Chương 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tinh hyperbolic, tinh phi hyperbolic ngặt Cho © 1a mét tap hop mo trong R”’. Gia st trén Q xac dinh d ham kha vi lién tuc voi gia tri véc-to f,: QR’, 1S jd. Dạng tông quát của hệ bảo toàn nhiều biến không gian là ou đô + ——ƒf(„)=0, x=(x,x,,.1) trong đó ấn hàm ¿=u(+,f), xe R“, >0 là một hàm với giá trị véc-tơ từ Ñ“ x[0,+©) vào Q: hij A ay Ga r re ` z ` taj oan , Tập O được gọi là tập các trạng thái và các hàm ƒ =|. được gọi là các f Pj ham thông lượng.
Hơn nữa, ta nói hệ (1.1) được viết dưới dạng bảo toàn. Với ma trận Jacobi của ƒ,() là of, A, = J j(u) - ø) , j=L2,. lsi,kSp Uy Ý nghĩa vật lý Một cách hình thức, hệ (1.1) biểu thị sự bảo toàn của p đại lượng u„u,. That vay, gid st DCR là một miền tùy ý.
Gọi pp Uy y, & y y UU, n=(m,n,,.n,)" là véc-tơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài biên ôD của D. Khi đó lấy tích phân trên Ð hai về (1.1) và sử dụng Định lý Gauss- Green, ta co: d d ate XL] feonas =0. Phương trình này có một ý nghĩa cân bằng tự nhiên: biến đổi theo thời gian của đại lượng [ưa đúng bằng lượng thấm qua biên D D Bây giờ ta định nghĩa hệ hyperbolic các luật bảo toàn.1) được gọi là hyperbolic nếu với mỗi uEeQ va voi bat ky O=(Q,0,,.1) duoc goi la hyperbolic ngat, nếu tat cả cac gid tri riéng A,(u,@) cua ma trận A(u.@) là phân biệt: A,(u,@) <A,(U,@) <. Giả sử hệ (1.1) là hệ hyperbolic.
Vì một ma trận và một ma trận chuyền VỊ của nó có cùng tập các giá trị riêng nên tồn tại các véc-tơ riêng /,(w,ø) ứng với mỗi giá trị riêng 4, (w,øœ) của ma trận A’ (u,@), ttre là: A’ (u,@)I,(u) =A,(u, @)l,(u,@), k =1,.,p- Lấy chuyên vị hai về ta được l0 A(u, @) =/,(u,@)I; (u,@), k =1,.,p- Từ đó, véc-tơ /, thường được gọi là véc-tơ riêng trái, và các véc-tơ 7 thường được gọi là các véc-tơ riêng phải của ma trận A. Bài toán Cauchuy đối với hệ (1.1) là bài toán sau đây: Tìm hàm số u: R“ x[0,+œ) —> O là nghiệm của hệ phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện đầu: u(x,0) = uy (x), xeR’, (1.2) trong đó uạ : R“ —>© là một hàm cho trước. Trong trường hợp x là biến một chiều và u, cd dang: {ie x<0 Uy(x) = (1.3) Up, X>0 Bài toán Cauchy với u, cd dang (1.3) được gọi là bài toán Riemann Gia su hé (1. Vì 4, z 4, nên ta nhận được (1.
Phương trình khí động học nhiều chiều trong tọa độ Euler: 3 lội ; `.5) X, trong đó ø 1a dé tru mat, u=(u,,u,,u,) la van tốc, p là áp suất, ¢ la nang 2 |u| lượng nội tại riêng (trên một đơn vị khối lượng) , và e= £+ ˆ là tổng năng lượng riêng. Các phương trình (1.5) biểu thị tương ứng các luật bảo toàn về khối lượng, động lượng, và năng lượng. Các biến nhiệt động học là p, p,é. 7 là nhiệt độ tuyệt đối, Š là entropy.
Các biến nhiệt động học ràng buộc với nhau bởi đồng nhất thức động lực học de =Tds — pdv trong do v= 5 là dung tích riêng. Bắt kỳ một biến nhiệt động học nào đều có thể biểu diễn được như là một hàm của hai biến nhiệt động học khác. Mối liên hệ này thường được thể hiện dưới dạng các phương trình trạng thái đặc trưng cho lưu chất đang xét. Thông thường các phương trình trạng thái được cho dưới dạng p= PŒ.
hoặc dưới dạng p=pQ. Chang han, với khí ly tưởng, phương trình trạng thái có dạng p=Œ-l)Øe. Bây giờ ta hãy chứng tỏ hệ (1.5) có dạng tổng quát (1. Muốn vậy, ta đặt q,=/Øu, |<i<3, E= 0e, khi đó hệ (1.5) có thể được viết dưới dạng (1.1) với 0 q 4 pt+alp U=|4, |.
#(U)=| ø4@;!p 43! P p+4;lø (E+p)a,!p (E+ p)q;/p E |d VOi p = p(p,—— 4) p 2p và tập các trạng thái là: 2 = |no=lananbiprdaer el oo, 1.2 Các trường đặc trưng thuần phi tuyến, suy biến tuyến tính 1.1 Hệ tuyến tính với hệ số hằng Xét hệ tuyến tính cấp một Ou go, xR, 130, (1.6) ot Ox trong đó w =(0,.t,„)” là véctơ cột, A là ma trận vuông, hằng sé gồm Dp dòng, p cột. Giả thiét rang hé hyperbolic ngặt, nghĩa là ma tran A có p giá trị riêng thực phân biệt A, < Ay <<, Ứng với mỗi giá trị riêng 4, ta chon ra mét vécto riéng phai 1, An, = Ahi (1.7) và một véctơ riêng trái i/ JƑƑA=Am (1.8) nghĩa là ƒ, là một véc tơ riêng của A”. Do các giá trị riêng là phân biệt, các véc tơ 0,,l<k < p, tạo nên một cơ sở của ®” và ta có ln =0, j#&. Hơn nữa, ta có thê chuân hóa các véc tơ Lr sao cho Ly =1 Vi thế, sử đụng kí hiệu Kronecker ta thu được ly =ổ;, 1<ÿj,k<p.9) Bây giờ ta đặt p u= đa, đ, =lÈu, k=l ta có Ou ou 0a, oa, —+A—= A4 A —+* ot Ox » ái Tế ay 5 do hệ cấp một (1.6) tương đương với p phương trình vô hướng 0a, 0a, ot Ox Như vậy, ta có thể di dén mt biéu thite trong minh cho nghiém u cua bai +Ä & =0, 1<k<p.
toán Cauchy OU yh 9, xeR,t>0, Ot Ox (1. That vay, dat a, (x) = Tuy (x), xeER ta nhận được a, (x,t) =a, (x-A,, 1) =lu(x—„,Ð, 1<k<p, và do đó p u(x,t) = DU uy(x-A,.11) k=l Nói riêng, bây gid ta xét bai toan Riemann cho hé (1.6) với đữ kiện đầu (x) ur, x<0 (1. ° Up, x>0 Nếu ta định nghĩa ø„„và ø„, 1<k< p bởi P M, = aah UR = ah k=l ta thu duoc Apps X>A,t Vì vậy nghiệm u của bài toán Riemann (1.12) có dạng tự đồng dạng u(x, 1) = We (sly Uy) (1.13) t Hơn nữa, với 2,,<x/t<A u nhận giá trị hằng số m+1? m Pp u(x,t) = aint, + At, OSM p (1.14) k=l k=m+l với quy ước 4y =—œ, Ä ‘p+ = +00. Nhu vay, ta co Mạ=Uu,, —<Â, f Ws Â<Š<Â, f (Xf) = We (3th 3g) = i (1.15) Wi Ay <<, Xx W, =Ups rama Điều này chỉ ra rằng, nói chung, gián đoạn ban đầu vỡ ra thành p sóng gián đoạn, lan truyền với vận tốc đặc trưng %4.
Chú ý rằng các trạng thái trung gian w„ thỏa mãn W,, ~W,, 1 = (a, R—-a,,L)r,, và do đó A(w„—W„¡)= 3„(W„—W„ ¡). Như vậy, ngang qua mỗi đường gián đoạn x= 4„, hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot được thỏa mãn.2 Trường đặc trưng thuần phi tuyến, suy biến tuyến tính Bây giờ ta hãy xét trường hợp tổng quát. Giả sử Q R” là một tập con mở và ƒ:O-—>R” là một hàm đủ trơn tùy ý (ít nhất là thuộc lớp C?). Ta xét hệ luật bảo toàn phi tuyến us, © ryy=0, xeR,t>0, (1.16) Ot Ox trong do u =(0,M2,.
Để đơn giản, giả sử rằng hệ (1.16) là hyperbolic ngat, nghĩa là voi bat ky u €Q, ma tran A(u) = Ou, | JSP J Jacobi 8 có p giá trị riêng thực phân biệt 3400) < 3⁄09 <. Với mỗi giá trị riêng Â,(w) ta liên kết với một véc tơ riêng phải 7,(u) A()n (0) = 4 ()1(0) (1.17) và một véc tơ riêng trái 1ú” 1,0)” A(w) = Ä, (00, (0)” (1. Do các giá trị riêng là phân biệt, các véc tơ /(w), 1<k<p tạo nên một cơ sở của &” và là cơ sở đối ngẫu cua I,(u), 1Sk <p, vata cd, str dung ký hiệu Kronecker, 1,(u).20) Trường đặc trưng thứ k được gọi là suy biến tuyến tính nếu VA,(u).21) Trén day, VA,(u) =, (u) € L(R’;R) la dao ham của 4,(w) và có thê đồng nhất với véc to gradient VA,(u) ER’.1 Xét truong hop p =7, nghĩa là ta có một luật bảo toàn vô hướng. Từ đó, luật bảo toàn vô hướng là phi tuyến tính thực sự nếu và chỉ nếu a(u)= ƒ "(u) không triệt tiêu, tức là ƒ hoặc là hàm lỗi ngặt, hoặc là lõm ngặt.
Mặt khác, luật bảo toàn vô hướng là suy biến tuyến tính khi và chỉ khi a'(u)= f"(u) =0. 9 Điều này có nghĩa là a(u) =a=const. Như vậy ta trở về trường hợp một luật bảo toàn tuyến tính.3 Sóng giãn, sốc, gián đoạn tiếp xúc 1.1 Sóng giãn Cho ứ,,„„ 6Q. Ta sẽ khảo sát các hàm liên tục trơn từng mảnh tự đồng dạng :(x,f)!I—> „(x,f) là nghiệm của bài toán (1.16) nối I, VỚI Hạ: u, + f(u), =0, , «<0, 1.
Hàm tự đồng dạng có dạng u(x,t) = (2).23) vao phuong trình đạo hàm riêng (1.22) ta được LOO t t t t t (A((2)) -EDv'(€) =0, voi €== 7 Hay Ta suy ra hoặc v'(g)=0 hoặc tồn tại mọi chỉ số k e {12. Nếu v'(é) không triệt tiêu trên một khoảng thì do các giá trị riêng là phân biệt, chỉ số k không phụ thuộc vào ¿ trong khoảng đó. Nếu ta lay dao ham phương trình thứ hai đối với ý, ta được V4,(v(2)).24) khong thé gidi duoc néu trường đặc trưng thứ & là suy biến tuyến tính. Nhưng nếu trường đặc trưng thứ * là phi tuyến thực sự, thi với việc chuẩn hóa VA (u).24*) taco ae) =1, Từ đó ta có thê thấy rằng hoặc v'(g)=0 hoặc là v{2)=n¡0@L)).
và y như vậy là đường cong tích phân của trường z;. Như vậy, giả sử rằng (1.25) trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự và hàm v là nghiệm của (1. Như vậy đòi hỏi uw, và z cùng nằm trên một đường cong tích phân của z¿ và Â, tang tir u, dén ug doc theo đường cong này. Lý luận trên chỉ ra rằng hàm x M„, £ < A, (u,).26) x Ups 7 2A, (Up): là một nghiệm yếu tự đồng dạng của (1.
54, [3]) Nghiệm yếu tự đồng dạng (1.26) được gọi là một sóng R-giãn. Su ton tai của các sóng giãn được cho bởi định lý sau 11 Định lý 1. 54, [3]) Giả sử rằng trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự với sự chuẩn hóa (1. Cho trước một trạng thái u, e©, tôn tại mot duong cong R,(u,) gom các trạng thái uc mà có thể nói với uy về bên phải bởi một sóng k-giãn.
Hơn thế, tổn tại một phép tham chiếu hóa của R0): s>®,(5) xác định với ÖŠ s Š sạ, syẩú bé sao cho ®, (Si) =t, + sr, (w,) LỄ Vi (0) +O(s°).28) với dữ kiện đầu VW(A,(u,)) = Uz.29) Nghiệm v tồn tại trong một khoảng Â,(w,) < ế <Â,(w,)+sạ nào đó với so > 0 đủ bé.24*) ta có đã 02) _ dé Như vậy v thoa man AVS) -— A VA (ty) = - AU) và do đó, từ (1.29) ta suy ra AVIS) =S- Vay ham v là nghiệm của (1. Bây giờ ta định nghĩa R,(u,) ={v(E): 4, (uy) SES A,(u,) + 5p}.