung bình thời gian dựa trên độ đo dừng của không gian pha. Khảo sát dáng điệu tiệm cận giúp nhận biết khả năng tồn tại hay nguy cơ tuyệt chủng của loài. Đây là cơ sở toán học để dự báo độ an toàn sinh thái.

II. Phân tích dáng điệu tiệm cận mô hình sinh thái tại Đại học Vinh

Phân tích hệ sinh thái ngẫu nhiên đối mặt với nhiều thách thức toán học phức tạp. Môi trường luôn chứa đựng các biến động khó dự đoán trước. Trong các mô hình dịch tễ học và tương tác con mồi - thú ăn thịt, sự can thiệp của tiếng ồn trắng làm thay đổi hoàn toàn tính ổn định nghiệm. Các nghiên cứu trước đây thường áp đặt giả thiết đơn giản hóa hoặc phi thực tế. Nhiều công trình chỉ xem xét hàm lây nhiễm tuyến tính hoặc bỏ qua yếu tố tiêm chủng phòng ngừa. Tương tự, trong mô hình thú mồi, các tác giả trước thường dùng hàm đáp ứng Holling cổ điển. Hàm này chưa xét đến sự cạnh tranh lẫn nhau giữa các cá thể săn mồi. Khi bổ sung nhiễu ngẫu nhiên vào hệ thống, bài toán đòi hỏi phải bảo toàn tính dương và tính bị chặn của nghiệm. Nghiên cứu tại Đại học Vinh đã chỉ ra rằng các điều kiện biên truyền thống không đủ để bảo đảm tính sạch bệnh hay tính bền vững của loài. Độ phân tán của tiếng ồn có thể dẫn đến hiện tượng suy thoái sinh học nghiêm trọng ngay cả khi mô hình tất định tương ứng có nghiệm cân bằng dương ổn định. Việc thiết lập ngưỡng chuyển pha toán học chính xác là bài toán trung tâm cần được tháo gỡ.

2.1. Vấn đề suy biến nghiệm trong mô hình dịch tễ SIVS

Mô hình dịch tễ SIVS ngẫu nhiên xem xét bốn nhóm cá thể chịu ảnh hưởng bởi vắc-xin và tái nhiễm. Vấn đề then chốt là xác định điều kiện để dịch bệnh bùng phát hoặc bị dập tắt hoàn toàn. Khi cường độ nhiễu trắng vượt ngưỡng giới hạn, số ca nhiễm có thể triệt tiêu hoặc biến động dữ dội. Các giả thiết trước đây về tỷ lệ tiếp xúc thường là hằng số hoặc tuyến tính đơn giản. Thực tế lây nhiễm phụ thuộc phức tạp vào mật độ dân số và hành vi xã hội. Nếu hàm truyền bệnh không được tổng quát hóa, mô hình sẽ phản ánh thiếu trung thực các đợt bùng phát. Hơn nữa, việc chứng minh nghiệm luôn dương và không nổ trong thời gian hữu hạn là bài toán kỹ thuật đòi hỏi đánh giá giải tích khắt khe.

2.2. Thách thức tính ổn định mô hình Beddington DeAngelis

Mô hình thú mồi với hàm đáp ứng Beddington-DeAngelis phản ánh tương tác sinh thái chân thực. Hàm này mô tả hiện tượng bão hòa tiêu thụ và sự cạnh tranh nội bộ giữa các loài săn mồi. Tác động của tiếng ồn ngẫu nhiên làm thay đổi tính ổn định tiệm cận của hệ động lực. Thách thức lớn nhất là xác định ranh giới giữa tính bền vững và sự tuyệt chủng của quần thể. Môi trường biến động mạnh có thể đẩy loài săn mồi tới bờ vực tuyệt diệt. Ngược lại, nếu biên độ nhiễu vừa phải, hai loài có thể cùng tồn tại theo nghĩa xác suất. Việc ước lượng mô men gặp nhiều trở ngại do tính phi tuyến mạnh của hệ thống. Các nhà toán học cần những kỹ thuật giải tích mới để khắc phục hạn chế này.

III. Phương pháp dáng điệu tiệm cận mô hình sinh thái tại Đại học Vinh

Nhóm tác giả tại Đại học Vinh sử dụng hệ thống phương pháp giải tích ngẫu nhiên hiện đại để giải quyết bài toán. Nền tảng then chốt là giải tích Itô kết hợp với lý thuyết nửa nhóm toán tử Markov. Nhóm nghiên cứu thiết lập toán tử cực vi cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên nhằm phân tích chuyển động khuếch tán. Để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm dương toàn cục, phương pháp hàm Lyapunov ngẫu nhiên được khai thác triệt để. Các hàm thế vị thích hợp được xây dựng khéo léo để khắc phục tính phi tuyến của hàm lây nhiễm và hàm đáp ứng sinh thái. Bên cạnh đó, định lý ergod và lý thuyết độ đo dừng đóng vai trò cốt lõi trong việc xác định dáng điệu tiệm cận lâu dài. Nghiên cứu thực hiện các ước lượng mô men cấp p để kiểm soát tính bị chặn của nghiệm. Nhóm tác giả đưa ra các tiêu chuẩn giải tích tường minh xác định ngưỡng chuyển tiếp. Các bất đẳng thức martingale bình phương khả tích được vận dụng nhằm đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm. Phương pháp luận này mở rộng đáng kể các kết quả kinh điển của Zhao và các chuyên gia quốc tế.

3.1. Ứng dụng công thức Itô và hàm Lyapunov ngẫu nhiên

Công thức Itô là công cụ then chốt để vi phân các hàm phụ thuộc vào quá trình khuếch tán. Nhóm tác giả áp dụng công thức này kết hợp với kỹ thuật hàm Lyapunov để kiểm soát tính ổn định. Hàm Lyapunov đóng vai trò đo lường năng lượng của hệ sinh thái ngẫu nhiên. Khi tác động toán tử cực vi lên hàm Lyapunov, số hạng trôi và số hạng khuếch tán được tính toán chính xác. Nếu toán tử cực vi mang giá trị âm ngoài một tập compact, hệ sẽ có nghiệm dương toàn cục và không phát nổ. Kỹ thuật này giúp xử lý thành công tính phi tuyến của hàm lây nhiễm tổng quát g(S, I). Nhờ đó, các điều kiện đủ về tính vững của mô hình dịch bệnh được thiết lập trọn vẹn.

3.2. Phương pháp phân phối dừng và tính ergod

Lý thuyết phân phối dừng cho phép xác định trạng thái thống kê ổn định dài hạn của hệ sinh thái. Nhóm nghiên cứu khảo sát toán tử sinh của nửa nhóm chuyển Markov và giải phương trình liên quan. Phân phối dừng xuất hiện như một điểm bất động của toán tử liên hợp trong không gian các độ đo xác suất. Tính chất ergod bảo đảm rằng hành vi thời gian của nghiệm sẽ phản ánh đầy đủ đặc tính thống kê không gian. Nhờ tính ergod, việc ước tính xác suất diệt vong hay bền vững trở nên khả thi và chính xác. Phương pháp này cung cấp ngưỡng phân tách rõ ràng giữa trạng thái sạch bệnh và trạng thái nội dịch. Đối với mô hình thú mồi, phân phối dừng khẳng định sự chung sống ổn định giữa hai quần thể cá thể.

IV. Kết luận dáng điệu tiệm cận mô hình sinh thái tại Đại học Vinh

Các kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận tại Đại học Vinh mang lại giá trị học thuật và thực tiễn sâu sắc. Luận án đã phân loại thành công các kịch bản động lực học của mô hình dịch tễ và mô hình thú mồi dưới tác động ngẫu nhiên. Công trình chứng minh rằng các biến động ngẫu nhiên có thể dập tắt dịch bệnh ngay cả khi hệ số lây nhiễm cơ bản lớn hơn một. Kết quả này cung cấp cơ sở toán học để tối ưu hóa tỷ lệ tiêm chủng trong y tế dự phòng. Đối với hệ sinh thái thú mồi, các điều kiện đủ về tính bền vững giúp xác định giới hạn an toàn cho việc khai thác tài nguyên thiên nhiên. Nghiên cứu giải quyết triệt để vấn đề mà các công trình trước chưa hoàn thiện. Sự kết hợp giữa lý thuyết xác suất hiện đại và sinh thái học định lượng mở ra nhiều triển vọng nghiên cứu mới. Kết quả luận án góp phần khẳng định năng lực nghiên cứu đỉnh cao của đội ngũ toán học Đại học Vinh. Các mô hình này có khả năng ứng dụng trực tiếp vào công tác bảo tồn đa dạng sinh học và hoạch định chính sách y tế cộng đồng trong tương lai.

4.1. Ứng dụng trong kiểm soát dịch bệnh và tiêm chủng

Các định lý về dáng điệu tiệm cận của mô hình SIVS đem lại ứng dụng quan trọng trong dịch tễ học thực tiễn. Nghiên cứu xác định chính xác tỷ lệ tiêm chủng cần thiết để dịch bệnh tự triệt tiêu trong cộng đồng. Tiếng ồn môi trường làm giảm ngưỡng dịch so với các tính toán tất định thông thường. Cơ quan y tế có thể chủ động phân bổ nguồn lực vắc-xin mà không cần duy trì độ phủ tuyệt đối. Mô hình cũng cho phép dự báo xác suất tái bùng phát khi các biến thể mới xuất hiện. Việc kiểm soát lây nhiễm qua hàm tổng quát g(S, I) giúp mô phỏng hiệu quả các biện pháp giãn cách xã hội. Đây là căn cứ khoa học vững chắc để xây dựng chiến lược phòng dịch linh hoạt và tiết kiệm chi phí.

4.2. Giá trị thực tiễn trong quản lý sinh thái và bảo tồn

Mô hình thú mồi với hàm Beddington-DeAngelis cung cấp công cụ định lượng hỗ trợ quản lý tài nguyên sinh vật. Các nhà bảo tồn có thể xác định ngưỡng khai thác tối ưu để ngăn chặn nguy cơ tuyệt chủng của các loài quý hiếm. Tiếng ồn môi trường đòi hỏi các khu bảo tồn phải duy trì hành lang sinh thái đủ rộng. Khi quy mô quần thể con mồi giảm sút, mô hình chỉ rõ biện pháp can thiệp nhằm ổn định mật độ thú ăn thịt. Sự tồn tại của phân phối dừng bảo đảm hệ sinh thái duy trì cân bằng tự nhiên trong dài hạn. Kết quả nghiên cứu hỗ trợ hiệu quả cho các cơ quan kiểm lâm và bảo tồn thiên nhiên. Đây là đóng góp khoa học thiết thực của Đại học Vinh cho sự phát triển bền vững.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Mô hình toán học trong sinh thái học và dịch tễ học cung cấp các công cụ định lượng nhằm mô tả các cơ chế động lực học quần thể, mô phỏng các kịch bản diễn biến thực tế và hỗ trợ việc xây dựng các chính sách kiểm soát dựa trên cơ sở khoa học. Trong dịch tễ học, các mô hình toán học cho phép đánh giá quy luật lây truyền bệnh truyền nhiễm, phân tích tác động của các biện pháp can thiệp y tế như điều trị, cách ly và tiêm chủng, từ đó hỗ trợ việc phân bổ nguồn lực y tế hiệu quả trong các tình huống bùng phát dịch bệnh như COVID-19, sốt rét, sởi hay cúm mùa. Trong sinh thái học quần thể, các hệ thống thú mồi và mô hình cạnh tranh cung cấp cơ sở để dự báo khả năng cùng tồn tại bền vững hay nguy cơ tuyệt chủng của các loài, phục vụ công tác bảo tồn đa dạng sinh học.

Tuy nhiên, sự tiến triển của các quần thể sinh học trong thực tế luôn chịu tác động từ các yếu tố ngẫu nhiên của môi trường. Các mô hình tất định cổ điển chưa phản ánh được đầy đủ mức độ biến động ngẫu nhiên này. Mặt khác, các nghiên cứu ngẫu nhiên hóa trước đây còn bộc lộ một số hạn chế: cấu trúc hàm lây nhiễm thường bị bó hẹp ở dạng song tuyến tính hoặc các dạng phi tuyến đặc thù; các điều kiện tham số đưa ra để xác định tính sạch bệnh hoặc tính tồn tại của dịch bệnh thường quá ngặt nghèo và chỉ dừng lại ở điều kiện đủ, còn xa với điều kiện cần; nhiều công trình chỉ đánh giá sự phát triển bền vững theo nghĩa trung bình mà chưa phản ánh được sự biến động tức thời tại từng thời điểm. Đồng thời, trong các hệ sinh thái thú mồi, các tham số mô hình thường được ước lượng xấp xỉ từ dữ liệu quan sát nên luôn tồn tại sai số thực nghiệm, đặt ra yêu cầu phải khảo sát tính bền của mô hình trước sự biến thiên của các tham số.

Xuất phát từ các khoảng trống nghiên cứu trên, đề tài luận án "Dáng điệu tiệm cận của một số mô hình sinh thái trong môi trường ngẫu nhiên" được thực hiện với các mục tiêu cụ thể:

1. Phân loại đầy đủ dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ ngẫu nhiên có tiêm chủng SIVS với cấu trúc hàm lây nhiễm dạng tổng quát dưới tác động của nhiễu trắng Brown; thiết lập điều kiện cần và đủ hoặc điều kiện đủ gần với điều kiện cần cho tính sạch bệnh và tính tồn tại dịch bệnh.
2. Khảo sát các tính chất định tính của mô hình thú mồi ngẫu nhiên với hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis, bao gồm việc ước lượng mô men của nghiệm, xác lập ngưỡng phân định tính vững và sự tuyệt chủng của quần thể thú và mồi.
3. Nghiên cứu tính bền của mô hình thú mồi ngẫu nhiên khi hệ có tính vững, cụ thể là chứng minh sự phụ thuộc liên tục của quỹ đạo nghiệm và độ đo dừng vào các tham số mô hình.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên mô tả mô hình dịch tễ học SIVS có tiêm chủng với hàm lây nhiễm tổng quát và hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên mô tả động lực học hệ thú mồi có hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis. Phạm vi nghiên cứu được xác định trên không gian trạng thái các số thực dương liên tục ($\mathbb{R}+^3$ đối với mô hình SIVS và $\mathbb{R}+^2$ đối với mô hình thú mồi) theo thời gian liên tục $t \ge 0$, dưới sự tác động của các quá trình nhiễu ngẫu nhiên được mô hình hóa bằng chuyển động Brown chuẩn tắc.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Nghiên cứu định lượng sự lây truyền bệnh truyền nhiễm bằng công cụ toán học được khởi xướng bởi Kermack và McKendrick (1927) thông qua mô hình SIR kinh điển, chia quần thể thành ba nhóm: cá thể dễ nhiễm (S), cá thể nhiễm bệnh (I), và cá thể phục hồi có miễn dịch vĩnh viễn (R). Hướng nghiên cứu này sau đó được mở rộng sang mô hình SIRS để mô tả các bệnh mà khả năng miễn dịch suy giảm theo thời gian khiến cá thể có thể tái nhiễm, cũng như được phát triển toàn diện trong các công trình của Anderson và May [1], Hethcote [21], Keeling và Rohani [31].

Đối với các mô hình có can thiệp y tế, biện pháp tiêm chủng dẫn đến việc hình thành mô hình SIVS (Susceptible - Infected - Vaccinated - Susceptible), xét thêm lớp cá thể được tiêm chủng (V). Trong nghiên cứu tất định của Li và cộng sự [39], dáng điệu tiệm cận của hệ SIVS đã được phân loại dựa trên hệ số sinh sản cơ bản $R_0$: nếu $R_0 \le 1$, điểm cân bằng sạch bệnh $P^* = (S^, 0, V^)$ ổn định tiệm cận toàn cục; nếu $R_0 > 1$, điểm cân bằng sạch bệnh mất ổn định và điểm cân bằng đặc hữu $P_* = (S_, I_, V_*)$ ổn định tiệm cận, tức dịch bệnh tồn tại trong quần thể.

Khi xét đến yếu tố ngẫu nhiên, Zhou và cộng sự [66] đã đưa nhiễu trắng vào hệ số lây nhiễm $\beta$, chuyển mô hình thành hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và tìm ra điều kiện đủ cho sự tuyệt chủng cũng như tính phát triển vững theo nghĩa trung bình. Tiếp đó, Manli Jin [29] nghiên cứu tính chất ergodic và dáng điệu tiệm cận của hệ nhưng đặt giả thiết tổng số cá thể trong quần thể là một hằng số cố định ($S(t) + I(t) + V(t) = N$), làm hạn chế phạm vi áp dụng cho các hệ mở. Về mặt hàm lây nhiễm, Zhao và cộng sự [65] đã thay thế hàm song tuyến tính $\beta SI$ bằng hàm phi tuyến $\frac{\beta SI}{\Upsilon(I)}$ và xác lập giá trị ngưỡng $R_0^S$; tuy nhiên, các điều kiện tham số trong [65] rất chặt và chỉ mang tính điều kiện đủ, tạo khoảng cách khá xa so với điều kiện cần.

Trong lĩnh vực sinh thái học thú mồi, các mô hình khởi nguồn từ Lotka (1920) [40] và Volterra (1926) [59] đã được phát triển theo hướng điều chỉnh hàm đáp ứng chức năng. Năm 1975, Beddington [4] cùng DeAngelis và cộng sự [9] đã độc lập đề xuất hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis, bổ sung thành phần mô tả sự cạnh tranh nội bộ giữa các cá thể thú săn mồi. Dáng điệu động lực học của mô hình tất định và ngẫu nhiên với hàm đáp ứng này được nghiên cứu trong [3, 13, 24, 27, 38, 53, 68]. Trong đó, Du và cộng sự [13] đã xác lập giá trị ngưỡng cho tính vững và tuyệt chủng, đồng thời chỉ ra tính hội tụ của hàm xác suất chuyển về độ đo bất biến duy nhất $\pi^$. Liên quan đến tính bền của hệ, công trình [68] đã xem xét phân nhánh Hopf ngẫu nhiên tại điểm tới hạn $b^(\sigma_1, \sigma_2)$, ghi nhận sự chuyển dịch hình thái phân phối dừng từ dạng "hình núi lửa" (volcano-shaped) sang dạng "đỉnh núi" (peak-shaped), song các ràng buộc tham số vẫn còn chặt chẽ.

Vị trí của luận án được xác lập thông qua việc giải quyết các hạn chế nêu trên: luận án nới lỏng các giả thiết kỹ thuật, tổng quát hóa hàm lây nhiễm trong mô hình SIVS sang hàm hai biến $g(S, I)$ thỏa mãn điều kiện chặn tuyến tính, xây dựng giá trị ngưỡng phân loại triệt để dáng điệu tiệm cận theo tốc độ hội tụ mũ hoặc tính bền vững ngẫu nhiên, đồng thời thiết lập điều kiện cho tính vững, sự tuyệt chủng và chứng minh tính bền của hệ thú mồi Beddington - DeAngelis ngẫu nhiên.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng nền tảng của giải tích ngẫu nhiên Itô, lý thuyết quá trình Markov và lý thuyết ổn định của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Không gian toán học cơ sở là không gian xác suất đầy đủ $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ được trang bị một lọc $(\mathcal{F}t){t \ge 0}$ thỏa mãn các điều kiện thông thường (liên tục phải và $\mathcal{F}_0$ chứa toàn bộ các tập có xác suất bằng 0). Các công cụ lý thuyết chính bao gồm:

• Chuyển động Brown chuẩn tắc: Quá trình ngẫu nhiên ${B(t), t \ge 0}$ nhận giá trị trong $\mathbb{R}^d$ với các gia số độc lập tuân theo phân phối chuẩn $B(t) - B(s) \sim \mathcal{N}(0, (t-s)I)$, đóng vai trò là nguồn kích động ngẫu nhiên.
• Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô: Tích phân ngẫu nhiên được định nghĩa trên không gian các quá trình ngẫu nhiên $M_2([a, b]; \mathbb{R}^k)$ thông qua việc lấy giới hạn trong $L^2$ của dãy các quá trình đơn giản $M_0$. Công thức Itô nhiều chiều cho hàm $V \in C^{2,1}(\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}+; \mathbb{R})$ được sử dụng để vi phân hóa các hàm năng lượng dọc theo quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên: $$dV(x(t), t) = \left[ V_t(x(t), t) + V_x(x(t), t)f(x(t), t) + \frac{1}{2}\text{trace}\left(g^T(x(t), t)V{xx}(x(t), t)g(x(t), t)\right) \right] dt + V_x(x(t), t)g(x(t), t)dB(t)$$
• Toán tử cực vi và phương trình vi phân đạo hàm riêng liên kết: Toán tử vi phân liên kết $LV(x, t)$ xác định vi phân kỳ vọng của hàm thử; toán tử sinh vô cùng bé $A$ của nửa nhóm toán tử Feller $(T_t){t \ge 0}$ và toán tử liên hợp $A^$ liên kết trực tiếp với phương trình Kolmogorov ngược và phương trình Fokker - Planck mô tả sự tiến hóa của hàm mật độ xác suất dừng $p(x)$: $$A^ p(x) = -\nabla_x \cdot (f(x)p(x)) + \frac{1}{2}\text{trace}\left(\nabla{xx}^2 (g(x)g^T(x)p(x))\right) = 0$$
• Lý thuyết ổn định Lyapunov ngẫu nhiên: Các tiêu chuẩn đánh giá tính ổn định theo xác suất, ổn định tiệm cận địa phương và ổn định tiệm cận toàn cục đối với điểm cân bằng tầm thường thông qua việc xác định hàm Lyapunov $V(x, t)$ xác định dương có $LV(x, t) \le 0$ hoặc $LV(x, t)$ xác định âm.
• Tiêu chuẩn tồn tại và duy nhất nghiệm: Luận án áp dụng các định lý mở rộng thay thế điều kiện Lipschitz toàn cục bằng điều kiện Lipschitz địa phương kết hợp với hàm kiểu Lyapunov để chứng minh tính tồn tại duy nhất của nghiệm toàn cục không nổ trong thời gian hữu hạn.

Phương pháp nghiên cứu thực tế bao gồm sự kết hợp giữa phân tích định tính và giải tích định lượng:

• Kỹ thuật xây dựng các hàm Lyapunov phi tuyến thích hợp nhằm chặn nghiệm trên miền bất biến dương $\mathbb{R}+^3$ và $\mathbb{R}+^2$.
• Áp dụng luật số lớn cho martingale địa phương, bất đẳng thức Burkholder - Davis - Gundy và các đánh giá mô men cấp cao để xác định giới hạn tiệm cận của nghiệm theo nghĩa hầu chắc chắn (a.s.).
• Phương pháp mô phỏng số: Các thuật toán giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên được lập trình và thực nghiệm trên phần mềm Matlab nhằm minh họa trực quan sự hội tụ của nghiệm về trạng thái sạch bệnh hoặc phân phối dừng, từ đó kiểm chứng tính đúng đắn của các ngưỡng lý thuyết đã thiết lập.

Nguồn tư liệu nghiên cứu của luận án là các hệ phương trình toán học lý thuyết được thiết lập từ các quy luật sinh học và dịch tễ học, cùng các kết quả công bố trong các công trình chuyên ngành quốc tế liên quan trực tiếp.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các định nghĩa, định lý và công cụ giải tích ngẫu nhiên cơ sở phục vụ cho các lập luận và chứng minh ở các chương sau. Nội dung bao gồm:

• Định nghĩa không gian xác suất có lọc $(\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}t){t \ge 0}, P)$, các khái niệm quá trình ngẫu nhiên khả tích, quá trình liên tục, quá trình đo được lũy tiến, quá trình càdlàg, và thời điểm dừng $\tau$ cùng $\sigma$-đại số sinh bởi thời điểm dừng $\mathcal{F}_\tau$.
• Tính chất của quá trình Markov thuần nhất, quá trình Markov mạnh, phương trình Chapman - Kolmogorov đối với hàm xác suất chuyển $P(s, x; t, A)$, nửa nhóm toán tử Feller $(T_t){t \ge 0}$ trên không gian Banach $C_b(\mathbb{R}^d)$ và nửa nhóm liên hợp $(T_t^*){t \ge 0}$ trên không gian các độ đo xác suất. Thiết lập phương trình Kolmogorov ngược và phương trình Fokker - Planck cho mật độ của phân phối dừng.
• Cấu trúc martingale bình phương khả tích, quá trình đặc trưng $\langle X \rangle_t$, martingale địa phương, định nghĩa và tính chất của chuyển động Brown chuẩn tắc nhiều chiều.
• Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô trên không gian $M_2([a, b]; \mathbb{R})$, chứng minh tính chất đẳng cự Itô $E\left[\left(\int_a^b g(t)dB(t)\right)^2\right] = E\left[\int_a^b g^2(t)dt\right]$, thiết lập công thức Itô một chiều và nhiều chiều, cùng các bất đẳng thức cực đại Doob và bất đẳng thức đánh giá mũ của martingale.
• Khảo sát phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô $dx(t) = f(x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t)$; trình bày các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm dưới điều kiện Lipschitz toàn cục, điều kiện Lipschitz địa phương kết hợp tính đơn điệu, và mở rộng sang điều kiện hàm Lyapunov Khasminskii. Đồng thời, chương trình bày chi tiết các định nghĩa và tiêu chuẩn ổn định theo xác suất, ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường dựa trên phương pháp hàm Lyapunov ngẫu nhiên.

Chương 2. Phân loại dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ ngẫu nhiên có tiêm chủng

Chương 2 tập trung phân tích mô hình SIVS ngẫu nhiên tổng quát hóa với sự xuất hiện của thành phần tiêm chủng và hàm lây nhiễm phi tuyến. Sau khi phân tích mô hình cổ điển SIR (2.1), mô hình SIRS và mô hình SIVS tất định (2.2), luận án xây dựng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô (2.5): $$\begin{cases} dS(t) = \left[(1-q)\Lambda - (\rho + \mu)S(t) - \beta I(t)g(S(t), I(t)) + \gamma_1 I(t) + \gamma_2 V(t)\right]dt - \sigma I(t)g(S(t), I(t))dB(t) \ dI(t) = \left[\beta I(t)g(S(t), I(t)) - (\mu + \gamma_1 + \nu)I(t)\right]dt + \sigma I(t)g(S(t), I(t))dB(t) \ dV(t) = \left[q\Lambda + \rho S(t) - (\mu + \gamma_2)V(t)\right]dt \end{cases}$$ Trong đó, hàm lây nhiễm $g(S, I)$ thỏa mãn tính khả vi liên tục trên $\mathbb{R}+ \times \mathbb{R}+$ và bị chặn trên bởi điều kiện tuyến tính: $$0 < g(s, i) \le cs, \quad \forall 0 < s < \infty, \quad 0 \le i < \infty \quad (c > 0)$$

Các tham số trong mô hình được tổng hợp với ý nghĩa sinh học cụ thể như sau:

Ký hiệu tham số	Ý nghĩa sinh học / dịch tễ học	Miền giá trị
$\Lambda$	Tốc độ bổ sung cá thể mới sinh hoặc nhập cư vào quần thể	$\Lambda > 0$
$q$	Tỷ lệ cá thể mới sinh được tiêm chủng vắc-xin	$q \in (0, 1)$
$\beta$	Hệ số lây nhiễm giữa cá thể mang bệnh và cá thể dễ nhiễm	$\beta > 0$
$\mu$	Tỷ lệ tử vong tự nhiên của cá thể	$\mu > 0$
$\rho$	Tỷ lệ cá thể dễ nhiễm được tiêm chủng vắc-xin	$\rho > 0$
$\nu$	Tỷ lệ tử vong tăng thêm do mắc bệnh truyền nhiễm	$\nu > 0$
$\gamma_1$	Tỷ lệ phục hồi (khỏi bệnh) của các cá thể nhiễm bệnh	$\gamma_1 > 0$
$\gamma_2$	Tỷ lệ suy giảm hoặc mất miễn dịch của cá thể đã tiêm chủng	$\gamma_2 > 0$
$\sigma$	Cường độ của nhiễu môi trường tác động lên hệ số lây nhiễm	$\sigma > 0$

Các kết quả phân tích định tính đạt được trong chương:

1. Tính tồn tại duy nhất nghiệm dương toàn cục: Luận án chứng minh rằng với mọi giá trị ban đầu $\phi = (S(0), I(0), V(0)) \in \mathbb{R}+^3$, hệ phương trình (2.5) tồn tại duy nhất nghiệm xác định trên toàn bộ $[0, \infty)$ và miền $\mathbb{R}+^3$ là tập bất biến đối với nghiệm (nghiệm luôn nhận giá trị dương với xác suất bằng 1).
2. Xây dựng giá trị ngưỡng $\lambda$ và phân loại dáng điệu tiệm cận: Luận án thiết lập một giá trị ngưỡng $\lambda$ phụ thuộc vào các tham số của hệ để phân loại hoàn toàn dáng điệu tiệm cận lâu dài của mô hình:
   • Khi $\lambda < 0$: Dịch bệnh bị triệt tiêu hoàn toàn (mô hình sạch bệnh). Số lượng cá thể nhiễm bệnh $I(t)$ suy giảm và hội tụ về 0 với tốc độ mũ hầu chắc chắn: $$\lim_{t \to \infty} I(t) = 0 \quad \text{h.c.}$$
   • Khi $\lambda > 0$: Dịch bệnh tồn tại lâu dài trong quần thể theo nghĩa ngẫu nhiên vững: với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại hằng số $\delta > 0$ sao cho: $$\liminf_{t \to \infty} P_\phi \left{ \min{S(t), I(t), V(t)} \ge \delta \right} > 1 - \varepsilon$$
3. Thực nghiệm mô phỏng số: Sử dụng phần mềm Matlab để mô phỏng quỹ đạo nghiệm theo phương pháp giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên. Kết quả số kiểm chứng trực tiếp giá trị ngưỡng $\lambda$ và chứng minh rằng mô hình vẫn sạch bệnh ngay cả khi các điều kiện ngặt của Zhao và cộng sự trong [65] bị vi phạm.

Chương 3. Tính vững và tính bền của mô hình thú mồi ngẫu nhiên với hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis

Chương 3 khảo sát hệ sinh thái thú mồi ngẫu nhiên dưới tác động của hai nguồn nhiễu trắng độc lập tác động lên tốc độ tăng trưởng của con mồi và con thú. Mô hình được biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô (0.7): $$\begin{cases} dx_\alpha(t) = \left[ rx_\alpha(t)\left(1 - \dfrac{x_\alpha(t)}{K}\right) - \dfrac{m x_\alpha(t) y_\alpha(t)}{a + b y_\alpha(t) + c x_\alpha(t)} \right] dt + \sigma_1 x_\alpha(t) dB_1(t) \ dy_\alpha(t) = y_\alpha(t) \left[ -\gamma + \dfrac{\beta m x_\alpha(t)}{a + b y_\alpha(t) + c x_\alpha(t)} \right] dt + \sigma_2 y_\alpha(t) dB_2(t) \end{cases}$$ Trong đó, $x_\alpha(t)$ là mật độ con mồi, $y_\alpha(t)$ là mật độ con thú tại thời điểm $t$; vector tham số sinh thái $\alpha = (r, K, m, \beta, \gamma, a, b, c) \in \mathbb{R}+^8$; vector cường độ nhiễu $\sigma = (\sigma_1, \sigma_2) \in \mathbb{R}+^2$; $B_1(t), B_2(t)$ là các chuyển động Brown một chiều độc lập.

Nội dung nghiên cứu của chương đạt được các kết quả cụ thể:

1. Ước lượng mô men: Thiết lập các đánh giá chặn trên đối với mô men cấp $p$ của nghiệm $(x_\alpha(t), y_\alpha(t))$, chứng minh tính bị chặn hầu chắc chắn của nghiệm trên không gian pha $\mathbb{R}_+^2$.
2. Phân loại tính vững và sự tuyệt chủng: Xây dựng giá trị ngưỡng phụ thuộc vào các vector tham số $\alpha$ và $\sigma$ để đưa ra điều kiện đủ gần với điều kiện cần phân định trạng thái tiệm cận:
   • Điều kiện để loài thú tuyệt chủng trong khi loài mồi tiếp tục tồn tại và phát triển bền vững.
   • Điều kiện để cả hai loài cùng rơi vào trạng thái tuyệt chủng.
   • Điều kiện để hệ thống đạt tính vững: hai loài cùng tồn tại lâu dài và quá trình nghiệm Markov $(x(t), y(t))$ có phân phối chuyển hội tụ theo chuẩn biến phân toàn phần đến độ đo xác suất dừng (bất biến) duy nhất $\pi^*$.
3. Chứng minh tính bền của mô hình: Luận án giải quyết vấn đề sai số ước lượng tham số từ thực nghiệm bằng cách chứng minh tính bền. Luận án chỉ ra rằng khi hệ thỏa mãn điều kiện có tính vững, quỹ đạo nghiệm và độ đo dừng của hệ phụ thuộc liên tục vào các tham số $\alpha$ và $\sigma$. Nghĩa là khi các tham số thực tế biến động trong một lân cận nhỏ của tham số lý thuyết, cấu trúc động lực học của hệ sinh thái thú mồi ngẫu nhiên không bị thay đổi đột ngột.

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả nghiên cứu chính và đóng góp khoa học mới của luận án bao gồm:

• Mở rộng mô hình dịch tễ ngẫu nhiên: Xây dựng và khảo sát thành công mô hình dịch tễ SIVS ngẫu nhiên có tiêm chủng với hàm lây nhiễm phi tuyến tổng quát $g(S, I)$ thỏa mãn điều kiện $0 < g(s, i) \le cs$. Kết quả này khắc phục sự phụ thuộc vào các dạng hàm lây nhiễm đặc thù (dạng song tuyến tính hoặc phân thức trung tính) trong các công trình của Zhou và cộng sự [66] cũng như Zhao và cộng sự [65].
• Thiết lập ngưỡng phân loại tiệm cận hoàn chỉnh cho hệ SIVS: Xây dựng giá trị ngưỡng $\lambda$ phân định rõ ràng ranh giới giữa tính sạch bệnh và tính tồn tại của dịch bệnh. Khi $\lambda < 0$, số lượng cá thể nhiễm bệnh hội tụ về 0 với tốc độ mũ; khi $\lambda > 0$, hệ đạt tính vững ngẫu nhiên. Kết quả này nới lỏng các điều kiện quá ngặt trước đây và không yêu cầu giả thiết tổng cá thể bất biến như trong công trình của Manli Jin [29].
• Xác định điều kiện tiệm cận của mô hình thú mồi ngẫu nhiên: Thiết lập các điều kiện đủ gần với điều kiện cần cho tính vững và sự tuyệt chủng của hệ thú mồi Beddington - DeAngelis ngẫu nhiên, xác định sự hội tụ của xác suất chuyển về độ đo dừng duy nhất $\pi^*$.
• Chứng minh tính bền của hệ thú mồi ngẫu nhiên: Chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các vector tham số $\alpha$ và cường độ nhiễu $\sigma$. Đây là bước phát triển quan trọng giúp khẳng định độ tin cậy của các dự báo động lực học quần thể khi tham số đầu vào có sai số thống kê, cải tiến các kết quả về phân nhánh và tính ổn định trước đó trong tài liệu [68].

Các kết quả khoa học chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí toán học chuyên ngành:

1. Công trình về mô hình dịch tễ ngẫu nhiên SIVS công bố trên tạp chí Vietnam Journal of Mathematics [54 (2026), no. ...].
2. Công trình về mô hình thú mồi ngẫu nhiên với hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis công bố trên tạp chí Journal of Applied Probability [61 (2024), no. ...].

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên nội dung nghiên cứu được trình bày trong luận án, các hạn chế và hướng phát triển tiếp theo được xác định theo phạm vi học thuật:

• Luận án tập trung khảo sát các tác động ngẫu nhiên được mô hình hóa dưới dạng nhiễu trắng Gauss (chuyển động Brown chuẩn tắc). Tuy nhiên, môi trường tự nhiên còn có thể chịu các biến động đột ngột dạng xung hoặc thay đổi trạng thái môi trường vĩ mô; do đó, việc mở rộng mô hình sang các dạng nhiễu bước nhảy (Lévy noise) hoặc quá trình chuyển chế độ ngẫu nhiên (regime switching) là hướng đi cần được tiếp tục xem xét.
• Các mô hình trong luận án được xây dựng dưới dạng hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên không có trễ thời gian và không xét đến yếu tố khuếch tán không gian. Việc bổ sung yếu tố trễ sinh học (thời gian ủ bệnh, thời gian mang thai) hoặc yếu tố di chuyển không gian (phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên) sẽ là những hướng mở rộng phù hợp cho các nghiên cứu tiếp sau.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo hữu ích cho:

• Nghiên cứu sinh và học viên cao học thuộc các chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Toán giải tích, và Toán ứng dụng: có thể tham khảo phương pháp tiếp cận giải tích ngẫu nhiên, kỹ thuật sử dụng công thức Itô, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ nhiều chiều và phương pháp chứng minh tính ergodic của quá trình Markov.
• Giảng viên và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Sinh học toán (Mathematical Biology): có thể sử dụng các kết quả giải tích định tính của mô hình SIVS và mô hình Beddington - DeAngelis để phát triển các cấu trúc mô hình dịch tễ học và sinh thái học phức hợp.
• Các nhà phân tích dịch tễ học và quản lý bảo tồn sinh thái: có thể tham khảo các công thức ngưỡng lý thuyết ($\lambda$ và các ngưỡng tuyệt chủng/tính vững) để phục vụ việc đánh giá hiệu quả của các chương trình tiêm chủng vắc-xin hoặc dự báo ngưỡng an toàn cho sự cùng tồn tại của các loài thú - mồi trong tự nhiên.

Câu hỏi thường gặp

1. Mô hình SIVS trong luận án có điểm khác biệt cốt lõi nào so với mô hình của Zhao và cộng sự [65]?
Trong mô hình của Zhao và cộng sự [65], hàm lây nhiễm được cố định ở dạng phân thức phi tuyến $\frac{\beta SI}{\Upsilon(I)}$ với các điều kiện tham số khá chặt và chỉ cho ra điều kiện đủ cho tính tồn tại theo nghĩa trung bình. Luận án đã tổng quát hóa cấu trúc này bằng hàm hai biến $g(S, I)$ thỏa mãn điều kiện biên độ tuyến tính $0 < g(s, i) \le cs$, đồng thời xác lập giá trị ngưỡng $\lambda$ cho phép xác định sự hội tụ về 0 với tốc độ mũ (sạch bệnh) hoặc duy trì tính vững ngẫu nhiên của từng trạng thái cá thể.

2. Đại lượng ngưỡng $\lambda$ trong Chương 2 đóng vai trò gì đối với động lực học dịch bệnh?
Đại lượng ngưỡng $\lambda$ phân loại dáng điệu lâu dài của hệ: nếu $\lambda < 0$, hệ tiến tới trạng thái sạch bệnh với số cá thể nhiễm $I(t)$ hội tụ mũ về 0 hầu chắc chắn; nếu $\lambda > 0$, dịch bệnh không bị triệt tiêu mà tồn tại lâu dài, đảm bảo với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại ngưỡng dưới $\delta > 0$ sao cho xác suất $\min{S(t), I(t), V(t)} \ge \delta$ khi $t \to \infty$ đạt trên $1 - \varepsilon$.

3. Khái niệm tính bền (robustness) trong Chương 3 của luận án được hiểu như thế nào?
Tính bền trong luận án được hiểu là tính phụ thuộc liên tục của nghiệm và độ đo dừng của hệ thú mồi ngẫu nhiên vào các vector tham số mô hình $\alpha$ và cường độ nhiễu $\sigma$. Tính chất này đảm bảo rằng các sai số thống kê nhỏ phát sinh khi ước lượng tham số từ thực tế sẽ không dẫn đến sự thay đổi định tính đột ngột trong kết quả dự báo về tính vững của hệ sinh thái.

4. Mô hình thú mồi trong luận án sử dụng hàm đáp ứng chức năng nào và có cấu trúc ra sao?
Mô hình sử dụng hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis dạng $\frac{mx(t)y(t)}{a + by(t) + cx(t)}$, trong đó $x(t)$ là mật độ con mồi, $y(t)$ là mật độ con thú. Hàm này phản ánh tác động săn mồi bão hòa đồng thời tính đến sự cạnh tranh lẫn nhau giữa các cá thể thú săn mồi thông qua hệ số $b$.

5. Các công cụ tính toán nào đã được sử dụng để kiểm chứng các kết quả lý thuyết trong luận án?
Luận án sử dụng phần mềm Matlab để tiến hành mô phỏng số các quỹ đạo nghiệm của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên, qua đó minh họa và đối chiếu tính chính xác của các điều kiện ngưỡng lý thuyết so với các công trình đi trước.

Kết luận

Luận án của tác giả Nguyễn Đức Toàn đã giải quyết hoàn chỉnh bài toán phân loại dáng điệu tiệm cận của mô hình dịch tễ học SIVS ngẫu nhiên có tiêm chủng với hàm lây nhiễm tổng quát và khảo sát các tính chất định tính của mô hình thú mồi ngẫu nhiên với hàm đáp ứng Beddington - DeAngelis. Các kết quả đạt được không chỉ nới lỏng các điều kiện kỹ thuật của các nghiên cứu trước đây mà còn thiết lập các giá trị ngưỡng phân định trạng thái sạch bệnh/tuyệt chủng và tính vững một cách chặt chẽ. Luận án cũng hoàn thành việc chứng minh tính bền cho hệ thú mồi ngẫu nhiên, đóng góp cơ sở lý thuyết quan trọng cho chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học cũng như lĩnh vực sinh học toán ứng dụng. Toàn bộ các kết quả cốt lõi đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm số trên Matlab và công bố trên các tạp chí toán học chuyên ngành quốc tế.