Chương 1, các tính chất đại số và hình học của đường thăng rất cân thiết cho việc nghiên cứu phép tính. Mọi đường thăng đêu là đồ thị của phương trình tuyên tính có dạng Ax + By =C, Trong đó, 4, 8 và € là các hăng số cho trước, với 4 và 8 không đông thời băng 0. Nêu B # 0, taco thé giải phương trình cho y ở dạng y=mx + b, (1) ¡m và b là các số thích hợp. Nếu Ö = 0, ta có thê giải phương trình cho x có đạng x=4, (2) Trong đó z là một số thích hợp.
Vì vậy, mọi đường thăng đều là đồ thị của phương trình dạng (1) hoặc (2). Đồ thị của phương trình đạng (1) là một đường không thắng đứng [Hình. trong khi đó, đồ thị của (2) là một đường thang đứng [Hình. Chú ý rằng, phương trình (2) không xác định một hàm số.
Đồ thị của nó không thỏa mãn kiểm tra đường thắng đứng. The straight line of Fig. Such a function, which is defined for all x, is called a linear function. Note that the straight line of Fig.
1(b) is not the graph of a function, since the vertical line test is violated. An important special case of a linear function occurs if the value of m is zero; that is, f(x) = b for some number 0. In this case, f(x) is called a constant function, since it assigns the same number A to every value of x. Its graph is the horizontal line whose equation is y = b.) Ụ Ụ yn +b rl 1 £ x ri _— |0 — Tự (a) (b) Figure 2 Graph of the constant Figure 1 function f(x) = Đường thăng trong Hình.
Mot ham số như vậy, được xác định với tat cả các giá trị của x, được gọi là hàm số tuyến tính. Lưu ý răng đường thang trong Hinh. 1(b) khong phai la đồ thị của một hàm số, vì vi phạm kiểm tra đường thăng đọc. Một trường hợp đặc biệt quan trọng của một hàm số tuyến tính xảy ra khi giá trị của m bang 0; tic la, f(x)= b voi ð là một số bất kì.
Trong truong hop nay, f(x) duge goi la ham hang, vi n6 bang b véi moi gia tri của x. Đồ thị của nó là một đường thăng năm ngang có phương trình là y = ð.) = ww + b 5 "2 ®) Hình 2 Đồ thị của hàm hằng Hình 1 _ Se) = 6. EXAMPLE 1 Sketching a Linear Function Sketch the graph of 3x — y = 2. SOLUTION Since the equation is linear, its graph is a straight line.) To simplify finding points on the line, we solve for y first and get y = 3x -2.
Even though only two points are needed to identify and graph the line, in the following figure we compute three points to verify that it is correct. i le KSis l—+ xa w+ p+ + &3 + k9 | | | | + Figure 3 3> Now Try Exercise 9 Linear functions often arise in real-life situations, as the next two examples show. Vẽ đồ thị hàm số tuyến tính Vẽ đỏ thị của hàm 3x — y = 2. Lời giải Vì phương trình là tuyên tính, nên đồ thị của nó là một đường thăng.) Đề đơn giản hóa việc tìm các điểm trên đường thăng.
chúng ta giải phương trình tìm y theo x y=3x- 2. Mặc dù chỉ cần hai điểm đề xác định và vẽ đồ thị. trong hình sau chúng tôi tính toán ba điểm đề tăng độ chính xác khi vẽ hình. m>— 4 + = t5 bo oo |e | | | | đà 1 Hình 3 Bây giờ hãy thử bài tập 9 Hàm số tuyến tính thường phát sinh trong các tình huống thực tế, hai ví dụ sau đây sẽ minh họa điêu đó.
A Model for an EPA Fine When the U. Environmental Protection Agency found a certain company emitting ozone-depleting substances from refrigeration equipment, it fined the company $600,000, plus $50,000 per month until the company complied with federal emission regulations. Express the total fine as a function of the number of months, x, the company continued to violate the federal regulations. Mô Hình cho Một Mức Phạt của EPA Khi Cơ quan Bảo vệ Môi trường Hoa Kỳ phát hiện một công ty nhất định đang thải các chất làm suy giảm ‘tang ozon từ thiết bị làm lạnh.
họ sẽ phạt công ty 600.000 đô la, cộng thêm 50.000 đô la môi tháng cho đến khi công ty tuân thủ các quy định về phát thải liên bang. Biểu diễn số tiền phạt tông cộng như một hàm của số tháng x mà công ty tiếp tục vi phạm các quy định liên bang. SOLUTION The variable fine for x months of pollution, at $50,000 per month, is 50,000x dollars. The total fine is therefore given by the function T(x) = 600,000 + 50,000x.
>> Now Try Exercise 17 Since the graph of a linear function is a line, we may sketch it by locating any two points on the graph and drawing the line through them. For example, to sketch the graph of the function f(x) = —$x + 3, we may select two convenient values of x—say, 0 and 4—and compute /(0) = —3(0) +3 =3 and ƒ/(4) = —‡(4) +3 =1. The line through the points (0, 3) and (4, 1) is the graph of the function.) Figure 4 A simple cost function for a business consists of two parts: the fixed costs, such as rent, insurance, and business loans, which must be paid no matter how many items of a product are ROR, and the variable costs, which Nuuan on the number of items produced. Lời giải Công thức tính tiền phat cho x thángô nhiễm.
với mỗi tháng là 50. tổng số tiền phạt được cho bởi hàm: f(x) = 600,000 + 50,000x. Bây giờ hãy thử bài tập 17 Vì đồ thị của một hàm tuyến tính là một đường thăng. ta có thê vẽ nó bằng cách xác định hai điểm tiếu đồ thị và vẽ đường thăng thông qua chúng.
dé vẽ đồ thị của hàm số Tờ)= xt 3. chúng ta có thể chọn hai giá trị thuận tiện của x. 0 và 4 và tính toán S(O)= 2 (0) + 3 =3 va f(4) = > (4) + 3 = 1. Đường thăng qua hai điểm (0.1) chính là đồ thi cua ham.) Hinh 4 Một hàm chỉ phí đơn giản cho một doanh nghiệp bao gồm hai phân: chi phí có định.
như tiền thuê. bảo hiểm và khoản vay kinh doanh, phải được thanh toán bất kế số lượng sản phẩm nào được sản xuất, và chi phí biến đôi. phụ thuộc vào số lượng sản phẩm được sản xuất. EXAMPLE 3 Cost Suppose that a computer software company produces and sells a new operating system at a cost of $55 per copy, and the company has fixed costs of $15,000 per month.
Express the total monthly cost as a function of the number of copies sold, x, and com- pute the cost when x = 1000. Chi phí Giả sử một công ty phân mềm máy tính sản xuất và bán một hệ điều hành mới với chỉ phí là 55 đô la cho mỗi bản sao. và công ty có chi phí cô định là 15.000 đô la mỗi tháng. Biểu diễn tông chi phí hàng tháng dưới dạng một hàm của số lượng bản sao bán được x và tính toán chi phí khi x = 1000.
SOLUTION The monthly variable cost is 55x dollars. When sales are at 1000 copies per month, the cost is C(1000) = 15,000 + 55(1000) = 70,000 (dollars).) Cost of goods sold _ eer x | 200 1000 Sales level (per month) Figure 5 A linear cost function. >> Now Try Exercise 19 The point at which the graph of a linear function intersects the y-axis is called the y-intercept of the graph. The point at which the graph intersects the x-axis is called the x-intercept.
The next example shows how to determine the intercepts of a linear function. Loi giai — Chi phí biến đổi hàng tháng là 55x đô la. Khi doanh số bán hàng đạt 1000 bản sao mỗi tháng. chi phi là C(1000) = 15,000 + 55(1000) = 70,000 (dollars).) y = C(x) a = „Ð b0 ———————~= 8 “i , ok Ae a Chi phi bién doi a =5.
s8 15,000#------- "$4 Chi phí cô định &) L J L L L x 300 1000 Mức đô bán hàng (môi tháng). Hình 5 Một hàm chi phí tuyên tính. Bây giờ hãy thử bài tập 19 Giao điểm giữa đồ thị hàm số tuyến tinh và trục y được gọi là giao điểm y. Giao điểm giữa đồ thị hàm sô tuyên tính và trục x được gọi là giao điểm x.
Ví dụ tiệp theo cho thay cach xac định các giao điêm của một hàm sô tuyên tính. EXAMPLE 4 Intercepts Determine the intercepts of the graph of the linear function f(x) = 2x + 5. SOLUTION Since the y-intercept is on the y-axis, its x-coordinate is 0. The point on the line with x-coordinate zero has y-coordinate ƒ(0) = 2(0) + 5 = 5.
So, the y-intercept is (0, 5). Since the x-intercept is on the x-axis, its y-coordinate is 0. Since f(x) gives the y-coordinate, we must have 2x+5=0 Set /(x) cqual to 0. 2x = —5 Subtract 5 from each side., Divide each side by 2.
So, (—3, 0) is the x-intercept. >> Now Try Exercise 15 Piecewise-Defined Functions The function in the next example is described by two expressions. Functions described by more than one expression are said to be piecewise defined. VÍ DỤ 4 Giao điểm Xác định các giao điểm của đồ thị tuyến tính sau: F(&) = 2% + 5.
Lời giải Vi giao diém trục tung nằm trên trục tung. nên tọa độ x của nó là 0. Điểm trên đường thăng có tọa độ x băng 0 có tọa độ y là ; ƒ(0) = 2(0) + 5 = 5. giao điểm trục tung là (0.
Vì giao điểm trục hoành nằm trên trục hoành, nên tung độ của nó là 0. Vì ƒ+) cho ta tung độ. nên ta phải có 2x+5=0 Cho f(x) bằng 0. 2x=-—5_ Trừ 2 về cho Š _ 5 t" Ro £ xX =-—5.
Chia mỗi về cho 2 Vì vậy. (0) là giao điểm trục x. 6) giao điểm trục tung giao điểm trục hoành Hình 6 Đồ thị ~ỗ,„0 (~Š,0) ƒ(x) = 2x + 5. Bây giờ hãy thử bài tập 15 Hàm từng khúc Hàm trong ví dụ tiếp theo được mô tả bởi hai biểu thức.
Các hàm được mô tả bởi hơn một biêu thức được gọi là hàm từng khúc. EXAMPLE 5 A Piecewise-Defined Function Sketch the graph of the following function. —‡ for-l<x<1 NIK NIN ~ I(x) = { 9 forx > 1 “ Hàm từng khúc Vẽ đồ thị hàm số sau: fe) = ‘a —3jVỚI -l=x=<1 sx-2vi x>1 SOLUTION The formula for f depends on whether -—1=x=1 or x>1. So we expect the graph to consist of two portions.
To draw the portion when —-1=x<=1, we use the formula f(x) = 3x4, which is a linear function. So the points (—1, —3) and (1, 2) are on the graph. The portion of the graph for —1 =x = 1 is the line segment obtained by connecting these two points (Fig.