Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach" được nghiên cứu sinh Trương Minh Tuyên thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Nguyễn Bường và GS. Jong Kyu Kim, bảo vệ năm 2013 thuộc chuyên ngành Toán Giải tích (mã số 62 46 01 02).

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và không gian Banach là một dạng tường minh quan trọng của bài toán chấp nhận lồi tổng quát: xác định một phần tử thuộc giao khác rỗng của một họ các tập con lồi, đóng trong không gian xét. Bài toán này giữ vai trò then chốt trong nhiều mô hình ứng dụng thực tế như xử lý ảnh số, khôi phục tín hiệu, vật lý tính toán và xạ trị y học.

Khi chuyển từ bài toán chấp nhận lồi sang bài toán điểm bất động (với các tập lồi là tập điểm bất động của các ánh xạ không giãn $Fix(T_i)$), các thuật toán lặp cổ điển như Krasnoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern hoặc phương pháp điểm gần kề (Proximal Point Algorithm) thường chỉ thiết lập được sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Bên cạnh đó, bài toán tìm điểm bất động chung nói chung là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed problem): nghiệm không duy nhất và không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào. Do đó, việc xây dựng các thuật toán lặp mới đảm bảo sự hội tụ mạnh và nghiên cứu tính ổn định của nghiệm xấp xỉ khi dữ liệu bị nhiễu hoặc có sai số tính toán trong không gian Banach là một khoảng trống nghiên cứu có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc.

Mục tiêu nghiên cứu

Luận án tập trung giải quyết 3 mục tiêu cụ thể:

  1. Nghiên cứu phương pháp điểm gần kề cải biên và các biến thể để giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach; khảo sát tính ổn định của các phương pháp lặp thu được theo hướng nghiên cứu của Alber Y.
  2. Nghiên cứu mở rộng các kết quả xấp xỉ của Xu H.K., Song Y. và Chai Y. cho bài toán xác định không điểm của toán tử $m$-$j$-đơn điệu trong không gian Banach.
  3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh đối với bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Banach, thiết lập các định lý hội tụ mạnh và đánh giá tính ổn định của các phương pháp hiệu chỉnh này.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Không gian Banach phản xạ, lồi đều, trơn đều; toán tử đơn điệu, toán tử $j$-đơn điệu và $m$-$j$-đơn điệu; ánh xạ không giãn, ánh xạ co rút không giãn theo tia; các thuật toán lặp dạng điểm gần kề, hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề quán tính.
  • Phạm vi nghiên cứu: Không gian Banach thực và không gian Hilbert; xét trên họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và họ hữu hạn các toán tử loại đơn điệu; mở rộng ứng dụng cho bài toán ánh xạ giả co chặt, bài toán chấp nhận lồi và bài toán tính toán chấp nhận lỗi (sai số lặp).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết bài toán đặt không chỉnh bắt nguồn từ các nghiên cứu nền tảng của Hadamard J. (1923), sau đó được Tikhonov A.N. (1963) phát triển thông qua phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với việc đưa vào tham số hiệu chỉnh để đảm bảo tính ổn định của nghiệm. Đối với bài toán bao hàm thức vi phân và bài toán biến phân đơn điệu, Martinet B. (1970) và Rockafellar R.T. (1976) đã đề xuất phương pháp điểm gần kề. Tuy nhiên, Rockafellar chỉ chứng minh được sự hội tụ yếu của dãy lặp trong không gian Hilbert, và Güler O. (1991) cùng Bauschke H., Matoušková E., Reich S. đã chỉ ra các phản ví dụ chứng minh phương pháp điểm gần kề không nhất thiết hội tụ mạnh.

Nhằm cải thiện tốc độ và tính chất hội tụ, Alvarez F. và Attouch H. (2001) đã đề xuất phương pháp điểm gần kề quán tính (inertial proximal point method), nhưng kết quả vẫn dừng lại ở mức độ hội tụ yếu. Để đạt được sự hội tụ mạnh, Lehdili N. và Moudafi A. (1996) đã đề xuất phương pháp Prox-Tikhonov trong không gian Hilbert. Hướng nghiên cứu này được tiếp tục mở rộng bởi Kamimura S., Takahashi W. (2000), Kohsaka F. (2004), Xu H.K. (2006) và Song Y., Chai Y. (2009).

Đối với bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn, các lược đồ lặp kinh điển bao gồm:

  • Lặp Mann (1953): Thiết lập hội tụ yếu cho một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert; sau đó Reich S. (1979) mở rộng lên không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Fréchet. Nakajo K., Takahashi W. (2003) cùng Kim T.H., Xu H.K. (2005) đề xuất các biến thể lặp lai để đạt hội tụ mạnh.
  • Lặp Ishikawa (1974): Được Tan K.K. và Xu H.K. (1993) chứng minh hội tụ yếu trong không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial hoặc có chuẩn khả vi Fréchet; Shahzad N. (2005) và các tác giả khác mở rộng cho họ hữu hạn ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện co rút.
  • Lặp Halpern (1967): Được Lions P.L. (1977), Wittmann R. (1992), Xu H.K. (2002), Shioji N., Takahashi W. (1997), Song Y., Chen R. (2006), Chidume C.E., Chidume C.O. (2006) khảo sát các điều kiện của dãy tham số để thu được hội tụ mạnh.
  • Tại Việt Nam: Tác giả Nguyễn Bường (2006, 2008, 2010, 2011) đã phát triển phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov và lần đầu tiên kết hợp phương pháp điểm gần kề quán tính với kỹ thuật hiệu chỉnh (gọi là phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh) cho bài toán tìm không điểm chung của một họ toán tử đơn điệu cực đại và bài toán tối ưu đa mục tiêu. Phạm Kỳ Anh (2004, 2009) kết hợp nguyên lý ánh xạ co với phương pháp điểm gần kề và nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh lặp song song; Nguyễn Thị Thu Thủy (2009) nghiên cứu bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung.

Vị trí của luận án: Kế thừa tư tưởng thuật giải của Nguyễn Bường (2006, 2008) và kỹ thuật phân tích tính ổn định của Alber Y. (1996, 2003), luận án của Trương Minh Tuyên giải quyết trọn vẹn việc mở rộng thuật toán điểm gần kề, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh từ không gian Hilbert sang không gian Banach cho họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, đồng thời bao quát trường hợp có sai số tính toán ở mỗi bước lặp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và các khái niệm cốt lõi

Luận án vận dụng hệ thống các cấu trúc hình học không gian Banach và lý thuyết toán tử phi tuyến:

  1. Hình học không gian Banach:
    • Không gian phản xạ (mọi dãy bị chặn đều có dãy con hội tụ yếu).
    • Không gian lồi chặt, lồi đều (đo bởi mô đun lồi $\delta_E(\varepsilon) = \inf{1 - |\frac{x+y}{2}| : |x|\le 1, |y|\le 1, |x-y|\ge \varepsilon}$).
    • Không gian trơn, trơn đều (đo bởi mô đun trơn $\rho_E(\tau) = \sup{\frac{|x+y|+|x-y|}{2} - 1 : |x|=1, |y|=\tau}$), không gian $q$-trơn đều thỏa mãn $\rho_E(t) \le c t^q$.
    • Bất đẳng thức hình học Alber trong không gian trơn đều: $$|x + y|^2 \le |x|^2 + 2\langle y, j(x)\rangle + c \rho_E(|y|)$$ với $c = 48 \max(L, |x|, |y|)$ và $L$ là hằng số Figiel ($1 < L < 1.7$).
  2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc: Ánh xạ đa trị $J: E \to 2^{E^}$ xác định bởi $J(x) = {f \in E^ : \langle x, f\rangle = |x|^2, |f| = |x|}$. Khi $E^*$ lồi chặt, $J$ trở thành ánh xạ đơn trị ký hiệu là $j$. Ánh xạ $j$ có tính liên tục yếu theo dãy trên không gian $l_p$ ($p > 1$), nhưng không có tính chất này trên $L_p(\Omega)$.
  3. Lớp toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn:
    • Toán tử đơn điệu: $\langle u - v, x - y\rangle \ge 0, \forall u \in A(x), v \in A(y)$.
    • Toán tử $j$-đơn điệu: $\langle u - v, j(x - y)\rangle \ge 0$.
    • Toán tử $m$-$j$-đơn điệu: $j$-đơn điệu và thỏa mãn miền ảnh $R(I + \lambda A) = E, \forall \lambda > 0$.
    • Mệnh đề quan trọng: Nếu $T_i: E \to E$ ($i=1,\dots,N$) là các ánh xạ không giãn trên không gian Banach $E$, thì $A_i = I - T_i$ là các toán tử $j$-đơn điệu và tổng $A = \sum_{i=1}^N A_i$ là một toán tử $m$-$j$-đơn điệu.
  4. Ánh xạ co rút không giãn theo tia (Ray-nonexpansive retraction): Ánh xạ $Q_C: E \to C$ thỏa mãn $Q_C^2 = Q_C$, không giãn, và $Q_C(Q_C(x) + t(x - Q_C(x))) = Q_C(x), \forall t \in (0, 1)$. Trong không gian Banach trơn, $Q_C$ là co rút không giãn theo tia khi và chỉ khi: $$\langle x - Q_C(x), j(\xi - Q_C(x))\rangle \le 0, \quad \forall x \in E, \forall \xi \in C$$

Phương pháp nghiên cứu

  • Phương pháp giải tích phi tuyến và giải tích lồi: Sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Schauder, tính chất nửa liên tục dưới, dưới vi phân của hàm lồi.
  • Phương pháp giải tích xấp xỉ và lặp: Xây dựng các sơ đồ lặp ẩn và hiện, xấp xỉ tiệm cận, khử sai số và xử lý nhiễu bằng kỹ thuật chặn dãy số học thực.
  • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Xây dựng toán tử hiệu chỉnh phụ thuộc tham số $\alpha_n \to 0$ tương thích với mức độ sai số $\delta_n$ nhằm chuyển bài toán đặt không chỉnh về dãy các bài toán đặt chỉnh.
  • Nguồn dữ liệu: Toàn bộ dẫn chứng, bổ đề, hằng số và các bất đẳng thức giải tích được trích xuất trực tiếp từ các công bố học thuật quốc tế và trong nước về lý thuyết toán tử và giải tích hàm.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kết quả nền tảng phục vụ cho các chứng minh ở các chương sau:

  • Trình bày chi tiết hình học không gian Banach: mối quan hệ giữa tính lồi đều của $E$ và tính trơn đều của không gian đối ngẫu $E^*$ (Định lý 1.3), tính chất của không gian $l_p$, $L_p(\Omega)$ và không gian Sobolev $W_p^m(\Omega)$.
  • Phân tích ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J$ và đơn trị $j$, đặc trưng hình học của khoảng cách Hausdorff $H(C_1, C_2)$ giữa hai tập hợp.
  • Chứng minh chi tiết Mệnh đề 1.4: Cho $T_1, \dots, T_N$ là các ánh xạ không giãn từ không gian Banach $E$ vào $E$, khi đó toán tử tổng $A = \sum_{i=1}^N (I - T_i)$ là toán tử $m$-$j$-đơn điệu thông qua việc chứng minh phương pháp ánh xạ co cho phương trình $x + \lambda A(x) = y$.
  • Trình bày tổng quan về lớp bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard $A(x) = f$, nguyên lý hiệu chỉnh Tikhonov $R(f, \alpha)$, và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân.
  • Tổng kết toàn diện các lược đồ xấp xỉ điểm bất động kinh điển: thuật toán Mann, thuật toán Ishikawa, thuật toán Halpern, các định lý hội tụ yếu và mạnh của Reich, Tan-Xu, Wittmann, Xu, Song-Chai, Nakajo-Takahashi.

Chương 2. Phương pháp điểm gần kề

Chương 2 tập trung nghiên cứu phương pháp điểm gần kề dạng giải tích giải bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn $T_1, \dots, T_N$ trên không gian Banach $E$:

  • Lược đồ lặp nghiên cứu: Dãy lặp ${x_n}$ xác định bởi phương trình: $$\sum_{i=1}^N r_n A_i(x_{n+1}) + x_{n+1} = t_n u + (1 - t_n)x_n, \quad u, x_0 \in E, n \ge 0$$ trong đó $A_i = I - T_i$, ${r_n}$ là dãy số thực dương, ${t_n} \subset (0, 1)$.
  • Kết quả hội tụ mạnh: Chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp ${x_n}$ về phần tử điểm bất động chung thuộc $S = \bigcap_{i=1}^N Fix(T_i)$ dưới các điều kiện thích hợp đặt lên các tham số ${r_n}$, ${t_n}$ và cấu trúc hình học của không gian Banach $E$.
  • Nghiên cứu tính ổn định: Mở rộng lược đồ cho trường hợp có sai số tính toán tại mỗi bước lặp ${e_n}$: $$\sum_{i=1}^N r_n A_i(x_{n+1}) + x_{n+1} = t_n u + (1 - t_n)x_n + e_n$$ Luận án thiết lập điều kiện hội tụ mạnh khi $|e_n| \to 0$ thỏa mãn các đánh giá triệt tiêu sai số theo hướng tiếp cận của Alber Y.
  • Mở rộng cho toán tử $m$-$j$-đơn điệu: Thiết lập định lý hội tụ mạnh cho bài toán xác định không điểm của toán tử $m$-$j$-đơn điệu tổng quát, mở rộng kết quả của Xu H.K. (2006) và Song Y., Chai Y. (2009).
  • Ứng dụng: Vận dụng giải bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert, giải bài toán chấp nhận lồi trong không gian Banach, và đưa ra các ví dụ số tính toán cụ thể với các tham số số bước lặp $n_{max}$, thời gian tính toán $tg$ và sai số $err$.

Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh

Chương 3 phát triển các phương pháp hiệu chỉnh hiện đại kết hợp tính chất quán tính:

  • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Xét phương trình hiệu chỉnh liên tục và rời rạc dạng: $$\sum_{i=1}^N A_i(x_n) + \alpha_n(x_n - y) = \theta, \quad y \in C$$ với $A_i = I - T_i$, tham số hiệu chỉnh $\alpha_n > 0, \alpha_n \to 0$. Luận án chứng minh dãy nghiệm hiệu chỉnh ${x_n}$ hội tụ mạnh về hình chiếu của $y$ lên tập nghiệm chung $S = \bigcap_{i=1}^N Fix(T_i)$.
  • Phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh: Nghiên cứu lược đồ lặp kết hợp số hạng quán tính $\gamma_n(u_n - u_{n-1})$ với phép co rút không giãn theo tia $Q_C$: $$u_{n+1} = Q_C(u_n + \gamma_n(u_n - u_{n-1}))$$ hoặc dạng tổng quát của toán tử đơn điệu cực đại xấp xỉ dưới vi phân: $$\sum_{i=1}^N c_n \alpha_n^i A_n^i(z_{n+1}) + \alpha_n^{N+1} z_{n+1} + z_{n+1} - z_n \ni \gamma_n(z_n - z_{n-1})$$
  • Tính ổn định của phương pháp: Thiết lập các đánh giá sai số định lượng khi dữ liệu toán tử $A_i$ bị nhiễu theo khoảng cách Hausdorff $H(A_i^n(x), \partial \phi_i(x)) \le h_n g(|x|)$, chứng minh dãy lặp vẫn hội tụ mạnh về nghiệm chính xác khi các tham số $h_n, \alpha_n, \gamma_n, c_n$ thỏa mãn các điều kiện tương thích.
  • Ứng dụng thực nghiệm: Ứng dụng giải bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ giả co chặt, bài toán chấp nhận lồi và bài toán chấp nhận lỗi, minh họa bằng tính toán số cụ thể.

Bảng tổng hợp so sánh các lược đồ thuật toán chính trong luận án

Lược đồ thuật toán Không gian nghiên cứu Lớp toán tử / Ánh xạ Dạng phương trình lặp / hiệu chỉnh Loại hội tụ
Điểm gần kề mở rộng Không gian Banach $E$ Họ hữu hạn ánh xạ không giãn $T_i$ $\sum_{i=1}^N r_n A_i(x_{n+1}) + x_{n+1} = t_n u + (1 - t_n)x_n + e_n$ Hội tụ mạnh
Không điểm toán tử Không gian Banach $E$ Toán tử $m$-$j$-đơn điệu $A$ $r_n A(x_{n+1}) + x_{n+1} \ni t_n u + (1 - t_n)x_n + e_n$ Hội tụ mạnh
Hiệu chỉnh Tikhonov Không gian Banach $E$ Họ hữu hạn ánh xạ không giãn $T_i$ $\sum_{i=1}^N A_i(x_n) + \alpha_n(x_n - y) = \theta$ Hội tụ mạnh
Điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh Banach / Hilbert Họ ánh xạ không giãn / Dưới vi phân $\partial\phi_i$ $u_{n+1} = Q_C(u_n + \gamma_n(u_n - u_{n-1}))$ kết hợp tham số hiệu chỉnh Hội tụ mạnh

Kết quả và những đóng góp mới

Các kết quả và đóng góp mới của luận án được tác giả tổng kết bao gồm:

  1. Mở rộng phạm vi không gian: Đã chuyển thành công các phương pháp điểm gần kề cải biên và phương pháp hiệu chỉnh từ không gian Hilbert sang không gian Banach tổng quát (lồi đều, trơn đều hoặc có chuẩn khả vi thích hợp), khắc phục được hạn chế chỉ hội tụ yếu của phương pháp cổ điển.
  2. Xây dựng thuật toán cho họ hữu hạn toán tử: Đề xuất sơ đồ giải đồng thời cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và toán tử $m$-$j$-đơn điệu thông qua phép lấy tổng toán tử $A = \sum_{i=1}^N A_i$, thay vì chỉ xử lý một toán tử đơn lẻ.
  3. Thiết lập tính ổn định nghiệm: Chứng minh tính ổn định của các thuật toán lặp khi xuất hiện sai số tính toán ${e_n}$ và nhiễu xấp xỉ toán tử ${h_n}$ theo khoảng cách Hausdorff, cung cấp các điều kiện tường minh cho các dãy tham số lặp (${r_n}, {t_n}, {\alpha_n}, {\gamma_n}$).
  4. Phát triển ứng dụng giải tích: Ứng dụng thành công các định lý lý thuyết vào việc giải bài toán điểm bất động chung của họ ánh xạ giả co chặt, bài toán chấp nhận lồi, bài toán chấp nhận lỗi và xây dựng các thử nghiệm tính toán số minh họa.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và phần kiến nghị của luận án, các hạn chế và định hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm:

  • Mở rộng quy mô họ ánh xạ: Luận án mới giải quyết cho họ hữu hạn các ánh xạ không giãn ($i = 1, \dots, N$). Hướng tiếp theo là mở rộng phương pháp cho một họ vô hạn đếm được hoặc họ liên tục các ánh xạ không giãn.
  • Nới lỏng điều kiện không gian: Nghiên cứu khả năng loại bỏ hoặc giảm nhẹ một số giả thiết hình học khắt khe về không gian Banach (như tính khả vi Fréchet đều hay tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc).
  • Mở rộng lớp toán tử: Tiếp tục khảo sát các thuật toán hiệu chỉnh quán tính cho các lớp toán tử phi tuyến rộng hơn như toán tử tựa đơn điệu, toán tử nửa co hoặc toán tử đa trị tổng quát.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu chuyên khảo có giá trị chuyên môn cao đối với:

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán Giải tích: Cung cấp hệ thống kỹ thuật chứng minh giải tích phi tuyến hiện đại, phương pháp ước lượng bất đẳng thức hình học trong không gian Banach và kỹ thuật xử lý bài toán đặt không chỉnh.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu giải tích tối ưu: Tham khảo khung lý thuyết kết hợp giữa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và số hạng quán tính, cùng cấu trúc của phép co rút không giãn theo tia $Q_C$.
  • Các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Toán ứng dụng: Có thể khai thác thuật toán lặp tìm điểm bất động chung để xây dựng các phần mềm tính toán xấp xỉ nghiệm trong xử lý ảnh số, khôi phục tín hiệu và giải hệ phương trình toán tử phi tuyến.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn lại thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh? Bài toán này nói chung có tập nghiệm không duy nhất và không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu vào. Một thay đổi nhỏ của dữ liệu bài toán (hoặc do sai số làm tròn số trong máy tính) có thể dẫn đến sai lệch lớn của nghiệm xấp xỉ hoặc làm cho bài toán trở nên vô nghiệm. Do đó, bài toán đòi hỏi phải áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm ổn định.

2. Bản chất của toán tử tổng $A = \sum_{i=1}^N (I - T_i)$ trong không gian Banach là gì? Theo Mệnh đề 1.4 được chứng minh trong luận án, nếu $T_i$ ($i = 1, \dots, N$) là các ánh xạ không giãn từ không gian Banach $E$ vào chính nó, thì mỗi $A_i = I - T_i$ là toán tử $j$-đơn điệu và tổng $A = \sum_{i=1}^N A_i$ là một toán tử $m$-$j$-đơn điệu (nghĩa là $j$-đơn điệu và thỏa mãn $R(I + \lambda A) = E, \forall \lambda > 0$).

3. Khác biệt cơ bản giữa phương pháp điểm gần kề cổ điển của Rockafellar và phương pháp trong luận án là gì? Phương pháp cổ điển của Rockafellar ($c_n A x_{n+1} + x_{n+1} \ni x_n$) được thiết lập trong không gian Hilbert và chỉ đảm bảo tính hội tụ yếu. Luận án của Trương Minh Tuyên thiết lập các lược đồ lặp trong không gian Banach và đưa thêm số hạng hiệu chỉnh/chuyển dịch tham số để thu được sự hội tụ mạnh theo chuẩn.

4. Ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C$ đóng vai trò gì trong các thuật toán ở Chương 3? Ánh xạ co rút không giãn theo tia $Q_C: E \to C$ đóng vai trò là toán tử chiếu phi tuyến bảo toàn tính không giãn, đặc trưng bởi bất đẳng thức $\langle x - Q_C(x), j(\xi - Q_C(x))\rangle \le 0, \forall \xi \in C$. Ánh xạ này cho phép kéo các phần tử lặp ngoài tập lồi $C$ trở về tập $C$ một cách ổn định, hỗ trợ thiết lập sự hội tụ mạnh cho thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh.

Kết luận

Luận án "Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach" của nghiên cứu sinh Trương Minh Tuyên là một công trình khoa học hoàn chỉnh thuộc chuyên ngành Toán Giải tích. Luận án đã phát triển và thiết lập thành công các định lý hội tụ mạnh cho các phương pháp điểm gần kề mở rộng, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh đối với họ hữu hạn ánh xạ không giãn và toán tử $m$-$j$-đơn điệu trong không gian Banach. Các kết quả nghiên cứu không chỉ giải quyết trọn vẹn bài toán đặt không chỉnh có kèm sai số tính toán mà còn mở ra khả năng ứng dụng hiệu quả cho bài toán chấp nhận lồi và tối ưu hóa phi tuyến.