Tổng quan luận án

Luận án Tiến sĩ Toán học với đề tài "Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn" do tác giả Lê Văn Dũng thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Duy Tiến, bảo vệ năm 2013 tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội (Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Mã số: 62 46 15 01).

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, tác giả trích dẫn nhận định của A. N. Kolmogorov: "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn". Kể từ những năm 1950, hướng nghiên cứu mở rộng luật số lớn từ biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực sang dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach đã thu hút nhiều sự quan tâm. Đặc biệt, luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên martingale trong không gian Banach đã được nhiều tác giả phát triển. Tuy nhiên, việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số gặp khó khăn lớn trong việc thiết lập quan hệ thứ tự, dẫn đến việc các định lý giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số gồm các biến ngẫu nhiên không độc lập vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm các nội dung:

  1. Nghiên cứu các điều kiện hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi kép các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
  2. Thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên, đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của luật số lớn.
  3. Khảo sát sự hội tụ theo trung bình bậc $p$ đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới các điều kiện khả tích đều và điều kiện kiểu Kolmogorov.
  4. Thiết lập luật yếu số lớn Feller (với chỉ số ngẫu nhiên và chỉ số không ngẫu nhiên) và luật yếu số lớn đối với tổng mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach (cụ thể là không gian Banach thực, khả ly và $p$-khả trơn với $1 \le p \le 2$).
  • Phạm vi nghiên cứu: Các dạng hội tụ, luật mạnh và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên. Về số chiều của mảng chỉ số, luận án tập trung khảo sát mảng 2 chiều ($d = 2$), do tác giả khẳng định việc mở rộng cho trường hợp $d > 2$ chiều được thực hiện hoàn toàn tương tự.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Trong phần tổng quan, tác giả điểm lại tiến trình phát triển lịch sử của luật số lớn và lý thuyết giới hạn:

  • Luật số lớn đầu tiên do James Bernoulli công bố năm 1713, sau đó được Poisson, Chebyshev, Markov và Liapunov liên tục mở rộng.
  • E. Borel (1909) phát hiện ra luật mạnh số lớn; kết quả này sau đó được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926 đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn: nếu $\sum_{n=1}^\infty \frac{DX_n}{b_n^2} < \infty$ (với $0 < b_n \uparrow \infty$) thì $\frac{S_n - ES_n}{b_n} \to 0$ hầu chắc chắn.
  • Khái niệm không gian Banach $p$-khả trơn được M. M. Day [10] đưa ra, mở đường cho hàng loạt nghiên cứu về luật số lớn trên không gian Banach của Woyczyński, Hoffmann-Jørgensen, Pisier.
  • Assouad [2] thiết lập điều kiện cần và đủ để một không gian Banach thực khả ly là $p$-khả trơn thông qua đánh giá mômen martingale: $E|M_n|^q \le C E\left(\sum_{i=1}^n |D_i|^p\right)^{q/p}$.
  • Hoffmann-Jørgensen và Pisier [22] đưa ra đặc trưng của không gian $p$-khả trơn thông qua luật số lớn Kolmogorov.
  • Các nghiên cứu tiếp theo về định lý giới hạn trên không gian $p$-khả trơn được phát triển bởi Nguyễn Văn Quảng [33, 34, 35], A. Volodin.
  • Về hướng hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn: A. Adler nghiên cứu mảng biến ngẫu nhiên; Landers và Rogge [4] chứng minh tính khả tích đều là điều kiện đủ cho luật yếu số lớn của dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi một; Chandra [2] đưa ra điều kiện khả tích đều theo nghĩa Cesàro; Ordóñez Cabrera [5] mở rộng thành điều kiện ${a_{nj}}$-khả tích đều cho tổng có trọng số.
  • Về các bổ đề giải tích và xác suất liên quan: Chow và Teicher [8] (bất đẳng thức Doob), Gut [19] (ước lượng tiệm cận của hàm số ước và logarithmic), Borovskykh và Korolyuk [3] (tính chất $p \wedge 2$-khả trơn của các không gian $L^p$ và $l^p$), Lindenstrauss [29] (giới hạn chặn dưới của mô-đun trơn).

Khoảng trống nghiên cứu luận án lựa chọn giải quyết: Thay vì xây dựng định nghĩa martingale trực tiếp trên lưới nhiều chiều vốn gặp trở ngại về quan hệ thứ tự, luận án thiết lập hệ thống $\sigma$-đại số $\mathcal{F}{mn}$ sinh bởi các biến ngẫu nhiên ${X{ij}; i < m \text{ hoặc } j < n}$ ngay trên mảng đã cho. Từ cấu trúc này, tác giả thiết lập bất đẳng thức cực đại Doob cho mảng hai chỉ số, làm nền tảng giải quyết trọn vẹn các bài toán về hội tụ chuỗi kép, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên không độc lập trong không gian Banach $p$-khả trơn.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án xây dựng khung lý thuyết dựa trên giải tích hàm và lý thuyết xác suất hiện đại trên không gian vô hạn chiều.

Các khái niệm và định nghĩa nền tảng:

  • Không gian xác suất đầy đủ $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ và không gian Banach thực, khả ly $E$ với chuẩn $|\cdot|$, $\sigma$-đại số Borel $\mathcal{B}(E)$.
  • Biến ngẫu nhiên $E$-giá trị: Ánh xạ $X: \Omega \to E$ đo được. Kỳ vọng $E(X)$ được định nghĩa thông qua tích phân Bochner khi $E|X| < \infty$.
  • Kỳ vọng có điều kiện $E(X|\mathcal{G})$ trên $\sigma$-đại số con $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$: Là biến ngẫu nhiên $E$-giá trị thỏa mãn $E(X|\mathcal{G})$ đo được đối với $\mathcal{G}$ và $E(E(X|\mathcal{G})I(A)) = E(XI(A))$ với mọi $A \in \mathcal{G}$.
  • Mô-đun trơn và Không gian Banach $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$): Không gian $E$ được gọi là $p$-khả trơn nếu: $$\rho(t) = \sup\left{ \frac{|x+ty| + |x-ty|}{2} - 1 : |x| = |y| = 1 \right} = O(t^p) \quad \text{khi } t \to 0$$ Theo Lindenstrauss [29], $\rho(t) \ge \sqrt{t^2+1}-1$, do đó với $p > 2$ không tồn tại không gian $p$-khả trơn. Mọi không gian Banach thực khả ly đều là 1-khả trơn; đường thẳng thực $\mathbb{R}$ và không gian Hilbert là 2-khả trơn; các không gian $L^p, l^p$ là $p \wedge 2$-khả trơn.
  • Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên: Mảng ${X_{mn}}$ bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên $X$ nếu tồn tại hằng số $C < \infty$ sao cho $P{|X_{mn}| \ge x} \le C P{|X| \ge x}$ với mọi $(m, n) \in \mathbb{N}^2$ và $x > 0$.
Ký hiệu toán học Ý nghĩa quy ước trong luận án
$\mathbb{N}$, $\mathbb{R}$ Tập hợp các số nguyên dương, tập hợp các số thực
$E$, $|\cdot|$, $\mathcal{B}(E)$ Không gian Banach thực khả ly, chuẩn trên $E$, $\sigma$-đại số Borel trên $E$
$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ Không gian xác suất đầy đủ
$(k, l) \prec (m, n)$ Quan hệ thứ tự: $k \le m$ và $l \le n$
$m \vee n$, $m \wedge n$ $\max{m, n}$, $\min{m, n}$
$\log(x)$, $\log^+(x)$ Logarit tự nhiên cơ số $e$, $\max{\log(x), 0}$
$[x]$ Phần nguyên: số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$
$\mathcal{F}_{mn}$ $\sigma$-đại số $\sigma({X_{ij}; i < m \text{ hoặc } j < n})$, với $\mathcal{F}_{1,1} = {\emptyset, \Omega}$
$S_{mn}$ Tổng kép $\sum_{k=1}^m \sum_{l=1}^n X_{kl}$

Phương pháp nghiên cứu:

  • Luận án sử dụng phương pháp toán học thuần túy: kết hợp các kỹ thuật giải tích thực, lý thuyết đo, giải tích hàm và lý thuyết xác suất.
  • Kỹ thuật martingale: phân tích biến ngẫu nhiên bằng phương pháp cắt cụt (truncation), chuyển bài toán mảng nhiều chiều về martingale một chiều tương thích để áp dụng bất đẳng thức Doob cho martingale dưới không âm.
  • Áp dụng các bổ đề giải tích và xác suất: Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz mở rộng cho mảng hai chỉ số, Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob, Bất đẳng thức Markov, Bất đẳng thức $c_r$, cùng các công thức phân tích tích phân đuôi xác suất.

Nguồn tư liệu: Luận án là công trình nghiên cứu lý thuyết xác suất thuần túy, mọi chứng minh và kết quả đều được suy diễn giải tích chặt chẽ, không sử dụng dữ liệu thống kê thực nghiệm hay phần mềm tính toán.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức cơ sở và chứng minh bổ đề then chốt dùng xuyên suốt luận án:

  • Mục 1.1 (Kì vọng có điều kiện): Trình bày định nghĩa tích phân Bochner, tính chất của biến ngẫu nhiên khả tích Bochner ($E|X| < \infty$) và định lý về sự tồn tại duy nhất của kỳ vọng có điều kiện $E(X|\mathcal{G})$ trên không gian Banach.
  • Mục 1.2 (Một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên): Định nghĩa chi tiết 3 dạng hội tụ của mảng hai chỉ số ${X_{mn}}$ theo hai hướng chỉ số: khi $m \vee n \to \infty$ và khi $m \wedge n \to \infty$:
    1. Hội tụ hầu chắc chắn ($X_{mn} \xrightarrow{h.c.c.} X$). Mệnh đề 1.1 và 1.2 thiết lập điều kiện hội tụ hầu chắc chắn thông qua giới hạn xác suất của supremum.
    2. Hội tụ theo xác suất ($X_{mn} \xrightarrow{P} X$). Mệnh đề 1.3 chứng minh hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất đối với cả hai dạng hội tụ chỉ số.
    3. Hội tụ theo trung bình bậc $p$ ($X_{mn} \xrightarrow{L^p} X$, với $0 < p < \infty$). Mệnh đề 1.4 chứng minh hội tụ $L^p$ kéo theo hội tụ theo xác suất thông qua bất đẳng thức Markov.
  • Mục 1.3 (Không gian Banach p-khả trơn): Nêu định nghĩa mô-đun trơn $\rho(t)$, tính chất của không gian $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$). Trình bày Bổ đề 1.2 (supremum hữu hạn của các martingale dưới không âm là một martingale dưới không âm).
  • Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức cực đại then chốt): Cho ${X_{ij}; 1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$ là mảng $m \times n$ biến ngẫu nhiên khả tích nhận giá trị trong không gian Banach $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$). Đặt $\mathcal{F}{kl} = \sigma({X{ij}; i < k \text{ hoặc } j < l})$, $\mathcal{F}{1,1} = {\emptyset, \Omega}$. Nếu $E(X{ij}|\mathcal{F}{ij}) = 0$ với mọi $i, j$ thì: $$E\left( \max{1 \le k \le m, 1 \le l \le n} \left| \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l X_{ij} \right|^p \right) \le C \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n E|X_{ij}|^p$$ trong đó hằng số $C$ hoàn toàn độc lập với $m$ và $n$.
  • Tác giả đưa ra ví dụ tường minh về mảng biến ngẫu nhiên không độc lập $X_{kl} = \prod_{i=1}^k \prod_{j=1}^l Z_{ij}$ (trong đó ${Z_{ij}}$ là các biến ngẫu nhiên thực độc lập, có kỳ vọng bằng 0) thỏa mãn điều kiện $E(X_{kl}|\mathcal{F}_{kl}) = 0$.
  • Trình bày Bổ đề 1.6 (đặc trưng tương đương của không gian $p$-khả trơn qua hiệu martingale), Bổ đề 1.8 của Gut [19] về tiệm cận $\sum_{mn \le N} 1 = N \log N (1 + o(1))$, và Bổ đề 1.10 về biểu diễn mômen qua tích phân đuôi xác suất.

Chương 2. Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên

Chương 2 trình bày các kết quả về sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn và tốc độ hội tụ (các kết quả đã được tác giả công bố trong [12] và [47]):

  • Mục 2.1 (Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số):
    • Bổ đề 2.1: Điều kiện cần và đủ để tổng riêng $S_{mn}$ hội tụ hầu chắc chắn khi $m \wedge n \to \infty$ là $\lim_{N \to \infty} P\left(\sup_{N \le m \le p, N \le n \le q} |S_{pq} - S_{mn}| > \varepsilon\right) = 0$ với mọi $\varepsilon > 0$.
    • Định lý 2.1: Cho $E$ là không gian Banach $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$), ${X_{mn}}$ thỏa mãn $E(X_{mn}|\mathcal{F}{mn}) = 0$. Nếu $\sum{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty E|X_{mn}|^p < \infty$ thì chuỗi kép $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty X_{mn}$ hội tụ hầu chắc chắn, đồng thời với mỗi $m \ge 1$ chuỗi $\sum_{n=1}^\infty X_{mn}$ hội tụ hầu chắc chắn và với mỗi $n \ge 1$ chuỗi $\sum_{m=1}^\infty X_{mn}$ hội tụ hầu chắc chắn.
    • Hệ quả 2.1: Dưới các giả thiết trên, kéo theo $X_{mn} \xrightarrow{h.c.c.} 0$ khi $m \vee n \to \infty$.
    • Định lý 2.2 (Định lý ba chuỗi cho chuỗi kép): Đặt $Y_{mn} = X_{mn}I(|X_{mn}| \le c)$. Nếu thỏa mãn đồng thời:
      1. $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty P(|X_{mn}| > c) < \infty$,
      2. $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty E(Y_{mn}|\mathcal{F}_{mn})$ hội tụ hầu chắc chắn,
      3. $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty E|Y_{mn} - E(Y_{mn}|\mathcal{F}{mn})|^p < \infty$, thì chuỗi kép $\sum{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty X_{mn}$ hội tụ hầu chắc chắn.
    • Bổ đề 2.7 (Bổ đề dạng Toeplitz) và Bổ đề 2.8: Xây dựng hai hàm giải tích $L(x) = \int_0^x \frac{N(t)\log^+ N(t)}{t^2} dt$ và $R_p(x) = \int_x^\infty \frac{N(t)\log^+ N(t)}{t^{p+1}} dt$ với $N(x) = \text{card}{(m, n): \alpha_{mn} \le x}$.
    • Định lý 2.3: Thiết lập sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi có trọng số $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty b_{mn}^{-1} X_{mn}$ và suy ra luật mạnh số lớn $b_{mn}^{-1} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n X_{ij} \xrightarrow{h.c.c.} 0$ khi $m \wedge n \to \infty$ dưới điều kiện bị chặn ngẫu nhiên bởi $X$ thỏa mãn $E(|X|^p R_p(|X|)) < \infty$ và $E(|X| L(|X|)) < \infty$.
    • Định lý 2.4 (Tổng quát với hàm Borel $\Phi_{mn}$): Mở rộng điều kiện hội tụ cho hệ hàm $\Phi_{mn}$ thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kẹp giữa $u^{\alpha_{mn}}$ và $u^{\beta_{mn}}$.
  • Mục 2.2 (Luật mạnh số lớn và tốc độ hội tụ):
    • Định lý 2.4: Định lý tổng quát trong không gian Banach bất kỳ chứng minh mối liên hệ tương đương giữa chuỗi xác suất cực đại $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{mn} P\left(\max_{k \le m, l \le n} |S_{kl}| > \varepsilon m^\alpha n^\beta\right) < \infty$ và luật mạnh số lớn $\frac{1}{m^\alpha n^\beta} \max_{k \le m, l \le n} |S_{kl}| \xrightarrow{h.c.c.} 0$ khi $m \vee n \to \infty$.
    • Định lý 2.5 (Đặc trưng của không gian Banach $p$-khả trơn): Cho $1 \le p \le 2$, hai mệnh đề sau là tương đương:
      • (i) $E$ là không gian Banach $p$-khả trơn.
      • (ii) Với mọi mảng biến ngẫu nhiên ${X_{mn}}$ thỏa mãn $E(X_{mn}|\mathcal{F}{mn}) = 0$ và $\alpha, \beta > 0$, từ điều kiện $\sum{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{E|X_{mn}|^p}{(m^\alpha n^\beta)^p} < \infty$ suy ra $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{mn} P\left(\max_{k \le m, l \le n} |S_{kl}| > \varepsilon m^\alpha n^\beta\right) < \infty$ và do đó $\frac{1}{m^\alpha n^\beta} \max_{k \le m, l \le n} |S_{kl}| \xrightarrow{h.c.c.} 0$ khi $m \vee n \to \infty$.
    • Định lý 2.7 & 2.8 (Luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund): Thiết lập cho trường hợp $1/p < \min{\alpha, \beta} < 1$ dưới điều kiện mômen $E\left(|X|^r (\log^+ |X|)^{q-1}\right) < \infty$ (với $r = \frac{1}{\min{\alpha, \beta}}$; $q=2$ nếu $\alpha \ne \beta$, $q=1$ nếu $\alpha = \beta$), chứng minh $\frac{1}{m^\alpha n^\beta} \max_{k \le m, l \le n} |S_{kl}| \xrightarrow{h.c.c.} 0$ khi $m \vee n \to \infty$.

Chương 3. Hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên

Chương 3 trình bày các kết quả về sự hội tụ theo trung bình bậc $p$ và luật yếu số lớn (công bố trong [11], [13], [14]):

  • Mục 3.1 (Khả tích đều):
    • Điểm lại các khái niệm khả tích đều cổ điển, khả tích đều theo nghĩa Cesàro của Chandra, và ${a_{nj}}$-khả tích đều của Ordóñez Cabrera.
    • Đưa ra định nghĩa mới: Mảng ${X_{ij}}$ được gọi là khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro ($r > 0$) nếu: $$\sup_{m, n \ge 1} \frac{1}{k_{mn}} \sum_{i=1}^{u_m} \sum_{j=1}^{v_n} E|X_{ij}|^r \le M < \infty \quad \text{và} \quad \lim_{a \to \infty} \sup_{m, n \ge 1} \frac{1}{k_{mn}} \sum_{i=1}^{u_m} \sum_{j=1}^{v_n} E|X_{ij}|^r I(|X_{ij}|^r > a) = 0$$ trong đó $k_{mn}, u_{mn}, v_{mn} \to \infty$ khi $m \vee n \to \infty$.
    • Bổ đề 3.1: Chứng minh nếu mảng khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro thì với $r < \beta$: $$\frac{1}{k_{mn}^{\beta/r}} \sum_{i=1}^{u_m} \sum_{j=1}^{v_n} E|X_{ij}|^\beta I(|X_{ij}|^r \le k_{mn}) \to 0 \quad \text{khi } m \vee n \to \infty$$
  • Mục 3.2 (Định lí hội tụ theo trung bình):
    • Định lý 3.2: Cho $1 \le r < p \le 2$ và $E$ là không gian Banach $p$-khả trơn. Giả sử ${X_{mn}}$ khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro, $E(X_{mn}|\mathcal{F}{mn}) = 0$ và thỏa mãn điều kiện đo được của biến cắt cụt. Khi đó: $$\frac{1}{k{mn}^{1/r}} \sum_{i=1}^{u_m} \sum_{j=1}^{v_n} X_{ij} \xrightarrow{L^r} 0 \quad \text{khi } m \vee n \to \infty$$
  • Mục 3.3 (Luật yếu số lớn Feller): Thiết lập luật yếu số lớn dạng Feller cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach $p$-khả trơn đối với trường hợp chỉ số không ngẫu nhiên và trường hợp chỉ số ngẫu nhiên.
  • Mục 3.4 (Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều): Chứng minh điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số lớn cho tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên.

Kết quả và những đóng góp mới

Các đóng góp mới về mặt khoa học của luận án bao gồm:

  1. Thiết lập bất đẳng thức cực đại Doob cho mảng hai chiều: Luận án đã đề xuất cách xây dựng mảng $\sigma$-đại số $\mathcal{F}_{mn}$ phù hợp, qua đó chứng minh thành công Bổ đề 1.3 cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$). Đây là công cụ mấu chốt khắc phục trở ngại về cấu trúc thứ tự của martingale nhiều chiều.
  2. Mở rộng định lý ba chuỗi và điều kiện hội tụ chuỗi kép: Mở rộng định lý ba chuỗi kinh điển của Kolmogorov sang chuỗi kép các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach $p$-khả trơn (Định lý 2.2).
  3. Đặc trưng mới của không gian Banach $p$-khả trơn: Chứng minh tính tương đương giữa cấu trúc hình học $p$-khả trơn của không gian Banach và luật mạnh số lớn của mảng biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện kỳ vọng có điều kiện triệt tiêu (Định lý 2.5).
  4. Mở rộng luật mạnh Marcinkiewicz - Zygmund và đánh giá tốc độ hội tụ: Thiết lập luật mạnh số lớn dạng Marcinkiewicz - Zygmund cho mảng biến ngẫu nhiên $E$-giá trị phụ thuộc, kèm theo đánh giá tốc độ hội tụ của phân phối cực đại (Định lý 2.4, 2.7, 2.8).
  5. Phát triển lý thuyết hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn: Đưa ra khái niệm khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro cho mảng hai chỉ số, chứng minh định lý hội tụ theo trung bình bậc $r$ ($1 \le r < p \le 2$, Định lý 3.2), và thiết lập các dạng luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên.

Các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan trực tiếp đến luận án:

  1. Acta Mathematica Vietnamica
  2. Statistics and Probability Letters
  3. Lobachevskii Journal of Mathematics
  4. Bulletin of the Korean Mathematical Society
  5. Journal of the Korean Mathematical Society Cùng 2 báo cáo khoa học tại Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và Thống kê (Vinh, 5/2010) và Hội nghị Khoa học Khoa Toán - Cơ - Tin học (ĐHKHTN Hà Nội, 10/2010).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Về mặt phạm vi và hạn chế kỹ thuật:

  • Luận án giới hạn cấu trúc hình học của không gian Banach ở lớp không gian thực, khả ly và $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$). Do kết quả của Lindenstrauss [29] chỉ ra rằng mô-đun trơn bậc $p > 2$ không tồn tại, các định lý không thể mở rộng cho $p > 2$.
  • Luận án trình bày chi tiết các chứng minh cho mảng hai chỉ số ($d = 2$). Mặc dù tác giả khẳng định kỹ thuật chứng minh có thể áp dụng tương tự cho mảng $d$ chỉ số ($d > 2$), các biểu diễn hình thức cho trường hợp tổng quát $d$ chiều chưa được triển khai chi tiết trong toàn bộ các định lý.

Hướng nghiên cứu tiếp:

  • Tiếp tục nghiên cứu mở rộng các định lý giới hạn khác như Luật logarit lặp (Law of the Iterated Logarithm) và Nguyên lý bất biến (Invariance Principles) cho mảng biến ngẫu nhiên nhiều chỉ số trong không gian Banach.
  • Khảo sát các dạng phụ thuộc khác ngoài cấu trúc kỳ vọng có điều kiện đối với $\mathcal{F}_{mn}$ đã xây dựng.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, Giải tích hàm và Lý thuyết toán tử.
  • Các nhà nghiên cứu quan tâm đến lý thuyết xác suất trên không gian Banach và lý thuyết giới hạn cho mảng biến ngẫu nhiên nhiều chỉ số.
  • Các phần có giá trị tham khảo học thuật cao nhất:
    • Kỹ thuật xây dựng mảng $\sigma$-đại số $\mathcal{F}_{mn}$ và phương pháp chứng minh Bổ đề cực đại 1.3.
    • Phương pháp xây dựng các hàm giải tích $N(t), L(x), R_p(x)$ và kỹ thuật phân tách đuôi tích phân trong Chương 2.
    • Khung khái niệm khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro và kỹ thuật đánh giá hội tụ $L^r$ trong Chương 3.

Câu hỏi thường gặp

1. Bất đẳng thức cực đại trong Bổ đề 1.3 của luận án được phát biểu như thế nào và giữ vai trò gì?
Bổ đề 1.3 phát biểu rằng: Nếu ${X_{ij}; 1 \le i \le m, 1 \le j \le n}$ là mảng biến ngẫu nhiên khả tích nhận giá trị trong không gian Banach $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$) và $E(X_{ij}|\mathcal{F}{ij}) = 0$ (với $\mathcal{F}{kl} = \sigma({X_{ij}; i < k \text{ hoặc } j < l})$), thì: $$E\left( \max_{1 \le k \le m, 1 \le l \le n} \left| \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l X_{ij} \right|^p \right) \le C \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n E|X_{ij}|^p$$ Đây là bất đẳng thức then chốt nhất của luận án, đóng vai trò tương tự như bất đẳng thức cực đại Doob trong trường hợp một chiều để chứng minh mọi định lý hội tụ chuỗi kép và luật số lớn tiếp theo.

2. Tại sao luận án chỉ khảo sát không gian Banach $p$-khả trơn với $1 \le p \le 2$ mà không xét $p > 2$?
Theo kết quả của Lindenstrauss [29] được dẫn trong Chương 1, mô-đun trơn thỏa mãn $\rho(t) \ge \sqrt{t^2+1}-1$ với mọi $t > 0$. Do đó, điều kiện $\rho(t) = O(t^p)$ khi $t \to 0$ không thể xảy ra với bất kỳ $p > 2$ nào. Vì vậy, định nghĩa không gian Banach $p$-khả trơn chỉ có nghĩa toán học khi $1 \le p \le 2$.

3. Đặc trưng hình học của không gian Banach $p$-khả trơn được luận án thiết lập qua định lý nào?
Đặc trưng này được thiết lập tại Định lý 2.5 của Chương 2: Một không gian Banach thực khả ly $E$ là $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$) khi và chỉ khi với mọi mảng biến ngẫu nhiên ${X_{mn}}$ thỏa mãn $E(X_{mn}|\mathcal{F}{mn}) = 0$ và $\alpha, \beta > 0$, điều kiện $\sum{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{E|X_{mn}|^p}{(m^\alpha n^\beta)^p} < \infty$ kéo theo luật mạnh số lớn $\frac{1}{m^\alpha n^\beta} \max_{k \le m, l \le n} |S_{kl}| \xrightarrow{h.c.c.} 0$ khi $m \vee n \to \infty$.

4. Khái niệm mảng biến ngẫu nhiên khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro được định nghĩa như thế nào trong Chương 3?
Mảng ${X_{ij}}$ được gọi là khả tích đều cấp $r$ theo nghĩa Cesàro ($r > 0$) nếu tồn tại các mảng số nguyên dương $k_{mn}, u_{mn}, v_{mn} \to \infty$ sao cho đồng thời: $$\sup_{m, n \ge 1} \frac{1}{k_{mn}} \sum_{i=1}^{u_m} \sum_{j=1}^{v_n} E|X_{ij}|^r \le M < \infty \quad \text{và} \quad \lim_{a \to \infty} \sup_{m, n \ge 1} \frac{1}{k_{mn}} \sum_{i=1}^{u_m} \sum_{j=1}^{v_n} E|X_{ij}|^r I(|X_{ij}|^r > a) = 0$$

5. Luận án giải quyết trường hợp các biến ngẫu nhiên độc lập hay không độc lập?
Luận án giải quyết cho mảng các biến ngẫu nhiên tổng quát thỏa mãn điều kiện kỳ vọng có điều kiện $E(X_{mn}|\mathcal{F}_{mn}) = 0$. Điều kiện này bao gồm cả trường hợp mảng biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng bằng 0, đồng thời áp dụng được cho nhiều lớp mảng biến ngẫu nhiên không độc lập (như ví dụ xây dựng tích các biến ngẫu nhiên trong Chương 1).

Kết luận

Luận án của tác giả Lê Văn Dũng đã giải quyết có hệ thống các bài toán lý thuyết xác suất về sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn (Kolmogorov, Marcinkiewicz - Zygmund), sự hội tụ theo trung bình bậc $p$ và luật yếu số lớn (Feller) cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach $p$-khả trơn ($1 \le p \le 2$). Bằng việc xây dựng thành công mảng $\sigma$-đại số $\mathcal{F}_{mn}$ và bất đẳng thức cực đại Doob cho mảng hai chiều, công trình đã vượt qua rào cản thứ tự trong lý thuyết martingale nhiều chiều. Các kết quả của luận án góp phần hoàn thiện lý thuyết định lý giới hạn trên không gian Banach và đã được công bố trên các tạp chí toán học quốc tế chuyên ngành.